Beiträge zur Algebra und Geometrie Contributions to Algebra and Geometry Volume 36 (1995), No. 2, 219-233.

Zur symplektischen Struktur irreduzibler Darstellungsmoduln der metazyklischen Gruppe G = ⟨a, b: a^{n} = 1, b^{2} = a^{t}, bab^{−1} = a^{r}⟩

Gerhard Roesch  und  Kurt Rosenbaum
Gymnasium Apolda  Institut für Mathematik
D-99510 Apolda  Pädagogische Hochschule

D-99006 Erfurt

1. Einleitung

Es seien G eine endliche Gruppe, M ein Darstellungsmodul für G über einem Körper K und ϕ: M × M → K eine nichtausgeartete schiefsymmetrische K-Bilinearform. In der Gruppenalgebra KG der Gruppe G über dem Körper K bezeichne ∗ eine Involution, d.h. einen Antiautomorphismus der Ordnung 2, der den Bedingungen

\begin{aligned}(a + b)^{∗} & = a^{∗} + b^{∗}, \\ (αa)^{∗} & = αa^{∗}, \\ (ab)^{∗} & = b^{∗}a^{∗}, \\ (a^{∗})^{∗} & = a \end{aligned}

für alle a, b ∈ KG und α ∈ K genügt. Ein Tripel (M, ∗, ϕ) aus einem Darstellungsmodul M für G über K, einer Involution ∗ in KG und einer K-Bilinearform ϕ in M heißt ein symplektischer Modul, wenn ϕ eine nichtausgeartete schiefsymmetrische Bilinearform ist, die der Bedingung

ϕ(xa, y) = ϕ(x, ya^{∗}) für alle x, y ∈ M und a ∈ KG

genügt. Wir nennen dann ϕ invariant bezüglich der Involution ∗. Symplektische Moduln traten zuerst bei Faddejew [2] in der algebraischen Zahlentheorie auf und wurden dann von Jakowlew [5] sowie von Jannsen und Wingberg [6] zur Beschreibung der absoluten Galoisgruppe p-adischer Zahlkörper verwendet. Der einem symplektischen Modul zugrunde liegende Vektorraum ist notwendig von gerader Dimension. Mit M ist auch der duale Vektorraum Hom_{K}(M, K) ein Darstellungsmodul für G über K vermöge

(ha)(x) = h(xa^{∗})

0138-4821/93 $ 2.50 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1995 Heldermann Verlag, Berlin

220 G. Roesch, K. Rosenbaum: Zur symplektischen Struktur irreduzibler …

für alle h ∈ Hom_{K}(M, K), x ∈ M und a ∈ KG. Die nicht ausgeartete Bilinearform ϕ vermittelt einen KG-Isomorphismus von M auf Hom_{K}(M, K) vermöge

x → \overline{x} mit \overline{x}(y) = ϕ(x, y).

Fixiert man eine Basis {e_{1}, e_{2}, …, e_{n}} von M, die wir uns als formalen Spaltenvektor

\overrightarrow{e} = ( e_{1} ; e_{2} ; ⋮ ; e_{n} )

geschrieben denken, so liefert die Aktion von G auf M die zu M gehörende Matrixdarstellung g → A_{g} der Gruppe G gemäß

\overrightarrow{e}g = A_{g}\overrightarrow{e}.

Wählt man im dualen Modul Hom_{K}(M, K) die Basis {b_{1}, b_{2}, …, b_{n}} mit

b_{i}(e_{k}) = δ_{ik} (Kroneckersymbol),

so bekommt man als zugehörige Darstellung g → A_{g^{∗}}^{T} die verallgemeinerte kontragrediente Darstellung, die wir auch als bezüglich der Involution ∗ konjugierte Darstellung bezeichnen. Der durch ϕ vermittelte KG-Isomorphismus von M auf Hom_{K}(M, K) wird dann durch

A_{g}C = CA_{g^{∗}}^{T}

beschrieben. Dabei ist C die in der Basis \overrightarrow{e} gegebene Formenmatrix von ϕ, also regulär und schiefsymmetrisch. Das ist gleichwertig mit der Definition des symplektischen Moduls. Ist K ein Körper der Charakteristik Null, so kennt man nach Borewicz [1] die Struktur eines symplektischen Moduls: Jeder symplektische Modul (M, ∗, ϕ) zerfällt in die orthogonale direkte Summe einfacher symplektischer Teilmoduln:

(M, ∗, ϕ) = (M_{1}, ∗, ϕ_{1}) ⊕ … ⊕ (M_{k}, ∗, ϕ_{k}).

