バクスターの8頂点模型を、いわゆる「無反射点」という系列において考える。
この無反射点の系列が$D_l$ 型の変型${\cal W}$代数($l=2,3,4,5,\cdots$)によって
記述されることを議論する。
8頂点模型はバクスターの楕円$R$行列$R(\zeta;x,p)$によって与えられる二次元可
解格子模型である。
(ここに、$x$は交叉パラメータ、$p$は楕円ノーム、$\zeta$はスペクトル変数。)
8頂点模型の素励起状態に対する散乱行列$S$はシフトされた楕円$R$行列$S=-R(\
zeta;x,px^{-2})$
で与えられるが、条件$p=x^{2+2/(l-1)}$($l=2,3,4,5,\cdots$)が
満たされるとき、この散乱行列$S$が(反対)対角行列となる。この系列は特に
「無反射点」呼ばれている。
無反射点の系列において、8頂点模型の素励起状態を記述するZamolodchikov-Fadeev
代数が
$D_l$ 型の変型${\cal W}$代数${\cal W}_{q,t}(D_l)$のスピノル表現と反スピノル
表現の和で与えられることを議論する。
このとき、変型${\cal W}$代数のパラメータをべき根の近傍に$(q,t)=(\sqrt{-1}x^{
1/2},\sqrt{-1} x^{l/2/(l-1)})$
と特殊化する必要がある。
|
日時: |
2003年10月8日(水)16:30−17:30
(16:00より1階ロビーでtea)
|
場所: |
京都大学数理解析研究所 202 号室
|
講演者: |
高村 茂 氏 (京大・理)
|
題目: |
リーマン面の退化の分裂について
|
Abstract: |
複素曲面から単位円盤への正則写像で、原点以外のファイバーがなめらかな
リーマン面で、原点上のファイバーは、特異点をもつリーマン面(特異ファイバー)
となっているとき「リーマン面の退化」という。
要するに、単位円盤でパラメーター付けされたリーマン面の族で、
パラメーターの値が0のとき、特異点のあるリーマン面になっているものである。
さて、もう1つ別のパラメーターを導入して、リーマン面の退化を摂動すると、もと
もと一つだった特異ファイバーがいくつかの特異ファイバーに分裂することがある。
このような摂動を分裂族と呼んでいる。
まったく分裂族をもたない退化もまれに存在し、原子退化と呼ばれる。
本講演では、分裂族の2つの構成法を紹介する。
1つは特異ファイバーの部分因子を用いるもので、もう1つの構成法は正則ベクトル
束の切断を用いるものである。
|
|
日時: |
2003年10月1日(水) 16:30−17:30
(16:00より談話室でTea) |
場所: |
京都大学大学院理学研究科
数学教室大会議室 |
講演者: |
前野 俊昭氏 (京大・理)
|
題目: |
Noncommutative differential structure on Weyl groups
|
Abstract: |
Weyl群環に対する微分形式の性質とそれに関連した Hopf代数について紹介する.
対称群に対する微分形式, de Rham cohomology, 平坦接続などの
微分幾何的な構造の研究が S. Majidにより始められている。一般の
Weyl群に対しても同様の構成は可能であるが, simply-lacedの場合
(ADE型)とそれ以外の場合では性質の相違がある.
また, 微分形式のなす代数は組み合わせ論的に興味深い対象であり,
接続形式は旗多様体の Schubert calculusの super版に対応していると
見ることもできる. このような観点から, ある (super) Hopf代数を導入し
その性質についても触れたい.
これらの枠組みは, 旗多様体の通常の意味での幾何と「非可換離散的」
とでも言うべき対象の関係を示しているようにも見えるが, 概念的な
理解は今後の課題である.
|
|
日時: |
2003年7月16日(水)16:00〜17:00
(15:30より談話室にてtea) |
場所: |
京都大学大学院理学研究科
数学教室大会議室 |
講演者: |
Lin Weng 氏 (九大・数理)
|
題目: |
Micro Reciprocity Law, Tannakian Category and Non-Abelian Class
Field Theory
|
Abstract: |
In his fundamental paper on Generalisation des Fonctions Abelinnes,
Weil established an equivalence between degree zero vector bundles
and flat bundles, i.e., bundles induced from representations of
fundamental groups, for Riemann surfaces. Such a result may
be viewed as a very primitive version of reciprocity law. Taking
this as the starting point, we in this talk will explain how a non-abelian
class field theory for Riemann surfaces can be developed using
Tannakian category theory. The main results includes
the Existence Theorem and the Global Reciprocity Law.
An application to the inverse Galois problem will be discussed
if time is allowed. We end our talk with a proposal
for non-abelian class field theory of global fields.
|
|
日時: |
2003年7月9日(水)16:00〜17:00
(15:30より1階ロビーでtea)
|
場所: |
京都大学数理解析研究所 202 号室
|
講演者: |
Prof. Vladimir V. Bazhanov (Australian National University)
|
題目: |
Solving the general algebraic equation
without radicals or elliptic functions
|
Abstract: |
The fundamental problem of expressing roots
of the algebraic equation as a function of its
coefficients greatly influenced the development
mathematics for many centuries.
