Beiträge zur Algebra und Geometrie Contributions to Algebra and Geometry Volume 35 (1994), No. 1, 73-83.

La caténarité de la partie positive de l’algèbre enveloppante quantifiée de l’algèbre de Lie simple de type B_{2}

Marie Paule Malliavin

Université Pierre et Marie Curie, Aile 45-46 Boîte 172 - 5^{o} Etage 4, place Jussieu, 75252 - Paris Cedex 05, France

Résumé. Soit G l’algèbre de Lie simple de type B_{2} sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle k et q un élément de k non racine de l’unité et n^{+} une sous-algèbre nilpotente maximale de G. Alors l’algèbre U_{q}(G) et sa sousalgèbre U_{q}(n^{+}), que nous noterons U_{q}^{+}(B_{2}), sont bien définies. Nous montrons la caténarité de U_{q}^{+}(B_{2}).

Abstract. Let G the simple Lie algebra of type B_{2} over an algebrically closed field of characteristic zero k and let q in k not a root of 1. Let n^{+} a maximal nilpotent subalgebra of G. Then the algebra U_{q}(G) and its subalgebra of U_{q}(n^{+}), that we will denote by U_{q}^{+}(B_{2}) are well defined. We show the catenarity of U_{q}^{+}(B_{2}).

1. Préliminaires

Dans toute la suite on suppose donnés un corps k algébriquement clos de caractéristique nulle et un élément q de k \ {0} non racine de l’unité.

La matrice de Cartan de l’algèbre de Lie simple de type B_{2} est [ \begin{matrix}2 & −1 \\ −2 & 2 \end{matrix} ]. On

utilisera les résultats de [10] en y changeant q en q^{2}. Prenons deux générateurs de la partie nilpotente positive de l’algèbre B_{2}. Les relations de Serre de U_{q}^{+}(B_{2}) sont

\begin{matrix}∑_{ν=0}^{2} [ \begin{matrix}2 \\ ν \end{matrix} ]_{q^{2}} E_{1}^{2−ν}E_{2}(−E_{1}^{ν}) = 0 \\ ∑_{ν=0}^{3} [ \begin{matrix}3 \\ ν \end{matrix} ]_{q} E_{2}^{3−ν}E_{1}(−E_{2}^{ν}) = 0 \end{matrix}

0138-4821/93 $ 2.50 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1994 Heldermann Verlag, Berlin

74 M.P. Malliavin: La caténarité de la partie positive de l’algèbre enveloppante quantifiée

où on utilise les notations

[ \begin{matrix}m \\ n \end{matrix} ]_{t} = \frac{[m]_{t}}{[n]_{t}[m − n]_{t}}

[m]_{t} = (t − t^{−1})(t^{2} − t^{−2}) ⋯ (t^{m} − t^{−m})

pour des entiers m ≥ n ≥ 0 Un calcul facile donne pour les relations de Serre

E_{1}^{2}E_{2} − (q^{2} + q^{−2})E_{1}E_{2}E_{1} + E_{2}E_{1}^{2} = 0 (1) E_{2}^{3}E_{1} − (q^{2} + 1 + q^{−2})E_{2}^{2}E_{1}E_{2} + (q^{2} + 1 + q^{−2})E_{2}E_{1}E_{2}^{2} − E_{1}E_{2}^{3} = 0. (2)

2. Générateurs et relations de U_{q}^{+}(B_{2})

On notera comme dans [10] en changeant q en q^{2}

\begin{aligned}y_{1} & = E_{1}E_{2} − q^{2}E_{2}E_{1}, \\ y_{2} & = E_{2}. \end{aligned}

Alors d’après [10] (Théorème 4.15) dans U_{q}^{+}(B_{2}) les éléments suivants E_{1}, y_{1}, y_{2} et z_{12} = z = y_{2}y_{1} − q^{2}y_{1}y_{2} engendrent une base de Poincaré-Birkhoff-Witt.

