Structures Géométriques Associées à Certains Systèmes Dynamiques

V. Obădeanu

Dedicated to Prof.Dr. Constantin UDRIŞTE on the occasion of his sixtieth birthday

Résumé. On associe à tout système d’équations différentielles ordinaires, une structure géométrique, composée d’un tenseur distingué et d’une connexion nonlinéaire spéciale. On definit un objet de dissipation.

Mathematics Subject Classification: 53C07, 53C60, 53C80, 70H35 Mots Clefs: Espaces de Lagrange, systèmes dynamiques, connexions non-linéaires

1 Systèmes d’équations différentielles définis implicitement

1.1. Préliminaires. Soient M une variété différentiable, de la classe C^{∞}, de dimension m, définie par un atlas A = (U, φ), et les espaces fibrés: T M, T^{∗}M, J^{i}M, τ_{i}M = (E_{i}, p_{τ} , J^{i}M), δ_{i}^{q}M = (E_{i}^{q}, p_{δ}, J^{i}M), (i = 1, 2; p = \overline{1, m}), où les dérniers ont comme base respectivement les espaces de jets J^{i}M (J^{0}M = R×M, J^{1}M = R×T M), et comme espaces totaux E_{i} = J^{i}M ×_{M} T M, E_{i}^{q} = J^{i}M ×_{M} Ω^{q}M, avec Ω^{q}M l’espace des q-formes et doués des atlas vectoriels correspondants.

Si E est un espace fibré, on note S(E) le module des sections de E. 1.2. Systèmes d′équations différentielles de deuxième ordre. Soit F une section de δ_{2}^{1} (F ∈ S(δ_{2}^{1})):

(1.1)  F : (t, x, ẋ, ẍ) ∈ J^{2}M → F (t, x, ẋ, ẍ) ∈ T^{∗}M

avec laquelle on met en évidence l’ensemble:

KerF = {(t, x, ẋ, ẍ) ∈ J^{2}M | F (t, x, ẋ, ẍ) = 0}

On dira que KerF définit une équation différentielle de deuxième ordre, que nous étudieront dans la suite.

En coordonnées locales, la fonction F se représente par

(1.2)  F = F_{i}(t, x^{h}, ẋ^{h}, ẍ^{h})dx^{i}, ∀t ∈ I ⊂ R, (t, x^{h}, ẋ^{h}, ẍ^{h}) ∈ J^{2}U

Balkan Journal of Geometry and Its Applications, Vol.5, No.2, 2000, pp. 81-89 \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}Balkan Society of Geometers, Geometry Balkan Press

mais la condition F = 0 s’exprime par les relations

(1.3)  F_{i}(t, x^{h}, ẋ^{h}, ẍ^{h}) = 0,

qui porte le nom de système des équations différentielles, de deuxième ordre, implicites, ordinaire si elles satisfont la relation

det (\frac{∂F_{i}}{∂ẍ^{j}} ) ≠ 0,

et singulier au cas que det (\frac{∂F_{i}}{∂ẍ^{j}} ) = 0.

L’ensemble KerF (sous-variété différentiable de J^{2}M), nous conduit à l’espace total F_{2} = KerF ×_{M} J^{0}M, de l’espace fibré F = (F_{2}, π_{2}, J^{0}M), sous-espace fibré de τ_{2}M. 1.3. Solutions des équations différentielles (1.3). Soit c : t ∈ I ⊂ R → x = c(t) ∈ U ⊂ M, un chemin différentiable. Ce-ci on le relève à J^{2}M, par

c̄: t ∈ I → [t, c(t), \frac{dc(t)}{dt}, \frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}] ∈ J^{2}M.

On considèrera l’image réciproque de F par c̄, comme étant la fonction

c̄^{∗}F = F · c̄ = F [t, c(t), \frac{dc(t)}{dt}, \frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}] .

Définition. On appelle solution, locale, du système d’équations différentielles (1.3), une fonction c : t ∈ I → x = c(t) ∈ U, qui jouit de la propriété

F_{i} [t, c(t), \frac{dc(t)}{dt}, \frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}] ≡ 0, ∀t ∈ I, i = \overline{1, m}.