Es gibt zwei Arten einfacher symplektischer Teilmoduln:

1. M_{i} ist als Darstellungsmodul irreduzibel. Dann ist

M_{i} ≅ Hom_{K}(M_{i}, K),

und wir nennen M_{i} bezüglich der Involution ∗ selbstkonjugiert.

2. M_{i} ist als Darstellungsmodul die KG-direkte Summe zweier bezüglich ∗ zueinander konjugierter irreduzibler Darstellungsmoduln:

M_{i} = M_{i1} + M_{i2} mit
M_{i1} ≅ Hom_{K}(M_{i2}, K) und M_{i2} ≅ Hom_{K}(M_{i1}, K).

Der eigentlich interessante Fall ist der erste. Hier kann es mehrere wesentlich verschiedene nicht ausgeartete, schiefsymmetrische und bezüglich ∗ invariante Bilinearformen geben. Im zweiten Fall dagegen gibt es nach Koch [7] und Kurtz [8] bis auf isometrische Isomorphie genau eine solche Bilinearform. Ihre Einschränkung auf M_{i1} und auf M_{i2} ist jeweils vollständig isotrop.

In der vorliegenden Arbeit leisten wir einen Beitrag zur Lösung des folgenden Problems: Gegeben sind ein irreduzibler Darstellungsmodul M für eine endliche Gruppe G über einem Körper K und eine Involution ∗ in der Gruppenalgebra KG, bezüglich der M selbstkonjugiert ist. Gesucht sind bis auf isometrische Isomorphie alle nicht ausgearteten, schiefsymmetrischen und bezüglich der Involution ∗ invarianten Bilinearformen in M. Ist

G = ⟨a, b: a^{n} = 1, b^{2} = a^{t}, bab^{−1} = a^{r}⟩

mit (r, n) = 1, n|t(r−1) und r^{2} ≡ 1 (n) eine metazyklische Gruppe und K = C der Körper der komplexen Zahlen, so können wir dieses Problem vollständig lösen. Das Ergebnis wird benötigt zur Beschreibung symplektischer Moduln über irreduziblen Darstellungsmoduln beliebiger metazyklischer Gruppen.

2. Involutionen

Nach [10] permutiert jede Involution in der Gruppenalgebra CG der metazyklischen Gruppe G über dem Körper C der komplexen Zahlen die zentralen orthogonalen Idempotente von CG. Umgekehrt liefert jede solche Permutation (der Ordnung 2) eine Involution in CG. Wir führen alle unsere Untersuchungen in der Sprache der Idempotente und gehen daher zunächst ausführlicher auf die Idempotente in der Gruppenalgebra CN des zyklischen Normalteilers N = ⟨a⟩ von G über dem Körper C der komplexen Zahlen ein.

2.1. Die Idempotente von CN

Es bezeichne ζ eine primitive n-te Einheitswurzel. Die zyklische Gruppe N = ⟨a⟩ hat über C genau n Darstellungen vom Grad 1, nämlich

δ_{j}: a → ζ^{j}, j = 0, 1, 2, …, n − 1.

Zu jeder dieser Darstellungen gehört ein Darstellungsmodul, der als Vektorraum über C eindimensional ist und von dem Element

e_{j} = \frac{1}{n} ∑_{k=0}^{n−1} ζ^{−jk}a^{k}

erzeugt wird. Die Idempotente e_{j} sind bekanntlich orthogonal und bilden eine C-Basis der Gruppenalgebra CN. Insbesondere ist

be_{j}b^{−1} = e_{j}^{(r)} = e_{rj}.

2.2. Involutionen in CN

Nach [12] permutiert jede Involution ∗ in der Gruppenalgebra CN der zyklischen Gruppe N = ⟨a⟩ über dem Körper C der komplexen Zahlen die orthogonalen Idempotente e_{j} gemäß

e_{j}^{∗} = e_{π(j)}

mit π ∈ S_{n} und π^{2} = 1. Umgekehrt definiert jede solche Permutation eine Involution ∗ in CN, die das erzeugende Element a von N abbildet auf

a^{∗} = \frac{1}{n} ∑_{k=0}^{n−1} (∑_{j=0}^{n−1} ζ^{π(j)−jk}) a^{k}.

Eine Potenz a^{t} hat dann das Bild

(a^{t})^{∗} = (a^{∗})^{t} = \frac{1}{n} ∑_{k=0}^{n−1} (∑_{j=0}^{n−1} ζ^{tπ(j)−jk}) a^{k}.