The history of the subject is very rich and
associated with many remarkable discoveries
by Viete, Cardano, Newton, Gauss, Lagrange,
Galois, Abel, Hermite, Klein, Kolmogorov,
Arnol'd, Umemura, just to name a few.
It is also rather dramatic by reminiscents of
the unrealized dream to solve the general
algebraic equation in the radicals.
Strangely enough, despite centuries of spectacular developments, a typical
knowledge about solutions
of the algebraic equation among mathematician and physicists is limited to
the Cardano formula and
sometimes to mentioning of the fact that the
equations of degree five and higher can be
solved through the modular elliptic functions.
In this lecture we will rediscover remarkable
(but rarely known) results by Lagrange and
Mellin on solutions of the general algebraic
equation which are very useful for many applications.
The lecture is intended for a general audience
starting from senior undergraduate students
specializing in physics and mathematics.
|
|
日時: |
2003年7月2日(水)16:00〜17:00
(15:30より談話室にてtea) |
場所: |
京都大学大学院理学研究科
数学教室大会議室 |
講演者: |
後藤 竜司 氏 (大阪大学・理)
|
題目: |
Deformation, gluing and smoothing of
SL_3(\mathbb C) structures
( complex 3-folds with trivial canonical line bundle)
|
Abstract: |
標準束が自明な複素3次元多様体は
三次微分形式の幾何構造(SL_3(\mathbb C) structure)として捉えることが可能です。
講演ではこのSL_3(\mathbb C)構造の幾何についてお話します。
(1) Deformation
最初に変形(Deformation)族を構成する。
一般にケーラーでないときは倉西族は滑らかとは限らないが
SL_3(\mathbb C) 構造の変形としては
位相的に定義される滑らかな変形族が常に存在する事を示す。
(2) gluing
次にノンーコンパクトなSL_3(\mathbb C)多様体を境界に沿って
貼りあわせコンパクトなSL_3(\mathbb C)多様体を構成する手法(gluing)を話す。
これは一旦、コンパクトな実多様体を構成しその上で微分方程式を解いて
SL_3(\mathbb C)構造が存在することを示す。
具体例として、K3曲面のツイスター空間とFano 3-foldsを
使う。
(3) smoothing
最後に特異点がある標準束が自明な複素3次元"多様体"を
SL_3(\mathbb C)構造を保ちながら変形しsmoothな多様体にする(smoothing)
について得られた結果を話す。
これらの結果は他の微分形式の幾何構造(Calabi-Yau,
hyperK\"ahler, G_2, Spin(7) structures)
などにも拡張可能で、関連した結果についても触れたい。
|
|
日時: |
2003年6月25日(水)16:00〜17:00
(15:30より談話室にてtea) |
場所: |
京都大学大学院理学研究科
数学教室大会議室 |
講演者: |
土居 伸一 氏 (大阪大学・理)
|
題目: |
シュレディンガー方程式の解の特異性の伝播・分散・生成
|
Abstract: |
シュレディンガー方程式は,
非相対論的量子力学において粒子の運動を記述する基礎方程式であり,
その基本解の構造はポテンシャルの増大度に大きく依存している.
ポテンシャルの増大度が2次より小さい場合には時刻零を除く全時刻で基本解は滑らかであり,
高々2次の場合には時刻零を除くある有限時間内で滑らかであり,
2次より速く増大する場合には一般には全時刻でいたるところ滑らかでない.
高々2次の場合にはより精密な結果が知られている:
摂動された調和振動子を考えると,
摂動の強さが1次より小さい場合は自由調和振動子の場合と同様に周期時刻に特異性が回帰する.
すなわち自由調和振動子の表象(これを主表象と考えよう)が解の特異性の構造を決定している.
これに対して調和振動子からの摂動ポテンシャル(これを副主表象と考えよう)が解の特異性の構造を本質的に変える場合の研究は,
私の知る限り谷島先生によるもののみである(詳しい内容は講演で触れる).
この講演では,
調和振動子からの摂動ポテンシャルが解の特異性の構造を本質的に変える場合について述べたい.
即ち周期時刻周辺での摂動ポテンシャルによる解の特異性の伝播・分散現象を解説する.
また時間があれば非等方的調和振動子に対する弱い特異性の生成現象についても
述べたい.
|
|
日時: |
2003年6月11日(水)16:00〜17:00
(15:30より1階ロビーでtea)
|
場所: |
京都大学数理解析研究所 202 号室
|
講演者: |
Prof. Maxim Nazarov (York University, UK)
|
題目: |
Young symmetrizers for rational
representations of general linear groups
|
Abstract: |
Let $GL_M$ be general linear Lie group
over the complex field. The irreducible
rational representations of the group
$GL_M$ are labeled by pairs of partitions
$\mu$ and $\tilde\mu$ such that the
total number of non-zero parts of $\mu$ and $\tilde\mu$ does not exceed $M$.
