Sobre la Aproximación de Funciones Periódicas de Lipschitz por Polinomios Trigonométricos

Miguel A. Jiménez Pozo. ^{∗}

Comenzamos con el resumen de algunas ideas básicas. Denotemos indistintamente por C_{2π}, al espacio de las funciones continuas con valores reales o complejos definidas sobre IR y de período 2π. Por T_{n}, al subespacio de los polinomios trigonométricos de grado no superior a n, de la forma

t_{n}(x) := \frac{a_{o}}{2} + ∑_{k=1}^{n}(a_{k} cos kx + b_{k}senkx).  (1)

Si f ∈ C_{2π}, la mejor aproximación uniforme de f a T_{n} es el número positivo

E_{n}(f) := E_{n}(f, || . ||_{∞}) := inf_{t_{n}∈T_{n}} ∥f − t_{n}∥_{∞} .  (2)

Aquí ∥.∥_{∞} denota la norma de L_{2π}^{∞} (supremo esencial del módulo respecto a la medida de Lebesgue) y, por tanto, restringida a C_{2π}, deviene en la norma de la convergencia uniforme.

El Teorema de Weierstrass asegura que

∀f ∈ C_{2π}, E_{n}(f) ↓ 0.  (3)

Además, sabemos que

∀f ∈ C_{2π} ∀n ∃!t_{n}^{∗} ∈ T_{n}, E_{n}(f) = ∥f − t_{n}^{∗}∥_{∞}  (4)

Aquí ∃! significa existencia y unicidad y t_{n}^{∗} := t_{n}^{∗}(f, || . ||_{∞}) es el polinomio de grado n de mejor aproximación a f en la norma uniforme.

∗Profesor Investigador de la Univ. Autónoma de Puebla. Miembro del Sistema Nacional de Investigadores de México. Versión de la conferencia desarrollada en el Postgrado de Matemática de la Universidad Central de Venezuela, Caracas, en Abril de 1997 y parcialmente apoyada por el Proyecto de Investigación sobre Aproximación y Optimización del CONACyT, México, No. 3749P-E9608

Algunos problemas requieren en su contexto de una norma || . ||, diferente de la uniforme. En tales casos, podemos eventualmente extender la definición (2), de manera natural, mediante

E_{n}(f, || . ||) := inf_{t_{n}∈T_{n}} ∥f − t_{n}∥ .

Pero no puede asegurarse a priori la validez de (3), con E_{n}(f, || . ||) en lugar de E_{n}(f, || . ||_{∞}); ni la unicidad del polinomio de la mejor aproximación t_{n}^{∗} := t_{n}^{∗}(f, || . ||) en (4).

La existencia de t_{n}^{∗}(f, || . ||) siempre estará garantizada porque T_{n} es un subespacio finito dimensional.

Un caso feliz es cuando C_{2π} se considera como un subespacio normado del espacio de Hilbert L_{2π}^{2}. Este es el espacio de las funciones de cuadrado Lebesgue integrables sobre [0, 2π] con el producto escalar

(f | g) := \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)\overline{g(x)}dx,  (5)

(la barra denota el complejo conjugado) y el sistema ortonormal completo (base ortornormal) cos(nx), sen((n + 1)x), n = 0, 1, 2, ..., o bien e^{inx}, n = 0, ±1, ±2, ..., entonces cada t_{n}^{∗} relativo a esta norma es único; cumple (3) y se calcula teóricamente con toda exactitud utilizando (1), mediante el uso de las fórmulas equivalentes

a_{k} : = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) cos kxdx k = 0, 1, 2, …,  (6)
b_{k} : = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} f(x) senkxdx k = 1, 2, …,  (7)

o bien

t_{n}^{∗}(x) = ∑_{−n}^{n} f̂(k)e^{ikx},  (8)

donde

\begin{aligned}f̂(k) : & = & \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(x)e^{−ikx}dx \\ & = & (f|e^{ikx}). \end{aligned}  (9)

Es decir, cada polinomio de la mejor aproximación correspondiente a la norma de L_{2π}^{2}, no es más que la suma parcial n-ésima de la serie de Fourier de f, denotada S_{n}(f).

