Beiträge zur Algebra und Geometrie Contributions to Algebra and Geometry Volume 34 (1993), No. 2, 41-44.

Drehkegel des zweifach isotropen Raumes mit festem Radius durch ein gegebenes Oskulationselement

Sybille Mick

Institut für Geometrie, Technische Universität Graz Kopernikusgasse 24, A-8010 Graz

Zusammenfasung. In [4] und [5] wurden die Scheitelflächen der Drehkegel des zweifach isotropen Raumes I_{3}^{(2)} durch 4 gegebene Punkte bzw. 2 gegebene Linienelemente des I_{3}^{(2)} bestimmt. Im euklidischen Raum E_{3} wurden verwandte Fragestellungen von E. Müller [6], H. Schaal [12], [13], U. Strobel [14], [15] und H. Pottmann [8] behandelt. Die Bestimmungen der Scheitelflächen von zweiparametrigen Drehkegelmengen des I_{3}^{(2)} sind Varianten der projektiven Aufgabe, die Scheitelfläche der Kegel 2. Ordnung durch 6 gegebene Punkte zu bestimmen, die von C. Hierholzer [3] und T. Weddle [17] gelöst wurde. In dieser Arbeit wird, verbunden mit einer Deutung im I_{3}^{(2)}, die Scheitelfläche der Kegel

2. Ordnung durch 2 gegebene Oskulationselemente bestimmt.

1. Wir erhalten ein Modell des zweifach isotropen Raumes I_{3}^{(2)}, indem wir dem dreidimensionalen reellen affinen Raum A_{3} die Absolutfigur (F, f, ω) hinzufügen, die aus einem Fernpunkt F, einer mit F inzidenten Ferngeraden f und der Fernebene ω des A_{3} besteht. Die zweifach isotrope Bewegungsgeometrie ist die Invariantentheorie der sechsparametrigen Gruppe G_{6} der isotropen Bewegungen, d.h. jener projektiven Automorphismen der Absolutfigur, die alle drei Typen isotroper Abstände invariant läßt [1, p. 120ff]. Ein analytisches Modell des I_{3}^{(2)} erhalten wir durch Koordinatisierung des A_{3}; jedem Punkt des I_{3}^{(2)} sind affine Koordinaten (x, y, z)^{t} und projektive Koordinaten (x_{0} : x_{1} : x_{2} : x_{3})^{t} zugeordnet, wobei für x_{0} ≠ 0 stets x_{0} : x_{1} : x_{2} : x_{3} = 1 : x : y : z gilt. Wie üblich wählen wir das Koordinatensystem so, daß die Absolutfigur durch

ω … x_{0} = 0, f … x_{0} = x_{1} = 0, F = (0 : 0 : 0 : 1)^{t}  (1)

festgelegt wird.

H. Brauner definiert in [1, p. 124f.] die Drehkegel des I_{3}^{(2)} metrisch dual zu den Kreisen des I_{3}^{(2)}. Demnach gibt es 4 Typen von Drehkegeln im I_{3}^{(2)}. Ein nichtisotroper

0138-4821/93 $ 2.50 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1993 Heldermann Verlag, Berlin

Drehkegel, kurz Drehkegel, des I_{3}^{(2)} ist ein Kegel 2. Ordnung mit nichtisotropem Scheitel, der eine vollisotrope Erzeugende mit vollisotroper Tangentialebene enthält. Die weiteren Typen von Drehkegeln des I_{3}^{(2)} heißen Drehzylinder, Punktkugel und Punktgrenzkugel. Ein Drehzylinder hat einen isotropen Scheitel und berührt die Fernebene längs einer isotropen Erzeugenden, eine Punktkugel hat einen vollisotropen Scheitel und berührt die Fernebene längs der absoluten Geraden, und eine Punktgrenzkugel hat ihren Scheitel im absoluten Punkt und berührt die Fernebene ebenfalls längs der absoluten Geraden. In [10] wurden von H. Sachs und V. Ščurić die Flächen 2. Ordnung des I_{3}^{(2)} systematisch klassifiziert. Die Drehkegel gehören in dieser Klassifikation als Kegel 2. Ordnung mit einem Fernkreis zu Typ 21, die Drehzylinder, Punktkugeln und Punktgrenzkugeln als parabolische Zylinder zu den Flächentypen 54, 56 und 57.

