Beiträge zur Algebra und Geometrie Contributions to Algebra and Geometry Volume 35 (1994), No. 1, 13-24.

Sur le centre de U_{q}(𝔫^{+})

Philippe Caldero

13, rue Henry Dunant 94350 Villiers sur Marne, France

Résumé. Soient 𝔤 une algèbre de Lie simple et 𝔫^{+} une sous-algèbre nilpotente maximale de 𝔤. On définit comme dans [8] l’algèbre enveloppante quantifiée U_{q}(𝔤) et sa sous-algèbre U_{q}(𝔫^{+}). Nous donnons ici le centre de U_{q}(𝔫^{+}) et de son corps des fractions.

Abstract. Let 𝔤 be a simple Lie algebra with maximal nilpotent subalgebra 𝔫^{+}. Let U_{q}(𝔤) and U_{q}(𝔫^{+}) be the quantized enveloping algebras as defined in [8]. We describe the centre of U_{q}(𝔫^{+}) and of its field of fractions.

0. Introduction

Soit 𝔤 une algèbre de Lie simple. Notons P^{+} = ϖ_{1} + … ϖ_{n} l’ensemble des poids dominants, où les ϖ_{i}, 1 ≤ i ≤ n = rang 𝔤, sont les poids fondamentaux. On désigne par Ǔ = (q) [τ(ϖ_{i})^{±1}, x_{i}, y_{i}, 1 ≤ i ≤ n] l’algèbre enveloppante quantifiée comme définie par A. Joseph et G. Letzter dans [9, 3.1]. C’est une extension de l’algèbre U = U_{q}(𝔤) = (q) [k_{i}^{±1} , x_{i} , y_{i} , 1 ≤ i ≤ n] définie comme dans [10]. Soit U^{+} = U_{q}(𝔫^{+}) = (q) [x_{i}, 1 ≤ i ≤ n]. Le but de ce travail est la description du centre de U^{+}. Comme U^{+} est isomorphe à V^{+} := (q) [k_{i}x_{i}, 1 ≤ i ≤ n], il revient au même d’étudier le centre de V^{+}, noté Z(V^{+}).

Nous montrons que Z(V^{+}) est une (q)-algèbre de polynômes puis nous donnons une méthode pour en calculer les générateurs. Lorsque 𝔤 = 𝔰𝔩(n + 1), on exprime ces derniers en termes de mineurs quantiques. Cette formulation est analogue à celle du cas classique donnée par J. Dixmier dans [4].

La démonstration de ces résultats s’organise de la façon suivante. On désigne par ad l’action adjointe de l’algèbre de Hopf U. Il résulte de [9, 4.7, 4.8] que, si μ ∈ P^{+}, alors, ad U^{+}(τ(−4μ)) peut être muni d’une structure de U-module, simple de plus haut poids. Un vecteur de plus haut poids de ce module s’écrit sous la forme τ(−4μ)e_{s(μ)} où e_{s(μ)} ∈ V^{+}, s(μ) = μ − w_{0}(μ), w_{0} étant le plus grand élément du groupe de Weyl de 𝔤, cf. section 2.

On démontre alors, cf. Théorème 3.2, que Z(V^{+}) = (q) [e_{s(μ)}; μ ∈ H] où H = {μ ∈ P^{+} | w_{0}(μ) = −μ}. Comme H est un monoïde libre, cf. Lemme 2.3, on obtient que Z(V^{+}) est une algèbre de polynômes.

0138-4821/93 $ 2.50 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1993 Heldermann Verlag, Berlin

14 P. Caldero: Sur le centre de U_{q}(𝔫^{+})

Puisque e_{s(μ)}e_{s(ν)} ∈ (q) e_{s(μ+ν)}, cf. Proposition 3.2, on peut déduire un système de générateurs (algébriquement indépendants) de la connaissance des e_{s(ϖ_{i})}. On donne en 3.3 une méthode itérative pour calculer ceux-ci.

Lorsque 𝔤 = 𝔰𝔩(n + 1) on peut, grâce aux résultats de [3], écrire les e_{s(ϖ_{i})} comme des déterminants quantiques extraits d’une matrice à coefficients dans V^{+}, cf. section 4.

On trouvera en section 5 des résultats concernant le centre du corps des fractions de V^{+} et de Ǔ_{q}(𝔟^{+}) := (q)[τ(ϖ_{i})^{±1}, x_{i}, 1 ≤ i ≤ n].

1. Notations

1.1. Soit A = [a_{ij}]_{1≤i,j≤n} la matrice de Cartan de l’algèbre de Lie simple de dimension finie 𝔤. Soient d_{i}, 1 ≤ i ≤ n, des entiers naturels premiers entre eux tels que [d_{i}a_{ij}] soit symétrique. On fixe une sous-algèbre de Cartan 𝔥 de 𝔤. On note P le réseau des poids de 𝔤, engendré par les poids fondamentaux ϖ_{i}, 1 ≤ i ≤ n. On désigne par R le système de racines de 𝔥 dans 𝔤, par W le groupe de Weyl associé et par w_{0} ∈ W l’élément le plus long. On pose : α_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}ϖ_{i}, α_{ˇ j} = 2α_{j}/(α_{j}, α_{j}), (1 ≤ j ≤ n), ρ = ∑_{i=1}^{n} ϖ_{i}, Q = ∑_{i=1}^{n} α_{i}, Q^{+} = ∑_{i=1}^{n} α_{i}, P^{+} = ∑_{i=1}^{n} ϖ_{i}. On définit sur P × Q une forme bilinéaire par (ϖ_{i}, α_{j}) = δ_{ij}d_{i}.