Para el cálculo de t_{n}^{∗}, en la norma uniforme, carecemos de fórmulas explícitas como las indicadas más arriba para la norma de L_{2π}^{2}. Luego, resultaría alentador descubrir que S_{n}(f) es un polinomio cercano, en la norma uniforme, a t_{n}^{∗}.

Lamentablemente, es bien conocido en la Teoría de las series de Fourier, que existen funciones f ∈ C_{2π}, para las cuales

|S_{n}(f, x) − f(x)| ↛^{n} 0

para infinitos x ∈ [0, 2π].

Este resultado dice que las sumas parciales de las series de Fourier de las funciones continuas no son buenos aproximantes, en la norma uniforme, aunque ellos coincidan con los polinomios de la mejor aproximación en la norma de L_{2π}^{2}.

Luego, se necesita de una vía de cálculo aproximado de los polinomios de la mejor aproximación uniforme y una espectativa que podemos alimentar, consiste en explotar la idea intuitiva de que las sumas parciales de las series de Fourier, tampoco deben de encontrarse demasiado alejadas de los respectivos polinomios de la mejor aproximación uniforme.

En efecto, un método de cálculo conocido, es formar las medias aritméticas con las sumas parciales de la serie de Fourier. Este método se conoce como suma de Cèsaro de la serie de Fourier, a saber:

σ_{n}(f, x) := \frac{S_{0}(f, x) + ⋯ + S_{n}(f, x)}{n + 1}.  (10)

Se demuestra con relativa facilidad que

∀f ∈ C_{2π} , ∥σ_{n}(f) − f∥_{∞} →^{n} 0,  (11)

aunque σ_{n}(f) no aproxima a f de la forma óptima en que lo hace t_{n}^{∗}(f).

Debemos detenernos para esclarecer ideas.

Contrario a lo que sucede en los espacios de Hilbert y, en particular, en L_{2π}^{2}, el operador

\begin{aligned}M_{n} : & C_{2π} & ⟶ & T_{n} \\ & f & ⇝ & t_{n}^{∗}(f, || . ||_{∞}) \end{aligned}  (12)

no es lineal.

Un método de aproximación lineal en (C_{2π}, || . ||_{∞}) es, por definición, una sucesión de operadores lineales

L_{n} : C_{2π} ⟶ T_{n}  (13)

con la propiedad siguiente:

∀f ∈ C_{2π}, ∥L_{n}(f) − M_{n}(f)∥_{∞} →^{n} 0,  (14)

Obviamente, de (3) y de la desigualdad triangular, se infiere que (14) es equivalente a

∀f ∈ C_{2π}, ∥L_{n}(f) − f∥_{∞} → 0.

Así que (σ_{n}) es un método lineal de aproximación.

Vamos a transformar un poco la expresión de σ_{n} en (10).

En la mayoría de los textos que tratan las series de Fourier (ver por ejemplo [10], [5] o [4]), se detallan los cálculos para expresar a S_{n} en la forma

S_{n}(f, x) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(y)D_{n}(x − y)dy := (f ∗ D_{n})(x),  (15)

donde D_{n} es el llamado núcleo de Dirichlet

D_{n}(x) := \frac{sen (n + \frac{1}{2})x}{sen (\frac{x}{2})}  (16)

y (f ∗ D_{n}) denota el producto de convolución.

Con ayuda de algunos cálculos, sustituyendo (15) y (16) en (10), σ_{n} se puede expresar en la forma

σ_{n}(f, x) := \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(y)F_{n}(x − y)dy = (f ∗ F_{n})(x)  (17)

donde F_{n} es el llamado núcleo de Féjer

F_{n}(x) = \frac{1}{n + 1} [\frac{sen (\frac{n+1}{2}) x}{sen \frac{x}{2}}]^{2}  (18)

Esta fórmula es muy importante.

