Beiträge zur Algebra und Geometrie Contributions to Algebra and Geometry Volume 35 (1994), No. 2, 239-257.

Nichtisotrope Kreisschiebzykliden des Flaggenraumes I

G. S. Karáné

Lehrstuhl für Darstellende Geometrie, Technische Universität Budapest Műegyetem rkp. 3, H – 1111 Budapest

Abstract. A flag space is a three-dimensional affine space with an absolute {ω, f, F } , where f is a line in the plane of infinity ω and F a point on f (H. Brauner [1]-[3]). A cyclide is a surface of order 4 which intersects ω only at f. In this paper we investigate all cyclides generated by translation of a circle in a not isotropic plane. We give normal forms and CAD pictures of these surfaces.

1. Aus der Geometrie des Flaggenraumes I_{3}^{(2)}, Zykliden

Die Geometrie des Flaggenraumes (zweifach isotropen Raumes) wurde erstmals systematisch von H. Brauner (vgl. [1]-[3]) studiert und von H. Sachs in zahlreichen Arbeiten weiterentwickelt (vgl. z.B. [6], [9]-[11]). Wir bezeichnen im folgenden mit P_{3}(R) den dreidimensionalen reellen projektiven Raum und beschreiben seine Punkte mittels projektiver Koordinaten (x_{0} : x_{1} : x_{2} : x_{3}) ≠ (0 : 0 : 0 : 0). In P_{3}(R) wirkt die 15-parametrige Gruppe der Projektivitäten

(1.1)  \begin{aligned}ρx̄_{0} & = α_{00}x_{0} + α_{01}x_{1} + α_{02}x_{2} + α_{03}x_{3} \\ ρx̄_{1} & = α_{10}x_{0} + α_{11}x_{1} + α_{12}x_{2} + α_{13}x_{3} \\ ρx̄_{2} & = α_{20}x_{0} + α_{21}x_{1} + α_{22}x_{2} + α_{23}x_{3} \\ ρx̄_{3} & = α_{30}x_{0} + α_{31}x_{1} + α_{32}x_{2} + α_{33}x_{3}, \end{aligned}

wobei ρ ≠ 0 einen Proportionalitätsfaktor bezeichnet und det(α_{ik}) ≠ 0 gilt. Die Fernebene ω von P_{3} beschreiben wir durch x_{0} = 0 und bezeichnen mit A_{3} := P_{3}−ω den zugeordneten affinen Raum. Punkte in A_{3} werden durch affine Koordinaten (x, y, z) festgelegt, wobei bekanntlich gilt

(1.2)  x = \frac{x_{1}}{x_{0}} , y = \frac{x_{2}}{x_{0}} , z = \frac{x_{3}}{x_{0}} , x_{0} ≠ 0.

Man gelangt zur Geometrie des zweifach isotropen Raumes (Flaggenraumes), indem man in ω ⊂ P_{3} eine Absolutfigur {ω, f, F } auszeichnet, die aus einer Geraden f ⊂ ω und einem

0138-4821/93 $ 2.50 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1994 Heldermann Verlag, Berlin

Punkt F ∈ f besteht. Die Gerade f heißt absolute Gerade, der Punkt F heißt absoluter Punkt. Alle projektiven Automorphien von {ω, f, F } bilden eine Gruppe, genannt zweifach isotrope Ähnlichkeitsgruppe.

Wird f durch x_{0} = x_{1} = 0 beschrieben und F durch F (0 : 0 : 0 : 1) festgelegt, dann läßt sich nach ([1], S. 119) diese zweifach isotrope Ähnlichkeitsgruppe H_{9} durch

(1.3)  \begin{aligned}x̄ & = c_{1} + c_{2}x \\ ȳ & = c_{3} + c_{4}x + c_{5}y \\ z̄ & = c_{6} + c_{7}x + c_{8}y + c_{9}z \end{aligned}

erfassen. Sie hängt von 9 freien Parametern ab. Wir bezeichnen — wie üblich — die xy-Ebene als Grundrißebene. In dieser Ebene (z = 0) induziert (1.3) die Gruppe

(1.4)  \begin{aligned}x̄ & = c_{1} + c_{2}x \\ ȳ & = c_{3} + c_{4}x + c_{5}y, \end{aligned}

d.h. die allgemeine ebene isotrope Ähnlichkeitsgruppe G_{5}. Die dazugehörige ebene isotrope Geometrie wurde ausführlich in der Monographie [7] von H. Sachs betrachtet. Um Geometrie zu betreiben, ist die Gruppe (1.3) noch zu allgemein. Sie enthält jedoch als Untergruppe die sechsparametrige Gruppe B_{6}^{(2)}

(1.5)  \begin{aligned}x̄ & = d_{1} + x \\ ȳ & = d_{2} + d_{3}x + y \\ z̄ & = d_{4} + d_{5}x + d_{6}y + z, \end{aligned}

die man Gruppe der zweifach isotropen Bewegungen (vgl. [1], S. 119) nennt. Ein affiner Raum A_{3}, in dem die Gruppe B_{6}^{(2)} als Fundamentalgruppe wirkt, heißt Flaggenraum I_{3}^{(2)} (zweifach isotroper Raum). Die zugehörige Geometrie heißt zweifach isotrope Geometrie (Geometrie des Flaggenraumes). Die Absolutfigur {ω, f, F } ist das Analogon zum absoluten Kegelschnitt

(1.6)  i_{E} : x_{0} = 0, x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 0

der euklidischen Geometrie.