On utilisera aussi les notations de [11] légèrement modifiées. Nous poserons

\begin{aligned}e_{1,2} = E_{1}, e_{1,3} = y_{1} & = E_{1}E_{2} − q^{2}E_{2}E_{1}, e_{2,3} = y_{2} = E_{2}, \\ z & = e_{2,3}e_{1,3} − q^{2}e_{1,3}e_{2,3}. \end{aligned}

Proposition 1. [10] Les éléments, pris dans cet ordre,

\begin{matrix}e_{1,2} = E_{1}, e_{1,3} = E_{1}E_{2} − q^{2}E_{2}E_{1}, e_{2,3} = E_{2}, \\ z = E_{2}(E_{1}E_{2} − q^{2}E_{2}E_{1}) − q^{2}(E_{1}E_{2} − q^{2}E_{2}E_{1})E_{2} \end{matrix}

engendrent une base de P.B.W. de U_{q}^{+}(B_{2}).

Proposition 2. On a les relations

(a) e_{1,3} = e_{1,2}e_{2,3} − q^{2}e_{2,3}e_{1,2}, z = e_{2,3}e_{1,3} − q^{2}e_{1,3}e_{2,3}.

(b) e_{1,2}e_{1,3} = q^{−2}e_{1,3}e_{1,2}.

(c) z est dans le centre de U_{q}^{+}(B_{2}).

Preuve. (a) est déjà défini.

(b) e_{1,2}e_{1,3} = E_{1}^{2}E_{2} − q^{2}E_{1}E_{2}E_{1}, e_{1,3}e_{1,2} = E_{1}E_{2}E_{1} − q^{2}E_{2}E_{1}^{2}. Donc q^{−2}e_{1,3}e_{1,2} = q^{−2}E_{1}E_{2}E_{1} − E_{2}E_{1}^{2}. Alors d’après la relation 1.1 (1) e_{1,2}e_{1,3} = q^{−2}e_{1,3}e_{1,2}.

(c) Ecrivons la relation qui donne

z = e_{2,3}e_{1,3} − q^{2}e_{1,3}e_{2,3} = (1 + q^{4})E_{2}E_{1}E_{2} − q^{2}E_{2}^{2}E_{1} − q^{2}E_{1}E_{2}^{2}.

Donc

q^{−2}z = (q^{2} + q^{−2})E_{2}E_{1}E_{2} − E_{2}^{2}E_{1} − E_{1}E_{2}^{2}.

Alors

\begin{aligned}q^{−2}e_{2,3}z & = (q^{2} + q^{−2})E_{2}^{2}E_{1}E_{2} − E_{2}^{3}E_{1} − E_{2}E_{1}E_{2}^{2}, \\ q^{−2}ze_{2,3} & = (q^{2} + q^{−2})E_{2}E_{1}E_{2}^{2} − E_{2}^{2}E_{1}E_{2} − E_{1}E_{2}^{3}. \end{aligned}

Donc

q^{−2}e_{2,3}z − q^{−2}ze_{2,3} = (q^{2} + 1 + q^{−2})E_{2}^{2}E_{1}E_{2} − E_{2}^{3}E_{1} − (q^{2} + 1 + q^{−2})E_{2}E_{1}E_{2}^{2} + E_{1}E_{2}^{3}

qui par la relation 1.1 (2) est nulle. Donc e_{2,3}z = ze_{2,3}.

Ensuite

\begin{aligned}e_{1,2}z & = E_{1}E_{2}E_{1}E_{2} − q^{2}E_{1}E_{2}^{2}E_{1} − q^{2}E_{1}^{2}E_{2}^{2} + q^{4}E_{1}E_{2}E_{1}E_{2} \\ & = −q^{2}E_{1}E_{2}^{2}E_{1} + q^{2}\{(q^{−2} + q^{2})E_{1}E_{2}E_{1} − E_{1}^{2}E_{2}\}E_{2}. \end{aligned}

En appliquant la relation 1.1 (1) il vient

e_{1,2}z = −q^{2}E_{1}E_{2}^{2}E_{1} + q^{2}E_{2}E_{1}^{2}E_{2}.

D’autre part

\begin{aligned}ze_{1,2} & = E_{2}E_{1}E_{2}E_{1} − q^{2}E_{2}^{2}E_{1}^{2} − q^{2}E_{1}E_{2}^{2}E_{1} + q^{4}E_{2}E_{1}E_{2}E_{1} \\ & = −q^{2}E_{1}E_{2}^{2}E_{1} + q^{2}E_{2}\{(q^{−2} + q^{2})E_{1}E_{2}E_{1} − E_{2}E_{1}^{2}\}. \end{aligned}

D’après la relation 1.1 (1) on a

ze_{1,2} = −q^{2}E_{1}E_{2}^{2}E_{1} + q^{2}E_{2}E_{1}^{2}E_{2}.