1.2. Soit q une indéterminée. Pour k ∈ , d ∈ ^{∗}, on pose :

\begin{aligned}[k]_{d} & = \frac{q^{2dk} − q^{−2dk}}{q^{2d} − q^{−2d}}; [k]_{d}! = [k]_{d}[k − 1]_{d} … [1]_{d}; \\ \left[{k \atop j}\right]_{d} & = \frac{[k]_{d} … [k − j + 1]_{d}}{[j]_{d}!} ; q_{i} = q^{d_{i}}. \end{aligned}

On désigne par Ǔ_{0} la (q)-algèbre du groupe P, notée multiplicativement. Soit τ : P → Ǔ_{0} le morphisme canonique tel que si λ, μ ∈ P, τ(λ + μ) = τ(λ)τ(μ). Il vient : Ǔ_{0} = (q) [τ(ϖ_{i})^{±1}, 1 ≤ i ≤ n]. On pose k_{i} = τ(α_{i}), 1 ≤ i ≤ n, et U_{0} = (q) [k_{i}^{±1}, 1 ≤ i ≤ n]. Soit Ǔ la (q)-algèbre engendrée par Ǔ_{0}, x_{i}, y_{i}, 1 ≤ i ≤ n, avec les relations

τ(λ)x_{j}τ(−λ) = q^{(λ,α_{j})}x_{j}, τ(λ)y_{j}τ(−λ) = q^{−(λ,α_{j})}y_{j}, x_{i}y_{j} − y_{j}x_{i} = δ_{ij} \frac{k_{i}^{2} − k_{i}^{−2}}{q_{i}^{2} − q_{i}^{−2}} ,

\begin{matrix}∑_{m=0}^{1−a_{ij}} (−1)^{m}\left[{1 − a_{ij} \atop m}\right]_{d_{i}} x_{i}^{1−a_{ij}−m}x_{j}x_{i}^{m} = 0, \\ ∑_{m=0}^{1−a_{ij}} (−1)^{m}\left[{1 − a_{ij} \atop m}\right]_{d_{i}} y_{i}^{1−a_{ij}−m}y_{j}y_{i}^{m} = 0. \end{matrix}

Alors Ǔ est une algèbre de Hopf où la comultiplication Δ, l’antipode S, l’augmentation ε sont donnés par :

Δx_{i} = x_{i} ⊗ k_{i}^{−1} + k_{i} ⊗ x_{i}, Δy_{i} = y_{i} ⊗ k_{i}^{−1} + k_{i} ⊗ y_{i}, Δτ(λ) = τ(λ) ⊗ τ(λ)

S(x_{i}) = −q_{i}^{−2}x_{i}, S(y_{i}) = −q_{i}^{2}y_{i}, S(τ(λ)) = τ(−λ)

ε(x_{i}) = ε(y_{i}) = 0, ε(τ(λ)) = 1.

Ǔ est un U-module à gauche par l’action adjointe :

∀E ∈ U, u ∈ Ǔ, adE(u) = ∑ E_{(1)}uS(E_{(2)}), où ΔE = ∑ E_{(1)} ⊗ E_{(2)}.

1.3. Soient U^{+}, U^{−}, V^{+}, V^{−} les sous-algèbres de U engendrées respectivement par x_{i}, y_{i}, k_{i}x_{i}, y_{i}k_{i}^{−1}, (1 ≤ i ≤ n). On sait, cf. [11], que l’on a les décompositions triangulaires : Ǔ = U^{−} ⊗Ǔ_{0} ⊗U^{+} = V^{−} ⊗Ǔ_{0} ⊗V^{+}. On pose U = U^{−} ⊗U_{0} ⊗U^{+} = (q)[k_{i}^{±1}, x_{i}, y_{i}, 1 ≤ i ≤ n], et on désigne par Z(U^{+}), resp. Z(V^{+}), le centre de U^{+}, resp.V^{+}. Il existe un isomorphisme d’algèbres U^{+} ≃ V^{+} tel que x_{i} ↦ k_{i}x_{i}. En particulier Z(U^{+}) ≃ Z(V^{+}).

1.4. On vérifie, cf. [9, 2.2, 2.3], que Ǔ est munie d’une filtration adU-stable, à valeur dans (1/k) , k ∈ (k suffisamment grand), entièrement déterminée par : d^{o}x_{i} = d^{o}y_{i} = 1, et pour λ = ∑_{i} m_{i}α_{i}, d^{o} τ(λ) = − ∑ m_{i}. Soit grǓ le gradué associé. L’action adjointe confère à grǓ une structure de U-module. Si E ∈ Ǔ, grE sera noté Ē.

Soit G^{+} = grV^{+}, G^{−} = grS(V^{−}) et pour λ ∈ P : G_{λ} = G^{−} ⊗ (q)τ(λ) ⊗ G^{+}, G_{λ}^{+} = (q)τ(λ) ⊗ G^{+}. La décomposition suivante est claire : grǓ = ⊕_{λ∈P} G_{λ}.

1.5. Soit λ ∈ P; λ définit un caractère de U_{0} vers (q) par ⟨λ, τ(λ)⟩ = q^{(λ,μ)}. Désignons par (q)v_{λ} le U_{0}-module de dimension 1 associé. Soit U_{q}(𝔟^{+}) = U_{0}U^{+}. On définit une structure de U_{q}(𝔟^{+})-module sur (q)v_{λ} en posant x_{i}v_{λ} = 0, (1 ≤ i ≤ n).

Soit M(λ) = U ⊗_{U_{q}(𝔟^{+})} (q)v_{λ} le module de Verma de plus haut poids λ. Il possède un unique quotient simple noté L(λ). On a dim_{(q)} L(λ) < +∞ pour λ ∈ P^{+}. Si L(λ)^{∗} est le U-module dual de L(λ), il existe un isomorphisme de U-modules L(λ)^{∗} ≃ L(−w_{0}λ).