Dans le cas des équations différentielles ordinaires, le système d’équations différentielles implicites est équivalent (a les mêmes solutions) avec un système écrit sous la forme cinématique ẍ^{i} = f^{i}(t, x, ẋ).

2 Variation des chemins différentiables

2.1. Formes en général. Soient X et Y deux sections du fibré τ_{0} = ((R × M) ×_{M}

T M, p_{τ} , R × M), exprimées localement par X = ξ^{i}(t, x)\frac{∂}{∂x^{i}}, Y = η^{i}(t, x)\frac{∂}{∂x^{i}}, et appelées champs paramétrisés de vecteurs sur M.

On notera M l’ensemble des formes bilinéaires (biformes) de la forme:

\begin{matrix}M = \{ M : (X, Y) ∈ S(τ_{0}) × S(τ_{0}) → M(X, Y) ∈ F(J^{p}M, R)| \\ M(X, Y) = [α_{ij}^{0}(t, x, …, x^{(p)})\frac{d^{p}ξ^{j}}{dt^{p}} + … + α_{ij}^{p}(t, x, …, x^{(p)})ξ^{j}] η^{i}\} \end{matrix}

Ainsi étant, on définit les applications, appelées formes:

M : X ∈ S(τ_{0}) → M^{X} ∈ S(δ_{0}^{1})

M^{X} = [α_{ij}^{0} \frac{d^{p}ξ^{j}}{dt^{p}} + … + α_{ij}^{p}ξ^{j}] dx^{i};

M^{X} : Y ∈ S(τ_{0}) → M^{X}(Y) = M(X, Y)

M(X, Y) = [α_{ij}^{0} \frac{d^{p}ξ^{j}}{dt^{p}} + … + α_{ij}^{p}ξ^{j}] η^{i}.

Dans l’ensemble M on peut définir une “relation”, en disant que deux biformes M et M̃ sont “en relation” s’il existe une autre (biforme) Q : (X, Y) → Q(X, Y) ∈ F(J^{3}M) telle que

(2.1)  M^{X}(Y) − M̃^{Y} (X) = \frac{d}{dt}Q(X, Y) , ∀X, Y ∈ S(τ_{0}).

2.2. Variation des chemins différentiables. Formes à variations. Soit X une section du fibré τ_{0} = ((R × M) ×_{M} T M, p_{τ} , R × M), exprimée localement par X =

ξ^{i}(t, x)\frac{∂}{∂x^{i}}. À la section X on associe, sur R × M (via le champ de Reeb \frac{∂}{∂t} + X), le pseudogroupe à un paramêtre de transformations infinitésimales

\{ \begin{matrix}t̄= t \\ x̄^{i} = x^{i} + εξ^{i}(t, x), ε ∈ J ⊂ R, \end{matrix}

(où J est un intérvalle ouvert de R, contenant l’origine), qui se relève à J^{2}M, par

(2.2)  \{ \begin{matrix}t̄= t \\ x̄^{i} = x^{i} + εξ^{i}(t, x) \\ ˙x̄^{i} = ẋ^{i} + ε\frac{dξ^{i}}{dt} \\ ¨x̄^{i} = ẍ^{i} + ε\frac{d^{2}ξ^{i}}{dt^{2}} \end{matrix} , ε ∈ J.

Par les transformations infinitésimalles (2.2), à toute solution x = c(t), du système (1.3), corresponde une famille de chemins

C^{i}(ε, t) = c^{i}(t) + εξ^{i}(t, c(t)),

indexée par ε.

En calculant l’image réciproque de la fonction F, par \overline{C}, le relevé de C à J^{2}M, on obtient

\overline{C}^{∗}F = F [t, C(ε, t), \frac{∂C(ε, t)}{∂t}, \frac{∂^{2}C(ε, t)}{∂t^{2}}] =

= F [t, x + εξ, \frac{dx}{dt} + ε\frac{dξ}{dt} , \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + ε\frac{d^{2}ξ}{dt^{2}} ] .