Hinsichtlich der Punkte, Geraden und Ebenen sind die folgenden Begriffsbildungen von zentraler Bedeutung: Eine Ebene ε des I_{3}^{(2)} heißt nichtisotrop, wenn sie F nicht enthält. Eine Ebene ε heißt isotrop, wenn F ∈ ε gilt, aber f ⊄ ε. Eine Ebene ε heißt vollisotrop, wenn f ⊂ ε gilt.

Nimmt man zu den drei Typen von Ebenen des I_{3}^{(2)} noch die Fernebene hinzu, so hat man demnach in I_{3}^{(2)} vier Typen von Ebenen vorliegen. Bezeichnet man die Kreise des I_{3}^{(2)} wie die entsprechenden Trägerebenen, dann hat man in I_{3}^{(2)} vier Arten von Kreisen zu unterscheiden:

Ein nichtisotroper Kreis k ist ein Kegelschnitt in einer nichtisotropen Ebene ε, der die Fernebene in einem Punkt der absoluten Geraden f berührt. Ein isotroper Kreis k ist ein Kegelschnitt in einer isotropen Ebene ε, der die Fernebene im absoluten Punkt berührt. Ein vollisotroper Kreis k ist ein Kegelschnitt in einer vollisotropen Ebene ε, der die absolute Gerade f im absoluten Punkt F berührt. Ein Fernkreis k ist ein Kegelschnitt in ω, der die absolute Gerade f in F berührt.

Unter einer Zyklide des dreidimensionalen euklidischen Raumes E_{3} versteht man bekanntlich eine algebraische Fläche 4. Ornung, welche den absoluten Kegelschnitt i_{E} als Doppelkurve enthält (vgl. [4], S. 286f). Diese Definition läßt sich nach H. Sachs (vgl. [6]) unschwer auf den Flaggenraum I_{3}^{(2)} übertragen: Unter einer verallgemeinerten Zyklide des Flaggenraumes I_{3}^{(2)} versteht man eine irreduzible algebraische Fläche 4. Ordnung Φ^{(4)}, welche die Fernebene ω nur in der absoluten Geraden f schneidet. Unter einer gewöhnlichen Zyklide des I_{3}^{(2)} versteht man eine Zyklide mit der Eigenschaft, daß für alle vollisotropen ebenen Schnitte die Gerade f eine Doppelgerade der Fläche ist.

Für die folgenden Überlegungen ist der in [6] eingeführte Begriff der Hauptachsenfläche wichtig: Ist Φ^{(4)} eine verallgemeinerte Zyklide, so schneidet jede vollisotrope Ebene ε die Fläche Φ^{(4)} außer in f in einer Kurve 3. Ordnung k^{(3)}. Bestimmt man bezüglich k^{(3)} den Polarkegelschnitt k^{(2)} des Punktes F, so bilden alle diese Kegelschnitte k^{(2)} — wenn ε das Ebenenbüschel um f durchläuft — eine Fläche Σ^{∗}, genannt Hauptachsenfläche der Zyklide. Ist Φ^{(4)} eine gewöhnliche Zyklide, dann schneidet jede vollisotrope Ebene ε die Fläche Φ^{(4)} in der Doppelgeraden f und einem Kegelschnitt c^{(2)}. Bestimmt man bezüglich c^{(2)} die Polare p des Punktes F, so bilden alle diese Polaren p — wenn ε das Ebenenbüschel um f durchläuft — eine Fläche Σ^{∗}, genannt Hauptachsenfläche der Zyklide. Σ^{∗} ist stets eine Fläche 2. Ordnung und isotrop invariant mit Φ^{(4)} verknüpft. Sie kann zur Klassifikation der Zykliden Φ^{(4)} herangezogen werden. Wie V. Ščurić und H. Sachs in [11] gezeigt haben, existieren im projektiv erweiterten Flaggenraum genau 70 Flächen 2. Ordnung und demnach gibt es in I_{3}^{(2)} genau 70 Haupttypen von Zykliden.

Für spätere Zwecke sei noch vermerkt, daß sich die Zykliden des I_{3}^{(2)} in der Gestalt

(1.7)  \begin{matrix}F ≡ & a_{400}x^{4} + a_{300}x^{3} + a_{030}y^{3} + a_{003}z^{3} \\ + & a_{210}x^{2}y + a_{102}xz^{2} + a_{021}y^{2}z + a_{201}x^{2}z + a_{120}xy^{2} + a_{012}yz^{2} + a_{111}xyz \\ + & a_{200}x^{2} + a_{020}y^{2} + a_{002}z^{2} + a_{110}xy + a_{011}yz + a_{101}xz \\ + & a_{100}x + a_{010}y + a_{001}z + a_{000} = 0 \end{matrix}

darstellen lassen.

2. Kreisschiebzykliden in I_{3}^{(2)} vom Typ C

Alle Zykliden des I_{3}^{(2)}, die sich durch Schiebung eines vollisotropen Kreises erzeugen lassen, wurden als Kreisschiebzykliden vom Typ A bezeichnet und in [16] ausführlich untersucht. Die Kreisschiebzykliden vom Typ B des I_{3}^{(2)} — das sind jene Zykliden, die sich durch Schiebung eines isotropen Kreises erzeugen lassen — wurden erstmals in [9] studiert.

Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit der Bestimmung aller Kreisschiebzykliden vom Typ C, d.h. aller Zykliden 4. Ordnung des I_{3}^{(2)}, die sich durch Schiebung eines nichtisotropen Kreises k erzeugen lassen. Nach Anwendung einer isotropen Bewegung (1.5) kann man erreichen, daß die Trägerebenen der Kreisschar {k} parallel zur xy-Ebene des zugrundegelegten Koordinatensystems sind. Man kann dann die erzeugende Kreisschar in der Gestalt

(2.1)  {z = t, y = Rx^{2} + α(t)x + β(t)}

ansetzen, wobei t den Scharparameter bezeichnet. Da wir uns nur für irreduzible Flächen 4. Ordnung interessieren, müssen in jeder nichtisotropen Ebene ε zwei Kreise (2.1) vom gleichen Radius R liegen. Für jedes t muß somit eine Produktzerlegung

(2.2) \begin{aligned}[y − Rx^{2} − α_{1}x − β_{1}][y − Rx^{2} & − α_{2}x − β_{2}] = R^{2}x^{4} + R(α_{1} + α_{2})x^{3} − 2Rx^{2}y \\ & + (Rβ_{1} + Rβ_{2} + α_{1}α_{2})x^{2} + y^{2} − (α_{1} + α_{2})xy \\ & + (β_{1}α_{2} + α_{1}β_{2})x − (β_{1} + β_{2})y + β_{1}β_{2} = 0 \end{aligned}

gelten. Andererseits erhält man als Gleichung einer allgemeinen Zyklide 4. Ordnung aus (1.7) mit z = t

(2.3)  \begin{matrix}F ≡ & a_{400}x^{4} + a_{300}x^{3} + a_{030}y^{3} + a_{003}t^{3} \\ + & a_{210}x^{2}y + a_{102}xt^{2} + a_{021}y^{2}t + a_{201}x^{2}t + a_{120}xy^{2} + a_{012}yt^{2} + a_{111}xyt \\ + & a_{200}x^{2} + a_{020}y^{2} + a_{002}t^{2} + a_{110}xy + a_{011}yt + a_{101}xt \\ + & a_{100}x + a_{010}y + a_{001}t + a_{000} = 0 \end{matrix}

Sollen die beiden Kreise (2.2) für jede Ebene ε auf der Zyklide (2.3) liegen, so muß für jedes t die Gleichung (2.2) mit (2.3) übereinstimmen. Führt man einen Koeffizientenvergleich von (2.2) und (2.3) nach den Potenzen in x und y aus, so erhält man die folgenden 11 Bedingungen

(2.4a − k)  \begin{aligned}R^{2} & = a_{400}, \\ R(α_{1} + α_{2}) & = a_{300}, \\ a_{030} & = 0, \\ 2R & = −a_{210}, \\ R(β_{1} + β_{2}) + α_{1}α_{2} & = a_{201}t + a_{200}, \\ 1 & = a_{021}t + a_{020}, \\ α_{1} + α_{2} & = −a_{111}t − a_{110}, \\ β_{1}α_{2} + α_{1}β_{2} & = a_{102}t^{2} + a_{101}t + a_{100}, \\ β_{1} + β_{2} & = −a_{012}t^{2} − a_{011}t − a_{010}, \\ β_{1}β_{2} & = a_{003}t^{3} + a_{002}t^{2} + a_{001}t + a_{000}, \\ a_{120} & = 0. \end{aligned}

Diese Gleichungen müssen für alle t erfüllt sein. Damit folgt aus (2.4f) sofort a_{021} = 0, a_{020} = 1. Aus (2.4b) und (2.4g) ergibt sich \frac{a_{300}}{R} = −a_{111}t − a_{110}, d.h. a_{111}t + a_{110} + \frac{a_{300}}{R} = 0, woraus man a_{111} = 0 und Ra_{110} + a_{300} = 0 gewinnt. Wir vermerken

(2.5)  \begin{matrix}a_{030} = 0, a_{120} = 0, & a_{021} = 0, a_{020} = 1, a_{111} = 0, \\ Ra_{110} + a_{300} = 0. \end{matrix}

Aus (2.4e, i) ergibt sich weiter

α_{1}α_{2} = a_{201}t + a_{200} − R(β_{1} + β_{2}) = a_{201}t + a_{200} + R[a_{012}t^{2} + a_{011}t + a_{010}],

also

(2.6)  α_{1}α_{2} = Ra_{012}t^{2} + (Ra_{011} + a_{201})t + a_{200} + Ra_{010}.

Setzt man vorübergehend a := Ra_{012}, b := Ra_{011} + a_{201}, c := a_{200} + Ra_{010}, so berechnet man aus (2.4b): (α_{1} − α_{2})^{2} = (α_{1} + α_{2})^{2} − 4α_{1}α_{2} = \frac{1}{R^{2}} a_{300}^{2} − 4at^{2} − 4bt − 4c, d.h.

(2.7)  α_{1} − α_{2} = ±2\sqrt{Bt^{2} + Ct + D},

wobei B := −a, C := −b und 4D := \frac{1}{R^{2}} a_{300}^{2} − 4c gesetzt wurde. Setzt man noch \frac{a_{300}}{R} =: 2A, so erhält man aus (2.7) und (2.4b)

(2.8)  \begin{matrix}α_{1}(t) = A ± \sqrt{Bt^{2} + Ct + D}, \\ α_{2}(t) = A ∓ \sqrt{Bt^{2} + Ct + D} . \end{matrix}

Hiermit liegt die Bauart des Koeffizienten α(t) fest, wobei die Konstanten A, B, C und D zunächst nicht weiter interessieren. Jeder Kreis (2.1) schneidet die yz-Ebene x = 0 in einem Punkt P (0, β, t), und dieser muß auf der Schnittkurve von (2.3) mit x = 0 liegen, d.h. es muß gelten

(2.9) a_{030}β^{3}+a_{003}t^{3}+a_{021}β^{2}t+a_{012}βt^{2}+a_{020}β^{2}+a_{002}t^{2}+a_{011}βt+a_{010}β+a_{001}t+a_{000} = 0.