2. Préliminaires

Pour λ ∈ P, on pose : L_{λ}^{+} = {m ∈ G_{λ}^{+} | dim_{(q)} adU^{+}(m) < +∞}. Les résultats qui suivent sont contenus dans [9, 4.7,4.8].

2.1. Pour λ ∈ P on peut définir une action de U sur G_{λ}^{+}, notée ad_{λ}, vérifiant :

ad_{λ}y_{i}(\overline{τ(λ)}) = 0 , ad_{λ}k_{i}(\overline{τ(λ)}) = q^{1/4(λ,α_{i})}\overline{τ(λ)} (2.1.1) ad_{λ}x_{i}(\overline{τ(λ)}) = q^{1/4(λ,α_{i})}adx_{i}(\overline{τ(λ)}) (2.1.2)

et pour v^{+} ∈ G^{+}, u ∈ U et Δu = ∑ u_{(1)} ⊗ u_{(2)}

(2.1.3)  ad_{λ}u(\overline{τ(λ)}v^{+}) = ∑ ad_{λ}u_{(1)}(\overline{τ(λ)})adu_{(2)}(v^{+}).

Remarque. Par (2.1.2) et (2.1.3), on remarque que ad_{λ}u^{+}τ(λ) et adu^{+}τ(λ), u^{+} ∈ U^{+}, sont égaux à une constante multiplicative non nulle près.

2.2. Résumons les propriétés de L_{λ}^{+}.

Théorème 2.2. Pour λ ∈ P, L_{λ}^{+} est un sous-U-module de G_{λ}^{+} pour l’action ad_{λ}.

(i) Soit λ ∉ −4P^{+}, alors L_{λ}^{+} = 0. On suppose λ ∈ −4P^{+}.

(ii) Il existe un isomorphisme de U-modules : I_{λ} : L_{λ}^{+} → L(−1/4 λ)^{∗}.

(iii) \overline{τ(λ)} ∈ L_{λ}^{+} et I_{λ}(\overline{τ(λ)}) est un vecteur de plus bas poids de L(−1/4 λ)^{∗}.
(iv) L_{λ}^{+} = (adU^{+}) \overline{τ(λ)}.

(v) Il existe un isomorphisme de U^{+}-modules : L_{λ}^{+} ≃ adU^{+}(τ(λ)), L_{λ}^{+} étant muni de sa structure de adU^{+}-module.

Preuve. La première assertion, (i) et (ii) se déduisent de [9, Corollaire 4.8]. De plus [9, Lemme 4.5] implique \overline{τ(λ)} ∈ L_{λ}^{+} et

(∗)  dim_{(q)} adU^{+} \overline{τ(λ)} = dim_{(q)} (adU^{+})τ(λ).

(iii) découle de (2.1.2). Par (ii) on conclut L_{λ}^{+} = ad_{λ}U^{+} \overline{τ(λ)} et (iv) résulte de 2.1. (v) est conséquence de (iv) et (∗).

2.3. Nous cherchons maintenant les modules simples L(η), η ∈ P^{+}, isomorphes à leurs duals. Nous sommes amenés à étudier le monoïde

H := {η ∈ P^{+} | w_{0}(η) = −η}

Lemme 2.3. Pour toute algèbre de Lie simple de dimension finie 𝔤, H possède une -base B. On a

(i) Cas B_{n} , C_{n} , E_{7}, E_{8}, F_{4}, G_{2} : B = {ϖ_{i}, 1 ≤ i ≤ n} i.e. H = P^{+}; (ii) Cas A_{n} : B = \{ϖ_{i} + ϖ_{n+1−i} , 1 ≤ i ≤ \frac{n+1}{2}\} si n pair, B = \{ϖ_{i} + ϖ_{n+1−i} , 1 ≤

i < \frac{n+1}{2} , ϖ_{\frac{n+1}{2}} \} si n impair; (iii) Cas D_{n} : B = {ϖ_{i}, 1 ≤ i ≤ n} si n pair, B = {ϖ_{i} , 1 ≤ i ≤ n − 2 , ϖ_{n−1} + ϖ_{n}}

si n impair; (iv) Cas E_{6} : B = {ϖ_{2} , ϖ_{4} , ϖ_{1} + ϖ_{6} , ϖ_{3} + ϖ_{5} }.

Preuve. Les assertions se déduisent aisément de l’action de w_{0} sur les poids fondamentaux décrite dans [2, Planches I à IV].

2.4. Soit 1 ≤ j ≤ n. On cherche un monôme X_{j} de U^{+} tel que X_{j}v_{j} = v′_{j} où v_{j} et v′_{j} sont respectivement le plus bas poids et le plus haut poids du module L(ϖ_{j})^{∗}. Cet élément sera utile dans la section 3.

Soit ξ le -automorphisme de U défini par :

ξ(x_{i}) = y_{i}, ξ(y_{i}) = x_{i}, ξ(k_{i}) = k_{i}, 1 ≤ i ≤ n, ξ(q) = q^{−1}.

Grâce à ξ, il nous suffit de trouver un monôme Y_{j} de U^{−} tel que Y_{j}u_{j} = u′_{j} où u_{j} et u′_{j} sont respectivement les plus bas poids et plus haut poids du module L(ϖ_{j}). Par [10, Théorème 4.12], nous pouvons ramener ce problème à l’étude du module E(ϖ_{j}), E(λ) désignant le module simple de plus haut poids λ sur l’algèbre enveloppante de 𝔤.