Die Anzahl der Involutionen in CN ist damit gleich der Anzahl aller Elemente π ∈ S_{n}, deren Ordnung höchstens gleich 2 ist. Wir interessieren uns nun für solche Involutionen der Gruppenalgebra CN, die einerseits die zentralen orthogonalen Idempotente von CG untereinander permutieren und andererseits bei Einschränkung auf CN eine Involution in CN sind. Solche Involutionen wirken auf das erzeugende Element b gemäß b^{∗} = bc, wobei c ∈ CN eine noch geeignet zu beschreibende Einheit ist.

Definition 1. Eine Involution ∗ in CN heißt fortsetzbar zu einer (ebenfalls mit ∗ bezeichneten) Involution in CG, wenn ∗ in CG die zentralen orthogonalen Idempotente permutiert und bei Einschränkung auf CN mit der ursprünglichen Involution zusammenfällt.

Es gibt von CN auf CG fortsetzbare Involutionen, etwa die durch die Inversenbildung in G induzierte:

a^{∗} = a^{−1}, fortgesetzt durch b^{∗} = b^{−1}.

Nicht jede Involution ∗ aus CN ist fortsetzbar zu einer Involution ∗ in CG (Beispiel 1). Eine fortsetzbare Involution hat im allgemeinen mehrere Fortsetzungen (Beispiel 2). Ist ∗ eine von CN auf CG fortsetzbare Involution, dann genügt das Element c ∈ CN mit b^{∗} = bc den Bedingungen

(1)  c^{∗}c^{(r)} = 1,
(2)  c c^{(r)} = (a^{∗})^{t}a^{−t}.

Dabei bedeutet c^{(r)} = bcb^{−1}. Diese beiden Bedingungen ergeben sich unmittelbar aus

(b^{∗})^{∗} = b = (bc)^{∗} = c^{∗}bc = c^{∗}c^{(r)}b

und

(b^{∗})^{2} = bcbc = c c^{(r)}b^{2} = (b^{2})^{∗} = (a^{t})^{∗}.

Ist umgekehrt ∗ eine von CN auf CG fortsetzbare Involution, so liefert jedes c ∈ CN, das den Bedingungen (1) und (2) genügt, gemäß

a → a^{∗}, b → b^{∗} = bc

eine konkrete Fortsetzung. Wir übersetzen die Bedingungen (1) und (2) in die Sprache der Idempotente. Es sei

c = ∑_{j=0}^{n−1} α_{j}e_{j}.

Wegen

a = ∑_{j=0}^{n−1} ζ^{j}e_{j}

ist c^{(r)} = ∑_{j=0}^{n−1} α_{rj}e_{j} und c^{∗} = ∑_{j=0}^{n−1} α_{π(j)}e_{j}.

Dann nehmen die Bedingungen (1) und (2) die äquivalente Form

(1′)  α_{π(j)}α_{rj} = 1,
(2′)  α_{j}α_{rj} = ζ^{(π(j)−j)t}

an für alle j = 0, 1, 2, …, n − 1. Nach diesen Vorbereitungen läßt sich die Fortsetzbarkeit einer Involution ∗ von CN auf CG vollständig durch die definierende Permutation π beschreiben.

Satz 1. Eine durch eine Permutation π definierte Involution ∗ in CN läßt sich genau dann zu einer (ebenfalls mit ∗ bezeichneten) Involution in CG fortsetzen, wenn

π(rj) ≡ rπ(j) (n)

ist für alle j = 0, 1, 2, …, n − 1.

Beweis. 1. Es sei ∗ eine von CN auf CG fortsetzbare Involution. Für das erzeugende Element a des zyklischen Normalteilers N berechnen wir (a^{r})^{∗} auf zweierlei Art. Einerseits ist

(a^{r})^{∗} = (a^{∗})^{r} = (∑_{j=0}^{n−1} ζ^{π(j)}e_{j})r = ∑_{j=0}^{n−1} ζ^{rπ(j)}e_{j}.

Andererseits ist

(a^{r})^{∗} = (bab^{−1})^{∗} = (b^{∗})^{−1}a^{∗}b^{∗} = c^{−1}b^{−1}a^{∗}bc = (∑_{j=0}^{n−1} ζ^{π(j)}e_{j})(r) = ∑_{j=0}^{n−1} ζ^{π(rj)}e_{j}.

Koeffizientenvergleich liefert die Behauptung

π(rj) ≡ rπ(j) (n)

für alle j = 0, 1, 2, …, n − 1.

