Beiträge zur Algebra und Geometrie Contributions to Algebra and Geometry Volume 34 (1993), No. 2, 177-189.

Zur Verwandtschaft der Zwillingspunkte beim Dreieck

K. Leichtweiß zum 65. Geburtstag gewidmet

Hermann Schaal

Mathematisches Institut B, Universität Stuttgart Pfaffenwaldring 57, W-7000 Stuttgart 80

1. Durch die Beiträge von K. Schütte [18], [19] zu einer Verallgemeinerung des Satzes von Napoleon und die darauf von H. Naumann [12] und von H. Stachel [20] vereinfachten Beweise sowie durch den Zusatz von E. Domkowitsch in [20] fand die Geometrie der Aufsatzdreiecke [7, S. 1216ff] aktuelles Interesse. Es geht dabei um ein Grunddreieck A_{1}A_{2}A_{3} (Abb. 1), dessen Seiten die Dreiecke A_{2}A_{3}B_{1}, A_{3}B_{1}B_{2} und A_{1}A_{2}B_{3} alle nach innen oder alle nach außen aufgesetzt sind mit den Innenwinkeln β_{i} bei B_{i} (i = 1, 2, 3). Für β_{1} + β_{2} + β_{3} = π schneiden sich die Umkreise der drei Aufsatzdreiecke in einem Punkt Z, und ihre Mittelpunkte M_{i} bilden ein Dreieck mit den Winkeln β_{i} in M_{i} (oder fallen im Höhenschnittpunkt A_{0} des Grunddreiecks A_{1}A_{2}A_{3} zusammen). Speziell bei außen aufgesetzten regulären Dreiecken wird diese Eigenschaft von M_{1}M_{2}M_{3} als Satz von Napoleon bezeichnet [8, S. 39], [12, S. 1].

Abbildung 1

Wegen des Peripheriewinkelsatzes kann man die Aufsatzdreiecke o.B.d.A. untereinander

0138-4821/93 $ 2.50 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1993 Heldermann Verlag, Berlin

gleichsinnig ähnlich wählen und gelangt so zu einer in [7, S. 1218] nach Torricelli benannten Figur. In diesem Fall schneiden sich die Transversalen A_{i}B_{i} ebenfalls im genannten Punkt Z. Außerdem ist klar, daß Z gemeinsamer Spiegelpunkt von A_{i} an M_{j}M_{k} ist für {i, j, k} = {1, 2, 3} und daß die Geraden ZA_{j} und ZA_{k} den Winkel β_{i} bilden.

Dieselben Figuren und weitere Eigenschaften erhielt ich vordem auch in [14] als Nebenergebnisse ähnlichkeitskinematischer Untersuchungen (vgl. Fig. 3 in [14, S. 100]) mit Hinweisen auf weitere Autoren. Eine andere Art von Verallgemeinerung habe ich in [15] bearbeitet.

2. Betrachtet man im Anschluß an K. Schütte gleichzeitig den Umkreisschnittpunkt Z für die drei außen und Z′ für die drei innen aufgesetzten Dreiecke (mit denselben β_{i}), so stehen Z und Z′ (in [18, S. 265] P und Q) in folgender Beziehung: Gibt man Z (weitgehend) beliebig vor, so liegen die drei Kreise A_{j}A_{k}Z (in Abb. 1 durchgezogen) und die jeweils an A_{j}A_{k} gespiegelten Kreise (in Abb. 1 punktiert) wie auch deren gemeinsamer Punkt Z′ fest. Ebenso liegt Z bei Vorgabe von Z′ fest. Bis auf zu untersuchende Ausnahmen bestimmen die Paare (Z, Z′) demnach eine involutorische Selbstabbildung ϕ der Ebene.

A. Artzt hat Z, Z′ als “Zwillingspunkte” bezeichnet [1, S. 7], vgl. [6, S. 22], [7, S. 1271]. Aus Z und Z′ erscheinen die Seiten des Grunddreiecks A_{1}A_{2}A_{3} unter gleichen Winkeltripeln (π − β_{i}) bei entgegengesetzter Orientierung. Aus der Steinerschen Erzeugung einer gleichseitigen Hyperbel h durch entgegengesetzt kongruente Strahlbüschel in Z und Z′ folgt, daß h durch die Ecken A_{i} des Grunddreiecks und damit auch durch dessen Höhenschnittpunkt A_{0} geht [13, S. 54] und ZZ′ als Durchmesser besitzt und daß die Mitte von Z und Z′ auf dem Feuerbachkreis f des Grunddreiecks liegt [3, S. 85], [16, S. 126], [17, S. 165].