La dérivée de cette fonction par rapport avec ε, calculée pour ε = 0, est

M_{F}^{X} = (\frac{∂\overline{C}^{∗}F}{∂ε} )_{ε=0} = [\frac{∂F_{i}}{∂x^{j}} ξ^{j} + \frac{∂F_{i}}{∂ẋ^{j}} \frac{dξ^{j}}{dt} + \frac{∂F_{i}}{∂ẍ^{j}} \frac{d^{2}ξ^{j}}{dt^{2}} ] dx^{i} =

= [a_{ij}^{0}(t, x, ẋ, ẍ)\frac{d^{2}ξ^{j}}{dt^{2}} + a_{ij}^{1}(t, x, ẋ, ẍ)\frac{dξ^{j}}{dt} + a_{ij}^{2}(t, x, ẋ, ẍ)ξ^{j}] dx^{i},

où on a utilisé les notations

(2.3)  a_{ij}^{0}(t, x, ẋ, ẍ) = \frac{∂F_{i}}{∂ẍ^{j}} , a_{ij}^{1}(t, x, ẋ, ẍ) = \frac{∂F_{i}}{∂ẋ^{j}} , a_{ij}^{2}(t, x, ẋ, ẍ) = \frac{∂F_{i}}{∂x^{j}}

La fonction M_{F}^{X} porte le nom de forme à variations associée à l’équation F (t, x, ẋ, ẍ) = 0 et à la section X.

Localement, il résulte le système de formes à variations:

(2.4).  M_{F,i}^{X} = a_{ij}^{0} \frac{d^{2}ξ^{j}}{dt^{2}} + a_{ij}^{1} \frac{dξ^{j}}{dt} + a_{ij}^{2}ξ^{j}

Les formes à variations (2.4) sont associées au système (1.3) et à la section X. Soit M l’ensemble des biformes. Le système (1.3) définit donc une application

M_{F} : X ∈ S(τ_{0}) → M_{F}^{X} = (a_{ij}^{0} \frac{d^{2}ξ^{j}}{dt^{2}} + a_{ij}^{1} \frac{dξ^{j}}{dt} + a_{ij}^{2}ξ^{j}) dx^{i} ∈ M.

2.3. Systèmes adjoints. À une autre section Y : R × M → (R × M) ×_{M} T M, avec

la représentation locale Y = η^{i}(t, x)\frac{∂}{∂x^{i}}, correspondent les formes du type

M̃^{Y} = (ã_{ij}^{0} \frac{d^{2}η^{j}}{dt^{2}} + ã_{ij}^{1} \frac{dη^{j}}{dt} + ã_{ij}^{2}η^{j}) dx^{i},

et donc des autre systèmes de la forme

M̃_{i}^{Y} = ã_{ij}^{0} \frac{d^{2}η^{j}}{dt^{2}} + ã_{ij}^{1} \frac{dη^{j}}{dt} + ã_{ij}^{2}η^{j}.

Le calcul de la valeur de la forme à variations M_{F}^{X} sur le champ Y, nous conduit à

M_{F}^{X}(Y) = (a_{ij}^{0} \frac{d^{2}ξ^{j}}{dt^{2}} + a_{ij}^{1} \frac{dξ^{j}}{dt} + a_{ij}^{2}ξ^{j}) η^{i}

et, de façon analogue, de la forme M̃^{Y} sur X, à

M̃^{Y} (X) = (ã_{ij}^{0} \frac{d^{2}η^{j}}{dt^{2}} + ã_{ij}^{1} \frac{dη^{j}}{dt} + ã_{ij}^{2}η^{j}) ξ^{i}.

Définition. Deux formes à variations M_{F}^{X} et M̃^{Y} s’appellent adjointes l’une à l’autre s’il existe une fonction Q_{F} (X, Y) (bilinéaire), telle que le longue des trajectoires de l’équation F = 0, ait lieu la relation (2.1).

À lieu le théorème suivant: Théorème [2]. Etant donée une forme à variations M_{F}^{X}, il y a, localement, une unique forme à variations, notée M̃_{F}^{Y}, adjointe à la première.