2. Wenn umgekehrt die Bedingung des Satzes erfüllt ist, so wird jedes zentrale Idempotent aus CG, das zu einer irreduziblen Darstellung vom Grad 2 gehört, auf ein solches abgebildet. Wir konstruieren nun ein c = ∑_{j=1}^{n−1} α_{j}e_{j}, dessen Koeffizienten den Bedingungen (1′) und (2′) genügen. Zu diesem Zweck teilen wir die Menge M = {0, 1, 2, …, n − 1} in drei paarweise disjunkte Teilmengen ein:

\begin{aligned}M_{1} & = \{j: π(j) = j ∨ π(j) ≡ rj (n)\}, \\ M_{2} & = \{j: j ≡ rj (n) ∧ π(j) ≠ j\}, \\ M_{3} & = M \ (M_{1} ∪ M_{2}). \end{aligned}

Jede dieser Mengen wird durch die Permutation π, falls sie die Bedingung π(rj) ≡ rπ(j) (n) für alle j = 0, 1, 2, …, n − 1 erfüllt, auf sich selbst abgebildet. Wir definieren nun

c_{1} = ∑_{j∈M_{1}} e_{j}, c_{2} = ∑_{j∈M_{2}} ζ^{\frac{1}{2} (π(j)−j)t}e_{j}, c_{3} = ∑_{j∈M_{3}} α_{je_{j}}

mit α_{j} = ζ^{−jt}, falls j < rj und α_{rj} = ζ^{π(j)t}.

Dann genügt das Element c = c_{1} + c_{2} + c_{3} den Bedingungen (1′) und (2′). Die durch b^{∗} = bc fortgesetzte Involution permutiert dann auch die zu den Darstellungen vom Grad 1 der Gruppe G gehörenden Idempotente von CG untereinander von der Ordnung 2. Damit ist Satz 1 bewiesen.

Im konkreten Fall können einzelne Mengen M_{i} leer sein (Beispiel 3). Neben dem im Beweis angegebenen Element c gibt es im allgemeinen noch weitere Elemente c, welche eine Involution aus CN zu einer Involution in CG fortsetzen (Beispiele 2, 4). Für eine beliebige metazyklische Gruppe mit m > 2 kann die Bedingung von Satz 3 ebenfalls erfüllt sein (Beispiel 5), sie ist aber im allgemeinen nicht notwendig (Beispiel 6).

3. Symplektische Moduln

In diesem Abschnitt geben wir die irreduziblen Darstellungen der metazyklischen Gruppe G = ⟨a, b: a^{n} = 1, b^{2} = a^{t}, bab^{−1} = a^{r}⟩ an und untersuchen, wann sich in den zugehörigen Darstellungsmoduln bei gegebener Involution eine symplektische Struktur einführen läßt.

3.1. Die irreduziblen Darstellungen der Gruppe G

Die irreduziblen Darstellungen einer beliebigen metazyklischen Gruppe G über dem Körper C der komplexen Zahlen sind nach Clifford induzierte Darstellungen von Darstellungen vom Grad 1 gewisser Untergruppen von G. Danach hat die uns interessierende Gruppe

G = ⟨a, b: a^{n} = 1, b^{2} = a^{t}, bab^{−1} = a^{r}⟩

über C nur Darstellungen vom Grad 1 oder vom Grad 2 (siehe auch [11]). Ist bei festem j

δ_{j}: a → ζ^{j}

eine irreduzible Darstellung von N = ⟨a⟩ mit ζ^{j} = ζ^{rj}, also mit

rj ≡ j (n),

so entstehen daraus zwei Darstellungen vom Grad 1 der gesamten Gruppe G, nämlich

\begin{aligned}d_{j_{1}} & : a → ζ^{j}, b → \sqrt{ζ^{jt}} und \\ d_{j_{2}} & : a → ζ^{j}, b → −\sqrt{ζ^{jt}}. \end{aligned}

Diese Darstellungen sind für die spätere Betrachtung symplektischer Moduln uninteressant. Ist dagegen

δ_{j}: a → ζ^{j}

eine irreduzible Darstellung von N mit

rj ≢ j (n)

(dann ist wegen r^{2} ≡ 1 (n) erst r^{2}j ≡ j (n)), so ist die induzierte Darstellung

d_{j} = ind_{N}^{G} δ_{j}: a → ( \begin{matrix}ζ^{j} & 0 \\ 0 & ζ^{rj} \end{matrix} ) , b → ( \begin{matrix}0 & 1 \\ ζ^{jt} & 0 \end{matrix} )

eine irreduzible Darstellung der metazyklischen Gruppe G. Wir betrachten den zugehörigen Darstellungsmodul. Dieser ist, da er von gerader Dimension ist, möglicher Träger symplektischer Strukturen.

