Groupes de Selmer et Accouplements;

Cas Particulier des

Courbes Elliptiques

Bernadette Perrin-Riou

Received: October 25, 2002 Revised: September 27, 2003

Abstract. We give proofs of existence of alternating pairings on Selmer groups of p-ordinary elliptic curves on a ℤ_{p}^{2}-extension by using the Cassels-Tate-Flach pairings for twists of the p-adic representation.

Soit E une courbe elliptique définie sur le corps des nombres rationnels ℚ. D’après le théorème de Mordell, le groupe E(ℚ) des points de E rationnels sur ℚ est un ℤ-module de type fini. Nekovář a démontré que son rang est de même parité que la multiplicité du zéro en s = 1 de la fonction L complexe associée à E/ℚ lorsque la p-composante du groupe de Tate-Shafaravich est finie. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit qu’il y a égalité entre ces deux entiers attachés à E. La démonstration de ce résultat par Nekovář utilise essentiellement trois arguments et se fait en introduisant un corps quadratique imaginaire K et un nombre premier p auxiliaires vérifiant certaines conditions. Le premier argument utilise le théorème de Cornut et Vatsal concernant les points de Heegner ([9], [10], [34], conjecture de Mazur [25]) : on en déduit que le rang de E(K_{n}) tend vers l’infini avec n pour K_{n} l’extension de ℚ de degré 2p^{n} qui est diédrale sur ℚ. Le deuxième argument est à base de théorie d’Iwasawa. Il s’agit de généraliser le théorème de Cassels qui affirme que le groupe de Tate-Shafaravich d’une courbe elliptique modulo sa partie divisible (noté div) est un carré ou, dans la version p-primaire, que le quotient du p-groupe de Selmer S_{p}(E/K) de E/K modulo sa partie divisible est un carré : on peut construire une forme alternée et non dégénérée sur S_{p}(E/K)/ div. Dans cette généralisation, le groupe de Tate-Shafarevich devient le quotient de S_{p}(E/K_{∞}) par sa partie Λ-divisible div_{Λ} où K_{∞} = ∪K_{n}, Γ = Gal(K_{∞}/K) et Λ est l’algèbre de groupe continue ℤ_{p}[[Γ]]. On peut construire sur S_{p}(E/K_{∞})/ div_{Λ} une forme Λ-linéaire et alternée. Le troisième argument utilise les résultats de Kolyvagin généralisés par Bertolini et Darmon ([22], [5]) et des arguments de descente pour conclure. Pour construire la forme alternée, Nekovář reprend complètement la théorie des groupes de Selmer en utilisant le formalisme des complexes. Il obtient ainsi d’autres applications en théorie de Hida et autres. On se contente ici de faire cette construction en allant au plus court.

Le principe de la démonstration est de faire grand usage du twist d’un Λmodule : l’adjoint d’un Λ-module de torsion se calcule en effet facilement lorsque ses coinvariants sont de torsion pour l’anneau quotient, ce qui est réalisable en faisant un twist convenable. Cette astuce permet d’éviter les difficultés dues au fait que le groupe de Mordell-Weil n’est pas fini. Ainsi, par exemple, l’accouplement de Cassels-Tate peut se calculer comme une “limite convenable” des accouplements relatifs aux représentations twistées par k. Donnons une idée du contenu de l’article. Dans le premier paragraphe, on fait quelques rappels d’algèbre commutative qu’on appliquera ensuite à la descente de modules d’Iwasawa relatifs à une ℤ_{p}^{2}- extension à une sous-ℤ_{p}-extension (passage à certains coinvariants). Dans ce genre de situation, on a l’habitude de négliger les modules pseudo-nuls. Mais la descente de tels modules peut donner des modules non pseudo-nuls sur la ℤ_{p}-extension. Aussi, on introduit une notion de modules négligeables qui sont en gros les modules qui resteront négligeables par descente. Le but est alors le §1.2 : on y montre comment à partir d’un isomorphisme entre un module M et son adjoint M′ construire d’une part une forme bilinéaire sur la partie libre des coinvariants de M et M′ et d’autre part une application bilinéaire sur leurs sous-modules de torsion. Dans le paragraphe 2, on introduit les groupes de Selmer associés à une représentation p-adique ordinaire et on démontre les théorèmes tout à fait classiques de “contrôle” par descente (par exemple d’une ℤ_{p}^{2}-extension à une ℤ_{p}- extension). Remarquons qu’il n’y a pas d’hypothèses sur la finitude des places au dessus d’une place première à p dans les ℤ_{p}-extensions et qu’on ne néglige pas les modules dont la série caractéristique est une puissance de p, ce qui permet ensuite de pouvoir traiter la μ-partie des modules de Selmer. On donne ensuite un moyen de calcul de l’adjoint à partir des modules de Selmer à un niveau fini relatif à un twist convenable de la représentation p-adique. On doit pour cela utiliser une condition technique (propriété (A) de §1) et la démontrer pour les modules d’Iwasawa utilisés (elle permet d’éviter le problème que les coinvariants d’un module pseudo-nul dans le cas de deux variables n’est pas toujours pseudo-nul.) Dans le paragraphe 3, on rappelle les théorèmes de Cassels-Flach à un niveau fini. En twistant éventuellement la représentation V, on peut alors utiliser les résultats du paragraphe 2 pour construire un (presque)-isomorphisme entre le module de Selmer sur une ℤ_{p}^{2}-extension et son adjoint. On démontre alors une propriété de “symétrie”, c’est-à-dire un lien naturel entre ce pseudoisomorphisme et celui construit pour le dual de Tate V^{∗}(1) (à ce stade, l’existence d’un isomorphisme alterné sur V n’a pas été supposé). Il est alors possible d’appliquer les résultats d’algèbre commutative du premier paragraphe : par exemple reconstruire l’accouplement de Cassels et la hauteur p-adique pour les twists de la représentation p-adique, construire des formes bilinéaires sur la partie libre ou de torsion du module de Selmer relatif à une sous-ℤ_{p}-extension... Le dernier paragraphe est consacré aux applications à l’extension anticyclotomique d’un corps quadratique imaginaire.