En primer lugar, observamos que σ_{n} es un operador positivo (transforma funciones reales positivas en funciones positivas). Si utilizamos (10), observamos, que

σ_{n}(1) ≡ 1 , σ_{n}(cos) = \frac{n}{n + 1} cos, σ_{n} (sen) = \frac{n}{n + 1} sen

y utilizando uno de los famosos teoremas de tipo Korovkin [6], a saber, que si L_{n} : C_{2π} → C_{2π} es una sucesión de operadores lineales positivos, tales que ∥L_{n}f_{i} − f_{i}∥_{∞} → 0 para las tres funciones de prueba f_{1} ≡ 1, f_{2}(x) = cos x, f_{3}(x) = sen x, entonces ∥L_{n}f − f∥_{∞} →^{n} 0 para cualquier función f ∈ C_{2π}; obtenemos una demostración inmediata de (11).

En segundo lugar, tanto (15) como (17), nos orientan hacia la búsqueda de núcleos para definir métodos de aproximación lineal mediante la convolución. Es así que el llamado núcleo de Jackson

J_{n}(x) := \frac{3}{n(2n^{2} + 1)} [\frac{sen(\frac{n}{2})x}{sen \frac{x}{2}}]^{4} ,  (19)

nos facilita polinomios trigonométricos muy cercanos a t_{n}^{∗}.

Regresando a (10), encontramos también una motivación para introducir los métodos generales de sumación de las series de Fourier.

En efecto, si la serie de Fourier de f viene dada por

\frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=0}^{∞} (a_{k} cos kx + b_{k} sen kx)

tenemos que

S_{0} = \frac{a_{0}}{2} , S_{1} = \frac{a_{0}}{2} + (a_{1} cos x + b_{1}senx) ; etc,

entonces, de (10),

σ_{0} = \frac{a_{0}}{2} , σ_{1} = \frac{a_{0}}{2} + \frac{1}{2} (a_{1} cos x + b_{1}sen x) ,

y en fin,

σ_{n}(f, x) = \frac{a_{0}}{2} + \frac{n − 1}{n}(a_{1} cos x + b_{1}senx) + ⋯ + \frac{1}{n}(a_{n} cos nx + b_{n}sennx)

Esto significa que podemos “idear” un método general de sumación de las series de Fourier de la manera siguiente: se selecciona una matriz triangular infinita de números ρ_{n,k}, con 0 < ρ_{n,k} ≤ 1, n = 0, 1, 2, ⋯ y k = 0, 1, …, n; donde

ρ_{0,0} ≡ 1
∀n ∀k = 0, 1, …, n − 1, ρ_{n,k+1} ≤ ρ_{n,k}
∀k, ρ_{n,k} ↑_{n} 1

y se define el método lineal de sumación asociado a la matriz, mediante la expresión

\frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{n} ρ_{n,k}(a_{k} cos kx + b_{k}senkx).  (20)

Por ejemplo, la suma Cèsaro, en (10) , que ha motivado este proceso, corresponde a la matriz

ρ_{n,k} = \frac{n + 1 − k}{n + 1} (n ≥ 1).

La cuestión, naturalmente, es tratar de deducir un método de sumación tal que (20) defina un polinomio muy cercano a t_{n}^{∗} en la norma uniforme.

Korovkin encontró (ver [6] y también [9]), una matriz óptima de sumación que comienza las filas con ρ_{n,0} ≡ 1 y ρ_{n,1} = cos \frac{π}{n+2}.

Tanto este método de Korovkin como el núcleo de Jackson, producen polinomios de aproximación en norma uniforme tan óptimos como t_{n}^{∗}. Es tiempo de precisar qué se entiende por esta optimalidad.