Rappelons la définition des foncteurs d’induction de Joseph [7], ainsi que quelques notations. Pour tout α ∈ R on choisit un vecteur 0 ≠ x_{α} ∈ 𝔤_{α}. On désigne par 𝔟^{+} la sousalgèbre de Borel 𝔥 ⊕ (⊕_{α>0} x_{α}), et pour tout i ∈ {1, …, n}, on pose 𝔭_{i} = 𝔟^{+} ⊕ x_{−α_{i}}. Soit F un U(𝔟^{+})-module de dimension finie. On note D_{α_{i}}F le plus grand quotient de dimension finie du U(𝔭_{i})-module U(𝔭_{i}) ⊗_{U(𝔟^{+})} F . Le foncteur D_{α_{i}} est bien défini. Soit w_{0} = σ_{1} … σ_{m} une décomposition réduite de w_{0}. On pose : w_{j} = σ_{j+1} … σ_{m} , 0 ≤ j ≤ m − 1 et on désigne par β(σ_{i}) la racine associée à σ_{i}. On définit alors le foncteur composé : D_{w_{j}} = D_{β(σ_{j+1})} D_{β(σ_{j+2})} … D_{β(σ_{m})}. Pour λ ∈ P , notons _{λ} le U(𝔟^{+})-module de dimension 1 de poids λ.

Le théorème suivant résume les résultats de [7, 2.13, 3.4].

Théorème 2.4. Soit λ ∈ P^{+}.

(i) Pour 0 ≤ j ≤ m − 1, l’espace de plus bas poids de D_{w_{j}} _{λ} est engendré par un vecteur de poids w_{j}λ. Notons u_{w_{j}λ} un tel vecteur.

(ii) Soit α_{i} = β(σ_{j}). Alors (w_{j}λ , α_{ˇ i}) ≥ 0 et on a u_{w_{j−1}λ} = x_{−α_{i}}^{(w_{j}λ,α_{ˇ i})}u_{w_{j}λ} (à une

constante multiplicative près). (iii) Il existe un isomorphisme de U(𝔟^{+})-modules D_{w_{0}} _{λ} ≃ E(λ). Ce théorème nous fournit un algorithme pour la recherche des X_{j}, à partir d’une

décomposition de w_{0}. Cette dernière est donnée dans [5] pour chaque algèbre de Lie semisimple 𝔤. Nous donnons ci-dessous la décomposition de w_{0} ainsi que l’élément X_{j} qui en découle, ceci pour 𝔤 simple classique. L’algorithme s’applique aussi au cas où 𝔤 est exceptionnelle. Nous laissons au lecteur intéressé le soin du détail des calculs dans ce cas. Afin de simplifier les écritures, nous utiliserons le symbole “i” à la place de la réflexion associée à α_{i}.

a) 𝔤 de type A_{n} : w_{0} = 1 2 … n 1 2 … n − 1 … 1 2 1. Pour 1 ≤ i ≤ k ≤ n, soit a_{i,k} = x_{k} x_{k−1} … x_{i}, alors

X_{j} = a_{1,n−j+1} … a_{j−1,n−1}a_{j,n}, 1 ≤ j ≤ n.

b) 𝔤 de type B_{n} : w_{0} = (1 2 … n n − 1 … 1)(2 … n n − 1 … 2) … (n − 1 n n − 1)(n). Pour 1 ≤ i ≤ k ≤ n, soient b_{k,i} = x_{i}^{2} … x_{k−1}^{2}x_{k} … x_{n−1}x_{n}^{2}x_{n−1} … x_{k}, b_{i} = x_{i}x_{i+1} … x_{n}, alors

\begin{matrix}X_{j} = b_{j,j} … b_{j,2}b_{j,1}, 1 ≤ j < n; \\ X_{n} = b_{n} … b_{1}. \end{matrix}

c) 𝔤 de type C_{n} : w_{0} = (1 2 … n n − 1 … 1)(2 … n n − 1 … 2) … (n − 1 n n − 1)(n). Pour 1 ≤ i ≤ k ≤ n, on pose c_{k,i} = x_{i}^{2} … x_{k−1}^{2}x_{k} … x_{n−1}x_{n}x_{n−1} … x_{k}, alors

X_{j} = c_{j,j} … c_{j,2}c_{j,1}.

d) 𝔤 de type D_{n} : w_{0} = (1 2 … n−2 n−1 n n−2 … 1)(2 … n n−1 n n−2 … 2) … (n−1 n). Pour 1 ≤ i ≤ k ≤ n − 2, on pose : d_{k,i} = x_{i}^{2} … x_{k−1}^{2}x_{k} … x_{n−2}x_{n}x_{n−1} … x_{k}, d_{n−1,i} = x_{i} x_{i+1} … x_{n−1}; d_{n,i} = x_{i}x_{i+1} … x_{n−2} x_{n}; alors

X_{j} = d_{j,j} … d_{j,2}d_{j,1}, 1 ≤ j ≤ n − 2 ;

X_{n−1} = \{ \begin{matrix}d_{n−1,n−1} … d_{n−1,3}d_{n,2}d_{n−1,1} & si n pair, \\ d_{n,n} … d_{n−1,3}d_{n,2}d_{n−1,1} & si n impair; \end{matrix}

X_{n} = \{ \begin{matrix}d_{n,n} … d_{n,3}d_{n−1,2}d_{n,1} & si n pair, \\ d_{n−1,n−1} … d_{n,3}d_{n−1,2} d_{n,1} & si n impair. \end{matrix}

Remarque. Pour 1 ≤ i ≤ n, soit λ_{i} un exposant de x_{i} dans la décomposition de X_{j}. Ecrivons X_{j} = X_{ν}x_{i}^{λ_{i}}X_{λ}, où ν, λ ∈ P sont les poids de X_{ν} et X_{λ}. On a par construction : λ_{i} = (ϖ_{j} − λ , α_{ˇ i}), cf. Théorème 2.4 (ii).