Table des matières

1 Préliminaires d’algèbre commutative 727 1.1 Adjoint et dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 1.2 Construction d’accouplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730 1.3 Calcul de l’adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732

2 Modules de Selmer et théorèmes de contrôle 733 2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 2.2 Groupes de Selmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734 2.3 Modules d’Iwasawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734 2.4 Théorèmes de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 2.5 Théorème de contrôle : cas d’une ℤ_{p}^{2}-extension . . . . . . . . . 738 2.6 Construction de l’adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

3 Construction d’accouplements entre modules de Selmer 743 3.1 Accouplements de Cassels-Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743 3.2 Dualité : cas d’une ℤ_{p}-extension . . . . . . . . . . . . . . . . . 744 3.3 Dualité : cas d’une ℤ_{p}^{2}-extension . . . . . . . . . . . . . . . . . 746

4 Conséquences 747 4.1 Descente : ℤ_{p}-extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748 4.2 Descente : ℤ_{p}^{2}-extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

5 La situation diédrale 751 5.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 5.2 Théorie arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 5.3 Théorie analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752 5.4 Equation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 5.5 La conjecture de Mazur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754 5.6 Quelques remarques supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . 756

1 Préliminaires d’algèbre commutative

1.1 Adjoint et dualité

Soit Λ un anneau local noetherien complet de dimension r ; plus précisément Λ sera l’algèbre de groupes continue d’un groupe Γ topologiquement isomorphe à ℤ_{p}^{r−1} : Λ = ℤ_{p}[[Γ]]. Les Λ-modules considérés seront toujours de type fini. Dans ce texte, un homomorphisme entre deux tels modules est dit un quasiisomorphisme si son noyau et conoyau sont finis. Un complexe (de longueur finie) de Λ-modules de type fini est dit suite quasi-exacte s’il est exact à des modules finis près.

Soit M un Λ-module de type fini. On pose pour tout entier i ≥ 0

a_{Λ}^{i}(M) = Ext_{Λ}^{i}(M, Λ) .

En particulier le Λ-module a_{Λ}^{1}(M) = Ext_{Λ}^{1}(M, Λ) est l’adjoint (d’Iwasawa) de M. Rappelons quelques faits d’algèbre commutative.

• Un module est dit pseudo-nul si la hauteur des idéaux associés est supérieure ou égale à 2 ;

• La hauteur des idéaux associés à a_{Λ}^{i}(M) est supérieure ou égale à i ; aussi, a_{Λ}^{i}(M) est pseudo-nul pour i ≥ 2, a_{Λ}^{1}(M) est un Λ-module de torsion et pour dim Λ = 3, a_{Λ}^{3}(M) est fini ;

• Lorsque M est de Λ-torsion, on peut interpréter a_{Λ}^{1}(M) de la manière suivante. Soit Frac Λ le corps des fractions de Λ. Alors,

a_{Λ}^{1}(M) = Hom_{Λ}(M, Frac Λ/Λ) .

• Si M est un Λ-module de torsion, a_{Λ}^{1}(M) n’a pas de sous-modules pseudonuls non nuls. En particulier, si M est un module pseudo-nul, a_{Λ}^{1}(M) = 0.

• Supposons Λ de dimension 3. Si M n’a pas de sous-modules pseudo-nuls non finis, alors a_{Λ}^{2}(M) est fini.

Démontrons le dernier point. Il existe un homomorphisme M → E à conoyau pseudo-nul F et de noyau pseudo-nul avec E module élémentaire E = ⊕Λ/(f_{i}). Un tel module E est de dimension projective 1. D’autre part, par hypothèse sur M, le noyau de M → E est fini. Ainsi, on a un quasi-isomorphisme

a_{Λ}^{2}(M) →^{∼} a_{Λ}^{3}(F) .

Comme la hauteur des idéaux associés à a_{Λ}^{3}(F) est supérieure à 3, a_{Λ}^{3}(F) est fini. On en déduit que a_{Λ}^{2}(M) est fini.

Définition. Un Λ-module de type fini M est dit négligeable si la hauteur des idéaux associés à M est supérieure ou égale à 3. On dit que M vérifie la propriété (A) si a_{Λ}^{i}(M) est négligeable pour i ≥ 2. Un complexe (de longueur finie) de Λ-modules de type fini est dit suite presqueexacte s’il est exact à des modules négligeables près.

Lorsque dim Λ = 2, les modules négligeables sont les modules nuls. Lorsque dim Λ = 3, les modules négligeables sont les modules finis. Une suite presque exacte est donc une suite quasi-exacte. Un Λ-module de type fini M vérifie la propriété (A) si a_{Λ}^{2}(M) est fini (cela est automatique pour a_{Λ}^{3}(M)). Ainsi, si M n’a pas de sous-modules pseudo-nuls non finis, M vérifie la propriété (A). Si 𝔭 est un idéal de Λ, on note M^{𝔭} le sous-module des éléments de M annulés par 𝔭.

1.1.1 Proposition. Soit M un Λ-module de type fini, de torsion et 𝔭 un idéal de Λ de hauteur 1.

1) Si M/𝔭 est de Λ/𝔭-torsion, on a la suite exacte naturelle

0 → a_{Λ}^{1}(M)/𝔭 → a_{Λ/𝔭}^{1}(M/𝔭) → a_{Λ}^{2}(M)^{𝔭} → 0 .

2) Si M vérifie la condition (A), on a une suite presque exacte

0 → a_{Λ/𝔭}^{1}(M/𝔭) → a_{Λ}^{1}(M)/𝔭 → a_{Λ/𝔭}^{0}(M^{𝔭}) → 0 .

Si M est de dimension projective inférieure ou égale à 1, la suite

0 → a_{Λ/𝔭}^{1}(M/𝔭) → a_{Λ}^{1}(M)/𝔭 → a_{Λ/𝔭}^{0}(M^{𝔭}) → a_{Λ/𝔭}^{2}(M/𝔭) → 0

est exacte.

Démonstration. On déduit de la suite exacte 0 → Λ →^{f} Λ → Λ/𝔭 → 0 avec 𝔭 = (f) la suite exacte

0 → Ext_{Λ}^{1}(M, Λ)/𝔭 → Ext_{Λ}^{1}(M, Λ/𝔭) → Ext_{Λ}^{2}(M, Λ)^{𝔭} → 0 .

D’autre part, on utilise une résolution de M par des modules de type fini

0 → L′ → L → M → 0

avec L libre. Si L′′ est le noyau de L/𝔭 → M/𝔭, on a la suite exacte

0 → M^{𝔭} → L′/𝔭 → L′′ → 0 .