3.2. Die konjugierte Darstellung

Um entscheiden zu können, ob eine gegebene irreduzible Darstellung g → A_{g} vom Grad 2 unserer metazyklischen Gruppe äquivalent zu ihrer konjugierten Darstellung g → A_{g^{∗}}^{T} ist, benötigen wir die Gestalt der letzteren. Vorbereitend formulieren wir zwei Hilfssätze. Dabei bezeichnet j jeweils einen festen Exponenten von ζ. Bei den Beweisen verwenden wir s als Laufindex für die orthogonalen Idempotente.

Lemma 1. Ist a → A_{a} = ( \begin{matrix}ζ^{j} & 0 \\ 0 & ζ^{rj} \end{matrix} ), so ist A_{a^{∗}} = ( \begin{matrix}ζ^{π(j)} & 0 \\ 0 & ζ^{π(rj)} \end{matrix} ).

Zum Beweis von Lemma 1 genügt es, die Bilder A_{s} der Idempotente e_{s} bei der Darstellung d_{j} zu betrachten, also

A_{s} = \frac{1}{n} ∑_{k=0}^{n−1} ζ^{−sk} ( \begin{matrix}ζ^{jk} & 0 \\ 0 & ζ^{rjk} \end{matrix} ) = \frac{1}{n} ∑_{k=0}^{n−1} ( \begin{matrix}ζ^{(j−s)k} & 0 \\ 0 & ζ^{(rj−s)k} \end{matrix} ) .

Ist V = ind(e_{j}CN), so ist bei Einschränkung auf N

V |_{N} = e_{j}CN + e_{rj}CN.

Wegen V e_{k} = 0 für k ≠ j und k ≠ rj folgt

A_{s} = \{ \begin{matrix}( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) & für s = j \\ ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) & für s = rj \\ ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) & sonst. \end{matrix}

Wegen a^{∗} = ∑_{s=0}^{n−1} ζ^{s}e_{π(s)} = ∑_{s=0}^{n−1} ζ^{π(s)}e_{s} folgt wie behauptet

A_{a^{∗}} = ( \begin{matrix}ζ^{π(j)} & 0 \\ 0 & ζ^{π(rj)} \end{matrix} ) .

Lemma 2. Es sei c ∈ CN ein Element, das eine Involution ∗ aus CN fortsetzt zu einer Involution in CG gemäß

a → a^{∗}, b → b^{∗} = bc

und sei d_{j} = ind_{N}^{G} δ_{j} wie oben eine irreduzible induzierte Darstellung. Wenn für die ∗ definierende Permutation π die Bedingung

π(j) ≡ rj (n)

erfüllt ist, dann hat das Element c bei d_{j} die Darstellungsmatrix

A_{c} = ±E.

Beweis. Wir setzen c = ∑_{s=0}^{n−1} α_{s}e_{s}.

Aus dem Beweis von Lemma 1 kennen wir die Darstellungsmatrizen A_{s} der Idempotente e_{s}. Daher wird

A_{c} = ∑_{s=0}^{n−1} α_{s}A_{s} = ( \begin{matrix}α_{j} & 0 \\ 0 & α_{rj} \end{matrix} ) .

Da ∗ eine von CN auf CG fortsetzbare Involution ist, folgt aus der Bedingung (1′) des Beweises von Satz 1, angewendet auf den festen Index j, wegen π(j) ≡ rj (n) zunächst α_{rj}^{2} = 1, also α_{rj} = ±1. Aus der Bedingung (2′) ergibt sich dann (wieder für unser festes j) unter Beachtung von n | t(r − 1), also von

ζ^{(π(j)−j)t} = ζ^{(π(j)−rj)t},

(wieder wegen π(j) ≡ rj (n)) des weiteren α_{j}α_{rj} = 1. Zusammen bedeutet das

α_{j} = α_{rj} = 1 oder α_{j} = α_{rj} = −1.

Damit ist auch Lemma 2 bewiesen.

Diese Hilfssätze sind der Schlüssel zur Beantwortung unserer beiden Hauptfragen:

1. Wann ist eine induzierte Darstellung d_{j} bezüglich einer (von CN auf CG fortgesetzten) Involution ∗ selbstkonjugiert?