Donc e_{1,2}z = ze_{1,2}.

On déduit alors facilement que e_{1,3}z = ze_{1,3}, cette dernière relation résulte aussi de la proposition 4.7 de [10].

3. Ecriture U_{q}^{+}(B_{2}) comme extensions de Ore itérées.

Proposition 1 et Définition. Posons C = k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}][e_{2,3}, σ_{2,3}, δ_{2,3}] où σ_{1,2} est l’automorphisme de k[z, e_{1,3}] défini par σ_{1,2}(z) = z, σ_{1,2}(e_{1,3}) = q^{−2}e_{1,3}, où σ_{2,3} est l’automorphisme de k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}] défini par σ_{2,3}(z) = z, σ_{2,3}(e_{1,2}) = q^{−2}e_{1,2}, σ_{2,3}(e_{1,3}) = q^{2}e_{1,3} et où δ_{2,3} est la σ_{2,3}-dérivation définie par δ_{2,3}(e_{1,2}) = −q^{−2}e_{1,3}, δ_{2,3}(z) = 0, δ_{2,3}(e_{1,3}) = z. Alors U_{q}^{+}(B_{2}) est un quotient premier de C.

Preuve. Il résulte immédiatement des Propositions 1 et 2 de \underline{1,1}, et du fait que e_{1,2} et e_{1,3} q^{2}-commutent, que l’image canonique de C dans U_{q}^{+}(B_{2}) est une sous-algèbre de U_{q}^{+}(B_{2}) qui contient une base de U_{q}^{+}(B_{2}) sur k donc qui coïncide avec U_{q}^{+}(B_{2}).

Remarques. (1) Il résulte de la proposition précédente que C/(z) est isomorphe à U_{q}^{+}(A_{2}).

(2) On démontrera dans le paragraphe 4 que les idéaux premiers de C ou bien contiennent z ou bien sont maximaux. Comme z ∈ U_{q}^{+}(B_{2})) et que z^{−1} ∉ U_{q}^{+}(B_{2}). On aura l’isomorphisme U_{q}^{+}(B_{2}) ≃ C. Par abus de langage on fera tout de suite l’identification U_{q}^{+}(B_{2}) = C.

Proposition 2. Tous les idéaux premiers de U_{q}^{+}(B_{2}) sont complètement premiers.

Preuve. On vérifie facilement que σ_{2,3}δ_{2,3}(z) = δ_{2,3}σ_{2,3}(z) = 0, q^{2}σ_{2,3}δ_{2,3}(e_{1,3}) = δ_{2,3}σ_{2,3}(e_{1,3}) et q^{8}δ_{2,3}σ_{2,3}(e_{1,2}) = σ_{2,3}δ_{2,3}(e_{1,2}).

De plus les relations pour les automorphismes σ_{1,2}, σ_{2,3} et le fait que le sous-groupe de k \ {0} engendré par 1, q^{−2} et q^{2} est sans torsion montrent en appliquant le théorème 2.3 de [3] que tous les idéaux premiers de U_{q}^{+}(B_{2}) sont complètement premiers.

4. Le treillis des idéaux premiers de U_{q}^{+}(B_{2}).

Soit P un idéal premier non nul de U_{q}^{+}(B_{2}). Supposons que P contienne un élément de la forme z − α avec α ∈ k.

D’après la proposition 2.1.3 de [8] l’idéal premier Q = P ∩k[z, e_{1,3}, e_{1,2}] de k[z, e_{1,3}, e_{1,2}] est de la forme suivante

avec λ, μ ∈ k, λμ ≠ 0, ceci par ce que k[z, e_{1,3}, e_{1,2}] = k[z][e_{1,3}, e_{1,2}], l’algèbre en e_{1,3} et e_{1,2} avec les relations e_{1,3}e_{1,2} = q^{2}e_{1,2}e_{1,3} sur l’algèbre des polynômes en une indéterminée k[z] et parce que k[z][e_{1,3}, e_{1,2}]/(z − α) est isomorphe à k[e_{1,3}, e_{1,2}].