Los polinomios trigonométricos son funciones de clase C^{∞}, luego es de esperar (incluso, es evidente si nos basamos en la Teoría de Funciones de Variable Compleja) que ellos aproximen uniformemente de manera más cómoda a las funciones suaves, es decir, la velocidad de convergencia de E_{n}(f) a cero depende, en alguna medida, de la suavidad de f. Una forma de medir la suavidad está basada en la noción de Módulo de Continuidad de la función periódica f. A saber

ω(f, δ) := sup_{x,y∈IR, |x−y|≤δ} |f (x) − f (y)|  (21)

donde 0 < δ ≤ π, es fijo. Observemos que si δ > π, entonces, utilizando la definición (21) y la periodicidad de f, ω(f, δ) se mantendría constante e igual a ω(f, π).

Puesto que f es continua, también es uniformemente continua sobre [0, 2π]. Luego ω(f, δ) ⟶ 0 , cuando δ → 0^{+} .

El resultado fundamental de la Teoría de Aproximación de funciones continuas por polinomios trigonométricos, establece que

∀f ∈ C_{2π}, E_{n}(f) = O(ω(f, \frac{1}{n}))  (22)

y si bien no siempre (en realidad pocas veces) podemos calcular t_{n}^{∗}(f) explícitamente, tanto el núcleo de Jackson como el método de sumación de Korovkin de las series de Fourier (en realidad ambas cosas están muy conectadas), nos permiten calcular polinomios trigonométricos que aproximan a la función con un orden similar a (22).

También se sabe que esta velocidad de aproximación no puede ser mejorada, esto es, existen funciones en C_{2π} para las cuales en (22) no puede cambiarse O grande por o pequeña.

Tratemos de estimar ω(f, δ) para algunas funciones.

Si f es una función derivable con derivada uniformemente acotada por una constante M, podemos utilizar el teorema del valor medio de Lagrange en (21) y obtener

ω(f, δ) ≤ Mδ  (23)

Análogamente procedemos con las funciones que satisfacen la llamada propiedad de Lipschitz .

Para 0 < α ≤ 1 y f ∈ C_{2π}, se define el número:

θ_{α}(f) := sup_{x≠y} \frac{| f(x) − f(y) |}{|x − y|^{α}}  (24)

Denotemos

Lip_{α} := {f ∈ C_{2π} | θ_{α}(f) < ∞}  (25)

Se sabe que Lip_{α} es un subespacio lineal de C_{2π} y que θ_{α} es una seminorma, cuyo núcleo está constituido exactamente por las funciones constantes.

Si f ∈ Lip_{α}, se infiere de (21) y (24), que

ω(f, δ) ≤ θ_{α}(f)δ^{α}  (26)

Obviamente, (23) es un caso particular de (26), pues toda función con derivada uniformemente acotada, pertenece a Lip_{1}.

Utilizando (26), el teorema expresado en (22) toma la forma particular siguiente para funciones de Lipschitz.

∀f ∈ Lip_{α}, E_{n}(f) = O (\frac{1}{n^{α}} )  (27)

Es de esperar que si f ∈ C_{2π} admite derivadas hasta un orden r ≥ 1, su suavidad permita una aproximación más rápida que O(\frac{1}{n}).

Para medir una mayor suavidad, se pueden intentar variar vías. De hecho, es muy frecuente utilizar la noción de módulo de continuidad de orden superior, lo que aquí nos vemos obligados a obviar, por razones de espacio.

Sin embargo, sin introducir ahora nuevos conceptos, podemos enunciar el teorema de D. Jackson, que ha desempeñado un rol fundamental en el desarollo de la Teoría de la Aproximación (ver [3] y [9]).

Si f ∈ C_{2π}, r = 0, 1, ..., y f^{(r)} ∈ Lip_{α}, entonces

E_{n}(f) = O(n^{−r−α})  (28)

que es una clara generalización y perfeccionamiento, de (27).