Mittels (2.5) und t = z kann diese Gleichung vereinfacht werden zu

(2.10)  β^{2} + β(a_{012}z^{2} + a_{011}z + a_{010}) + a_{003}z^{3} + a_{002}z^{2} + a_{001}z + a_{000} = 0.

Setzt man in (2.10) β = y − Rx^{2} − α(t)x ein, wobei α(t) = α(z) aus (2.8) zu entnehmen ist, so entsteht die Gleichung F (x, y, z) = 0 einer Fläche, die mit (1.7) übereinstimmen muß . Hieraus werden weitere Bedingungen abgeleitet. Nach längerer Rechnung erhält man für F die Gleichung

(2.11)  \begin{matrix}x^{2}(Bz^{2} + Cz + D)(a_{012}z^{2} + a_{011}z + a_{010} + 2y − 2Rx^{2} − 2Ax)^{2} \\ −[x^{2}(Bz^{2} + Cz + D) + (y − Rx^{2} − Ax)^{2} \\ +(y − Rx^{2} − Ax)(a_{012}z^{2} + a_{011}z + a_{010}) \\ +a_{003}z^{3} + a_{002}z^{2} + a_{001}z + a_{000}]^{2} & = 0. \end{matrix}

Die Gleichung (2.11) enthält das Glied Ba_{012}^{2}x^{2}z^{6}, das in der Zyklidengleichung (1.7) nicht vorkommen darf. Somit folgt Ba_{012}^{2} = 0. Da nach obigem B = −Ra_{012} gilt, ergibt sich somit zwingend B = 0. Wird B = 0 in (2.11) eingesetzt, so enthält diese Gleichung das Glied (4R^{2}C + 2Ra_{012}a_{003})x^{2}z^{5}, das in der Zyklidengleichung (1.7) nicht vorkommen kann. Wegen Ra_{012} = −B = 0 folgt somit C = 0, und α(t) in (2.8) ist notwendig eine Konstante. Nun gilt aber nach (2.1) \frac{dy}{dx}(P) = α, d.h. α gibt den Richtungswinkel der Tangente in P an den erzeugenden Kreis gegen die x-Achse des Koordinatensystems an. Durch eine isotrope Bewegung (1.5) kann man wegen der Konstanz von α erreichen, daß

(2.12)  α(t) ≡ 0 für alle t

gilt. Damit vereinfacht sich (2.1) zu

(2.13)  {z = t, y = Rx^{2} + β(t)}.

Wird β = y − Rx^{2} in (2.10) eingesetzt, so erhält man für die in Frage kommenden Lösungsflächen zwingend

(y − Rx^{2})^{2} + (y − Rx^{2})(a_{012}z^{2} + a_{011}z + a_{010}) + a_{003}z^{3} + a_{002}z^{2} + a_{001}z + a_{000} = 0,

woraus man erkennt, daß noch a_{012} = 0 gelten muß. Damit haben wir den

Satz 2.1: Die einzigen Kreisschiebzykliden des I_{3}^{(2)} vom Typ C besitzen die Darstellung

(2.14) (y − Rx^{2})^{2} + (y − Rx^{2})(a_{011}z + a_{010}) + a_{003}z^{3} + a_{002}z^{2} + a_{001}z + a_{000} = 0.

In der Tat sieht man sofort, daß jede Ebene z = t = const die Flächen (2.14) in 2 nichtisotropen Kreisen schneidet. Mit y − Rx^{2} = T hat man nämlich die quadratische Gleichung

(2.15)  T^{2} + (a_{011}t + a_{010})T + a_{003}t^{3} + a_{002}t^{2} + a_{001}t + a_{000} = 0

zu lösen und findet hiermit

(2.16)  \begin{aligned}y = & Rx^{2} − \frac{1}{2}(a_{011}t + a_{010}) \\ & ± \sqrt{\frac{1}{4}(a_{011}t + a_{010})^{2} − a_{003}t^{3} − a_{002}t^{2} − a_{001}t − a_{000}} . \end{aligned}

Diese beiden Schnittkreise sind kongruent, wie es sein muß, und besitzen die vollisotrope yz-Ebene als Symmetrieebene. Mit t = z ist (2.16) gleichzeitig eine explizite Darstellung aller Lösungsflächen, was für Computer-Darstellungen der entsprechenden Schiebzykliden wichtig ist. Setzt man in (2.16) x = u, so erhält man für die Flächen (2.16) die Parameterdarstellung

(2.16a)  \begin{aligned}x⃗(u, t) & = ( \begin{matrix}u \\ Ru^{2} \\ 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 \\ −\frac{1}{2}(a_{011}t + a_{010}) ± \sqrt{g(t)} \\ t \end{matrix} )  mit \\ g(t) & = \sqrt{\frac{1}{4}(a_{011}t + a_{010})^{2} − a_{003}t^{3} − a_{002}t^{2} − a_{001}t − a_{000}}. \end{aligned}

Die Darstellung (2.16a) zeigt, daß in der Tat eine Schiebfläche vorliegt, wobei die in der Ebene x = 0 gelegene Schnittkurve l von (2.16a) die Leitkurve für diese Erzeugung ist (vgl. [12], S. 244f; [13], S. 55f). Berechnet man an Hand von (2.14) die Hauptachsenfläche Σ^{∗}, so gewinnt man

(2.17)  3a_{003}z^{2} + 2a_{002}z + a_{001} + a_{011}(y − Rx^{2}) = 0.