Let $U$ be
the representation of $GL_M$ corresponding to such a pair. Regard the direct
product $GL_N\times GL_M$ as a subgroup of
$GL_{N+M}$. Let $V$ be the irreducible rational representation of the group
$GL_{N+M}$
corresponding to a pair of partitions
$\lambda$ and $\tilde\lambda$.
Consider the vector space
$W=Hom_{G_M}(U,V)$. It comes with a natural
action of the group $GL_N$.
Let $n$ be sum of parts of $\lambda$ less
the sum of parts of $\mu$.
Let $\tilde n$ be sum of parts of
$\tilde\lambda$ less the sum of parts of $\tilde\mu$. For any choice of two
standard
Young tableaux of skew shapes $\lambda/\mu$ and $\tilde\lambda/\tilde\mu$
respectively,
we realize $W$ as a subspace in the tensor product of $n$ copies of the
defining $N$-dimensional representation of $GL_N$, and of
$\tilde n$ copies of the contragredient representation. This subspace is
determined
as the image of a certain linear operator
$F$ in the tensor product, given by explicit multiplicative formula.
When $M=0$ and $W=V$ is an irreducible representation of $GL_N$, we recover
the
classical realization of $V$ as a subspace
in the space of all traceless tensors.
Then the operator $F$ can be regarded
as rational analogue of the Young
symmetrizer, corresponding to the
chosen standard tableau of shape $\lambda$.
Even in the case $M=0$, our formula for the operator $F$ is new. Our results
are
applications of representation theory of the Yangian of the Lie algebra
$gl_N$.
In particular, we use the fusion procedure of
$N$-dimensional evaluation representations
of the Yangian of $gl_N$.
|
|
日時: |
2003年6月4日(水)16:00〜17:00
(15:30より談話室にてtea) |
場所: |
京都大学大学院理学研究科
数学教室大会議室 |
講演者: |
大沢 健夫 (名古屋大学・多元数理)
|
題目: |
L^2コホモロジー類の拡張における曲率条件について
|
Abstract: |
Mを複素多様体、
EをM上の正則ベクトル束とする。Mの計量gとEのファイバー計量
hを固定し、
これらに関するL^2ドルボーコホモロジー群
H^{p,q}_{(2)}(M,E)を考える。
g,hの曲率条件と
H^{p,q}_{(2)}(M,E)の構造の間に成立する関係については
(Mのコンパクト性やスタイン性に準ずる仮定のもとに)
よく知られており、とりわけ一連の消滅定理やホッジ構造に関わる結果は有名である。
SをMの複素閉部分多様体とする。Sに沿って対数的極をもつ連続関数
\varphi : M \to [-\infty, 0)
をうめこみS\hookrightarrow Mの一つの幾何学的指標と考える。
この\varphiによってM
の体積要素にSの体積要素を標準的な仕方で対応づけることができ、
三つ組(g, h, \varphi)は新たに(誘導計量に関するL^2コホモロジーとは別の)
L^2コホモロジー群
H^{p,q}_{(2), \varphi}(S,E)を定める。
L^2正則関数の拡張定理は、
g,h,\varphiの曲率条件と制限作用素
H^{p,q}_{(2)}(M,E) \to H^{p,q}_{(2), \varphi}(S,E)
の性質の間の関係の一例となっている。
このような設定で得られた結果(特に一般化された拡張定理)とその応用について、
最近の論文からいくつか選んでご報告したい。
|
|
日時: |
2003年5月28日(水)16:00〜17:00
(15:30より談話室にてtea) |
場所: |
京都大学大学院理学研究科
数学教室大会議室 |
講演者: |
大石 進一
(早稲田大学・理工・コンピュータ・ネットワーク工学)
|
題目: |
精度保証付き数値計算と数学
|
Abstract: |
非線形関数方程式などを解くためには、
証明の中にも数値計算を導入することが必要になる場面もあると思われる。
現代のコンピュータのハードウエアの仕組みでは浮動小数点演算ユニットを用いた計算によらなければ、
偏微分方程式などの大規模かつ現実的な問題を扱うことはできない。
浮動小数点数による四則演算はその中に閉じていないので、
近似計算となり、数値計算過程には必然的に丸め誤差が入る。
一方、偏微分方程式を有限次元近似することによる離散化誤差も存在する。
これらをすべて考慮した上で、
関数方程式の解の存在定理の証明を数値計算で行うための手法を提供することを精度保証付き数値計算の研究者は一つの目標としている。
このような目標が現在どこまで達成されているかを概観する。
具体的にはつぎのような項目を概観する。
1. 浮動小数点数の規格IEEE754にまつわる数理(浮動小数点数演算の代数的解析)
2. 線形代数の問題は今や高速に精度保証付きで数値計算できること
3. 非線形関数解析と精度保証付き数値計算の理論との密接な関係
|