2. Wann läßt sich in einem selbstkonjugierten Darstellungsmodul eine symplektische Struktur einführen?

Satz 2. Es sei δ_{j}: a → ζ^{j} eine Darstellung von N, die bezüglich einer von CN auf CG fortsetzbaren Involution ∗ nicht selbstkonjugiert ist, d.h. für die ∗ beschreibende Involution π gelte

π(j) ≠ j.

Ist j ≢ rj (n), die induzierte Darstellung d_{j} = ind_{N}^{G} δ_{j} also irreduzibel, so gilt: Die induzierte Darstellung d_{j} vermöge

a → ( \begin{matrix}ζ^{j} & 0 \\ 0 & ζ^{rj} \end{matrix} ) , b → ( \begin{matrix}0 & 1 \\ ζ^{jt} & 0 \end{matrix} )

ist genau dann selbstkonjugiert bezüglich der Fortsetzung der Involution vermöge a → a^{∗}, b → b^{∗} = bc mit c ∈ CN, wenn

π(j) ≡ rj (n)

ist.

Beweis. 1. Sei die Darstellung d_{j} selbstkonjugiert. Dann gibt es eine reguläre Matrix C mit

A_{a}C = CA_{a^{∗}}^{T} und A_{b}C = CA_{b^{∗}}^{T} .

Aus der ersten Gleichung ergibt sich die Matrix C unter Beachtung von Lemma 1 in der Form

C = ( \begin{matrix}0 & x \\ y & 0 \end{matrix} )

mit x ≠ 0 und y ≠ 0, und es folgt

ζ^{rj} = ζ^{π(j)}, also π(j) ≡ rj (n).

Bis hierher haben wir die Darstellungsmatrix A_{b} noch gar nicht benötigt.

2. Wenn umgekehrt die Bedingung des Satzes erfüllt ist, so ist die auf N eingeschränkte Darstellung d_{j} bezüglich ∗ selbstkonjugiert (aber nicht mehr irreduzibel), denn die Darstellungen

a → ( \begin{matrix}ζ^{j} & 0 \\ 0 & ζ^{rj} \end{matrix} ) und a → ( \begin{matrix}ζ^{π(j)} & 0 \\ 0 & ζ^{rπ(j)} \end{matrix} )

sind äquivalent. Nun kommt auch die zweite Gleichung A_{b}C = CA_{b^{∗}}^{T} ins Spiel. Nach Lemma 2 ist

A_{b^{∗}}^{T} = (A_{b}A_{c})^{T} = ±A_{b}^{T} .

Ist A_{c} = E, also A_{b^{∗}}^{T} = A_{b}^{T}, so setzen wir x = y. Ist dagegen A_{c} = −E, so setzen wir x = −y. Damit ist Satz 2 bewiesen. Ist die induzierte Darstellung d_{j} nicht selbstkonjugiert, so hat die Darstellungsmatrix A_{c} keine entsprechende Bedeutung.

3.3. Symplektische Struktur

Nach [10] läßt sich in dem zu der irreduziblen Darstellung d_{j} gehörenden selbstkonjugierten Darstellungsmodul M entweder eine symmetrische oder eine schiefsymmetrische nichtausgeartete und bezüglich der Involution ∗ auch invariante Bilinearform angeben. Ein dort angegebenes Kriterium([10], Seite 134) führt bei der praktischen Überprüfung zu aufwendigen Rechnungen. In unserem Fall ist allein die Darstellungsmatrix A_{c} verantwortlich für das Auftreten der jeweiligen Form. Unser Hauptergebnis ist

Satz 3. Es sei δ_{j}: a → ζ^{j} eine bezüglich einer von CN auf CG fortsetzbaren Involution ∗ nicht selbstkonjugierte Darstellung des Normalteilers N, also π(j) ≠ j. Ist auch die induzierte Darstellung

d_{j} = ind_{N}^{G} δ_{j}: a → ( \begin{matrix}ζ^{j} & 0 \\ 0 & ζ^{rj} \end{matrix} ) , b → ( \begin{matrix}0 & 1 \\ ζ^{jt} & 0 \end{matrix} )

irreduzibel, also j ≢ rj (n), und bezüglich einer Fortsetzung der Involution gemäß

a → a^{∗}, b → b^{∗} = bc mit c ∈ CN

selbstkonjugiert, dann gilt:

Im zugehörigen Darstellungsmodul M läßt sich genau dann eine symplektische Struktur einführen, wenn für die Darstellungsmatrix A_{c} des Elements c gilt A_{c} = −E. Genau dann läßt sich in M eine symmetrische Struktur einführen, wenn A_{c} = +E ist.