2. Ein regulärer Kegelschnitt der Fernebene ω, der das Linienelement (F, f) enthält, heißt Fernkreis des I_{3}^{(2)}. Ein Fernkreis hat definitionsgemäß den Radius α [1, p. 124], wenn er durch die Gleichungen

x_{0} = 2αx_{1}x_{3} − x_{2}^{2} + μx_{1}^{2} + νx_{1}x_{2} = 0, α ≠ 0 , α, μ, ν ∈ R,  (2)

festgelegt ist. Alle Fernkreise mit festem Radius α werden durch Gleichungen (2) bestimmt und liegen daher in dem durch α bestimmten Oskulationsbündel. Jeder Kegel 2. Ordnung Δ durch einen Fernkreis des I_{3}^{(2)} ist ein Drehkegel des I_{3}^{(2)}, und der Radius α dieses Fernkreises heißt auch Radius von Δ [1, p. 124].

Der Radius α eines Drehkegels Δ des I_{3}^{(2)} ist daher durch ein Oskulationselement (F, f, k_{u}) von Δ bestimmt, wobei (F, f) das absolute Linienelement ist, und k_{u} ein Fernkreis mit dem Radius α.

Wir geben nun ein weiteres Oskulationselement (P, p, l) vor: Dabei sei P ein nichtisotroper Punkt, p eine nichtisotrope Gerade und l ein nichtisotroper Kreis in einer nichtisotropen Ebene π [9, p. 23]. Durch eine isotrope Koordinatentransformation können wir erreichen, daß P zum Koordinatenursprung O, p zur x-Achse und π zur xy-Ebene des neuen Systems werden. Ist l der nichtisotrope Kreis mit dem Radius β ∈ R \ {0} durch das Linienelement (P, p) in der Ebene π, so erhalten wir für das Oskulationselement (P, p, l) die Darstellung

P = O = (0, 0, 0)^{t} , p … y = z = 0 ,
l … z = 2βy − x^{2} = 0 , bzw. l … ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}t \\ \frac{1}{2β} t^{2} \\ 0 \end{matrix} ) , t ∈ R .  (3)

Die Projektion von (P, p, l) aus einem Punkt S = (x, y, z)^{t} mit xyz ≠ 0 in die Fernebene ω liefert das Oskulationselement (P_{u}, p_{u}, l_{u}) mit

P_{u} = (0 : x : y : z)^{t} , p_{u} ... x_{0} = −x_{2}z + x_{3}y = 0 ,

l_{u} … ρ ( \begin{matrix}x_{0} \\ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ t − x \\ \frac{1}{2β} t^{2} − y \\ −z \end{matrix} ) , t ∈ R .  (4)

S ist genau dann Scheitel eines Drehkegels des I_{3}^{(2)} mit Öffnungswinkel α durch das Oskulationselement (P, p, l), wenn es einen Fernkreis gibt, der dem Oskulationsbündel (2) angehört, und der das Oskulationselement (P_{u}, p_{u}, l_{u}) enthält.

Wir betrachten zunächst alle Fernkreise m_{u} durch (F, f) und das feste Linienelement (P_{u}, p_{u}). Sie bilden ein Kegelschnittsbüschel 3. Art in ω [2, p. 79], das durch die Gleichungen

x_{0} = λx_{1}(−x_{2}z + x_{3}y) − (−x_{1}y + x_{2}x)^{2} = 0 , λ ∈ R \ {0}

bzw.

x_{0} = λyx_{1}x_{3} − x^{2}x_{2}^{2} − y^{2}x_{1}^{2} − (λz − 2xy)x_{1}x_{2} = 0  (5)

dargestellt werden kann.

Wir bestimmen nun jenen Fernkreis m_{u}, der im Oskulationsbündel (2) liegt: Mit Hilfe eines Koeffizientenvergleiches lassen sich aus (2) und (5) λ bzw. μ und ν bestimmen. m_{u} gehört dem Oskulationsbündel (2) genau dann an, wenn λ = 2αx^{2}/y gilt. Damit lautet die Gleichung von m_{u}

m_{u} … x_{0} = 2αx^{2}yx_{1}x_{3} − x^{2}yx_{2}^{2} − y^{3}x_{1}^{2} − 2x(αxz − y^{2})x_{1}x_{2} = 0 .  (6)