On montrera plus loin que U_{q}^{+}(B_{2})/(z − α) est simple si α ≠ 0.

Remarquons que si P contient e_{1,2} il contient e_{1,3} = e_{1,2}e_{2,3} −q^{2}e_{2,3}e_{1,2} et s’il contient e_{1,3} il contient z = e_{2,3}e_{1,3} − q^{2}e_{1,3}e_{2,3}. Donc dans ce cas l’idéal Q correspond à α = 0.

Proposition 1. Si P est un idéal premier de U_{q}^{+}(B_{2}) qui contient z il est de la forme suivante où λ, μ, θ ∈ k avec λμθ ≠ 0 et où l’on pose Ω_{1,3} = e_{1,3}(e_{1,2}e_{2,3} − q^{−2}e_{2,3}e_{1,2}) = e_{1,3}\overline{e}_{1,3}.

Preuve. Ceci résulte du théorème 2.4 de [8], du fait que U_{q}^{+}(B_{2})/(z) ≃ U_{q}^{+}(A_{2}) et de ce qui précède.

Il reste à examiner le cas où P contient z − α avec α ∈ k, α ≠ 0 et à montrer que U_{q}^{+}(B_{2})/(z − α) est simple. Cette algèbre quotient est l’algèbre A = k[e^{∨}_{1,3}, e^{∨}_{1,2}, e^{∨}_{2,3}] avec les relations

\begin{aligned}e^{∨}_{1,2}e^{∨}_{2,3} & = q^{−2} e^{∨}_{2,3}e^{∨}_{1,2}, \\ e^{∨}_{1,3} & =e^{∨}_{1,2}e^{∨}_{2,3} −q^{2} e^{∨}_{2,3}e^{∨}_{1,2}, \\ 0 ≠ α & =e^{∨}_{2,3}e^{∨}_{1,3} −q^{2} e^{∨}_{1,3}e^{∨}_{2,3} . \end{aligned}

En changeant e^{∨}_{1,2} en α^{−1} e^{∨}_{1,2}, alors e^{∨}_{1,3} est changé en α^{−1} e^{∨}_{1,3}. Les deux premières relations sont inchangées et la troisième devient

1 =e^{∨}_{2,3}e^{∨}_{1,3} −q^{2} e^{∨}_{1,3}e^{∨}_{2,3}

Donc on peut supposer α = 1. L’algèbre A peut s’écrire

k[e^{∨}_{1,3}, e^{∨}_{2,3}][e^{∨}_{1,2}]

avec les relations

\begin{aligned}1 & =e^{∨}_{2,3}e^{∨}_{1,3} −q^{2} e^{∨}_{1,3}e^{∨}_{2,3}, \\ e^{∨}_{1,2}e^{∨}_{1,3} & = q^{−2} e^{∨}_{1,3}e^{∨}_{1,2}, \\ e^{∨}_{1,3} & =e^{∨}_{1,2}e^{∨}_{2,3} −q^{2} e^{∨}_{2,3}e^{∨}_{1,2} . \end{aligned}

C’est donc un quotient de l’algèbre de Ore itérée à partir de l’algèbre de Weyl quantifiée au sens de K.R. Goodearl [4] notée T = A_{1}(k, q^{2}) engendrée sur k par deux éléments x, y vérifiant xy − q^{2}yx = 1, itérée par un élément w vérifiant wy = q^{−2}yw et y = wx − xw.

Alors les y^{j}x^{i} ferment une base de l’espace vectoriel T. Il s’agit donc de montrer que T [w] ne possède pas d’idéal complètement premier non nul. C’est un anneau intègre comme extension de Ore itérée de l’anneau T intègre [4]. D’autre part, d’après [4], corollaire 8.5 on connait le spectre de T, qui est en posant u = (q^{2} − 1)yx + 1,

Spec(T) = {(0), uT, (y − ν)T + (x + (q^{2} − 1)^{−1}ν^{−1})T, ν ∈ k ν ≠ 0}

L’élément u est normalisant dans T car

\begin{aligned}xu & = q^{2}ux, \\ yu & = q^{−2}uy. \end{aligned}

Lemme. Si P est un idéal complètement premier de A_{1}(k, q^{2})[w] son intersection avec A_{1}(k, q^{2}) est nul.