Le diagramme suivant est commutatif et ses lignes et colonnes sont exactes :

0 ↓

0 → a_{Λ/𝔭}^{0}(M/𝔭) → a_{Λ/𝔭}^{0}(L/𝔭) → a_{Λ/𝔭}^{0}(L′′) → a_{Λ/𝔭}^{1}(M/𝔭) → 0
|| || ↓ ↓
0 → Hom_{Λ}(M, Λ/𝔭) → Hom_{Λ}(L, Λ/𝔭) → Hom_{Λ}(L′, Λ/𝔭) → Ext_{Λ}^{1}(M, Λ/𝔭) → 0

↓

a_{Λ/𝔭}^{0}(M^{𝔭})

↓

a_{Λ/𝔭}^{1}(L′′)

↓

a_{Λ/𝔭}^{1}(L′/𝔭)

Comme a_{Λ/𝔭}^{i}(L′′) ≅ a_{Λ/𝔭}^{i+1}(M/𝔭) pour i ≥ 1, on trouve la suite exacte

0 → a_{Λ/𝔭}^{1}(M/𝔭) → Ext_{Λ}^{1}(M, Λ/𝔭) → a_{Λ/𝔭}^{0}(M^{𝔭}) → a_{Λ/𝔭}^{2}(M/𝔭) .

Lorsque M/𝔭 est de Λ/𝔭-torsion, il en est de même de M^{𝔭}, a_{Λ/𝔭}^{0}(M^{𝔭}) est nul et on obtient l’assertion (1). En général, on peut résumer en les deux suites exactes

0 ↓ a_{Λ}^{1}(M)/𝔭 ↓ 0 → a_{Λ/𝔭}^{1}(M/𝔭) → Ext_{Λ}^{1}(M, Λ/𝔭) → a_{Λ/𝔭}^{0}(M^{𝔭}) → a_{Λ/𝔭}^{2}(M/𝔭) ↓ a_{Λ}^{2}(M)^{𝔭} ↓ 0 .

Lorsque M vérifie la propriété (A), a_{Λ}^{2}(M) est négligeable. Lorsque M est de dimension projective inférieure ou égale à 1, a_{Λ}^{2}(M) = 0, le Λ-module L′ est libre, donc le Λ/𝔭-module L′/𝔭 est libre et a_{Λ/𝔭}^{1}(L′/𝔭) = 0. D’où la suite exacte de la proposition.

1.1.2 Remarques. (1) L’application Ext_{Λ}^{1}(M, Λ/𝔭) → a_{Λ/𝔭}^{0}(M^{𝔭}) dépend du choix d’un générateur f de 𝔭.

(2) Le Λ/𝔭-module a_{Λ}^{1}(M)/𝔭 contrôle à la fois la partie libre de M^{𝔭} et la partie de torsion de M/𝔭. En particulier, si M/𝔭 est de Λ/𝔭-torsion, a_{Λ}^{1}(M)/𝔭 est un module de torsion et on a la suite exacte

0 → a_{Λ}^{1}(M)/𝔭 → a_{Λ/𝔭}^{1}(M/𝔭) → a_{Λ}^{2}(M)^{𝔭} → 0 .

Si M est de dimension projective inférieure ou égale à 1, a_{Λ}^{1}(M)/𝔭 est égal à a_{Λ/𝔭}^{1}(M/𝔭). Si M vérifie la propriété (A), (a_{Λ}^{2}(M) est donc fini), le noyau de l’application a_{Λ}^{1}(M)/𝔭 → a_{Λ/𝔭}^{0}(M^{𝔭}) est le sous-module de torsion de a_{Λ}^{1}(M)/𝔭 et est quasi-isomorphe à a_{Λ/𝔭}^{1}(M/𝔭).

1.2 Construction d’accouplement

Soient deux Λ-modules M et M′ de Λ-torsion et un Λ-homomorphisme

Θ : M → a_{Λ}^{1}(M′)

autrement dit une application bilinéaire M × M′ → Frac Λ/Λ. Si 𝔭 est un idéal de Λ de hauteur 1, on en déduit un homomorphisme de Λ/𝔭-modules

M/𝔭 → a_{Λ}^{1}(M′)/𝔭 → Ext_{Λ}^{1}(M′, Λ/𝔭) .

L’image du Λ/𝔭-module de torsion t_{Λ/𝔭}(M/𝔭) de M/𝔭 est contenue dans le module de Λ/𝔭-torsion de Ext_{Λ}^{1}(M′, Λ/𝔭). On a donc le diagramme commutatif dont les lignes sont exactes :

0 → a_{Λ/𝔭}^{1}(M′/𝔭) → Ext_{Λ}^{1}(M′, Λ/𝔭) → a_{Λ/𝔭}^{0}(M′^{𝔭}) →a_{Λ/𝔭}^{2}(M′/𝔭)
↑
↑  a_{Λ}^{1}(M′)/𝔭
↑
0 → t_{Λ/𝔭}(M/𝔭) →  M/𝔭  → (M/𝔭)^{∗∗} → Λ/𝔭 − pseudo − nul

(1)

avec (M/𝔭)^{∗∗} = Hom_{Λ/𝔭}(Hom_{Λ/𝔭}(M/𝔭, Λ/𝔭), Λ/𝔭) = a_{Λ/𝔭}^{0}(a_{Λ/𝔭}^{0}(M/𝔭)). On obtient ainsi des homomorphismes de Λ/𝔭-modules

ℓ_{𝔭}(Θ) : M/𝔭/t_{Λ/𝔭}(M/𝔭) → a_{Λ/𝔭}^{0}(M′^{𝔭})

et

t_{𝔭}(Θ) : t_{Λ/𝔭}(M/𝔭) → a_{Λ/𝔭}^{1}(M′/𝔭) → a_{Λ/𝔭}^{1}(t_{Λ/𝔭}(M′/𝔭)) .

Contrairement à t_{𝔭}(Θ), ℓ_{𝔭}(Θ) dépend du choix d’un générateur de 𝔭.

1.2.1 Lemme. Supposons Λ de dimension inférieure ou égale à 3. Si M et M′ sont des Λ-modules de torsion vérifiant la propriété (A) et si Θ est un quasiisomorphisme de Λ-modules, ℓ_{𝔭}(Θ) et t_{𝔭}(Θ) sont des quasi-Λ/𝔭-isomorphismes.

Démonstration. L’hypothèse implique que Θ_{𝔭} : M/𝔭 → a_{Λ}^{1}(M′)/𝔭 est un quasiisomorphisme. D’autre part, a_{Λ/𝔭}^{2}(M′/𝔭) est fini.

Gardons les hypothèses du lemme. On déduit de t_{𝔭}(Θ) une forme bilinéaire quasi-non dégénérée :

t_{Λ/𝔭}(M/𝔭) × t_{Λ/𝔭}(M′/𝔭) → Frac Λ/𝔭/(Λ/𝔭)

ou

a_{Λ/𝔭}^{1}(M/𝔭) × a_{Λ/𝔭}^{1}(M′/𝔭) → Frac Λ/𝔭/(Λ/𝔭) .