Die Verwandtschaft ϕ der Zwillingspunkte wurde von Van den Berg [3] im Anschluß an eine Gleichgewichtsbetrachtung [2] aufgegriffen und analytisch mit Dreieckskoordinaten untersucht (ein verallgemeinertes Teilergebnis erscheint als Aufgabe in [4, S. 120] mitLösung in [5, S. 118]). Daran hat P.H. Schoute [16], [17] eine synthetische Behandlung mit weiteren Resultaten angeschlossen: Danach ist ϕ eine Cremona-Transformation 5. Grades, die sich nach [7, S. 1217] als euklidischer Sonderfall einer Abbildung von H. Müller [11] erweist. Mit der Inversion bzw. Antiinversion σ, welche die Ecken A_{i} mit den zugehörigen Höhenfußpunkten H_{i} im Grunddreieck vertauscht, und mit der Winkelgegenpunkteverwandtschaft ω mit diesem Fußpunktdreieck kann ϕ nach [16, S. 130], [17, S. 175] als Abbildungsprodukt ϕ = σωσ mit den zwei Typen quadratischer Involutionen σ, ω erzeugt werden. Die Verwandtschaften ϕ und ω sind daher konjugiert unter σ, also ϕ = ω^{σ}.

Trotz dieser eingehenden synthetischen und analytischen Untersuchungen bestehen bei näherem Zusehen noch Lücken, die im folgenden in eingenständiger Form geschlossen werden: In der analytischen Arbeit [3] wurden die Abbildungsgleichungen für ϕ gar nicht explizit hergeleitet, sondern Z und Z′ durch symmetrische quadratische Gleichungssysteme erfaßt, so daß noch ein recht aufwendiger Eliminationsprozeß nötig wäre. Da sich ϕ nach [16, S. 124], [17, S. 163] trotz der einfachen geometrischen Erzeugung als birationale Involution vom überraschend hohen Grad 5 erweist, ist eine direkte Herleitung der Abbildungsgleichungen von ϕ von Interesse, schon, um zu sehen, wie sich die vielfältigen Eigenschaften von ϕ analytisch ausdrücken.

In der synthetischen Bearbeitung [16], [17] wurde übersehen, daß die an sich bemerkenswerte geometrische Zerlegung ϕ = σωσ im Fall rechtwinkliger Grunddreiecke versagt, weil zwei Höhenfußpunkte in der Ecke des rechten Winkels zusammenfallen und daher zwar ω, aber nicht σ definiert ist. Es scheint wünschenswert, auch diese Lücke zu beseitigen. Dabei zeigt sich, daß die Zerlegung noch einen willkürlichen Parameter k ≠ 0 verträgt und damit auch im rechtwinkligen Fall in einheitlicher Weise sogar auf unendlich viele Arten möglich ist.

Die Abbildungsgleichungen in kartesischen Koordinaten ermöglichen auch eine computergraphische Behandlung von ϕ mit instruktiven und ästhetischen Figuren, welche die theoretischen Ergebnisse bestätigen.

3. Zur Herleitung der Abbildungsgleichungen von ϕ nimmt man zweckmäßig die Grundseite A_{1}A_{2} und die Höhe A_{3}H_{3} als Achsen eines kartesischen Koordinatensystems (Abb. 1), so daß man

A_{1}(a, 0), A_{2}(b, 0), A_{3}(0, c), A_{0}(0, −d) mit d = ab/c und (a − b)c ≠ 0  (1)

ansetzen kann. Genau für

ab(c + d) = 0  (2)

ist das Grunddreieck A_{1}A_{2}A_{3} rechtwinklig. Der Originalpunkt Z(u, v) liege zunächst auf keiner der Grundseiten, also gilt g_{1}g_{2}v ≠ 0 mit

g_{1} = bc − cu − bv,  g_{2} = ac − cu − av.  (3)

Die Thaleskreise t_{1}, t_{2} über A_{2}A_{3} bzw. A_{3}A_{1} sind mit

t_{1} = u(u − b) + v(v − c),  t_{2} = u(u − a) + v(v − c)  (4)

mit t_{1} = 0 bzw. t_{2} = 0 bestimmt. Der Umkreis von ZA_{2}A_{3} liegt im Büschel t_{1} + λg_{1} = 0, und mit λ = −t_{1}/g_{1} folgt sein Mittelpunkt M_{1}(m_{1}, n_{1}) und daraus einfach durch Vertauschung a ↔ b der Mittelpunkt M_{2}(m_{2}, n_{2}) des Umkreises ZA_{1}A_{3}:

M_{1} : m_{1} = (bg_{1} − ct_{1})/2g_{1}, n_{1} = (cg_{1} − bt_{1})/2g_{1},  (5a)
M_{2} : m_{2} = (ag_{2} − ct_{2})/2g_{2}, n_{2} = (cg_{2} − at_{2})/2g_{2}.  (5b)

Die Mittelpunkte M′_{1}, M′_{2} der gespiegelten Kreise folgen daraus sehr einfach durch Vorzeichenänderung beim zweiten Glied in der Klammer:

M′_{1} : m′_{1} = (bg_{1} + ct_{1})/2g_{1}, n′_{1} = (cg_{1} + bt_{1})/2g_{1},  (6a)
M′_{2} : m′_{2} = (ag_{2} + ct_{2})/2g_{2}, n′_{2} = (cg_{2} + at_{2})/2g_{2}.  (6b)

Wegen g_{1}g_{2}v ≠ 0 gilt M′_{1} = M′_{2} genau für u = 0, v = −d, also für Z = A_{0}; in diesem Fall ist der Umkreis k_{0} von A_{1}A_{2}A_{3} das gemeinsame Spiegelbild der drei Kreise ZA_{j}A_{k}, und Z′ wird unbestimmt. Für Z ≠ A_{0} ist Z′ sehr einfach linear zu bestimmen aus der Symmetrie zu A_{3} bezüglich der Zentralen M′_{1}M′_{2} mit der Gleichung

x(n′_{2} − n′_{1}) − y(m′_{2} − m′_{1}) = m′_{1}n′_{2} − m′_{2}n′_{1}.  (7)

Das Lot von A_{3} auf M′_{1}M′_{2} genügt der Parameterdarstellung

x = λ(n′_{2} − n′_{1}),  y = c − λ(m′_{2} − m′_{1}),  (8)

und sein Fußpunkt ist als Schnitt von (7) und (8) mit

λ = \frac{m′_{1}(n′_{2} − c) − m′_{2}(n′_{1} − c)}{(m′_{2} − m′_{1})^{2} + (n′_{2} − n′_{1})^{2}}  (9)

bestimmt. Der gesuchte Zwillingspunkt Z′(x, y) von Z(u, v) ist danach

Z′…  x = 2λ(n′_{2} − n′_{1}), y = c − 2λ(m′_{2} − m′_{1})  (10)

mit λ aus (9); man hätte (10) aber auch geometrisch leicht aus der Flächengleichheit A_{3}Z′ · M′_{1}M′_{2} = 2 · Det(A_{3}M′_{1}M′_{2}) gewinnen können. Der eigentliche Aufwand liegt jetzt in der Berechnung und vor allem in der zweckmäßigen Zerlegung der durch (3), (4), (6), (9) und (10) bestimmten rationalen Funktionen x(u, v) und y(u, v), die nach dem Gesagten den Grad 5 haben müssen.

Zunächst erscheint λ in (9) nach Kürzen von 2·g_{1}g_{2} formal als Quotient von Polynomen 6. Grades, die nach näherer Untersuchung den gemeinsamen quadratischen Faktor

q = u^{2} + (v − c)^{2}  (11)

und damit das isotrope Geradenpaar in A_{3} abspalten. Danach ist λ ein Quotient vom Polynomgrad 4. Bei diesen und den folgenden Umformungen kommen die Umkreise k_{1} von A_{i}A_{j}A_{k} für {i, j, k, l} = {0, 1, 2, 3} ins Spiel mit

k_{0} = u^{2} − (a + b)u + (v − c)(v − d),  (12a)
k_{1} = u^{2} + (a − b)u + (v − c)(v + d),  (12b)
k_{2} = u^{2} − (a − b)u + (v − c)(v + d),  (12c)
k_{3} = u^{2} − (a + b)u + (v + c)(v + d),  (12d)

sowie die gleichseitige Hyperbel h_{0} durch A_{0}, A_{1}, A_{2}, und A_{3} mit

h_{0} = u^{2} − (a + b)u − (v − c)(v + d).  (13)

Die Durchrechnung wird etwas handlicher mit den Zwischenschritten

4g_{1}g_{2}[m′_{2}(n′_{1} − c) − m′_{1}(n′_{2} − c)] = (a − b)cqk_{3},  (14a)
2g_{1}g_{2}(m′_{2} − m′_{1}) = −(a − b)c[h_{0}(v − c) − 2u^{2}v],  (14b)
2g_{1}g_{2}(n′_{2} − n′_{1}) = −(a − b)cu[h_{0} + 2v(v − c)] = −(a − b)cuk_{0}.  (14c)

Die beiden letzten Gleichungen liefern für den Nenner von λ

4g_{1}^{2}g_{2}^{2}[(m′_{2} − m′_{1})^{2} + (n′_{2} − n′_{1})^{2}] = (a − b)^{2}c^{2}q(h_{0}^{2} + 4u^{2}v^{2})  (15)

und damit

λ = \frac{g_{1}g_{2}k_{3}}{(a − b)c(h_{0}^{2} + 4u^{2}v^{2})}.  (16)