En la demostración de este resultado, ver por ejemplo [3], se deduce que

E_{n}(f) ≤ (\frac{1 + \frac{1}{2}π^{2}}{n} )^{r} ∥f^{(r)}∥_{∞}  (29)

siempre que f^{(r)} ∈ C_{2π}. Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Jackson y su generalización es crucial para ciertas extensiones de (28) (ver [2]).

El teorema de Jackson nos conduce a meditar sobre su inverso: ¿implica una determinada velocidad de convergencia a cero, de la mejor aproximación de una función f, la pertenencia de f a alguna clase prefijada en C_{2π}?.

La respuesta a esta pregunta conduce al otro teorema fundamental de la Teoría de la Aproximación de funciones continuas periódicas; pero requiere de un concepto nuevo.

Diremos que f ∈ C_{2π}, pertenece a la clase W, si

∃M ∀x, y ∈ [0, 2π], x ≠ y, |f(x) − f(y)| ≤ Mδ |log \frac{1}{δ}|  (30)

donde

δ = |x − y|

Entonces, el llamado teorema inverso de Bernstein establece que, si f ∈ C_{2π}, 0 < α ≤ 1 y E_{n}(f) = O(n^{−r−α}); se infiere que f posee derivadas continuas hasta el orden r y

f^{(r)} ∈ \{ \begin{matrix}Lip_{α}, 0 < α < 1 \\ W  α = 1 \end{matrix}  (31)

La demostración de (31) requiere de la desigualdad

∀t_{n} ∈ T_{n}, ∥t_{n}^{(r)}∥_{∞} ≤ n^{r} ∥t_{n}∥_{∞}  (32)

conocida igualmente con el nombre de Bernstein y que, así como (29) resulta crucial para la obtención de teoremas tipo Jackson o directos; resulta crucial generalizar (32) para la obtención de teoremas inversos relativos a esos directos.

El teorema de Bernstein, realmente, no es un teorema inverso del teorema de Jackson para α = 1.

Más aún, la función f(x) = lim_{m→∞} ∑_{k=1}^{m} \frac{senkx}{k^{2}} satisface la condición E_{n}(f) =

O (\frac{1}{n}) y no pertenece a Lip_{1}; luego el teorema de Bernstein no puede ser mejorado para α = 1.

Se debe a Zygmund otro enfoque del problema.

Diremos que f ∈ C_{2π}, pertenece a Lip_{α}^{∗}, para 0 < α ≤ 1, si

∃ M ∀h, ∀x, |f(x + h) + f(x − h) − 2f(x)| ≤ M |h|^{α}  (33)

De (24),(30) y (33), se deduce que para todo α ∈ (0, 1), se tiene

Lip_{1} ⊂ Lip_{1}^{∗} ⊂ W ⊂ Lip_{α} = Lip_{α}^{∗}  (34)

El teorema de Zygmund establece que si f ∈ C_{2π} y r = 0, 1, 2..., entonces

E_{n}(f) = 0(n^{−r−1}) ⇔ f^{(r)} ∈ Lip_{1}^{∗}  (35)

En la literatura se encuentran muchas investigaciones con resultados concretos sobre variaciones muy interesantes de teoremas directos e inversos. Para concluir, vamos a presentar un resultado no sobre la convergencia uniforme propiamente sino sobre la convergencia simultánea en la norma uniforme y en la seminorma definida en (24).

En efecto, Lip_{α} puede ser normado mediante

∥f∥_{α} := ∥f∥_{∞} + θ_{α}(f)  (36)

y es conocido que Lip_{α} con esta norma es un espacio completo. O sea, nos encontramos en un espacio de Banach.

Nos preguntamos ahora qué decir de la aproximación de funciones mediante polinomios trigonométricos en el espacio de Banach Lip_{α}.

Antes que todo, hay que preguntarse si T_{n} ⊂ Lip_{α}.