De la démonstration du théorème il résulte les composantes de M̃_{F}^{Y}:

(2.5)  M̃_{F,i}^{Y} = a_{ji}^{0} \frac{d^{2}η^{j}}{dt^{2}} + (2\frac{da_{ji}^{0}}{dt} − a_{ji}^{1}) \frac{dη^{j}}{dt} + (\frac{d^{2}a_{ji}^{0}}{dt^{2}} − \frac{da_{ji}^{1}}{dt} + a_{ji}^{2}) η^{j},

système construit avec la section Y = η^{i} \frac{∂}{∂x^{i}}, et implicitement avec la fonction F, d’où il résulte les liaisons (involutives)

(2.6)  \begin{matrix}a_{ij}^{0} = a_{ji}^{0} \\ a_{ij}^{1} + a_{ji}^{1} = 2\frac{da_{ji}^{0}}{dt} \\ a_{ij}^{2} − a_{ji}^{2} = \frac{d^{2}a_{ji}^{0}}{dt^{2}} − \frac{da_{ji}^{1}}{dt} , \end{matrix}

ainsi que

(2.7)  Q_{F} (X, Y) = (a_{ij}^{0}η^{i})\frac{dξ^{j}}{dt} − [\frac{d}{dt}(a_{ij}^{0}η^{i}) − a_{ij}^{1}η^{i}] ξ^{j}

Observations. 1) Q_{F} (X, Y) ne dépend pas de a_{ij}^{2}; 2) Q̃_{F} (Y, X) = −Q_{F} (X, Y);

3) La relation d’adjonction entre deux formes, définie par (2.1) peut être prolongée, sans aucune modification, aux couples de sections X ∈ S(τ_{r}), Y ∈ S(τ_{s}) (en particulier pour X, Y ∈ S(τ_{1})).

3 La géométrie du système (1.3)

3.1. Le comportement des coefficients des formes à variations par un changement de carte locale. Considérons maintenant un changement de carte locale sur M: x̄^{i} = x̄^{i}(x^{h}), alors sur J^{2}M on à de façon correspondante, le changement de carte locale, donné par les formules

(3.1) \{ \begin{matrix}t̄= t (le paramêtre t est invariant) \\ x̄^{i} = x̄^{i}(x^{h}) (le changement de coordonnées sur M) \\ ˙x̄^{i} = \frac{∂x̄^{i}}{∂x^{h}} ẋ^{h} (le changement des composantes des vecteurs tangents) \\ ¨x̄^{i} = \frac{∂x̄^{i}}{∂x^{h}} ẍ^{h} + \frac{∂ ˙x̄^{i}}{∂x^{h}} ẋ^{h} = \frac{∂ ˙x̄^{i}}{∂x^{h}} ẋ^{h} + \frac{∂ ˙x̄^{i}}{∂ẋ^{h}} ẍ^{h} \end{matrix}

et leurs inverses, pendant que le vecteur X(ξ^{i}) change ses composantes suivant la loi

ξ̄^{i} = \frac{∂x̄^{i}}{∂x^{h}} ξ^{h}.

Par rapport à un changement, de la forme ci-dessus précisé, les coefficients des formes à variations se change suivant la loi

(3.2)  \begin{matrix}ā_{ij}^{0} = \frac{∂x^{h}}{∂x̄^{i}} \frac{∂x^{k}}{∂x̄^{j}} a_{hk}^{0} \\ ā_{ij}^{1} = \frac{∂x^{h}}{∂x̄^{i}} [\frac{∂x^{k}}{∂x̄^{j}} a_{hk}^{1} + 2\frac{∂ẋ^{k}}{∂x̄^{j}} a_{hk}^{0}] \\ ā_{ij}^{2} = \frac{∂x^{h}}{∂x̄^{i}} [\frac{∂x^{k}}{∂x̄^{j}} a_{hk}^{2} + \frac{∂ẋ^{k}}{∂x̄^{j}} a_{hk}^{1} + \frac{∂ẍ^{k}}{∂x̄^{j}} a_{hk}^{0}] + \frac{∂^{2}x^{h}}{∂x̄^{i}∂x̄^{j}} F_{h}. \end{matrix}

Pour une meilleure mise en évidence des propriétés géométriques, nous adopterons le changement de notation suivant [1]

(3.3)  x^{i} = x_{0}^{i} , ẋ^{i} = x_{1}^{i} , ẍ^{i} = 2x_{2}^{i}.