Lorsqu’on tensorise ℓ_{𝔭}(Θ) par Frac Λ/𝔭, comme le conoyau de M/𝔭 → (M/𝔭)^{∗∗} est fini, on en déduit un isomorphisme

Frac Λ/𝔭 ⊗ a_{Λ/𝔭}^{0}(a_{Λ/𝔭}^{0}(M/𝔭)) → Frac Λ/𝔭 ⊗ a_{Λ/𝔭}^{0}(M′^{𝔭}) .

En prenant l’inverse et en composant avec l’application induite par M′^{𝔭} → M′/𝔭, on en déduit une forme bilinéaire

a_{Λ/𝔭}^{0}(M/𝔭) × a_{Λ/𝔭}^{0}(M′/𝔭) → Frac Λ/𝔭

qui est non dégénérée si et seulement si Frac Λ/𝔭 ⊗ M′^{𝔭} → Frac Λ/𝔭 ⊗ M′/𝔭 est un isomorphisme, c’est-à-dire si et seulement si le noyau de M^{𝔭} → M/𝔭 est de Λ/𝔭-torsion.

Lorsque Λ = ℤ_{p}[[Γ]], Λ est muni d’une involution induite par τ → τ^{−1} et que l’on note avec un point. Si N est un Λ-module, Ṅ est le module N muni d’une nouvelle action de Γ : τ · n = τ^{−1}n. Supposons Γ = ℤ_{p}. Reprenons les suites exactes et la construction : si Γ_{n} = Γ^{p^{n}}, les modules ℤ_{p}[Γ/Γ_{n}]-pseudo-nuls sont nuls et a_{ℤ_{p}[Γ/Γ_{n}]}^{1}(Ṅ) est égal à

{ \atop t_{ℤ_{p}}(N)} muni de l’action usuelle de Γ/Γ_{n} sur le dual de Pontryagin : τ(f)(n) = f(τ^{−1}n). Pour 𝔭 l’idéal engendré par γ − 1, M^{𝔭} est le module des invariants M^{Γ} et M/𝔭 le module des coinvariants M_{Γ}. On obtient un diagramme commutatif dont les lignes sont exactes

Hom_{ℤ_{p}}(M′_{Γ}, ℤ_{p})
↓
0 → { \atop t_{ℤ_{p}}(M′_{Γ})} → Ext_{Λ}^{1}(M′, Λ)_{Γ} → Hom_{ℤ_{p}}(M′^{Γ}, ℤ_{p}) → 0
↑  ↑  ↑
0 → t_{ℤ_{p}}(M_{Γ}) →  M_{Γ}  →  L_{ℤ_{p}}(M_{Γ})  → 0 .

Autrement dit, on obtient une forme bilinéaire à valeurs dans ℚ_{p}/ℤ_{p}

{ \atop t_{ℤ_{p}}(M_{Γ})} × { \atop t_{ℤ_{p}}(M′_{Γ})} → ℚ_{p}/ℤ_{p}

et une forme bilinéaire à valeurs dans ℚ_{p}

M′_{Γ}^{∗} × M_{Γ}^{∗} → ℚ_{p}

qui est non dégénérée si ℚ_{p} ⊗_{ℤ_{p}} M^{Γ} → ℚ_{p} ⊗_{ℤ_{p}} M_{Γ} est un isomorphisme. En remplaçant γ par γ^{p^{n}}, on obtient de même une forme sesqui-linéaire

Ṁ′_{Γ_{n}}^{∗} × M_{Γ_{n}}^{∗} → ℚ_{p}[Γ/Γ_{n}] .

1.3 Calcul de l’adjoint

[24], [20], [2] Prenons Λ = ℤ_{p}[[Γ]] avec Γ ≅ ℤ_{p}^{r}. Iwasawa a donné un moyen explicite de calculer a_{Λ}^{1}(M). Soit Γ′ un sous-groupe isomorphe à ℤ_{p} de Γ. Soit γ un générateur topologique de Γ′. Posons Λ_{n} = ℤ_{p}[[Γ/Γ′_{n}]]

1.3.1 Proposition. Soit M un Λ-module de type fini de torsion tel que M/(γ^{p^{n}} − 1) soit un Λ_{n}-module de torsion pour tout entier n. Alors

a_{Λ}^{1}(M) = lim_{←_{n}} a_{Λ_{n}}^{1}(M/(γ^{p^{n}} − 1)) = lim_{←_{n}} a_{Λ_{n}}^{1}(M_{Γ′_{n}})

l’application de transition étant induite par la trace c’est-à-dire par la multiplication par ∑_{i=0}^{p−1} γ^{ip^{n}}.

Cela se déduit des suites exactes

0 → a_{Λ}^{1}(M)_{Γ′_{n}} → a_{Λ_{n}}^{1}(M_{Γ′_{n}}) → a_{Λ}^{2}(M)^{Γ′_{n}}

et du fait que la limite projective des a_{Λ}^{2}(M)^{Γ′_{n}} est nulle. Dans le cas où Γ = Γ′ = ℤ_{p}, on obtient le résultat bien connu suivant : si M_{Γ_{n}} est fini pour tout entier n,

a_{Λ}^{1}(M) ≅ lim_{←_{n}} ˆ Ṁ^{Γ_{n}} = lim_{←_{n}} ˆ Ṁ^{Γ_{n}}/p^{n}ˆṀ^{Γ_{n}} .

Nous renvoyons à [24] ou à [20] pour des précisions et une interprétation en termes de cohomologie locale.

2 Modules de Selmer et théorèmes de contrôle

2.1 Notations

Soit p un nombre premier impair, F un corps de nombres, S un nombre fini de places de F contenant les places à l’infini et les places au dessus de p. Si v est une place de F, on note G_{v} un groupe de décomposition de F en v. Si L est une extension de F, on note S(L) l’ensemble des places de L au dessus de S. Si v est une place de F, la notation L_{v}/F_{v} signifie par abus de notation L_{w}/F_{v} où w est une place choisie de L au dessus de v (le contexte indiquant que le choix n’a alors pas d’importance). Soit V une représentation p-adique du groupe de Galois absolu G_{F} de F, non ramifiée en dehors de S. Ainsi, si G_{S,F} est le groupe de Galois de la plus grande extension de F non ramifiée en dehors de S, V est une représentation p-adique de G_{S,F}. Soit T un réseau de V stable par G_{F}. On note V^{∗} = Hom(V, ℚ_{p}), T^{∗} = Hom(T, ℤ_{p}), V̌ = V^{∗}(1) le dual de Tate de V, Ť = T^{∗}(1). Si W est un ℤ_{p}-module libre de type fini, on pose U(W) = (ℚ_{p} ⊗ W)/W et Ǔ(W) = (ℚ_{p} ⊗ W̌)/W̌. Nous ferons désormais l’hypothèse suivante :