Ya apuntamos a continuación de (26), que C′_{2π}, el subespacio de C_{2π} de las funciones continuamente derivables, es un subespacio lineal de Lip_{1} y, en (34), que para todo 0 < α < 1, Lip_{1} ⊂ Lip_{α}. Esto último es más general. Obviamente

∀ 0 < α ≤ β ≤ 1, Lip_{β} ⊂ Lip_{α}  (37)

Así, pués, dado que T_{n} ⊂ Lip_{α}, 0 < α ≤ 1, definimos la mejor aproximación de f ∈ Lip_{α}, a T_{n,} n = 0, 1, 2, ⋯, mediante el número

E_{n}(f, α) := inf_{t_{n}∈T_{n}} ∥f − t_{n}∥_{α}  (38)

que es similar a la definición expresada en (2).

Puesto que T_{n} es un espacio finito dimensional, E_{n}(f, α) se alcanzará en algún polinomio optimal t_{n}^{∗}(f, α); sin embargo, un problema abierto, al menos para este expositor, se refiere a la unicidad de t_{n}^{∗}(f, α).

Conocedores ya de la problemática presentada para Lip_{1} y felizmente resuelta en el caso de la aproximación uniforme gracias al teorema de Zygmund, nos acotaremos al caso 0 < α < 1.

Nuestra próxima pregunta se refiere a la veracidad de (3), para el caso E_{n}(f, α), porque, obviamente, antes de hablar de velocidad de convergencia a cero de E_{n}(f, α), hay que saber si realmente decrece a cero.

Resulta que esto es falso! Necesitamos algunos elementos previos:

Si f ∈ C_{2π}, 0 < δ ≤ π, 0 < α ≤ 1 fijos, extendemos (24) mediante

θ_{α}(f, δ) := lim_{0<|x−y|≤δ} \frac{|f(x) − f(y)|}{|x − y|^{α}}  (39)

De esta manera se tiene

θ_{α}(f) = θ_{α}(f, π)  (40)

No obstante, pudiera ser que

∃ f ∈ Lip_{α},; ∀δ > 0 , θ_{α}(f) = θ_{α}(f, δ)  (41)

donde f no es constante. Pero

∀ 0 < α < 1 ∀ f ∈ C_{2π}^{1}, lim_{δ→0} θ_{α}(f, δ) = 0  (42)

Luego, E_{n}(f, α) sólo puede decrecer a cero, 0 < α < 1, si f satisface (42), al igual que lo satisface cualquier polinomio trigonométrico.

Resumiendo, debemos definir para 0 < α < 1, el subespacio lineal de Lip_{α} siguiente:

lip_{α} := {f ∈ Lip_{α}| lim_{δ→0} θ_{α}(f, δ) = 0}  (43)

Que los polinomios trigonométricos son densos en lip_{α}, es conocido ([7]) no obstante, podemos llegar a la misma conclusión por la via siguiente.

Si f ∈ C_{2π} y t∈ [0, 2π], se define

f_{t}(x) = f(x − t)

Un subespacio B de L_{2π}^{1}, el espacio de la funciones periódicas absolutamente integrables con la medida de Lebesgue normalizada \frac{dx}{2π}, se llama un Espacio Homogéneo, si en B está definida una norma ∥.∥_{B} que lo convierte en un espacio de Banach y además se cumple que:

∀ f ∈ B, ∥f∥_{L^{1}} ≤ ∥f∥_{B}  (44)
⋃_{n} T_{n} ⊂ B  (45)
∀ f ∈ B ∀t ∈ [0, 2π], f_{t} ∈ B y ∥f_{t}∥_{B} = ∥f∥_{B}  (46)

∀ f ∈ B, t ⇝ f_{t} es continua  (47)

Para 0 < α < 1, Lip_{α} con su norma (36), es un espacio de Banach que satisface (44),(45) y (46) ; pero no (47).