3. Structure du centre de U^{+}

3.1. Nous allons tout d’abord déterminer les éléments de Ǔ_{q}(𝔟^{+}) invariants par l’action adjointe de U^{+}.

Définition. Soit μ ∈ P^{+}. On désigne par X_{μ} un monôme de U^{+} transformant un vecteur de plus bas poids de L(μ)^{∗} en un vecteur de plus haut poids. On pose s(μ) = μ − w_{0}(μ), e_{s(μ)} = τ(4μ)adX_{μ}(τ(−4μ)).

Remarquons que par le Théorème 2.2 (ii) et (v), e_{s(μ)} ne dépend du choix du monôme X_{μ} qu’à une constante multiplicative près. De plus pour l’action adjointe de U_{0}, le poids de e_{s(μ)} est s(μ).

Si M est un sous-adU^{+}-module de Ǔ_{q}(𝔟^{+}), on pose M^{U^{+}} = {m ∈ M, adU^{+}(m) = 0}.

Proposition 3.1. Soit λ ∈ P, alors on a :

(i) L’espace (q)τ(λ) ⊗ V^{+} est un sous-adU^{+}-module de Ǔ_{q}(𝔟^{+});

(ii) si λ ∈ −4P^{+}, ( (q)τ(λ) ⊗ V^{+})^{U^{+}} = (q)τ(λ)e_{s(−1/4λ)};
(iii) Si λ ∉ −4P^{+}, ( (q)τ(λ) ⊗ V^{+})^{U^{+}} = {0};
(iv) (Ǔ_{q}(𝔟^{+}))^{U^{+}} = ⊕_{μ∈P^{+}} (q)τ(−4μ)e_{s(μ)}.

Preuve. (i) se vérifie facilement par le calcul de adx_{i}(τ(λ)v), v ∈ V^{+}, 1 ≤ i ≤ n, v de poids μ.

Montrons l’inclusion ⊃ dans (ii). Soit λ ∈ −4P^{+}. Par le Théorème 2.2 (ii) et (v), adX_{−1/4λ}τ(λ) est le plus haut poids de adU^{+}τ(λ). Par (i), l’inclusion est démontrée.

Montrons l’inclusion ⊂ dans (ii) et (iii). Soient λ ∈ P et E ∈ V^{+} tels que adU^{+} (τ(λ) ⊗ E) = 0. Par passage au gradué adU^{+}(\overline{τ(λ)} ⊗ Ē) = 0, donc \overline{τ(λ)} ⊗ Ē ∈ L_{λ}^{+}. D’où, si λ ∉ −4P^{+}, Ē = 0 par le Théorème 2.2 (i) et donc E = 0; si λ ∈ −4P^{+}, par le Théorème 2.2 (ii) \overline{τ(λ)} ⊗ Ē est proportionnel à adX_{−1/4λ} (\overline{τ(λ)}) = \overline{τ(λ)} ⊗ ē_{s(−1/4λ)}. Le Théorème 2.2 (v) implique alors τ(λ) ⊗ E ∈ (q)τ(λ) ⊗ e_{s(−1/4λ)}.

Il reste à montrer (iv). Remarquons pour cela que Ǔ_{q}(𝔟^{+}) = ⊕_{λ∈P} (q)τ(λ) ⊗ V^{+}; donc (iv) résulte de (i), (ii) et (iii).

3.2. Pour tout μ ∈ P^{+}, on pose x_{s(μ)} = τ(s(−4λ))^{−1}e_{s(μ)}. On a x_{s(μ)} ∈ U^{+}. Pour tout μ_{i} dans B, cf. Lemme 2.3, on note : e_{u_{i}} = e_{s(μ_{i})}, x_{u_{i}} = x_{s(μ_{i})}, 1 ≤ i ≤ cardB.

Proposition 3.2. Soient μ, ν ∈ P^{+}. Alors e_{s(μ)}e_{s(ν)}, resp. x_{s(μ)}x_{s(ν)}, est égal à e_{s(μ+ν)}, resp. x_{s(μ+ν)}, à une constante multiplicative non nulle près.

Preuve. Soit η ∈ P^{+}. On sait, cf. Théorème 3.1 (iv), que (Ǔ_{q}(𝔟^{+}))^{U^{+}} ∩ (q)τ(−4η)V^{+} = (q)τ(−4η)e_{s(η)}. On a facilement

τ(−4μ)e_{s(μ)}τ(−4ν)e_{s(ν)} ∈ (Ǔ_{q}(𝔟^{+}))^{U^{+}} ∩ (q)τ(−4(μ + ν))V^{+}.

Comme cette intersection est égale à (Ǔ_{q}(𝔟^{+}))^{U^{+}} ∩ (q)τ(−4(μ+ν))e_{s(μ+ν)}, la proposition en découle.

Nous pouvons maintenant expliciter la structure du centre de Z(U^{+}).

Théorème 3.2. Z(U^{+}), resp. Z(V^{+}), est l’algèbre de polynômes engendrée par les x_{u_{i}}, resp. les e_{u_{i}}, 1 ≤ i ≤ card B.

Preuve. ll suffit de montrer le théorème pour Z(U^{+}), cf. 1.3. Supposons μ ∈ P^{+}. Par le Théorème 3.1, on a : adx_{i}(τ(−4μ)e_{s(μ)}) = 0. D’où

∀ i, x_{i}τ(−4μ)e_{s(μ)}k_{i} − q^{−2d_{i}}k_{i}τ(−4μ)e_{s(μ)}x_{i} = 0.