Man erkennt, daß gemäß dem Typ von Σ^{∗} verschiedene Unterklassen auftreten: Falls a_{003} = a_{002} = a_{011} = 0, a_{001} ≠ 0 gilt, dann ist Σ^{∗} die Fernebene ω. Die entsprechenden Zykliden bezeichnen wir als Typ C I. Gilt a_{003} = a_{011} = 0, a_{002} ≠ 0, dann ist Σ^{∗} eine nichtisotrope Ebene. Die entsprechenden Zykliden bezeichnen wir als Typ C II. Gilt a_{011} = 0, a_{003} ≠ 0 und a_{002}^{2} − 3a_{001}a_{003} ≠ 0, dann besteht Σ^{∗} über C aus zwei parallelen, nichtisotropen Ebenen. Die entsprechenden Zykliden bezeichnen wir als Typ C III. Gilt a_{003} = 0, a_{002} = 0, a_{011} ≠ 0, dann ist Σ^{∗} eine Punktgrenzkugel. Die entsprechenden Zykliden bezeichnen wir als Typ C IV. Gilt a_{003} = 0, a_{002} ≠ 0, a_{011} ≠ 0, dann ist Σ^{∗} eine Punktkugel. Die entsprechenden Zykliden bezeichnen wir als Typ C V.

Der allgemeinste Fall liegt vor, wenn in (2.17) alle Koeffizienten von Null verschieden sind. In diesem Fall wenden wir auf (2.17) – nachdem durch a_{011} ≠ 0 dividiert wurde, aber die alte Bezeichnung beibehalten wurde – die Schiebung {x = x̄, y = ȳ, z = z̄ + δ} an. Man erhält 3a_{003}(z̄^{2} + 2δz̄+ δ^{2}) + 2a_{002}(z̄+ δ) + a_{001} + (ȳ− Rx̄^{2}) = 0. Das Glied mit z̄ kann zu Null gemacht werden, wenn 6a_{003}δ + 2a_{002} = 0 gilt, was für δ = −\frac{a_{002}}{a_{003}} erfüllt ist. Damit besitzt Σ^{∗} die Gleichung 3a_{003}z̄^{2} + (ȳ− Rx̄^{2}) + b_{000} = 0, wobei b_{000} das neue Absolutglied bezeichnet. Mit der Schiebung {x = x̄, y = ȳ + b_{000}, z = z̄} kann man schließlich Σ^{∗} auf die Normalform

(2.18)  y = Rx^{2} − 3a_{003}z^{2}

transformieren. Wegen a_{003} ≠ 0 stellt (2.18) für R > 0, a_{003} < 0 ein elliptisches Paraboloid dar, während für R > 0, a_{003} > 0 ein hyperbolisches Paraboloid vorliegt. Die zugehörigen Zykliden bezeichnen wir für a_{003} < 0 als Typ C VI, im Fall a_{003} > 0 als Typ C VII. Wir vermerken den Satz 2.2: Die Kreisschiebzykliden vom Typ C des I_{3}^{(2)} gestatten eine explizite Darstellung in der Form (2.16). Sie umfassen 7 Unterklassen gemäß der Hauptachsenfläche, nämlich: Klasse C I ( Σ^{∗} ist die Fernebene), Klasse C II ( Σ^{∗} ist eine nichtisotrope Ebene), Klasse C III ( Σ^{∗} besteht aus 2 parallelen nichtisotropen Ebenen über C), Klasse C IV ( Σ^{∗} ist eine Punktgrenzkugel), Klasse C V ( Σ^{∗} ist eine Punktkugel), Klasse C VI ( Σ^{∗} ist ein elliptisches Paraboloid) und Klasse C VII ( Σ^{∗} ist ein hyperbolisches Paraboloid). Die Leitkurve l für diese Erzeugung von (2.16) als Schiebfläche ist die in x = 0 gelegene Schnittkurve der Zyklide.

In den folgenden Abschnitten dieser Abhandlung beschäftigen wir uns mit den Kreisschiebzykliden vom Typ C I, C II und C III, während die Untersuchung der restlichen Typen einer weiteren Arbeit vorbehalten bleiben soll.

3. Kreisschiebzykliden in I_{3}^{(2)} vom Typ C I

Für a_{003} = a_{002} = a_{011} = 0, a_{001} ≠ 0 lautet (2.14)

(y − Rx^{2})^{2} + (y − Rx^{2})a_{010} + a_{001}z + a_{000} = 0.

Wir wenden auf diese Gleichung die Schiebung \{x = x̄, y = ȳ − \frac{1}{2}a_{010}, z = z̄\} an. Dann erhält man

(ȳ − Rx̄^{2} − \frac{1}{2}a_{010})^{2} + (ȳ − Rx̄^{2} − \frac{1}{2}a_{010})a_{010} + a_{001}z̄ + a_{000} = 0,

woraus folgt

(ȳ − Rx̄^{2})^{2} + \frac{1}{4}a_{010}^{2} − a_{010}(ȳ − Rx̄^{2}) + (ȳ − Rx̄^{2})a_{010} − \frac{1}{2}a_{010}^{2} + a_{001}z̄ + a_{000} = 0.

Man gewinnt

(ȳ − Rx̄^{2})^{2} + a_{001}z̄ − \frac{1}{4}a_{010}^{2} + a_{000} = 0.

Wendet man auf diese Gleichung die Schiebung \{x̄ = x, ȳ = y, z̄ = z + \frac{1}{4} \frac{a_{010}^{2}}{a_{001}} − \frac{a_{000}}{a_{001}} \} an, so erhält man als Normalform dieser Zyklide

(3.1)  (y − Rx^{2})^{2} + a_{001}z = 0.