V est ordinaire aux places divisant p.  (Ord)

Rappelons que V est ordinaire aux places divisant p si pour tout v | p, il existe une filtration de G_{v}-modules Fil_{v}^{j} V associée à la représentation p-adique V telle que le groupe d’inertie en v agit sur le quotient Fil_{v}^{j} V/ Fil_{v}^{j+1} V par le caractère χ^{j} où χ est le caractère cyclotomique. On pose Fil_{v}^{j} T = Fil_{v}^{j} V ∩ T. Soit ρ un caractère continu de G_{F} à valeurs dans ℤ_{p}^{∗}. On note V ⊗ ρ la représentation V twistée par le caractère ρ. Lorsque ρ est la puissance k-ième du caractère cyclotomique, on trouve le twist à la Tate usuel noté V (k). On pose pour simplifier U_{ρ} = U(T ⊗ ρ) et Ǔ_{ρ} = Ǔ(T ⊗ ρ) = Ǔ(T) ⊗ ρ^{−1}. Nous faisons plus loin l’hypothèse suivante pour certaines extensions L de F :

(V ⊗ ρ)^{G_{L}} = 0 et pour v | p, ((V/ Fil_{v}^{1} V) ⊗ ρ)^{G_{Lv}} = 0.  (Hyp(L, V, ρ))

Nous faisons désormais les hypothèses

Hyp(L, V) et Hyp(L, V̌)

correspondant au caractère identité pour les extensions finies L utilisées dans la suite. Enfin, si F_{∞} est une ℤ_{p} ou ℤ_{p}^{2}-extension, on suppose qu’il n’y a qu’un nombre fini de places au dessus de p dans F_{∞}.

2.2 Groupes de Selmer

Sous les hypothèses faites sur V, (ordinarité, Hyp(F, V) et Hyp(F, V̌)), les modules de Selmer peuvent être définis en prenant la définition de Bloch-Kato ou en prenant celle de Greenberg. Soit

H_{f}^{1}(F_{v}, V) = \begin{cases}H^{1}(G_{v}/I_{v}, V^{I_{v}}) & pour v ∤ p \\ Im H^{1}(F_{v}, Fil_{v}^{1} V) → H^{1}(F_{v}, V) \\ = ker H^{1}(F_{v}, V) → H^{1}(F_{v}, V/ Fil_{v}^{1} V) & pour v | p \end{cases}

et

H_{/f}^{1}(F_{v}, V) = H^{1}(F_{v}, V)/H_{f}^{1}(F_{v}, V) .

On a alors

H_{/f}^{1}(F_{v}, V) = \begin{cases}H^{1}(I_{v}, V)^{G_{v}/I_{v}} & pour v ∤ p \\ H^{1}(F_{v}, V/ Fil_{v}^{1} V) & pour v | p \end{cases}

Soit H_{f}^{1}(F_{v}, T) l’image réciproque de H_{f}^{1}(F_{v}, V) dans H^{1}(F_{v}, T) et

H_{/f}^{1}(F_{v}, U) = H^{1}(F_{v}, U)/ℚ_{p}/ℤ_{p} ⊗ H_{f}^{1}(F_{v}, T) = H^{1}(F_{v}, U)/ Im H_{f}^{1}(F_{v}, V) .

On définit H_{f}^{1}(F, T) comme le noyau de

H^{1}(G_{S,F} , T) → ∏_{v∈S}H_{/f}^{1}(F_{v}, V) .

Ensuite, H_{f}^{1}(F, U) = H_{f}^{1}(F, V/T) peut être défini comme le noyau de l’application

H^{1}(G_{S,F} , U) → ∏_{v∈S}H_{/f}^{1}(F_{v}, U) .

2.3 Modules d’Iwasawa

Soit F_{∞}/F une ℤ_{p}-extension ou une ℤ_{p}^{2}-extension. On pose Γ = Gal(F_{∞}/F),

Λ = ℤ_{p}[[Gal(F_{∞}/F)]] et on note F_{n} = F_{∞}^{Γ^{p^{n}}} le sous-corps de F_{∞} fixe par Γ^{p^{n}}. Soit alors

X_{∞,f}(F_{∞}, Ť) = Hom_{ℤ_{p}}(H_{f}^{1}(F_{∞}, U), ℚ_{p}/ℤ_{p})

où H_{f}^{1}(F_{∞}, U) est la limite inductive des H_{f}^{1}(L, U) pour L sous-extension de F_{∞}. C’est un Λ-module de type fini. Soit ρ un caractère continu de G_{F} à valeurs dans ℤ_{p}^{∗} se factorisant par Γ. Notons

H_{∗}^{1}(F_{v}, V ⊗ ρ) = \begin{cases}H^{1}(G_{v}/I_{v}, (V ⊗ ρ)^{I_{v}}) & (v ∤ p) \\ Im H^{1}(F_{v}, Fil_{v}^{1} V ⊗ ρ) → H^{1}(F_{v}, V ⊗ ρ) \\ = ker H^{1}(F_{v}, V ⊗ ρ) → H^{1}(F_{v}, V ⊗ ρ/ Fil_{v}^{1} V ⊗ ρ) & (v | p) \end{cases}

et

H_{/∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ}) = H^{1}(F_{v}, U_{ρ})/ Im H_{∗}^{1}(F_{v}, V ⊗ ρ)

Soit H_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) le noyau de

H^{1}(G_{S,F} , U_{ρ}) → ∏_{v∈S} H_{/∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ}) = ∏_{v|p} H^{1}(F_{v}, U_{ρ})/ Im H^{1}(F_{v}, Fil_{v}^{1} V ⊗ ρ)

∏_{v∈S,v∤p} H^{1}(F_{v}, U_{ρ})/ Im H^{1}(G_{v}/I_{v}, (V ⊗ ρ)^{I_{v}}).