Preuve. Supposons que P contienne x + (q^{2} − 1)^{−1}ν^{−1} et y − ν alors, modulo P, on a, en utilisant la relation y = wx − xw :

ν = −(q^{2} − 1)^{−1}ν^{−1}w + (q^{2} − 1)^{−1}ν^{−1}w = 0

ce qui est impossible.

Supposons que P contienne u = (q^{2} − 1)yx + 1 = xy − yx. Alors

\begin{aligned}wu & = wxy − wyx = wxy − q^{−2}ywx = (y + xw)y − q^{−2}y(y + xw) \\ & = (1 − q^{−2})y^{2} + xwy − q^{−2}yxw = (1 − q^{2})y^{2} + q^{−2}uw \end{aligned}

appartient à P; comme uw ∈ P on a (1 − q^{−2})y^{2} ∈ P. Donc y ∈ P. Donc 1 ∈ P et c’est impossible.

Remarque. Tout idéal premier de T [w] est complètement premier mais comme on ne travaillera qu’avec des images réciproques d’idéaux premiers de A = U_{q}^{+}(B_{2})/(z − 1) on n’a pas besoin de démontrer ce résultat, qui résulte de [4], [3] et du sous-lemme suivant.

Proposition 2. Si P est un idéal complètement premier de T [w] tel que P ∩T = (0) alors P est nul.

On commencera par un sous-lemme.

Sous-lemme. Ecrivons T [w] comme extension de Ore itérée A_{1}(k, q^{2})[w, σ, δ] où σ(y) = q^{−2}y, δ(y) = 0, σ(x) = x, δ(x) = y alors on a σδ = q^{−2}δσ.

Preuve. Il est clair que σδ(y) = 0 = δσ(y) et σδ(x) = q^{−2}y, δσ(x) = y, donc σδ(x) = q^{−2}δσ(x). Montrons par récurrence sur i que

δ(x^{i}) = x^{i−1}y + x^{i−2}yx + x^{i−3}yx^{2} + ⋯ + yx^{i−1}.

Alors

\begin{aligned}δ(x^{i+1}) & = σ(x)δ(x^{i}) + δ(x)x^{i} \\ & = x^{i}y + x^{i−1}yx + x^{i−2}yx^{2} + ⋯ + xyx^{i−1} + yx^{i} \end{aligned} .

Alors pour i et j entiers ≥ 0 on a

δ(x^{i}y^{j}) = x^{i−1}y^{j+1} + x^{i−2}yxy^{j} + x^{i−3}yx^{2}y^{j} + ⋯ + yx^{i−1}y^{j},
σδ(x^{i}y^{j}) = q^{−2(j+1)}{x^{i−1}y^{j+1} + ⋯ + yx^{i−1}y^{j}}
= q^{−2(j+1)}δ(x^{i}y^{j}),
σ(x^{i}y^{j}) = q^{−2j}x^{i}y^{j},
et δσ(x^{i}y^{j}) = q^{−2j}δ(x^{i}y^{j}).

Donc σδ(x^{i}y^{j}) = q^{−2}δσ(x^{i}y^{j}). Comme les x^{i}y^{j} forment une base de A_{1}(k, q^{2}) sur k on en déduit σδ = q^{−2}δσ.

Preuve de la Proposition 2. On notera D_{1}(q^{2}, k) le corps des fractions de A_{1}(q^{2}, k). Montrons d’abord que δ n’est pas une σ-dérivation intérieure de D_{1}(q^{2}, k) c’est-à-dire qu’il n’existe pas a ∈ D_{1}(q^{2}, k) tel que δ(r) = ar − σ(r)a pour r ∈ D_{1}(q^{2}, k). Si tel n’est pas le cas on a

D_{1}(q^{2}, k)[w; σ, δ] = D_{1}(q^{2}, k)[w − a, σ], w − a ≠ 0

cf. [5] 2.1 (iv).

D’autre part 0 = δ(y) = ay − q^{−2}ya, i.e. ay = q^{−2}ya car σ(y) = q^{−2}y et

y = ax − xa

car δ(x) = y = ax − σ(x)a. Comme on a y = wx − xw et wy = q^{−2}yw, on en déduit

(1)  (w − a)x = x(w − a),
(2)  (w − a)y = q^{−2}y(w − a).