Wir bezeichnen diese Schiebzyklide mit C I. Die in x = 0 gelegene Leitkurve l von (3.1) ist der parabolische Kreis (vgl. [7], S. 23)

(3.2)  z = −\frac{1}{a_{001}} y^{2}

vom Radius −\frac{1}{a_{001}} . Damit ist der einzige außer R in (3.1) verbleibende Koeffizient geometrisch gedeutet. Die Fläche entsteht durch Schiebung von k längs (3.2) (vgl. Abb.1).

Abbildung 1

Wir vermerken den

Satz 3.1: Im Flaggenraum I_{3}^{(2)} existiert eine einzige Kreisschiebzyklide vom Typ C I, nämlich die Fläche (3.1). Sie entsteht durch Schiebung des nichtisotropen Kreises \{y = Rx^{2}, z = 0\} längs des vollisotropen Kreises \{x = 0, z = −\frac{1}{a_{011}} y^{2}\}.

4. Kreisschiebzykliden in I_{3}^{(2)} vom Typ C II

Für a_{003} = a_{011} = 0, a_{002} ≠ 0 erhält man aus (2.14)

(y − Rx^{2})^{2} + (y − Rx^{2})a_{010} + a_{002}z^{2} + a_{001}z + a_{000} = 0.

Wie in 3. kann man durch eine Schiebung in y-Richtung und eine nachfolgende Schiebung in z-Richtung die Koeffizienten a_{010} und a_{001} zu Null machen. Damit stellt sich als Normalform dieses Flächentyps ein:

(4.1)  (y − Rx^{2})^{2} + a_{002}z^{2} + a_{000} = 0.

Die Leitkurve l von (4.1) ist gegeben durch

(4.2)  y^{2} + a_{002}z^{2} = −a_{000}.

Abbildung 2

Damit eine irreduzible Fläche vorliegt, muß a_{000} ≠ 0 gelten. Somit ist (4.2) stets ein Mittelpunktskegelschnitt mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Eine euklidische Achse fällt in die isotrope z-Achse. Für a_{002} > 0, a_{000} < 0 ist (4.2) eine Ellipse. Die zugehörige Fläche heißt vom Typ C II 1. Sie ist in Abbildung 2 dargestellt. Für a_{000} < 0 und a_{002} < 0 ist (4.2) eine Hyperbel 1. Art (vgl. [7], S. 70). Die zugehörige Fläche werde mit C II 2 bezeichnet. Sie ist in Abbildung 3 dargestellt. Für a_{002} < 0, a_{000} > 0 ist (4.2) eine Hyperbel 2. Art (vgl. [7], S. 70). Die zugehörige Fläche werde mit C II 3 bezeichnet. Sie ist in Abbildung 4 dargestellt. Wir vermerken den

Satz 4.1: Im Flaggenraum I_{3}^{(2)} existieren 3 Typen von Kreisschiebzykliden der Klasse C II. Sie besitzen als Hauptachsenfläche eine nichtisotrope Ebene und werden durch die Normalform (4.1) beschrieben. Sie entstehen durch Schiebung eines Kreises {y = Rx^{2}, z = 0} längs einer Ellipse, Hyperbel 1. Art oder Hyperbel 2. Art mit der Gleichung (4.2).

5. Kreisschiebzykliden in I_{3}^{(2)} vom Typ C III

Für a_{011} = 0 lautet (2.14) (y−Rx^{2})^{2} +(y−Rx^{2})a_{010} +a_{003}z^{3} +a_{002}z^{2} +a_{001}z+a_{000} = 0. Wie in 4. kann man durch eine Schiebung in y-Richtung a_{010} = 0 erzwingen. Die

Abbildung 3

Schnittkurve l der Fläche mit der Ebene x = 0 lautet dann

(5.1)  y^{2} = −a_{003}z^{3} − a_{002}z^{2} − a_{001}z − a_{000},

d.h. es handelt sich um eine divergente Newtonsche Parabel (vgl. [11], S. 131f). Vom Standpunkt der ebenen isotropen Geometrie ist (5.1) eine spezielle vollständig zirkuläre Kurve 3. Ordnung (vgl. [8]). Durch Anwendung einer Schiebung in z-Richtung kann man (5.1) auf die Normalform

(5.2)  y^{2} = Az(z^{2} + βz + γ)

mit A ≠ 0 transformieren. Damit lautet die Normalform der dazu gehörigen Schiebzykliden

(5.3)  (y − Rx^{2})^{2} − Az(z^{2} + βz + γ) = 0.

Anders als in [9], S. 152, ist jedoch in (5.2) die isotrope z-Achse die Symmetrieachse der Newtonschen Parabeln. Ähnlich wie in [9] sind nun einige Unterfälle zu diskutieren, wobei die geometrische Deutung der verbleibenden Invarianten A, β, γ anders zu führen ist.

Abbildung 4

Unterfall C III 1: Das Polynom f(z) := z^{2} + βz + γ hat zwei reelle, verschiedene Nullstellen a_{2}, a_{3} ≠ 0. Dann ist l eine Parabola campaniformis cum ovali (vgl. [5], S. 132). Die Kurve (5.2) schneidet die isotrope Symmetrieachse in den drei Punkten L_{1}(0, 0), L_{2}(0, a_{2}), L_{3}(0, a_{3}). Die Spannen s(L_{1}, L_{2}) = a_{2}, s(L_{1}, L_{3}) = a_{3} besitzen geometrische Bedeutung. Wegen a_{2}a_{3} = γ und −β = a_{2} + a_{3} haben damit auch γ und β geometrische Bedeutung, d.h. sie sind B_{6}^{(2)}-Invarianten. Zur Deutung von A differenzieren wir (5.2) zweimal nach y. Dies ergibt

\begin{aligned}2y & = Az′(z^{2} + βz + γ) + Az(2zz′ + β), \\ 2 & = Az′′(z^{2} + βz + γ) + Az′(2zz′ + βz′) + Az′(2zz′ + β) + Az(2z^{′2} + 2zz′′). \end{aligned}

Wird der Punkt L_{1}(0, 0) eingesetzt, so liefert dies

0 = Az′γ, 2 = Az′′γ + Az^{′2}β + Az′β.