On définit H_{∗}^{1}, H_{/∗}^{1} comme pour H_{f}^{1}, H_{/f}^{1}. Lorsque F_{∞} contient le corps L_{ρ} fixé par le noyau de ρ, le module

X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}) =^{déf} Hom_{ℤ_{p}}(H_{∗}^{1}(F_{∞}, U_{ρ}), ℚ_{p}/ℤ_{p}) = X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť)⊗ρ^{−1}

est un twist de X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť) = X_{∞,f}(F_{∞}, Ť) (sous les hypothèses Hyp(F_{∞}, V) et Hyp(F_{∞}, V̌)). ^{1}

2.4 Théorèmes de contrôle

On note

ℨ(L_{v}, T ⊗ ρ) = ℨ_{ρ}(L_{v}) = \begin{cases}U_{ρ}(T)^{G_{Lv}} / Im(V ⊗ ρ)^{G_{Lv}} & si v ∤ p \\ U_{ρ}(T/ Fil_{v}^{1} T)^{G_{Lv}} & si v | p \end{cases} .

Considérons pour L contenu dans F_{∞} les applications

Ξ_{F_{∞}/L}(T ⊗ ρ) : H^{1}(F_{∞}/L, U_{ρ}^{G_{F∞}}) → ∏_{v∈S(L)} H^{1}(F_{∞,v}/L_{v}, ℨ_{ρ}(F_{∞,v})) .

Remarquons que seules les places de F qui ne sont pas totalement décomposées dans F_{∞} interviennent réellement.

1remarquons que lorsque ρ est le caractère trivial, les notations * et f coïncident.

Documenta Mathematica · Extra Volume Kato (2003) 725–760

2.4.1 Proposition (théorème de contrôle, cas d’une ℤ_{p}-extension). Les applications induites par restriction

H_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) → H_{∗}^{1}(F_{∞}, U_{ρ})^{Γ} = { \atop X_{∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})}^{Γ}

entrent dans une suite exacte naturelle

0 → ker Ξ_{F_{∞}/F} (T ⊗ ρ) → H_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) → H_{∗}^{1}(F_{∞}, U_{ρ})^{Γ}

→ coker Ξ_{F_{∞}/F} (T ⊗ ρ) → { \atop H_{∗}^{1}(F, Ť⊗ρ^{−1})}.

2.4.2 Corollaire. Sous l’hypothèse (Hyp(F, V, ρ)), l’homomorphisme

X_{∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})_{Γ} → { \atop H_{∗}^{1}(F, U_{ρ})}

a un noyau et conoyau finis. Sous l’hypothèse (Hyp(F_{∞}, V, ρ)), les noyaux et les conoyaux des

X_{∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})_{Γ_{n}} → { \atop H_{∗}^{1}(F_{n}, U_{ρ})}

sont d’ordre borné par rapport à n.

Il est commode d’introduire un sous-groupe de H^{1}(G_{S,F} , U_{ρ}) un peu plus grand que H_{∗}^{1}(F, U_{ρ}). Il s’agit du noyau de

H^{1}(G_{S,F} , U_{ρ}) → ∏_{v∈S} H̃_{/∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ})

avec

H̃_{/∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ}) = \begin{cases}(∏_{w|v} H^{1}(F_{∞,w}, U_{ρ}))^{Γ} & si v ∤ p \\ (∏_{w|v} H^{1}(F_{∞,v}, U_{ρ}/Im(Fil_{v}^{1} V ⊗ ρ)))^{Γ} & si v | p \\ = (∏_{w|v} H^{1}(F_{∞,v}, U_{ρ}(T/ Fil_{v}^{1} T)))^{Γ} \end{cases}

On note aussi H̃_{∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ}) le noyau de H^{1}(F_{v}, U_{ρ}) → H̃_{/∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ}). L’intérêt d’introduire ce module est le lemme suivant

2.4.3 Lemme. Les suites suivantes sont exactes

0 → H^{1}(Γ, U_{ρ}^{G_{F∞}}) → H̃_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) → H_{∗}^{1}(F_{∞}, U_{ρ})^{Γ} → 0

0 → X_{∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})_{Γ} → { \atop H̃_{∗}^{1}(F, U_{ρ})} → { \atop H^{1}(Γ, U_{ρ}^{G_{F∞}})} → 0

Démonstration. On a en effet le diagramme commutatif dont les lignes et les colonnes sont exactes

0 ↑

0 → H_{∗}^{1}(F_{∞}, U_{ρ})^{Γ} → H^{1}(G_{S,F_{∞}}, U_{ρ})^{Γ} → (∏_{v∈S(F_{∞})} H_{/∗}^{1}(F_{∞,v}, U_{ρ}))^{Γ}
↑ ↑ ↑
0 → H̃_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) → H^{1}(G_{S,F} , U_{ρ}) →  ∏_{v∈S} H̃_{/∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ})

↑ H^{1}(Γ, U_{ρ}^{G_{F∞}}) ↑ 0

Il s’agit de voir que la flèche verticale de droite est injective. Lorsque v ∤ p est totalement décomposée dans F_{∞}, H_{/∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ}) = (∏_{w|v} H_{/∗}^{1}(F_{∞,v}, U_{ρ}))^{Γ} car Γ agit simplement par permutation des facteurs. Soit v ne divisant pas p et non totalement décomposée dans F_{∞}. Si w est une place de F_{∞} au dessus de v, l’extension F_{∞,w} est l’unique extension de F_{v} non ramifiée et de groupe de Galois un pro-p-groupe. Donc, H_{/∗}^{1}(F_{∞,w}, U_{ρ}) est égal à H^{1}(F_{∞,w}, U_{ρ})^{Γ}. On

en déduit que H̃_{/∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ}) → (∏_{w|v} H_{/∗}^{1}(F_{∞,v}, U_{ρ}))^{Γ} est un isomorphisme. Lorsque v | p, l’assertion est claire.

Démonstration de la proposition. La différence entre H̃_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) et H_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) est calculée par la suite exacte suivante, conséquence de la suite exacte de Poitou-Tate :

0 → H_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) → H̃_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) → ∏_{v∈S} H̃_{∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ})/H_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) → { \atop H_{∗}^{1}(F, Ť⊗ρ^{−1})}

et il n’est pas difficile de voir que ∏_{v∈S} H̃_{∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ})/H_{∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ}) est exactement l’ensemble d’arrivée de Ξ_{F_{∞}/F} (T ⊗ ρ). En effet, cela est clair pour la contribution des places totalement décomposées dans F_{∞}. Pour une place v non totalement décomposée dans F_{∞} et ne divisant pas p, on a d’après le calcul précédent

H̃_{∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ}) = H^{1}(F_{∞,v}/F_{v}, U_{ρ}^{G_{F∞,v}})
H_{∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ}) = ℚ_{p}/ℤ_{p} ⊗ H^{1}(F_{∞,v}/F_{v}, (T ⊗ ρ)^{G_{F∞,v}})
= H^{1}(F_{∞,v}/F_{v}, U_{ρ}(T^{G_{F∞,v}}))

car Gal(F_{∞,v}/F_{v}) est de dimension cohomologique 1. Donc,

H̃_{∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ})/H_{∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ}) = H^{1}(F_{∞,v}/F_{v}, ℨ_{ρ}(F_{∞,v})) .