Beweis. Nach Lemma 2 ist A_{c} = ±E.

1. Es sei (M, ∗, ϕ) ein symplektischer Modul, also

A_{a}C = CA_{a^{∗}}^{T}, A_{b}C = CA_{b^{∗}}^{T}

mit einer regulären schiefsymmetrischen Matrix C. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir

C = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )

annehmen. Dann ergibt sich aus der ersten Gleichung die Bedingung π(j) ≡ rj (n) für das Selbstkonjugiertsein von M. Aus der zweiten Gleichung

( \begin{matrix}ζ^{j} & 0 \\ 0 & ζ^{rj} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}ζ^{π(j)} & 0 \\ 0 & ζ^{rπ(j)} \end{matrix} )

( \begin{matrix}0 & 1 \\ ζ^{jt} & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}α_{j} & 0 \\ 0 & α_{rj} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & ζ^{jt} \\ 1 & 0 \end{matrix} )

erhalten wir α_{j} = α_{rj} = −1, also A_{c} = −E.

2. Wenn umgekehrt A_{c} = −E ist, so ergibt sich aus den beiden Gleichungen

A_{a}C = CA_{a^{∗}}^{T} und A_{b}C = −CA_{b}^{T}

sofort

C = ( \begin{matrix}0 & x \\ −x & 0 \end{matrix} ) mit x ≠ 0.

Folglich ist (M, ∗, ϕ) ein symplektischer Modul. Analog zeigt man die Behauptung über die symmetrische Struktur. Damit ist Satz 3 bewiesen. Anstelle von C = ( \begin{matrix}0 & x \\ −x & 0 \end{matrix} ) mit x ≠ 0 hätten wir oben auch die dazu kogrediente Matrix

( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) nehmen können. Über einem irreduziblen Darstellungsmodul für eine Gruppe G

über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K der Charakteristik Null gibt es nämlich bis auf isometrische Isomorphie höchstens eine symplektische Struktur. Ist δ_{j}: a → ζ^{j} ein bezüglich einer Involution ∗ in CN nicht selbstkonjugierter Darstellungsmodul, so kann folgendes eintreten: Es gibt zwei verschiedene Fortsetzungen von ∗ zu einer Involution in CG gemäß

b^{∗} = bc^{(1)}, b^{∗} = bc^{(2)},

so daß die induzierte Darstellung d_{j} = ind_{N}^{G} δ_{j} bezüglich beider Fortsetzungen selbstkonjugiert ist, aber bei der ersten eine symplektische, bei der zweiten eine symmetrische Struktur trägt (Beispiel 7).

4. Beispiele

Beispiel 1. Die symmetrische Gruppe S_{3} = ⟨a, b: a^{3} = 1, b^{2} = 1, bab^{−1} = a^{2}⟩ ist metazyklisch. In CN, N = ⟨a⟩ ist durch π = (13) die Involution

a → a^{∗} = ζa^{−1}, ζ = −\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3}

definiert. Sie ist nicht zu einer Involution in CG fortsetzbar, denn sie respektiert das zu

der Darstellung vom Grad 2 vermöge a → ( \begin{matrix}ζ & 0 \\ 0 & ζ^{2} \end{matrix} ) , b → ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) gehörende Idempotent

e = \frac{1}{3}(2 − a − a^{2})

nicht.

Beispiel 2. G sei wie im Beispiel 1 die symmetrische Gruppe S_{3}. Die durch die Permutation π = (12) in CN definierte Involution

a → a^{∗} = a^{−1}

ist auf CG fortsetzbar. Mögliche Elemente c aus CN für eine Fortsetzung gemäß b^{∗} = bc sind nach Licht ([9], Seite 51):

\begin{aligned}c^{(1)} & = ±1, \\ c^{(2)} & = ±(\frac{1}{3} − \frac{2}{3}a − \frac{2}{3}a^{2}). \end{aligned}

Beispiel 3. Es sei G = ⟨a, b: a^{6} = 1, b^{2} = a^{3}, bab^{−1} = a^{−1}⟩ die verallgemeinerte Quaternionengruppe Q_{3}. In der Gruppenalgebra CN des zyklischen Normalteilers N = ⟨a⟩ der Ordnung 6 über dem Körper C der komplexen Zahlen gibt es 76 Involutionen, von denen genau 12 von CN auf CG fortsetzbar sind. Sie sind definiert durch die Permutationen (1) , (15) , (24) , (15)(24) ,

(36) , (15)(36) , (24)(36) , (15)(24)(36) , (12)(45) , (14)(25) , (12)(45)(36) , (14)(25)(36) .