Il résulte de (1), (2) (w − a)xy = x(w − a)y = q^{−2}xy(w − a) et comme xy = 1 + q^{2}yx il en résulte (w−a)+q^{2}(w−a)yx = q^{−2}xy(w−a) ou encore (w−a)+yx(w−a) = q^{−2}xy(w−a). D’où w − a = (q^{−2}xy − yx)(w − a) = q^{−2}(w − a). D’où la contradiction 1 = q^{−2}.

D’après le théorème 11.1 de [5] l’anneau D_{1}(q^{2}, k)[w] est simple. Il en résulte par [4] 1.4 que si P est un idéal complètement premier de A_{1}(q^{2}, k)[w] dont l’intersection avec A_{1}(q^{2}, k) est nul alors P = (0).

Corollaire 1. Si α ∈ k, α ≠ 0, alors (z − α) est un idéal maximal de U_{q}^{+}(B_{2}).

Preuve. Ceci résulte du lemme et de la proposition 2.

Théorème 1. Le diagramme des idéaux premiers de U_{q}^{+}(B_{2}) dont l’intersection avec k[z] est non nul est celui de la proposition 1 où on rajoute l’idéal maximal (z − α).

Théorème 2. L’anneau U_{q}^{+}(B_{2}) est caténaire.

Preuve. Montrons d’abord que si P est un idéal premier de U_{q}^{+}(B_{2}) dont l’intersection avec k[z] est nul alors Q := P ∩ k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}] = (0). En effet k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}] est un k[z]-algèbre. Soit F = k(z) le corps des fractions de k[z]. Comme Q ∩ k[z] = (0), Q engendre un idéal complètement premier Q′ de k(z)[e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}]. On montre comme dans le lemme 2.1.2 et la proposition 2.1.3 de [8] que tout idéal premier de k(z)[e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}] contient soit l’idéal engendré par e_{1,2} soit celui engendré par e_{1,3}. Mais alors on aurait e_{1,2} ou e_{1,3} ∈ P. Cependant les relations du paragraphe 1 entrainent qu’alors z ∈ P ce qui est exclu. On a donc P ∩ k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}] = (0). Si S = k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}] \ (0) alors S^{−1}P est un idéal complètement premier de D[e_{2,3}, σ_{2,3}, δ_{2,3}] où D est le corps des fractions de k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}] et d’après [3] 2.3(iv) il n’y a pas de relation d’inclusion entre les idéaux premiers non nuls de D[e_{2,3}, σ_{2,3}, δ_{2,3}]. Donc tous les idéaux premiers de U_{q}^{+}(B_{2}) dont l’intersection avec k[z] est nul sont maximaux. Par suite il y a caténarité de Spec(U_{q}^{+}(B_{2})).

Remarque. Ce qui précède prouve, avec les notations de la Proposition 3.1, que U_{q}^{+}(B_{2}) = C et par conséquence la Remarque 3.2.

Corollaire 2. Les idéaux primitifs de U_{q}^{+}(B_{2}) sont les idéaux maximaux et les idéaux (z, e_{1,3}) et (z, \overline{e}_{1,3}).

Preuve. Ceci résulte de [8] remarque.

Corollaire 3. L’anneau U_{q}^{+}(B_{2}) satisfait la condition de second niveau forte.

Preuve. Ceci résulte de la description des idéaux premiers de U_{q}^{+}(B_{2}) et du fait que dans chaque quotient premier, chaque idéal premier contient un élément normal non nul, ceci car Ph. Caldero a montré que tout idéal bilatère est engendré par une suite normalisante. On applique alors le diagramme p. 226 de [6] ce qui donne le résultat.

On va montrer qu’il existe effectivement des idéaux premiers de U_{q}^{+}(B_{2}) dont l’intersection avec k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{12}] est nul.

Rappelons [2] que le centre de U_{q}^{+}(B_{2}) est un anneau de polynômes en deux indéterminées z et z′ et que le centre du corps des fractions de U_{q}^{+}(B_{2}) est k(z, z′). Pour passer des notations de [2] aux nôtres il faut changer le q^{2} de [2] en q^{−1}.

Proposition 3. (1) Si λ ∈ k et P est un idéal premier de U_{q}^{+}(B_{2}) minimal au-dessus de (z′ − λ) alors P ∩ k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}] = 0.