Remarquons que par la dualité de Tate, c’est aussi le dual de Pontryagin du sous-ℤ_{p}-module de torsion de H^{1}(F_{∞,v}, Ť⊗ρ^{−1})^{G_{Fv}} dont le cardinal est le nombre de Tamagawa local en v de Ť⊗ρ^{−1}.

Soit maintenant une place v divisant p. On a par définition le diagramme commutatif et exact suivant

0  0 ↑  ↑ 0 → H̃_{∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ}) → H^{1}(F_{v}, U_{ρ}) →  H^{1}(F_{∞,v}, U_{ρ}(T/ Fil_{v}^{1} T))^{Γ_{v}} ↑  ↑  ↑ 0 → H_{∗}^{1}(F_{v}, U_{ρ}) → H^{1}(F_{v}, U_{ρ}) →  H^{1}(F_{v}, U_{ρ}(T/ Fil_{v}^{1} T))  → H^{2} ↑  ↑  ↑ 0  0  H^{1}(F_{∞,v}/F_{v}, (U_{ρ}(T/ Fil_{v}^{1} T))^{G_{F∞,v}}) ↑ 0 .

L’image de H^{1}(F_{∞,v}/F_{v}, U_{ρ}(T/ Fil_{v}^{1} T)^{G_{F∞,v}}) dans H^{2} = H^{2}(F_{v}, U_{ρ}(Fil_{v}^{1} T)) est nulle. D’où l’assertion sur la contribution en p.

Pour démontrer le corollaire, on remarque que si v ∤ p et que v n’est pas totalement décomposée dans F_{∞}, H^{1}(F_{∞,v}/F_{v}, U_{ρ}^{G_{F∞,v}}/(V ⊗ ρ)^{G_{F∞,v}}) est dual du sous-groupe de torsion de H^{1}(I_{v}, Ť⊗ρ^{−1})^{G_{v}/I_{v}} et a comme cardinal le nombre de Tamagawa local Tam_{v}(Ť⊗ρ^{−1}). Ainsi, il vaut 0 si V a bonne réduction en v. Lorsqu’on remplace F par F_{n}, Tam_{F_{n},v}(Ť⊗ρ^{−1}) est borné par rapport à n ([31, 2.2.6]). Pour v | p, l’hypothèse (Hyp(F_{∞}, V, ρ)) implique que H^{1}(F_{∞,v}/F_{n,v}, U_{ρ}(T/ Fil_{v}^{1} T)^{G_{F∞,v}}) est fini et d’ordre borné par rapport à n.

2.5 Théorème de contrôle : cas d’une ℤ_{p}^{2}-extension

On suppose maintenant que F_{∞} est une ℤ_{p}^{2}-extension de F. On a les théorèmes de contrôle suivants relatifs à la descente de F_{∞} à une sous-ℤ_{p}-extension L_{∞} (on note alors Λ_{L_{∞}} = ℤ_{p}[[Gal(L_{∞}/F)]]). Notons Ξ_{F_{∞}/L_{∞}}(T ⊗ ρ) l’application

H^{1}(F_{∞}/L_{∞}, U_{ρ}^{G_{F∞}}) → ∏_{v∈S(L_{∞})} H^{1}(F_{∞,v}/L_{∞,v}, ℨ_{ρ}(F_{∞,v})) .

Seules les places totalement décomposées dans L_{∞} et les places divisant p interviennent en fait. En effet, dans le cas contraire, elles sont nécessairement totalement décomposées dans F_{∞}/L_{∞}. Notons enfin Ȟ_{∗}^{1}(L_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}) la limite projective des H_{∗}^{1}(L_{n}, Ť⊗ρ^{−1}) pour les applications de corestriction.

2.5.1 Proposition (théorème de contrôle, cas d’une ℤ_{p}^{2}-extension). Soit L_{∞} une sous-ℤ_{p}-extension de F_{∞}. L’application de restriction induit par dualité un homomorphisme

r_{F_{∞}/L_{∞}} : X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})_{Gal(F_{∞}/L_{∞})} → X_{∞,∗}(L_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})

qui se trouve dans une suite exacte naturelle de Λ_{L_{∞}}-modules

Ȟ_{∗}^{1}(L_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}) → { \atop coker Ξ_{F_{∞}/L_{∞}}(T ⊗ ρ)} → X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})_{Gal(F_{∞}/L_{∞})}

→ X_{∞,∗}(L_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}) → { \atop ker Ξ_{F_{∞}/L_{∞}}(T ⊗ ρ)} → 0 .

Sous l’hypothèse (Hyp(L_{∞}, V, ρ)), le noyau de r_{F_{∞}/L_{∞}} est fini et son conoyau est annulé par une puissance de p. Lorsqu’il y a un nombre fini de places au dessus de S dans L_{∞} et sous (Hyp(F_{∞}, V, ρ)), les noyaux et conoyaux des r_{F_{∞}/F_{n}L_{∞}} sont finis et d’ordre borné par rapport à n.

Démonstration. La suite exacte se démontre en utilisant le diagramme exact et commutatif suivant avec Γ′ = Gal(F_{∞}/L_{∞}),

0  0
↑  ↑
0 → H_{∗}^{1}(F_{∞}, U_{ρ})^{Γ′} → H^{1}(G_{S,F_{∞}}, U_{ρ})^{Γ′} →  (∏_{w∈S(F_{∞})} H_{/∗}^{1}(F_{∞,w}, U_{ρ}))^{Γ′}
↑ ↑ ↑
0 → H_{∗}^{1}(L_{∞}, U_{ρ}) → H^{1}(G_{S,L_{∞}}, U_{ρ}) →  ∏_{v∈S(L_{∞})} H_{/∗}^{1}(L_{∞,v}, U_{ρ})
↑  ↑
H^{1}(Γ′, U_{ρ}^{G_{F∞}}) → ∏_{v∈S(L_{∞})} H^{1}(F_{∞,v}/L_{∞,v}, ℨ_{ρ}(F_{∞,v}))
↑  ↑
0  0