Mit (10) und (14) kann x(u, v) bereits in zerlegter Form angeschrieben werden, während man für y(u, v) noch die Zerlegung vom Grad 5

ch_{0}^{2} + 4cu^{2}v^{2} + k_{3}[h_{0}(v − c) − 2u^{2}v)] = −vk_{1}k_{2}  (17)

benötigt. Nach (8) und (16) sind x und y formal Quotienten von Polynomen 7. und 6. Grades, doch spaltet sich jeweisl g_{1}g_{2} ab. Insgesamt erhält man damit explizit die gesuchten Abbildungsgleichungen für die Verwandtschaft ϕ der Zwillingspunkte Z(u, v) ↔ Z′(x, y):

ϕ…  x = \frac{−uk_{0}k_{3}}{h_{0}^{2} + 4u^{2}v^{2}} ,  y = \frac{−vk_{1}k_{2}}{h_{0}^{2} + 4u^{2}v^{2}} .  (18)

Da Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teilerpolynome haben, tritt keine weitere Gradreduktion mehr ein, und damit ist tatsächlich der Zähler vom Grad 5 und der Nenner vom Grad 4.

4. Die Abbildungsgleichungen (18) sind nach (12), (13) wegen ab = cd offensichtlich invariant gegen die simultanen Vertauschungen x ↔ y, u ↔ v, a ↔ −d und b ↔ c, welche die Vertauschungen k_{0} ↔ k_{1}, k_{2} ↔ k_{3} und h_{0} ↔ −h_{0} bewirken.

Dies folgt geometrisch aus der erwähnten Eigenschaft, daß Z und Z′ diametral auf einer gleichseitigen Hyperbel h liegen, die dem Grunddreieck A_{1}A_{2}A_{3} umschrieben ist und die somit auch durch dessen Höhenschnittpunkt A_{0} geht. Ersetzt man im Grunddreieck A_{1}A_{2}A_{3} eine Ecke A_{i} durch A_{0}, so ist A_{i} der Höhenschnittpunkt im neuen Dreieck, und die Hyperbel h bleibt dieselbe und mit ihr der zu Z diametrale Punkt Z′; das heißt: Z, Z′ sind Zwillingspunkte bezüglich jedem aus A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3} gebildeten Grunddreieck. Die oben genannte Vertauschung bewirkt aber gerade die simultane Vertauschung A_{0} ↔ A_{1} und A_{2} ↔ A_{3} und läßt daher (18) invariant. Weitere Vertauschungen, die (18) respektieren, liegen nun auf der Hand.

Die Anwendung dieser Vertauschung auf x(u, v) hätte in (18) sofort y(u, v) geliefert und die Berechnung über (17) erspart. Man könnte (18) auch aus der diametralen Lage von Z′ und Z bezüglich der Hyperbel h herleiten, doch ohne ersichtliche Einsparung an Rechnung.

Genau bei rechtwinkligen Grunddreiecken fallen zwei Punkte A_{0}, A_{i} zusammen; im anderen Fall liegt in der Bezeichnung von [8, S. 35] ein Höhenschnittpunktviereck mit vier nun gleichberechtigten Punkten vor.

5. Die Diskussion der Abbildung ϕ an Hand von (18) bestätigt die synthetischen Ergebnisse in [16], [17], wonach die Punkte A_{0} bis A_{3} und das absolute Punktepaar I_{1}, I_{2} die Fundamentalpunkte 2. Ordnung der Cremonatransformation sind. Diese ergeben sich nach [9, S.

137] als die von (u, v) unabhängigen Schnittpunkte der durch Verschwinden von Zählern und Nenner in (18) bestimmten algebraischen Kurven 5. Ordnung, wobei dem Nenner 4. Ordnung aus Gründen der Homogenität die Ferngerade beizufügen ist.

Der Nenner in (18) zerfällt über C in zwei irreduzible quadratische Polynome, so daß sein Verschwinden längs dem konjugiert komplexen isotropen Parabelpaar p_{1}, p_{2} mit der Gleichung

p_{1}p_{2} …  (h_{0} + 2iuv)(h_{0} − 2iuv) = 0  (19)

erfolgt, das die Ferngerade in I_{1} bzw. I_{2} berührt und genau die vier Schnittpunkte A_{0} bis A_{3} besitzt. Diese sechs Punkte sind daher die Doppelpunkte der von p_{1}, p_{2} und der Ferngeraden gebildeten Quintik.

Der Zähler z_{x} von x(u, v) in (18) verschwindet längs u = 0, k_{0} = 0 und k_{3} = 0, der Zähler z_{y} von y(u, v) längs v = 0, k_{1} = 0 und k_{2} = 0. Die Schnittpunkte von z_{x} = 0, z_{y} = 0 sind neben H_{3}(0, 0), der nicht auf p_{1} oder p_{2} liegt und daher als Fundamentalpunkt ausscheidet, wieder A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3}, I_{1}, I_{2}, und zwar sind diese je Doppelpunkte von z_{x} = 0 und von z_{y} = 0 und zählen als Schnittpunkte daher vierfach. Weitere Fundamentalpunkte können nicht auftreten, weil von den 5 · 5 = 25 Schnittpunkten der Quintiken z_{x} = 0 und z_{y} = 0 nach Abzug des freien Punktes Z′ (er fällt hier nach H_{3}) gerade die genannten sechs Fundamentalpunkte mit 6 · 2 · 2 = 24 verbleiben. Damit liegt der in [9, S. 148] unter n = 5 in Spalte 3 verzeichnete Fall einer Cremonatransformation 5. Grades vor. Ergänzend ist zu bemerken, daß bei entsprechender Zählung auch der Fall rechtwinkliger Dreiecke, bei dem A_{0} in die Rechtwinkelecke A_{i} fällt, damit erfaßt wird.