À l’aide de ces notations on aura

\frac{∂F_{i}}{∂ẍ^{j}} = \frac{1}{2} \frac{∂F_{i}}{∂x_{2}^{j}} = \frac{1}{2}α_{ij}^{0} , \frac{∂F_{i}}{∂ẋ^{j}} = \frac{∂F_{i}}{∂x_{1}^{j}} = α_{ij}^{1} , \frac{∂F_{i}}{∂x^{j}} = \frac{∂F_{i}}{∂x_{0}^{j}} = α_{ij}^{2}.

Les formules de changement de cartes (3.1) implique

\{ \begin{matrix}x̄_{0}^{i} = x̄_{0}^{i}(x_{0}^{h}) \\ x̄_{1}^{i} = \frac{∂x̄_{0}^{i}}{∂x_{0}^{h}} x_{1}^{h} \\ 2x̄_{2}^{i} = \frac{∂x̄_{1}^{i}}{∂x_{0}^{h}} x_{1}^{h} + 2\frac{∂x̄_{1}^{i}}{∂x_{1}^{h}} x_{2}^{h}, \end{matrix}

où on a utilisé les notations [1]: \frac{∂x̄_{0}^{i}}{∂x_{0}^{j}} = \frac{∂x̄_{k}^{i}}{∂x_{k}^{j}} , \frac{∂x̄_{1}^{i}}{∂x_{0}^{j}} = \frac{∂x̄_{k}^{i}}{∂x_{k−1}^{j}} .

Ainsi étant, on retranscrit les formules (3.2) dans la forme

(3.4)  \begin{matrix}ᾱ_{ij}^{0} = \frac{∂x_{0}^{h}}{∂x̄_{0}^{i}} \frac{∂x_{0}^{k}}{∂x̄_{0}^{j}} α_{hk}^{0} \\ ᾱ_{ij}^{1} = \frac{∂x_{0}^{h}}{∂x̄_{0}^{i}} [\frac{∂x_{1}^{k}}{∂x̄_{0}^{j}} α_{hk}^{0} + \frac{∂x_{1}^{k}}{∂x̄_{1}^{j}} α_{hk}^{1}] \\ ᾱ_{ij}^{2} = \frac{∂x_{0}^{h}}{∂x̄_{0}^{i}} [\frac{∂x_{2}^{k}}{∂x̄_{0}^{j}} α_{hk}^{0} + \frac{∂x_{2}^{k}}{∂x̄_{1}^{j}} α_{hk}^{1} + \frac{∂x_{2}^{k}}{∂x̄_{2}^{j}} α_{hk}^{2}] + \frac{∂^{2}x_{0}^{h}}{∂x̄_{0}^{i}∂x̄_{0}^{j}} F_{h}. \end{matrix}

Conclusions. 1) Les coefficients α_{ij}^{0} sont les composantes d’un tenseur deux fois covariant distingué sur M.

2) Les coefficients α_{ij}^{1} sont les composantes d’un tenseur distingué dans le premier indice et semidistingué dans le deuxième. Le couple (α_{ij}^{0}, α_{ij}^{1}) est un tenseur distingué sur T M.

3) Les coefficients α_{ij}^{2} sont des coefficients d’un objet géométrique tel que le triple (α_{ij}^{0}, α_{ij}^{1}, α_{ij}^{2}) est un tenseur sur KerF distingué dans le premier indice et ordinaire dans le deuxième.

3.2. Le comportement des coefficients des formes adjointes, par un changement de carte. Soit le système adjoint (2.5), avec les coefficients donnés par (2.6), et un changement de carte locale (3.1), on a: Théorème. Les coefficients des formes adjointes constituent un objet géométrique du même type avec celui constitué par le coefficients des formes à variations.