Im vorliegenden Fall ist γ ≠ 0, so daß die erste Gleichung z′ = 0 ergibt. Damit folgt aus der zweiten Gleichung

(5.4)  z′′ = \frac{2}{Aγ} bzw. A = \frac{2ρ}{γ},

wobei ρ = \frac{1}{z′′} den isotropen Krümmungsradius der Kurve in L_{1} bezeichnet (vgl. [7], S. 112). Da ρ eine geometrische Größe ist, ist auch A eine geometrische Größe. Die dazu gehörige Schiebzyklide bezeichnen wir als Typ C III 1 und vermerken ihre Normalform

(5.5)  y = Rx^{2} ± \sqrt{Az(z − a_{2})(z − a_{3})} .

Die Fläche (5.5) ist in Abbildung 5 dargestellt. Diese Flächen hängen von 4 freien Parametern ab.

Abbildung 5

Unterfall C III 2: Das Polynom f(z) hat die Nullstellen z = 0 und z = a_{3} ≠ 0. Somit hat y^{2} die doppelte Nullstelle z = 0 und die einfache Nullstelle z = a_{3} ≠ 0. Dann ist l eine Parabola punctata (vgl. [5], S. 132). Der Punkt L_{1}(0, 0) ist ein Einsiedler, der Punkt L_{2}(0, a_{3}) der weitere Schnittpunkt von l mit der Symmetrieachse x = y = 0. Damit hat s(L_{1}, L_{2}) = a_{3}

Abbildung 6

geometrische Bedeutung. Zur Deutung der Größe A differenzieren wir die Gleichung von l zweimal nach y und betrachten die Ableitungen z′ und z′′ im Punkt L_{2}(0, a_{3}). Man findet

2y = 2Azz′(z − a_{3}) + Az^{2}z′ ⇒ 0 = Aa_{3}^{2}z′ ⇒ z′ = 0

wegen A ≠ 0, a_{3} ≠ 0. Weiter gilt

2 = 2A[(z^{′2} + zz′′)(z − a_{3}) + zz^{′2}] + 2Az^{′2}z + A^{2}z′′ ⇒ 2 = Aa_{3}^{2}z′′ ⇒

(5.6)  z′′(a_{3}) = \frac{2}{Aa_{3}^{2}} , A = \frac{2ρ}{a_{3}^{2}},

wobei ρ = \frac{1}{z′′} den isotropen Krümmungsradius von l im Punkt L_{2} bezeichnet (vgl. [7], S. 114). Da a_{3} eine geometrische Größe ist, und ebenso ρ, ist auch A nach (5.6) eine geometrische Größe. Die zur Leitkurve l gehörigen Schiebzykliden bezeichnen wir als Typ C III 2 und vermerken ihre Normalform

(5.7)  y = Rx^{2} ± \sqrt{Az^{2}(z − a_{3})} , a_{3} ≠ 0.

Die Fläche (5.7) ist in Abbildung 6 dargestellt. Sie besitzt einen singulären (isolierten) Kreis in der xy-Ebene. Diese Flächen hängen von 3 freien Parametern ab.

Abbildung 7

Unterfall C III 3: Das Polynom f(z) hat in z = a_{3} ≠ 0 eine zweifache Nullstelle, d.h. es gilt y^{2} = Az(z − a_{3})^{2}. Dann ist l eine Parabola nodata (vgl. [5], S. 133). Diese Kurve besitzt L_{2}(0, a_{3}) als Knoten und L_{1}(0, 0) als weiteren Schnittpunkt mit der Symmetrieachse x = y = 0. Die Größe s(L_{1}, L_{2}) = a_{3} hat somit geometrische Bedeutung. Wie unter Fall C III 1 berechnet man die Krümmung z′′ im Punkt L_{1} zu

(5.8)  z′′(0) = \frac{2}{Aa_{3}^{2}} ,

woraus man mittels ρ = \frac{1}{z′′} die B_{6}^{(2)}-Invarianz von A als

(5.9)  A = \frac{2ρ}{a_{3}^{2}}

findet. Die zur Leitkurve l gehörigen Schiebzykliden bezeichnen wir als Typ C III 3 und vermerken ihre Normalform zu

(5.10)  y = Rx^{2} ± \sqrt{Az(z − a_{3})^{2}} , a_{3} ≠ 0.

Die Fläche (5.10) ist in Abbildung 7 dargestellt. Sie besitzt einen nichtisotropen Kreis als Doppelkurve. Diese Flächen hängen von 3 freien Parametern ab.

Abbildung 8

.