Der Fernkreis m_{u} besitzt in P_{u} die Tangente p_{u}, oskuliert jedoch den Fernkegelschnitt l_{u} im allgemeinen nicht. Diese Oskulation findet in P_{u} genau dann statt, wenn m_{u} und l_{u} in P_{u} (t = 0 in (4)) 3 zusammengerückte Punkte gemeinsam haben. Wenn wir die Parameterdarstellung (4) von l_{u} in die Gleichung (6) von m_{u} einsetzen, erkennen wir, daß dies genau für

z = \frac{βy^{3}}{αx^{3}}  (7)

der Fall ist. Der anfangs gewählte Punkt S = (x, y, z)^{t}, xyz ≠ 0, kommt daher genau dann als Scheitel eines isotropen Drehkegels vom Radius α durch das Oskulationselement (P, p, l) in Betracht, wenn S der durch (7) beschriebenen rationalen Fläche 4. Ordnung angehört. Diese Fläche bezeichen wir als Scheitelfläche Φ. Diese Fläche, die in [7, p. 285f.] ausführlich diskutiert wird, ist, wie K. Strubecker in [16, p. 438] zeigt, Wendelfläche des elliptischen Raumes. Damit gilt

Satz 1. Die Scheitelfläche Φ der Drehkegel des zweifach isotropen Raumes, die durch ein gegebenes Oskulationselement (P, p, l) gehen und gleichen Radius α haben, ist eine Wendelfläche des elliptischen Raumes.

Literaturverzeichnis

[1] Brauner, H.: Geometrie des zweifach isotropen Raumes I, II, III. J. reine u. angew. Math. 224 (1966), 118 -146; 226 (1967), 132 - 158; 228 (1967), 38 - 70.

[2] Brauner, H.: Geometrie projektiver Räume I. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zürich 1976.

[3] Hierholzer, C.: Über eine Fläche der vierten Ordnung. Math. Ann. 4 (1871), 172 - 180.

[4] Mick, S.: Drehkegel des zweifach isotropen Raumes durch vier gegebene Punkte. Stud. Sci. Math. Hung. (im Druck).

[5] Mick, S.: Drehkegel des zweifach isotropen Raumes durch zwei Linienelemente. Sb. d. Österr. Akad. d. Wiss., Math.-nat. Kl., 200 (1991), 111 - 118.

[6] Müller, E.: Durch vier Punkte einen Drehkegel von gegebener Achsenrichtung zu legen. Arch. d. Math. u. Phys., III. Reihe, 22. Bd., Heft 2/3 (1914), 225 - 226.

[7] Müller, E. u. Krames, J.: Vorlesungen über Darstellende Geometrie, III. Bd., Konstruktive Behandlung der Regelflächen. Leipzig, Wien 1931.

[8] Pottmann, H.: Über Scheitel von Normalrissen einer Raumkurve. Sb. d. Österr. Akad. d. Wiss., Math.-nat. Kl., 196 (1987), 39 - 48.

[9] Sachs, H.: Ebene isotrope Geometrie. Vieweg, Wiesbaden 1987.

[10] Sachs, H., Ščurić, V.: Zur Theorie der Flächen 2. Ordnung im Flaggenraum. RAD HAZU 10 (1991), 197 - 216.

[11] Salmon, G., Fiedler, W.: Analytische Geometrie des Raumes, 2. Teil. 3. Aufl., Teubner, Leipzig 1880.

[12] Schaal, H.: Ein geometrisches Problem der metrischen Getriebesynthese. Sb. d. Österr. Akad. d. Wiss., Math.-nat. Kl., 194 (1985), 39 - 53.

[13] Schaal, H.: Konstruktion der Drehzylinder durch vier Punkte einer Ebene. Sb. d. Österr. Akad. d. Wiss., Math.-nat. Kl., 195 (1986), 405 - 418.

[14] Strobel, U.: Die Drehkegel durch vier Punkte. Diss., Stuttgart 1990.

[15] Strobel, U.: Über die Drehkegel durch vier Punkte. Sb. d. Österr. Akad. d. Wiss., Math.-nat. Kl., 198 (1989), 281 - 293.

[16] Strubecker, K.: Über die Schraubungen des elliptischen Raumes. Sb. d. Österr. Akad. d. Wiss., Math.-nat. Kl., 139 (1930), 421 - 450.

[17] Weddle, T.: Cambr. Dubl. Math. J. 5 (1850).