6. Der bisher nach 3. ausgeschlossene Fall, daß der Originalpunkt Z(u, v) auf einer Seite des Grunddreiecks liegt, darf nun zugelassen werden, falls Z kein Fundamentalpunkt ist, denn es gibt dann stets zwei Punktepaare A_{j}, A_{k} und A_{j′}, A_{k′}, mit denen Z nicht kollinear ist und daher einen Umkreis bestimmt. Wegen der in 4. nachgewiesenen Vertauschbarkeit gelten die Abbildungsgleichungen (18) auch für diesen Fall. Weiter folgt aus der Vertauschbarkeit der reellen Fundamentalpunkte, daß die Abbildung ϕ auf jeder Seite und Höhe des Grunddreiecks, abgesehen von den Werten der Konstanten a, b, c, d, in gleicher Weise operiert. Wählt man o.B.d.A. Z(u, 0), so folgt h_{0}^{2} = k_{0}k_{3} = (u − a)^{2}(u − b)^{2}, so daß sich diese Faktoren bei x(u, 0) in (18) kürzen und x = −u, y = 0 bleibt. Im Einklang mit dem synthetischen Ergebnis in [16, S. 124f], [17, S. 162f] sind die Seiten und die Höhen des Grundreiecks also fix, und ϕ operiert auf ihnen jeweils als Spiegelung an dem betreffenden Höhenfußpunkt. Das gilt ebenso für rechtwinklige Dreiecke.

Die Höhenfußpunkte sind also (sofern sie nicht als Fundamentalpunkte ausscheiden) Fixpunkte von ϕ. Weiter folgt aus der homogenen Form von (18), daß jeder Fernpunkt fix ist (von den Fundamentalpunkten I_{1}, I_{2} abgesehen). Daß keine weiteren Fixpunkte existieren, ist zwar geometrische klar, aber der analytische Nachweis ist keineswegs trivial. Die Fixpunktbedingung x = u, y = v in (18) führt mit (19) auf die Schnittbedingung für die beiden zerfallenden Quintiken

u(p_{1}p_{2} + k_{0}k_{3}) = 0,  (20)
v(p_{1}p_{2} + k_{1}k_{2}) = 0,  (21)

deren 25 Schnittpunkte zu bestimmen sind. Durch Abspalten von u und v erhält man H_{3}(0, 0) einfach und die Fundamentalpunkte A_{0} bis A_{3} je doppelt; die übrigen 16 Schnittpunkte stammen von den beiden Restquartiken wie folgt: Sie oskulieren einander in I_{1} und I_{2}, die erste hat A_{0} und A_{3} als einfache, A_{1} und A_{2} als Doppelpunkte, für die zweite Quartik ist es umgekehrt, so daß A_{0} bis A_{3} wieder je als zweifache Schnittpunkte eingehen. Damit sind 14 Punkte fundamental, und es bleiben genau zwei nicht fundamentale für die Höhenfußpunkte H_{1} und H_{2} übrig.

Bei rechtwinkligen Grundreiecken ist zu unterscheiden, ob der rechte Winkel in A_{0} = A_{1} (bzw. A_{0} = A_{2}) oder aber in A_{0} = A_{3} liegt. Im ersten Fall gilt ab = 0, und A_{0} erweist sich als fünffacher Schnittpunkt der beiden Quartiken. Mit der Oskulation in I_{1} und in I_{2} und den beiden je doppelt zählenden spitzen Ecken sind 15 fundamentale Schnittpunkte nachgewiesen, und es bleibt als einziger nicht fundamentaler Schnitt der Höhenfußpunkt auf der Hypothenuse einfachzählend übrig. Im zweiten Fall gilt c + d = 0, und A_{0} wird sechsfacher Schnitt der Quartiken, so daß alle ihre 16 Schnitte fundamental sind und der vorbestimmte Fixpunkt H_{3}(0, 0) auf der Hypothenuse A_{1}A_{2} der einzige ist.