Comme (α_{i}, α_{i}) = 2d_{i} , il vient q^{−(α_{i},s(μ))}x_{i}x_{s(μ)} = q^{(α_{i},−4μ+s(μ))}x_{s(μ)}x_{i}. On en déduit

(3.2.1)  μ ∈ P^{+}, x_{s(μ)} ∈ Z(U^{+}) ⟺ μ ∈ H.

Supposons X non nul dans Z(U^{+}), de poids η. Le calcul donne : adx_{i}(τ(−η)X) = 0. D’où τ(−2η)(τ(η)X) ∈ (τ(−2η) ⊗ V^{+})^{U^{+}}. Donc, par la Proposition 3.1, −2η ∈ −4P^{+} et X ∈ (q)x_{s(η/2)}. Le théorème résulte alors de (3.2.1), de la Proposition 3.2 et du Lemme 2.3.

3.3. Nous donnons dans cette section une méthode permettant de calculer explicitement les générateurs de Z(U^{+}). Remarquons que par la Proposition 3.2, le Théorème 3.2 et le Lemme 2.3, il suffit de calculer x_{s(ϖ_{j})}, 1 ≤ j ≤ n. Pour cela nous allons utiliser le monôme X_{j} décrit en 2.4.

Le Théorème 2.2 exprime qu’il existe un isomorphisme de U^{+}-modules :

J_{ϖ_{j}} : L(ϖ_{j})^{∗} ⟶^{∼} adU^{+} τ(−4ϖ_{j}).

Soit v ∈ L(ϖ_{j})^{∗} de poids ν, il est clair que l’on peut écrire J_{ϖ_{j}}(v) = τ(−4ϖ_{j})τ(ν +ϖ_{j})x(v) où x(v) ∈ U^{+}. L’élément x_{s(ϖ_{j})} cherché est proportionnel à x(v′_{j}), où v′_{j} est le vecteur de plus haut poids de L(ϖ_{j})^{∗}.

Le lemme suivant, joint à la section 2.4, permet de calculer x_{s(ϖ_{j})}.

Lemme 3.3. Avec les notations de la Remarque 2.4, soit X_{j} = X_{ν}x_{i}^{λ_{i}}X_{μ}. Soit v_{j} le plus bas poids de L(ϖ_{j})^{∗}. Supposons v = X_{λ}(v_{j}), v′ = x_{i}^{λ_{i}}(v). Alors :

x(v′) = \{ \begin{matrix}∑_{s=0}^{λ_{j}}(−1)^{s}q_{j}^{2(λ_{j}−2s)}\left[{λ_{j} \atop s}\right]_{d_{j}}x_{j}^{λ_{j}−s}x(v)x_{j}^{s} & si i = j; \\ q_{i}^{−λ_{i}} ∑_{s=0}^{λ_{i}}(−1)^{s}q_{i}^{λ_{i}−2s}\left[{λ_{i} \atop s}\right]_{d_{i}}x_{i}^{λ_{i}−s}x(v)x_{i}^{s} & si i ≠ j. \end{matrix}

Preuve. Définissons par récurrence des éléments x_{λ} ∈ U^{+} de poids λ par

τ(−4ϖ_{j})τ(λ + α_{i})x_{λ+α_{i}} = adx_{i}[τ(−4ϖ_{j})τ(λ)x_{λ}].

Le calcul donne x_{λ+α_{i}} = q_{i}^{−2}(q_{i}^{4δ_{ij}−2(λ,α_{ˇ i})}x_{i}x_{λ} − x_{λ}x_{i}). Le lemme découle de cette formule en itérant l’action de x_{i} et en utilisant λ_{i} = (ϖ_{j} − λ, α_{ˇ i}).

4. Cas 𝔤 = 𝔰𝔩(n + 1)

4.1. Dans le cas où 𝔤 = 𝔰𝔩(n + 1), les représentations fondamentales L(ϖ_{j}) sont les jièmes puissances extérieures de la représentation L(ϖ_{1}). Ceci nous permet un calcul plus commode des générateurs du centre de V^{+}. On a défini en [3, 5.3] la matrice fondamentale pour V^{+} :

D = ( \begin{matrix}α \\ e_{1} & α & & 0 \\ e_{1,2} & e_{2} & α \\ ⋮ & & & ... \\ e_{1,n} & e_{2,n} & e_{n} & & α \end{matrix} )

où α = q^{2}(q^{2} − q^{−2})^{−1} et les e_{i,j} sont donnés par récurrence par e_{i,i} = k_{i}x_{i}, e_{i,j} = e_{j}e_{i,j−1} − q^{−2}e_{i,j−1}e_{j}.

On a aussi défini le déterminant quantique d’une matrice M = (a_{i,j})_{1≤i,j≤n}, à coefficients dans V^{+}, par det_{q} M = ∑_{σ∈Σ_{n}}(−q^{2})^{l(σ)}a_{1,σ(1)} … a_{n,σ(n)}, où l(σ) est la longueur de la permutation σ. On définit alors de manière évidente les mineurs quantiques extraits de la matrice D.

Théorème 4.1. (i) Soit 1 ≤ j ≤ n. On pose I = {n − j + 2, …, n + 1}, J = {1, …, j} et on désigne par Δ_{I,J} le mineur quantique construit sur les lignes I et les colonnes J. Alors e_{s(ϖ_{j})} = Δ_{I,J}(D) à une constante multiplicative près.

(ii) Z(V^{+}) est engendré par \{e_{s(ϖ_{j})}e_{s(ϖ_{n+1−j})}, 1 ≤ j < \frac{n+1}{2} \} si n est pair et par \{e_{s(ϖ_{j})}e_{s(ϖ_{n+1−j})}, 1 ≤ j < \frac{n+1}{2} ; e_{s(ϖ_{\frac{n+1}{2}} )}\} si n est impair.