(2) Si λ et μ ∈ k, λ ≠ μ il existe un idéal premier minimal P au-dessus de (z′ − λ) et un idéal premier minimal Q au-dessus de (z′ − μ) distincts et incomparables.

(3) Les idéaux premiers P de U_{q}^{+}(B_{2}) dont l’intersection avec k[z] est nulle sont de hauteur 1.

(4) Il existe un élément t de k(z, z′) transcendant sur k(z) = F tel que, notant S = k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}] \ (0), pour tout idéal premier P de U_{q}^{+}(B_{2}) tel que P ∩ k[z] = (0), il existe un polynôme unitaire irréductible f(t) ∈ F [t] tel que S^{−1}P = f(t)D[e_{2,3}, σ_{2,3}, δ_{2,3}] où D est le corps des fractions de k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}].

Preuve. (1) Si P est un idéal premier minimal au-dessus de (z′−λ) alors par le théorème de l’idéal principal [9] 4.1.11, la hauteur de P est égale à 1. Si P ∩k[z] ≠ 0, P contiendrait un z−α, α ∈ k. Mais (z−α) est premier donc on aurait P = (z−α) et z′−α ∈ (z−α)U_{q}^{+}(B_{2}) et on aurait z′ − α = (z − α)f(z, z′) avec f(z, z′) ∈ k[z, z′] ce qui est impossible.

On a donc P ∩ k[z] = 0 et par la démonstration du Théorème 2 on a

P ∩ k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, , σ_{1,2}] = (0).

(2) Notons P_{1}, …, P_{n} les idéaux premiers minimaux au-dessus de (z′ − λ) et Q_{1}, …, Q_{m} les idéaux premiers minimaux au-dessus de (z′ − μ). Si l’on avait {P_{1}, …, P_{n}} ⊆ {Q_{1},

…, Q_{m}} alors ⋂_{i=1}^{m} Q_{i} ⊆ ⋂_{j=1}^{n} P_{j} et il existerait s tel que (z′ − μ)^{s} appartiendrait à l’idéal

(z′ −λ). Donc, par intégrité de U_{q}^{+}(B_{2}), il existerait un polynôme F (z, z′) ∈ k[z, z′] tel que (z′ − μ)^{s} = (z′ − λ)F (z, z′) et en calculant modulo (z) on aurait (z′ − μ)^{s} = (z′ − λ)G(z′) dans k[z′] ce qui est impossible car λ ≠ μ.

(3) Cela résulte de [3] 2.3 (iv).

(4) D’après [1] (1.5 et Proposition 3.2), le centre de D est k(z) et k(z) est formé de (δ_{2,3}, σ_{2,3})-constantes.

D’après la preuve du théorème 2, si P est un idéal premier d’intersection nulle avec k[z] alors P ∩ k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}] = (0). Donc l’ensemble ordonné des idéaux premiers P de U_{q}^{+}(B_{2}) dont l’intersection avec k[z] est nulle est en bijection avec le spectre de D[e_{2,3}, σ_{2,3}, δ_{2,3}]. D’après [3] 2.3 (iv) et (2) il existe t dans le centre de D[e_{2,3}, σ_{2,3}, δ_{2,3}], donc dans k(z, z′) d’après [2], qui vérifie les conditions énoncées.

5. Cliques et localisation

Rappelons [6] que si R est un anneau noetherien et si P et Q sont des idéaux premiers non nuls de R on dit qu’il existe un lien de P vers Q et on note P ⟶^{∼} Q s’il existe un idéal bilatère I de R tel que P Q ⊆ I ⊂ P ∩ Q tel que P ∩ Q/I est sans torsion comme R/P -module à gauche et comme P/Q-module à droite. Un lien du type P ⟶^{∼} P est dit trivial. Cette notion détermine un graphe dans Spec(R) et la clique d’un idéal premier Q est la composante connexe de ce graphe qui contient Q.

Proposition 1. (1) Soit α ∈ k. Si P et Q sont des idéaux complètement premiers de U_{q}^{+}(B_{2}) tels que P ⟶^{∼} Q, alors z −α appartient à Q si et seulement si z −α appartient à P et si tel est le cas ou bien P = Q ou bien P/(z−α) ⟶^{∼} Q/(z−α) dans U_{q}^{+}(B_{2})/(z−α).