7. Die Abbildung ϕ ist in den sechs Fundamentalpunkten A_{0} bis A_{3} und A_{4} := I_{1}, A_{5} := I_{2} nicht definiert und sonst involutorisch mit Ausnahme der vier Umkreise k_{0} bis k_{3} (12) und der beiden konjugiert komplexen isotropen Parabeln k_{4} := p_{1}, k_{5} := p_{2} (19), deren nicht fundamentale Punkte nach (18) jeweils den Fundamentalpunkt A_{i} mit gleichem Index als gemeinsamen Bildpunkt besitzen und die somit nach der allgemeinen Theorie [9, S. 140ff] die Fundamentalkurven von ϕ sind. Mit Blick auf die Umkehrabbildung ϕ^{−1} = ϕ wird man jedem Fundamentalpunkt A_{i} die Fundamentalkurve k_{i} als Bild zuweisen.

Die Umkreise k_{0} bis k_{3} erzeugen eine disjunkte Zerlegung der euklidischen Ebene in sechs Zweiecke und vier Dreiecke aus Kreisbogen zwischen den Fundamentalpunkten, wobei der äußere Bereich als Dreieck mitzählt (Abb. 2); bei rechtwinkligen Grunddreiecken reduziert sich die Zerlegung auf vier Zweiecke und zwei Dreiecke.

Da ϕ bis auf diese Kreise involutorisch ist, hat man damit eine Gebietseinteilung, deren Teile einander unter ϕ entsprechen. Für {i, j, k, ℓ} = {0, 1, 2, 3} entsprechen die Ecken A_{i}, A_{j} und die Seiten k_{k}, k_{ℓ} eines Zweiecks den Seiten k_{i}, k_{j} bzw. Ecken A_{k}, A_{ℓ} des eindeutigen Gegenzweiecks, während kein Dreieck mit den Ecken A_{i}, A_{j}, A_{k} die Seiten k_{i}, k_{j}, k_{k} besitzt, die einander gegenseitig entsprechen.

Die Teilgebiete werden danach unter ϕ so abgebildet, daß jedes Zweieck mit seinem Gegenzweieck vertauscht und jedes Dreieck auf sich abgebildet wird, wobei Originalseiten auf Bildecken zusammengezogen und Originalecken auf Bildseiten “aufgeblasen” werden.

Eine Verfeinerung der Gebietseinteilung wird durch die Fixgeraden und Fixkreise von ϕ möglich. Nach 6. sind die Seiten und Höhen des Grunddreiecks fix und werden jeweils am betreffenden Höhenfußpunkt gespiegelt. Nach 2. bleiben die Thaleskreise über den Grundseiten A_{j}A_{k} fix, und wegen der Invarianz von ϕ gegen die Vertauschung A_{0} ↔ A_{1}, A_{2} ↔ A_{3} nach 4. sind auch die Thaleskreise über den Höhenabschnitten A_{0}A_{i} fix.

Die Fixgeraden und -kreise unterteilen die Kreisbogenzweiecke und -dreiecke in weitere disjunkte Parzellen, die unter ϕ paarweise vertauscht werden. Zum Beispiel werden bei nicht rechtwinkligen Grunddreiecken A_{1}A_{2}A_{3} die vier Kreisbogendreiecke A_{i}A_{j}A_{k} in je zwölf Parzellen unterteilt. Da die Quotienten von k_{0}k_{3} und k_{1}k_{2} mit p_{1}p_{2} sowohl für große, als auch für kleine Beträge von (u, v) gegen 1 streben, wird ϕ nach (18) für weit entfernte

Abbildung 2

Punkte Z und in der Umgebung der Höhenfußpunkte jeweils durch eine Punktspiegelung approximiert, so daß gerade “gegenüberliegende” Parzellen aufeinander abgebildet werden (Abb. 2).

Daß diese schon in [17, S. 162–165] genannten Fixgeraden und Fixkreise die einzigen sind, ergibt sich so: Enthält die Gerade oder der Kreis keine zwei Fundamentalpunkte, so schneiden sie k_{0} bis k_{3} in wenigstens einem nicht fundamentalen Punkt, so daß ihre Bildkurve durch alle vier Fundamentalpunkte A_{0} bis A_{3} gehen müßte. Ein Kreis durch zwei Fundamentalpunkte kann nur dann fix sein, wenn er die Symmetrie der Abbildung auf Fixgeraden respektiert und somit Thaleskreis ist. Analoge Überlegungen gelten bei zusammenfallenden Fundamentalpunkten.

8. Jede Cremonatransformation vom Grad n > 2 läßt sich bekanntlich in ein Product von quadratischen Cremonatransformationen zerlegben [9, S. 157f]. Speziell für ϕ besteht nach [17, S. 174ff] die Zerlegung

ϕ = σωσ,  (22)

bei der σ jene Inversion bzw. Antiinversion mit Zentrum A_{0} ist, welche die Grundecken A_{i} (i = 1, 2, 3) mit ihren Höhenfußpunkten H_{i} vertauscht und ω die Involution der Winkelgegenpunkte im Fußpunktdreieck H_{1}H_{2}H_{3} bedeutet. Für rechtwinklige Grunddreiecke existiert σ dagegen nicht, und das Fußpunktdreieck H_{1}H_{2}H_{3} ist zudem entartet.