Preuve. (i) découle de [3, 3.4, 5.3] et de la définition des e_{s(λ)}. (ii) est conséquence des Lemmes 2.3 et 3.2.

Remarques. 1. Ces résultats sont à comparer à ceux de [4] ou [6] pour le cas classique.

2. On ne peut pas retrouver la description du centre de U(𝔫^{+}) du cas classique en spécialisant q en 1.

3. J. Alev et F. Dumas ont obtenu dans [1] une description analogue du centre de U^{+}.

5. Centres des corps de fractions

5.1. On note F (Ǔ) l’espace des éléments ad-finis de Ǔ. Donc

F (Ǔ) = {m ∈ Ǔ | dim_{(q)} adǓ(m) < +∞}.

On rappelle la décomposition, cf. [9, 4.12]

(5.1.1)  F (Ǔ) = ⨁_{λ∈P^{+}}(adǓ)τ(λ).

On note K_{λ}^{±} le sous-espace de V^{+} tel que (adU^{±})τ(−4λ) = τ(−4λ)K_{λ}^{±}.

Lemme 5.1. On a la décomposition :

F (Ǔ) ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+}) = ⨁_{λ∈P^{+}} L_{λ}^{+} = ⨁_{λ∈P^{+}} τ(−4λ)K_{λ}^{+}.

Preuve. Il est clair que ⊕_{λ∈P^{+}}L_{λ}^{+} ⊂ F (Ǔ) ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Montrons l’inclusion inverse. Soit u ∈ F (Ǔ) ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+}). On a par (5.1.1) : u = ∑_{λ∈P^{+}} u_{λ}, où u_{λ} ∈ (adǓ)τ(−4λ). Dans le gradué défini en 1.4, nous avons, cf. [9, 4.9]

ū = ∑_{λ∈P^{+}} ū_{λ} = ∑_{λ∈P^{+}} k_{λ}^{−}\overline{τ(−4λ)}k_{λ}^{+} où k_{λ}^{±} ∈ K̄_{λ}^{±}.

Par décomposition triangulaire dans le gradué, il vient k_{λ}^{−} ∈ (q). Par [3, 2.2], les modules F (Ǔ) et gr(F (Ǔ)) sont isomorphes et on a

ū ∈ ⨁_{λ∈P^{+}}(adU^{+})\overline{τ(−4λ)} implique u ∈ ⨁_{λ∈P^{+}}(adU^{+})τ(−4λ).

Donc u ∈ ⊕_{λ∈P^{+}}τ(−4λ)K_{λ}^{+}.

On ordonne P^{+} par la relation : λ ≤ μ si λ − μ ∈ P^{+}.

Proposition 5.1. V^{+} est limite inductive des K_{λ}^{+}. Precisément :

(i) K_{λ}^{+} ⊂ K_{μ}^{+}, λ ≤ μ; (ii) V^{+} = ∑_{λ∈P^{+}} K_{λ}^{+}.

Preuve. On a évidemment 1 ∈ K_{λ}^{+}. De plus, par [9, 4.12] il vient K_{λ}^{+}K_{μ}^{+} = K_{λ+μ}^{+}; (i) en découle aisément. Soit maintenant u ∈ V^{+}, par [8, Théorème 6.4], on peut décomposer u sous la forme u = ∑_{α∈S} τ(α)a_{α} où a_{α} ∈ F (Ǔ), S désignant une partie finie de P^{+}. Par passage au gradué, comme dans la démonstration du Lemme 5.1, on prouve a_{α} ∈ F (Ǔ)∩Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Par le Lemme 5.1, il vient u ∈ ∑_{λ} τ(α−4λ)K_{λ}^{+}. Comme U_{0}V^{+} ≃ U_{0}⊗V^{+}, on obtient (ii).

Remarque. Ce résultat possède un analogue dans le cas classique, cf. [9, 6.12 (∗∗)].

5.2. Nous pouvons maintenant démontrer le résultat suivant.

Théorème 5.2. Soit I un idéal bilatère non nul de V^{+}. Alors I contient au moins un élément central non nul.

Preuve. On dira que l’idéal I vérifie la propriété (P_{k}), si I contient un élément e tel que e = ∑_{α∈S_{k}} e_{α}, où S_{k} désigne une partie de P^{+} à k éléments et e_{α} ∈ V_{α}^{+}. Nous allons montrer par récurrence sur k > 0 l’assertion

“Si I verifie (P_{k}), alors I contient un élément central non nul.”

Montrons ceci pour k = 1. I contient donc un élément e de poids μ. Par la Proposition 5.1, on peut trouver λ tel que e ∈ K_{λ}^{+}. ll existe alors dans V^{+} un élément v tel que (adv)(τ(−4λ)e) = τ(−4λ)e_{s(λ)}. On peut choisir v de poids s(λ) − μ. En développant la partie gauche de l’égalité et moyennant quelques commutations on obtient ∑_{i} v_{i}ev′_{i} = e_{s(λ)}oùv_{i} , v′_{i} ∈ V^{+}. Donc e_{s(λ)} ∈ I et e_{s(λ)}e_{s(−w_{0}λ)} ∈ I ∩ Z par la Proposition 3.2 et le Théorème 3.2. Supposons maintenant le théorème démontré pour les idéaux vérifiant (P_{k−1}). Soit I vérifiant (P_{k}) et e dans I. Ecrivons e = ∑_{μ∈S_{k}} e_{μ} = e_{μ_{1}} + ∑_{μ∈S_{k−1}} e_{μ}. Comme précédemment on montre qu’il existe un élément central non nul z tel que z + ∑_{μ∈S′_{k−1}} e′_{μ} ∈ I. Par une considération de poids cette somme est non nulle. Posons X = ∑_{μ∈S′_{k−1}} e′_{μ}. Si X est central on a terminé. Sinon, on peut supposer [e_{i}, X] ≠ 0. Alors [e_{i}, z + X] ∈ I implique [e_{i}, X] ∈ I. Donc I vérifie (P_{k−1}) et le théorème est démontré.