(2) Si (z − α) ∈ P ∩ Q et si P/(z − α) ⟶^{∼} Q/(z − α) alors P ⟶^{∼} Q.

Preuve. (1) Si I est un idéal bilatre P Q ⊆ I ⊂ P ∩ Q avec P ∩ Q/I sans torsion comme R/P − R/Q-bimodule et si par exemple z − α appartenait à P et non à Q alors

(z − α)(P ∩ Q) = (P ∩ Q)(z − α) ⊆ P Q ⊆ I,

contradiction. Si z − α ∈ P ∩ Q et z − α ∉ I, alors l’image \overline{z − α} de z − α dans P ∩ Q/I est non nul. Si on avait P ⊈ Q, on choisirait x ∈ Q \ P et alors \overline{(z − α)}x = x\overline{(z − α)} = \overline{0} ce qui contredit le choix de I. Donc P ⊆ Q. On montre de même que Q ⊆ P.

Si z − α ∈ I alors on voit que P/(z − α) ⟶^{∼} Q/(z − α) à l’aide de I/(z − α) comme dans la Proposition 5.3.12 de [6].

(2) est évident.

Proposition 2. Si P est un idéal premier de U_{q}^{+}(B_{2}) tel que P ∩ k[z] = (0), la clique de P est triviale et P est classiquement localisable.

Preuve. Si P ⟶^{∼} Q ou Q ⟶^{∼} P alors Q ∩ k[z] = 0 par la même démonstration que dans la proposition 1. D’autre part S = k[z, e_{1,3}][e_{1,2}, σ_{1,2}] \ (0) est un système de Ore dans U_{q}^{+}(B_{2}) (cf. [3]). Si P et Q sont des idéaux premiers non nuls de U_{q}^{+}(B_{2}) d’intersection vide avec S alors on a P ⟶^{∼} Q si et seulement si S^{−1}P ⟶^{∼} S^{−1}Q d’après [6].

Mais S^{−1}P et S^{−1}Q sont principaux engendrés par des éléments centraux f(t) et g(t) avec les notations de la Proposition 4.3(3). Si f(t) ≠ g(t) alors S^{−1}P ∩ S^{−1}Q = S^{−1}P Q donc on ne peut avoir P ⟶^{∼} Q. Finalement si P ⟶^{∼} Q alors P = Q. Inversement si P = Q on voit facilement que S^{−1}P ⟶^{∼} S^{−1}P donc P ⟶^{∼} P. D’autre part S^{−1}P étant engendré par un élément central est classiquement localisable car complètement premier et il en est de même de P.

Corollaire 1. 1) Les cliques triviales de U_{q}^{+}(B_{2}) sont {(0)}, {(z)}, {(z, Ω_{1,3} − θ)}, {(z − α)\}, \{(z, e_{1,3})\}, \{(z, \overline{e}_{1,3})\}, \{(z, e_{1,3}, e_{1,2})\}, \{(z, e_{1,3}, e_{2,3})\}, \{(z, e_{1,3}, e_{1,2}, e_{2,3}\} et les \{Q\} telles que Q ∩ k[z] = (0).

2) Les cliques non triviales de U_{q}^{+}(B_{2}) sont les {(P_{n,μ})}_{n∈Z} et {(Q_{n,λ})}_{n∈Z} μ, λ ∈ k \ {0} où P_{n,μ} = (z, e_{1,3}, e_{1,2}, e_{2,3} − q^{2n}μ) et Q_{n,λ} = (z, e_{1,3}, e_{1,2} − q^{2n}λ, e_{2,3}).

Preuve. (1) et (2) résultent des Propositions 1 et 2 et de [8] sauf en ce qui concerne (z − α) ⟶^{∼} (z − α), α ∈ k \ (0). Mais (z − α) étant un idéal complètement premier engendré par un élément central, le résultat est clair.

Corollaire 2. Toutes les cliques sont classiquement localisables.

Preuve. Puisqu’on a la condition de second niveau pour U_{q}^{+}(B_{2}), que les cliques satisfont de façon évidente à la condition d’incomparabilité, il suffit de vérifier que {(P_{n,μ})}_{n∈Z} et {Q_{n,λ})}_{n∈Z} satisfont la condition d’évitement. Mais ceci résulte d’une preuve identique à celle du théorème 3.3.2 de [8].

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