Beispiel 4. Wir betrachten wieder die verallgemeinerte Quaternionengruppe

G = ⟨a, b: a^{6} = 1, b^{2} = a^{3}, bab^{−1} = a^{−1}⟩ = Q_{3}.

Jede Involution ∗ aus CN, die durch eine Permutation π mit M_{1} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, M_{2} = M_{3} = ∅ definiert ist (das sind gerade die ersten vier der im Beispiel 3 angegebenen Involutionen), ist auf 16 verschiedene Arten durch ein Element c ∈ CN gemäß b^{∗} = bc fortsetzbar: Nach L. Gutierrez-Barrios ([4], Seite 39) sind das die durch die Summenformeln

c = ± (1 − \frac{d}{3} ∑_{k=0}^{6/d−1} a^{dk}) a^{g}

oder

c = ± (1 − \frac{d}{3} ∑_{k=0}^{6/d−1}(−a)^{dk}) a^{g}

ausgedrückten Elemente. Dabei durchläuft d alle Teiler von 6 und g < 6 ist eine positive ganze Lösung der Kongruenz g · 4 ≡ 0 (6).

Beispiel 5. Die metazyklische Gruppe

G = ⟨a, b: a^{6} = 1, b^{4} = 1, bab^{−1} = a^{5}⟩ ≅ Z_{2} × Q_{3}

ist nicht isomorph zu einer metazyklischen Gruppe mit einem zyklischen Normalteiler der Ordnung 12. Genau die Involutionen ∗ aus CN mit N = ⟨a⟩ sind zu Involutionen in CG fortsetzbar, für welche die definierende Permutation π ∈ S_{6} die Bedingung

π(rj) ≡ rπ(j) (n) für alle j = 0, 1, 2, 4, 5

erfüllt. Darüber hinaus gilt: Die Einschränkung jeder von CN auf CG fortsetzbaren Involution auf die Gruppenalgebra CH mit H = ⟨a, b^{2}⟩ ist eine Involution in CH. So definiert etwa π = (12)(45) in CN die Involution

a → a^{∗} = \frac{2}{3}a + \frac{2}{3}a^{3} − \frac{1}{3}a^{5}.

Sie kann fortgesetzt werden zu einer Involution in CG gemäß

b → b^{∗} = b (\frac{1}{3} + \frac{1 + i\sqrt{3}}{3}a^{2} + \frac{1 − i\sqrt{3}}{3}a^{4}) .

Bei Einschränkung auf die Gruppenalgebra CH wird das Element b^{2} abgebildet auf

(b^{∗})^{2} = b^{2} (−\frac{1}{3} + \frac{2}{3}a^{2} + \frac{2}{3}a^{4}) .

Beispiel 6. In der metazyklischen Gruppe

G = ⟨a, b: a^{20} = 1, b^{4} = 1, bab^{−1} = a^{3}⟩

definiert die Permutation π = (1, 9), die die Zahlen 1 und 9 vertauscht, eine Involution ∗ in CN, welche der im Fall m = 2 notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Fortsetzbarkeit von CN auf CG nicht genügt, denn

π(r · 1) = π(3) = 3 ≠ rπ(1) = 7.

Dennoch ist diese Involution fortsetzbar zu einer Involution in CG, welche die zentralen orthogonalen Idempotente geeignet permutiert.

Beispiel 7. Wie in den Beispielen 1 und 2 sei G = ⟨a, b: a^{3} = 1, b^{2} = 1, bab^{−1} = a^{2}⟩ die symmetrische Gruppe S_{3}. Sie hat eine über C irreduzible Darstellung vom Grad 2, nämlich

d: a → ( \begin{matrix}ζ & 0 \\ 0 & ζ^{2} \end{matrix} ) , b → ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) .

Bezüglich der von CN auf CG fortsetzbaren Involution ∗ gemäß a^{∗} = a^{2} mit den beiden Fortsetzungen

\begin{matrix}b^{∗} = bc^{(1)}, & c^{(1)} = \frac{1}{3} − \frac{2}{3}a − \frac{2}{3}a^{2} und \\ b^{∗} = bc^{(2)}, & c^{(2)} = −1 \end{matrix}

gilt A_{c^{(1)}} = E bzw. A_{c^{(2)}} = −E.

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Eingegangen am 5.4.1994, revidierte Fassung am 30.3.1995.