En effet, ils se changement suivant les formules:

(3.5)  \begin{matrix}¯α̃_{ij}^{0} = \frac{∂x_{0}^{h}}{∂x̄_{0}^{i}} \frac{∂x_{0}^{k}}{∂x̄_{0}^{j}} α_{hk}^{0} \\ ¯α̃_{ij}^{1} = \frac{∂x_{0}^{h}}{∂x̄_{0}^{i}} [\frac{∂x_{1}^{k}}{∂x̄_{0}^{j}} α_{hk}^{0} + \frac{∂x_{1}^{k}}{∂x̄_{1}^{j}} α_{hk}^{1}] \\ ¯α̃_{ij}^{2} = \frac{∂x_{0}^{h}}{∂x̄_{0}^{i}} [\frac{∂x_{2}^{k}}{∂x̄_{0}^{j}} α_{hk}^{0} + \frac{∂x_{2}^{k}}{∂x̄_{1}^{j}} α_{hk}^{1} + \frac{∂x_{2}^{k}}{∂x̄_{2}^{j}} α_{hk}^{2}] + \frac{∂^{2}x_{0}^{h}}{∂x̄_{0}^{i}∂x̄_{0}^{j}} F_{h} \end{matrix}

3.3. Dissipativité de la structure géométrique associée. Soit l’objet géométrique fourni par les formes à variations, par ses coefficients (α_{ij}^{0}, α_{ij}^{1}, α_{ij}^{2}), ainsi que celui fourni par les coefficients (α_{ij}^{0}, α_{ij}^{1}, α_{ij}^{2}) des formes adjointes, ayant les lois de changement respectivement donnés par les formules (3.4) et (3.5).

En faisant la différence de ces deux objets, on appelle cet nouvel objet, l’objet de dissipation. Ces composantes sont donc

(3.6)  \begin{matrix}τ_{ij}^{0} = \frac{1}{2}(α_{ij}^{0} − α_{ij}^{0}) \\ τ_{ij}^{1} = \frac{1}{2}(α_{ij}^{1} − α_{ij}^{1}) \\ τ_{ij}^{2} = \frac{1}{2}(α_{ij}^{2} − α_{ij}^{2}) \end{matrix}

En tenant compte des relations (2.6), on déduit

τ_{ij}^{0} = −α_{[ij]}^{0}

τ_{ij}^{1} = −α_{(ij)}^{1} + \frac{1}{2} \frac{dα_{ji}^{0}}{dt}

τ_{ij}^{2} = −α_{[ij]}^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{dt} [\frac{1}{2} \frac{dα_{ji}^{0}}{dt} − α_{ji}^{1}]

Propriétés. 1) Les fonctions τ_{ij}^{0} constituent les composantes d’un tenseur distingué, antisymétrique, la partie antisymétrique de a_{ij}^{0}, avec le signe changé.

2) La partie antisymétrique de τ_{ij}^{1} est

τ_{[ij]}^{1} = −\frac{da_{[ij]}^{0}}{dt} ,

et la partie symétrique est

τ_{(ij)}^{1} = −α_{(ij)}^{1} + \frac{da_{(ij)}^{0}}{dt} .

3.4. Systèmes d’équations différentielles de deuxième ordre, ordinaires.

Considérons maintenant le cas dans lequel det (\frac{∂F_{i}}{∂ẍ^{j}} ) ≠ 0. En considérant la matrice

(a_{ij}^{0}) = (\frac{∂F_{i}}{∂ẍ^{j}} ), on peut construir la matrice inverse (a_{0}^{ij}), dont les coefficients se

change, par un changement de carte, suivant la formule

ā_{0}^{ij} = \frac{∂x̄^{i}}{∂x^{h}} \frac{∂x̄^{j}}{∂x^{k}} a_{0}^{hk}.