Se sabe ([5], pag. 14), que si un espacio B, satisface todas estas condiciones, excepto (47), entonces el subespacio

B_{0} := {f ∈ B|t ⇝ f_{t} es continua}  (48)

es un subespacio de Banach de B y, por lo tanto, es un espacio homogéneo.

Resumiendo , el espacio lip_{α}, 0 < α < 1, definido en (43), es un espacio homogéneo . Solamente para funciones de este espacio y no para funciones de Lip_{α} en general, se pudiera asegurar un resultado del tipo (3), con E_{n}(f, α) en lugar de E_{n}(f, || . ||_{∞}). ¡ Y esto sí es cierto!

En efecto, se conoce ([5] pag. 15) que en todo espacio homogeneo B, las sumas de Cèsaro (10) de la serie de Fourier de f ∈ B, convergen a f en la norma de B.

Pero referente a lip_{α} vamos a presentar un resultado mucho más fuerte, como habíamos anunciado.

Teorema ([1], 1997) Para 0 < α < 1, existen constantes absolutas M_{1} y M_{2}, tales que

∀ f ∈ lip_{α} ∀n E_{n}(f, α) ≤ M_{1}θ_{α}(f, \frac{1}{n}) ≤ M_{2} \frac{1}{n} ∑_{0≤k<n} E_{k}(f, α)

En realidad, este resultado que presenta simultáneamente un teorema directo y uno inverso , puede ser escrito de manera mucho más general y perfeccionada mediante el uso de módulos de continuidad de orden superior. Sólo que, como ya hemos advertido, ello sobrepasaría nuestras posibilidades de espacio. Igualmente, destaquemos que aquí, para la parte directa, también se utiliza el núcleo de Jackson (19).

Una última observación ; si 0 < β < α ≤ 1, es inmediato que Lip_{α} ⊂ lip_{β}. Por otra parte, ya sabemos que los polinomios trigonométricos no son densos en Lip_{α}. Quizas por ello, las investigaciones sobre aproximación polinomial con la norma de Lipschitz de funciones de Lip_{α}, se han expresado en términos de lip_{β}, (ver, por ejemplo, [8] y sus predecesores). Esta vía , sin embargo, tiene una limitación para la obtención de teorema inversos, puesta al descubierto en el trabajo mencionado [1]. A saber, dado β ∈ (0, 1), existe f ∈ lip_{β} tal que, para todo α > β se tiene que f ∉ lip_{α}.

Referencias

[1] Bustamante J. y M. A. Jiménez Trigonometric Polynomial Approximation in Lipschitz Norms. Comunicación a la IV Conferencia Internacional de Aproximación y Optimización en el Caribe. Universidad Simón Bolívar, Venezuela, Marzo de 1997.

[2] Butzer P. L. y K. Scherer On the Fundamental Approximation Theorems of D. Jackson, S.N. Bernstein and Theorems of M. Zamansky and S.B. Steckin. AEQ. Math. 4 (1969) 170-185.

[3] Cheney, E. W. Introduction to Approximation Theory , New York, McGraw-Hill (1996).

[4] Jiménez, M. A. Medida, Integración y Funcionales. Habana, Pueblo y Educación (1989).

[5] Katznelson, Y. An Introduction to Harmonic Analysis, Wiley (1968).

[6] Korovkin P. P. Linear Operators and Approximation Theory. Delhi Hindustan (1960) (Traducido del ruso).

[7] Mirkil, H. Continuous Translations of Hölder and Lipschitz Functions, Canad. J. Math 12(1960) 674-685.

[8] Mohapatra R. N. y R. Chandra Degree of Approximation of Functions in the Hölder metric, Acta Math. Hung, 41(1-2) (1983) 67-76.

[9] Rivlin, Th. J. An Introduction to the Approximation of Functions, New York, Dover Publications, Inc, 1969.

[10] Zygmund, A. Trigonometric Series, 2^{nd} Ed. New York, Cambridge Univ. Press, 1959.