Um diese Lücke zu schließen, betrachten wir die Inversion σ am Höhen-Schnittpunkt A_{0} nun mit beliebiger Inversionskonstante k ≠ 0 (Abb. 3 mit Inversionskreis k). Jedes symmetrische Kreispaar mit Grundpunkten A_{0} und A_{i} (z.B. k_{1}, k_{2} für i = 3) wird unter σ mit den durch σA_{i} gezogenen Parallelen der Kreistangenten in A_{0} vertauscht. Die Höhen im Dreieck A_{1}A_{2}A_{3} sind daher die Winkelhalbierenden des Bilddreiecks σA_{1}σA_{2}σA_{3}, und die Symmetrie der Kreise A_{0}A_{i}Z und A_{0}A_{i}Z′ überträgt sich dabei auf die Symmetrie der

Abbildung 3

Geraden σA_{i}σZ und σA_{i}σZ′ bezüglich A_{0}σA_{i}. Für A_{0} ≠ A_{i} sind damit die Punkte σZ und σZ′ Winkelgegenpunkte im Dreieck σA_{1}σA_{2}σA_{3} für beliebige Konstanten k ≠ 0.

Im rechtwinkligen Fall z.B. für A_{0} = A_{1} berühren k_{2} und k_{3} einander in A_{0} = A_{1} und bestimmen ein parabolisches Büschel, dem die Kreise A_{0}A_{1}Z und A_{0}A_{1}Z′ sowie die zur Hypothenuse normale Höhe h_{1} angehören. Die Kreise A_{0}A_{1}Z und A_{0}A_{1}Z′ sind nun zu h_{1} symmetrische Büschelkreise durch Z bzw. Z′, deren σ-Bild ein zu h_{1} symmetrisches Geradenpaar mit dem Fernschnittpunkt σA_{1} ist. Die bei ω auftretende Winkelspiegelung mit Fernscheitel σA_{1} erscheint nun als Spiegelung der Trägergeraden σA_{1}Z und σA_{1}Z′ an ihrer Mittelparallelen h_{1}.

Die Abbildung σ ist analytisch durch

σ…  x = \frac{ku}{u^{2} + (v + d)^{2}} ,  y = \frac{k(v + d)}{u^{2} + (v + d)^{2}} − d  (23)

gegeben. Mit den Abkürzungen

g := (a + b)x + (d − c)(y + d) − k, e := dx^{2} + d(y + d)^{2} − k(y + d),
f := 2(c + d)e − kg,  (24)

wobei g = 0 die Gerade σA_{1}σA_{2}, e = 0 den Umkreis von A_{0}, σA_{1} und σA_{2} (σ-Bild der Seite A_{1}A_{2}) und f = 0 den Umkreis σk_{0} von σA_{1}, σA_{2}, σA_{3} bedeuten, erhält man für ω nach einiger Rechnung

ω…  x′ = \frac{kgx}{f},  y′ = \frac{2[k − d(c + d)]e − kgy}{f} .  (25)

Genau für k = d(c + d) ≠ 0 tritt der in (17) allein betrachtete Sonderfall σA_{i} = H_{i} ein, bei dem f = 0 zum Feuerbachkreis f des Grunddreiecks wird und der im rechtwinkligen Fall nun nach (2) den unzulässigen Wert k = 0 liefert, für den als einzigen die Zerlegung ϕ = σωσ nicht möglich ist.

Die bei der Zerlegung ϕ = σωσ auftretenden Zwischenbilder σZ und ωσZ liegen mit Z und Z′ auf einem Kreis, der für k > 0 zum Inversionskreis von σ orthogonal ist und der für k < 0 dessen reellen Vertreter diametral schneidet; denn die beiden elliptischen Kreisbüschel mit den Grundpunkten Z, σZ bzw. Z′, σZ′ haben diese Eigenschaft und besitzen genau einen Kreis (oder als Ausartung eine Gerade) gemeinsam, vgl. Abb. 3.

9. Die Abbildung (18) ϕ : Z ↔ Z′ bleibt nach 4. dieselbe, wenn man im Höhenschnittpunktviereck A_{0},…, A_{3} drei andrere Punkte als Grunddreieck wählt, wobei der vierte Punkt dessen Höhenschnittpunkt wird. Die Zerlegung (22) ϕ = σωσ ist daher sogar auf vierfache Art möglich, je nachdem, welcher der vier reellen Fundamentalpunkte als Zentrum für σ gewählt wird, und jeweils ist der Parameter k ≠ 0 frei wählbar.