Définissons les coefficients M_{1} _{j}^{i} et M_{2} _{j}^{i}, respectivement par les formules 2 M_{1} _{j}^{i} =

a_{0}^{ih}a_{hj}^{1} et 2 M_{2} _{j}^{i} = a_{0}^{ih}a_{hj}^{2}. Ces nouveaux coefficients, définissent dans une carte locale,

se changent à un changement de carte et en utilisant les notations (3.3), par les formules

\frac{∂x_{0}^{p}}{∂x̄_{0}^{i}} \overline{δ}_{j}^{i} = δ_{i}^{p} \frac{∂x_{0}^{i}}{∂x̄_{0}^{j}}

\frac{∂x_{0}^{p}}{∂x̄_{0}^{i}} \overline{M_{1}} _{j}^{i} = δ_{i}^{p} \frac{∂x_{1}^{i}}{∂x̄_{0}^{j}} + M_{1} _{i}^{p} \frac{∂x_{0}^{i}}{∂x̄_{0}^{j}}

\frac{∂x_{0}^{p}}{∂x̄_{0}^{i}} \overline{M_{2}} _{j}^{i} = δ_{i}^{p} \frac{∂x_{2}^{i}}{∂x̄_{0}^{j}} + M_{1} _{i}^{p} \frac{∂x_{1}^{i}}{∂x̄_{0}^{j}} + M_{2} _{i}^{p} \frac{∂x_{0}^{i}}{∂x̄_{0}^{j}} + \frac{1}{2} \frac{∂x̄_{0}^{h}}{∂x_{0}^{q}} \frac{∂^{2}x_{0}^{k}}{∂x̄_{0}^{h}∂x̄_{0}^{j}} a_{0}^{pq}F_{k}.

Remarques. 1) Les fonctions M_{1} _{j}^{i} constituent les composantes (paramétrisées par t)

d’une connection non-linéaire distinguée sur la varieté M.

2) Les fonctions (M_{1} _{j}^{i}, M_{2} _{j}^{i}) sont les coefficients duals ([1]) d’une connection

non-linéaire sur KerF.

3) Les composantes (δ_{j}^{i}, M_{1} _{j}^{i}, M_{2} _{j}^{i}) constituent un tenseur mixte sur KerF,

distingué, dans l’indice de contravariance, et semidistingué dans l’indice de covariance.

4) Des mêmes propriétés jouit aussi le deuxième objet, “conjugué”. 3.5. Le tenseur de dissipation. En faisant la différence de deux objets de connexion, on obtient

T_{1} _{j}^{i} = ˜ M_{1}_{j}^{i} − M_{1} _{j}^{i} (\frac{∂x_{0}^{p}}{∂x̄_{0}^{i}} \overline{T_{1}} _{j}^{i} = T_{1} _{i}^{p} \frac{∂x_{0}^{i}}{∂x̄_{0}^{j}} ) ,

qui est un tenseur mixt distingué;

T_{2} _{j}^{i} = ˜ M_{2}_{j}^{i} − M_{2} _{j}^{i} (\frac{∂x_{0}^{p}}{∂x̄_{0}^{i}} \overline{T_{2}} _{j}^{i} = T_{1} _{i}^{p} \frac{∂x_{1}^{i}}{∂x̄_{0}^{j}} + T_{2} _{i}^{p} \frac{∂x_{0}^{i}}{∂x̄_{0}^{j}} )

qui est un tenseur mixt semidistingué. Aknowledgements. A version of this paper was presented at the Third Conference of Balkan Society of Geometers, Workshop on Electromagentic Flows and Dynamics, July 31 - August 3, 2000, University POLITEHNICA of Bucharest, Romania

Supported by MEN Grant No 21815/28.09.1998, CNCSU-31

References

[1] R. Miron, GH. Atanasiu - Compendium sur les espaces Lagrange d’ordre supérieur; Sem. Mec. Nr.40, Tip. Univ. Tim. (1994)

[2] R.M. Santilli - Foundations Theoretical Mechanics (I). The inverse problem in Newtonian mechanics; Springer-Verlag, Berlin (1984)

Obădeanu Virgil Université de l’Ouest de Timişoara 1900 Timişoara, Romanie E-mail: obadeanu@hilbert.math.uvt.ro