Unterfall C III 4: Das Polynom f(z) hat z = 0 als doppelte Nullstelle. Somit besitzt y^{2} die dreifache Nullstelle z = 0, d.h. es gilt y^{2} = Az^{3} und l ist eine Parabola cuspidata (vgl. [5], S. 133). Der Punkt L_{1}(0, 0) ist eine Spitze von l. Zur geometrischen Deutung von A schneiden wir l mit dem in x = 0 gelegenen isotrop-invariant erklärten Einheitskreis k : z = y^{2}. Man erhält nebst L_{1} als Schnittpunkte von l mit k die Punkte S_{1} ( \frac{1}{\sqrt[4]{A}}, \frac{1}{\sqrt{A}})

und S_{2} (− \frac{1}{\sqrt[4]{A}}, \frac{1}{\sqrt{A}}) und berechnet hieraus d(S_{2}, S_{1}) = \frac{2}{\sqrt[4]{A}}. Damit stellt sich die geometrische Deutung

(5.11)  A = \frac{16}{d^{4}}

ein. Die zu l gehörigen Kreisschiebzykliden bezeichnen wir mit C III 4 und vermerken ihre Normalform zu

(5.12)  y = Rx^{2} ± \sqrt{Az^{3}} .

Diese Flächen hängen von 2 freien Parametern ab. Die Abbildung 8 zeigt eine derartige Fläche, welche stets eine Rückkehrkante in Form eines nichtisotropen Kreises besitzt.

Unterfall C III 5: Das Polynom f(z) hat die beiden konjugiert-komplexen Nullstellen z_{1} = a + ib, z_{2} = a − ib, mit b ≠ 0. Dann ist l eine Parabola pura (vgl. [11], S. 132) und wegen z_{1} + z_{2} = 2a, z_{1}z_{2} = a^{2} + b^{2} kann man l in der Gestalt

(5.13)  y^{2} = Az[(z − a)^{2} + b^{2}] mit b ≠ 0

darstellen. Die dazugehörigen Schiebzykliden bezeichnen wir mit C III 5 und vermerken ihre Normalform

(5.14)  y = Rx^{2} ± \sqrt{Az[(z − a)^{2} + b^{2}]} .

Gemäß der Gestalt von l tritt diese Fläche in 3 verschiedenen Formen auf; die Abbildung 9 zeigt eine dieser Möglichkeiten.

Abbildung 9

Es bleibt noch zu zeigen, daß a, b und A in (5.13) B_{6}^{(2)}-Invarianten sind. Dazu bestimmen wir aus F (y, z) ≡ y^{2} −Az[(z −a)^{2} +b^{2}] = 0 die isotropen Brennpunkte dieser Kurve. Man gewinnt diese aus F_{z} = −A[(z − a)^{2} + b^{2}] − 2Az(z − a) = 0, d.h. aus der quadratischen Gleichung

(5.15)  3z^{2} − 4az + (a^{2} + b^{2}) = 0

und (5.3). Die Gleichung (5.15) besitzt die Lösungen

(5.16)  z_{1,2} = \frac{1}{3} (2a ± \sqrt{a^{2} − 3b^{2}}) ,

die mit der Abkürzung Δ := \sqrt{a^{2} − 3b^{2}} für Δ ≠ 0 die beiden Geraden g_{1} : z = \frac{1}{3}(2a + Δ) bzw. g_{2} : z = \frac{1}{3}(2a − Δ) liefern, auf denen die Brennpunkte von l liegen. Gilt Δ = 0, dann besitzt l über C die beiden Brennpunkte

(5.17)  F_{1,2} (±\frac{2}{3}aA\sqrt{\frac{2}{3}aA}, \frac{2}{3}a) ,

die wegen a ≠ 0, A ≠ 0 stets verschieden sind. Die Trägergerade z = \frac{2}{3}a der Brennpunkte (5.17) besitzt von L_{1}(0, 0) den Abstand s = \frac{2}{3}a, womit a — und damit auch 3b^{2} = a^{2} — geometrisch gedeutet ist.

Gilt Δ ≠ 0, so kann wegen a ≠ ±ib in (5.16) niemals z_{1,2} = 0 gelten und (5.3) legt somit über C zwei Paare von Brennpunkten fest. Diese liegen auf den Geraden g_{1}, g_{2}, für die man aus s := s(g_{2}, g_{1}) = \frac{2}{3}Δ unmittelbar

(5.18)  \frac{9}{4}s^{2} = a^{2} − 3b^{2}

findet. Weiter erhält man ŝ(L_{1}, g_{1}) = \frac{1}{3}(2a + \sqrt{a^{2} − 3b^{2}} ) = \frac{2}{3}a + \frac{1}{2}s. Da ŝ und s geometrische Größen sind, ist auch a als geometrische Größe nachgewiesen. Aus (5.18) ergibt sich dann, daß auch b geometrische Bedeutung besitzt. Zur Deutung von A berechnen wir den Krümmungsradius ρ im Punkt L_{1}. Man findet

(5.19)  ρ = \frac{A}{2}(a^{2} + b^{2}), d.h. A = \frac{2ρ}{(a^{2} + b^{2})},

womit die B_{6}^{(2)}-Invarianz von A gezeigt ist. Da a und Δ = \sqrt{a^{2} − 3b^{2}} reelle Zahlen sind, ist in (5.19) stets a^{2} + b^{2} ≠ 0. Die Flächen (5.14) hängen von vier freien Parametern ab. Wir fassen zusammen im

Satz 5.1: Im Flaggenraum I_{3}^{(2)} existieren 5 Typen von Kreisschiebzykliden der Klasse C III. Sie besitzen als Hauptachsenfläche zwei parallele nichtisotrope Ebenen über C und werden durch die Normalformen (5.5), (5.7), (5.10), (5.12) und (5.14) beschrieben. Diese Flächen entstehen durch Schiebung des Kreises {y = Rx^{2}, z = 0} längs einer der 5 Typen von Newton-Parabeln (5.1) der yz-Ebene.

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Eingegangen am 30.5.93; revidierte Fassung am 10.4.94