Rappelons que V^{+} est intègre, il possède donc un corps de fractions. La preuve du corollaire suivant est classique.

Corollaire 5.2. Le centre du corps des fractions de V^{+} est égal au corps des fractions du centre de V^{+}.

5.3. Le Théorème 5.2 n’a pas d’analogue pour Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Toutefois, nous avons le résultat suivant.

Proposition 5.3. Soit I un idéal bilatère non nul de Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Alors I contient un élément non nul de poids dans Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}.

Preuve. Montrons que I contient un élément de poids. Soit X dans I, X = ∑_{μ} X_{μ} ∈ I, où μ parcourt une partie de Q^{+} de cardinal k. Il est clair que l’on peut trouver α ∈ Q tel que les (α, μ) soient distincts. En appliquant l’action adjointe des τ(mα), m ∈ , on obtient (à l’aide d’un déterminant de Vandermonde) un élément a non nul de poids dans I. Cet élément se décompose dans U_{0} ⊗ V^{+}. Supposons tout d’abord que a = τ(μ)e_{β} où e_{β} ∈ V_{β}^{+} (i.e. k = 1). Alors e_{β} ∈ I ∩ V^{+}, et par le Théorème 5.2 on trouve e_{s(λ)} ∈ P^{+} pour un λ ∈ P^{+}. D’où τ(−4λ)e_{s(λ)} ∈ I ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}.

Supposons maintenant a = ∑_{μ_{i}∈S_{k}} τ(μ_{i})e_{i,β} où S_{k} désigne une partie de P^{+} à k éléments et e_{i,β} ∈ V_{β}^{+}. Montrons par récurrence sur k que I contient un élément de poids dans I ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}. On écrit a = τ(μ)e_{β} + ∑_{μ_{i}∈S_{k−1}} τ(μ_{i})e_{i,β}. En appliquant la méthode décrite pour k = 1 on trouve un élément b dans I de la forme b = τ(−4λ)e_{s(λ)} + ∑_{ν_{i}∈S_{k−1}} τ(ν_{i})e_{i,γ}. Comme −4λ et les ν_{i} sont deux à deux distincts, il en résulte que

b est non nul. Posons X = ∑_{μ_{i}∈S_{k−1}} τ(ν_{i})e_{i,γ}. Alors, soit X ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}} et dans ce

cas la récurrence est vérifiée; soit X ∉ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}} et on a adx_{i}(X) ≠ 0 pour un i. D’où 0 ≠ adx_{i}(X) = adx_{i}(b) ∈ I ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}. Ceci termine la démonstration.

Lemme 5.3. Ker s est engendré par les α_{i} + w_{0}(α_{i}), 1 ≤ i ≤ n.

Preuve. Rappelons que s = Id − w_{0} et w_{0}^{2} = Id. Donc Ker (Id − w_{0}) = Im (Id + w_{0}).

Théorème 5.3. Le centre du corps des fractions de Ǔ_{q}(𝔟^{+}) est engendré par les éléments [τ(−4α_{i})e_{s(α_{i})}]^{−1}τ(4w_{0}(α_{i}))e_{s(−w_{0}(α_{i}))}, 1 ≤ i ≤ n. Lorsque w_{0} = −Id, le centre est réduit au corps des constantes.

Preuve. Soit z dans le centre de F ract(Ǔ_{q}(𝔟^{+})). Alors I := Ǔ_{q}(𝔟^{+})z ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+}) est un idéal bilatère de Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Donc par la Proposition 5.3 il existe v dans Ǔ_{q}(𝔟^{+}) et β dans Q tels que vz ∈ I ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+})_{β}^{U^{+}}. Par la Proposition 3.1 (iv), on peut se ramener au cas vz = τ(−4λ)e_{s(λ)}. Donc v a pour poids s(λ) et v ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}. Ceci équivaut à v ∈ ⊕_{{μ|s(μ)=s(λ)}} (q)τ(−4μ)e_{s(μ)}. Le théorème est alors conséquence du Lemme 5.3 et de la Proposition 3.2.

Références

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[2] N. Bourbaki. Groupes et Algèbres de Lie, Chap. VI, Masson, Paris 1981.

[3] P. Caldero. Générateurs du centre de U_{q}(𝔰𝔩(N + 1)), Bull. Sci. Math., (à paraître).

[4] J. Dixmier. Sur les représentations unitaires des groupes de Lie nilpotents IV, Can. J. Math., 11 (1959), 321-344.

[5] F. Du Cloux. Un algorithme de forme normale pour les groupes de Coxeter, (1985), manuscrit.

[6] A. Joseph. A preparation theorem for the prime spectrum of a semi-simple Lie algebra J. Algebra, 48 (1977), 241-289.

[7] A. Joseph. On the Demazure character formula, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 18 (1985), 389-419.

[8] A. Joseph and G. Letzter. Local finiteness of the adjoint action for quantized enveloping algebras, J. Algebra, 153 (1992), 289-318.

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[10] G. Lusztig. Quantum deformations of certain simple modules over enveloping algebras, Adv. Math., 70 (1988), 237-249.

[11] M. Rosso. Groupes quantiques, représentations linéaires, applications, Thèse Paris VII, 1990.