Die Ausartung zum rechtwinkligen Grunddreieck gemäß 8. geht dabei über in eine Ausartung, bei der zwei Ecken des Grunddreiecks zu einem Lininelement vereinigt sind und das Nebendreieck dort rechtwinklig ist mit einer zum Linienelement normalen Hypothenuse. Wählt man mit Rücksicht auf ab = cd etwa a = b ≠ 0, cd = a^{2} > 0, so gilt A_{1} = A_{2} = H_{1} = H_{2}, und die Seite A_{1}A_{2} ist als das zur Höhe A_{0}A_{3} normale Linienelement anzusehen, in dem sich die Kreise k_{0} und k_{3} nun berühren. Weiter gilt k_{1} = k_{2} und h_{1} = h_{2}. Die anderen Möglichkeiten A_{1} = A_{3} mit a = c = 0, bd ≠ 0 bzw. A_{2} = A_{3} mit b = c = 0, ad ≠ 0 verhalten sich analog.

In einem weiteren Ausartungsfall des Höhenschnittpunktvierecks fallen genau drei seiner vier Punkte zusammen und bilden ein Linienelement normal zur Verbindung mit dem vierten Punkt. Dann sind genau drei der Parameter a, b, c, d gleich Null zu setzen. Etwa für A_{0} = A_{1} = A_{2} ≠ A_{3} gilt dann a = b = d = 0, c ≠ 0; aus (12) folgt k_{0} = k_{1} = k_{2}, und k_{3} wird der am Linienelement gespiegelte Kreis, wie es geometrisch nahe liegt.

In allen diesen Ausartungsfällen bleiben der Grad 5 der Cremonatransformation ϕ, die Zerlegung ϕ = σωσ und der Grad 2 von σ und ω bestehen, und von den Winkelspiegelungen bei ω fallen zwei oder alle drei zusammen, bzw. eine oder zwei von ihnen entarten analog zu 8., wobei das Linienelement als Symmetrale der Trägergeraden von Z und Z′ fungiert. Die Gebietseinteilung und ihre Verfeinerung durch die Fixgeraden und Fixkreise von ϕ ergeben sich analog zu 7.

10. Für einen globalen Überblick über die Abbildung ϕ betrachten wir die Bilder gewisser Kreise. Sei nun k ein Originalkreis, der durch keinen reellen Fundamentalpunkt geht. Da die absoluten Kreispunkte I_{1}, I_{2} unter σ den Kegelschnitten p_{1}, p_{2} entsprechen, spalten sich diese von der Bildkurve des Kreises ab, und es bleibt eine rationale Kurve der Ordnung 2 · 5 − 2 − 2 = 6 übrig, die als Bild ϕk des Kreises k anzusehen ist. Da p_{1} und p_{2} jeden Kreis algebraisch gezählt je in drei weiteren Punkten schneiden und diese nach I_{1} bzw. I_{2} abgebildet werden, ist ϕk somit eine trizirkulare rationale Sextik. Die in 6. hergeleitetn Fixgeraden A_{i}A_{j} schneiden k und ϕk in Punkten, die zum betreffenden Höhenschnittpunkt symmetrisch sind mit gleichem Realitätsverhalten.

Geht k durch Fundamentalpunkte A_{0},…, A_{3}, so trägt jeder zur Abspaltung des betreffenden Kreises k_{0},…, k_{3} von ϕk bei, und die Ordnung der Restbildkurve und die Zahl ihrer Fernpunkte erniedrigen sich je um zwei. Kreise k durch zwei Fundamentalpunkte haben daher als Restbild ϕk Kreise durch dieselben Fundamentalpunkte im Einklang mit 2., und das Bild der Kreise k_{i} durch drei Fundamentalpunkte zerfällt insgesamt in k_{j}, k_{k}, k_{ℓ}, p_{1} und p_{2}, die genau den Punkt A_{i} als Bild aller nicht fundamentalen Punkte von k_{i} gemeinsam haben im Einklang mit 7.

Abbildung 4

Abb. 4 zeigt die Gestaltsänderung der Bilder konzentrischer Kreise k(λ) um A_{0} für ein reguläres Grunddreieck A_{1}A_{2}A_{3} mit Umkreisradius R. Für wachsende Kreisradien r(λ) = λR mit λ = 0, 1/4, 2/4, 3/4, 1, 3/2, 2, 5/2 ergeben sich die Übergänge vom Bild ϕk(0) = k_{0} über ϕk(1) = (k_{1}, k_{2}, k_{3}) und weiter über das dreispitzige Exemplar ϕk(2) zu Bildkurven, die sich für λ → ∞ dem Originalkreis k gemäß (18) annähern. In Abb. 5 sind die Bilder der konzentrischen Kreise zusammengefaßt und die Exemplare ϕk(0) und ϕk(1) punktiert hervorgehoben. Die Abbildungen wurden mit dem Computer nach (18) erstellt.

Literaturverzeichnis

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Abbildung 5

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