En effet, soit w une place de F_{∞} ne divisant pas p et v sa restriction à L_{∞}. Si w n’est pas totalement décomposée dans F_{∞}, on a H_{/∗}^{1}(F_{∞,w}, U_{ρ}) = H^{1}(F_{∞,w}, U_{ρ}) car H_{∗}^{1}(F_{∞,w}, U_{ρ}) = 0. Si v n’est pas totalement décomposée non plus dans L_{∞}, on a alors aussi H_{/∗}^{1}(L_{∞,w}, U_{ρ}) = H^{1}(L_{∞,w}, U_{ρ}) et l’application d’inflation est un isomorphisme. Si v est totalement décomposée dans L_{∞}, le noyau de H_{/∗}^{1}(L_{∞,w}, U_{ρ}) → ∏_{w|v} H_{/∗}^{1}(F_{∞,w}, U_{ρ}) est égal au quotient

H^{1}(F_{∞,v}/L_{∞,v}, U_{ρ})/ℚ_{p}/ℤ_{p} ⊗ H^{1}(F_{∞,v}/L_{∞,v}, (T ⊗ ρ)^{G_{F∞,v}})

qui est isomorphe à H^{1}(F_{∞,v}/L_{∞,v}, ℨ_{ρ}(F_{∞,v})) . Si w est totalement décomposée dans F_{∞}, l’assertion est triviale. Si w est une place divisant p, le noyau de l’application inflation est isomorphe à H^{1}(F_{∞,v}/L_{∞,v}, ℨ_{ρ}(F_{∞,v})). Cela démontre les assertions sur le diagramme précédent. Par une des variantes de la suite exacte de Poitou-Tate, le conoyau de H^{1}(G_{S,L_{∞}}, U_{ρ}) → ∏_{v∈S(L_{∞})} H_{/∗}^{1}(L_{∞,v}, U_{ρ}) est contenu dans le dual de Pontryagin de Ȟ_{∗}^{1}(L_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}). On en déduit la proposition.

Un cas particulier est le cas où ρ est le caractère trivial.

2.5.2 Corollaire. Soit L_{∞} une sous-ℤ_{p}-extension de F_{∞}. Il existe une suite exacte naturelle de Λ_{L_{∞}}-modules

Ȟ_{f}^{1}(L_{∞}, Ť) → { \atop coker Ξ_{F_{∞}/L_{∞}}(T)}

→ X_{∞,f}(F_{∞}, Ť)_{Gal(F_{∞}/L_{∞})} → X_{∞,f}(L_{∞}, Ť) → { \atop ker Ξ_{F_{∞}/L_{∞}}(T)} → 0.

2.5.3 Corollaire. Soit L_{∞} une sous-ℤ_{p}-extension de F_{∞}. Si

X_{∞,∗}(L_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})

est un Λ_{L_{∞}}-module de torsion, alors X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}) est un Λ-module de torsion.

2.6 Construction de l’adjoint

Supposons que F_{∞} est une ℤ_{p}-extension de F.

Définition. Nous dirons que ρ est admissible (pour V et F_{∞}) si pour tout entier n, les X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})_{Γ_{n}} sont finis.

Si ρ est admissible, nécessairement X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}) est de Λ-torsion. Il existe un caractère de Gal(F_{∞}/F) dans ℤ_{p}^{∗} admissible pour V si et seulement si

X_{f}(F_{∞}, Ť) est un Λ-module de torsion  (Tors(F_{∞}, V))

et il en existe alors une infinité. En effet, fixons un caractère non trivial de Gal(F_{∞}/F) dans ℤ_{p}^{∗} ; si M est un Λ-module de type fini et de torsion, pour tout entier k sauf un nombre fini, (M⊗ρ^{k})_{Γ_{n}} est de torsion pour tout entier n. En effet, si H est une série caractéristique de M (en particulier H annule M), (M⊗ρ^{k})_{Γ_{n}} est fini si et seulement si H(u^{k}ζ_{n} −1) est non nul pour ζ_{n} une racine de l’unité d’ordre p^{n} et u = ρ(γ). Comme H n’a qu’un nombre fini de zéros par le théorème de préparation de Weierstrass, le fait précédent s’en déduit. Les applications

H_{∗}^{1}(F_{n}, U_{ρ}) → { \atop X_{∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})}^{Γ_{n}}

induisent par passage à la limite projective pour les applications de corestriction un Λ-homomorphisme

A_{F_{∞}}^{(ρ)} : lim_{←_{n}} H_{∗}^{1}(F_{n}, U_{ρ}) → a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}))

(proposition 1.3.1). Soit

ξ_{F_{∞}}(T ⊗ ρ) : U_{ρ}^{G_{F∞}} → ∏_{v∈S^{nd}(F_{∞})} ℨ_{ρ}(F_{∞,v})

où S^{nd}(F_{∞}) désigne l’ensemble des places de S(F_{∞}) non totalement décomposées sur F.

2.6.1 Proposition. Soit F_{∞}/F une ℤ_{p}-extension telle que (Tors(F_{∞}, V)) soit vérifiée et soit ρ admissible pour F_{∞}. On a la suite exacte naturelle

0 → ker ξ_{F_{∞}}(T ⊗ ρ) → lim_{←_{n}} H_{∗}^{1}(F_{n}, U_{ρ}) →^{A_{F∞}^{(ρ)}} a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}))

→ coker ξ_{F_{∞}}(T ⊗ ρ) → { \atop H_{∗}^{1}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})}.

2.6.2 Corollaire. Sous les hypothèses de la proposition, si de plus (Hyp(F_{∞}, V, ρ)) est vérifié, A_{F_{∞}}^{(ρ)} est un quasi-isomorphisme.

Le corollaire se déduit de la finitude du noyau et du conoyau de ξ_{F_{∞}}(T ⊗ ρ) (il n’y a qu’un nombre fini de places dans S^{nd}(F_{∞})).

Démonstration de la proposition. La proposition se déduit de la proposition 1.3.1 et de la proposition 2.4.1 (remarquons que l’application de corestriction devient dans l’isomorphisme H^{1}(Γ, S) ≅ S_{Γ} l’application induite par l’identité sur S).

2.6.3 Remarques. Supposons de plus que ρ^{−1} est admissible pour Ť et pour F_{∞}. Alors, H_{∗}^{1}(F_{n}, Ť⊗ρ^{−1}) est fini pour tout entier n et est égal au sousgroupe de ℤ_{p}-torsion de H_{∗}^{1}(F_{n}, Ť⊗ρ^{−1}), c’est-à-dire à Ǔ_{ρ}^{G_{Fn}}. Donc, sous cette hypothèse,

H_{∗}^{1}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}) = Ǔ_{ρ}^{G_{F∞}} = (V̌ ⊗ρ^{−1}/Ť⊗ρ^{−1})^{G_{F∞}} .

Prenons maintenant pour F_{∞}/F une ℤ_{p}^{2}-extension vérifiant (Hyp(F_{∞}, V, ρ)). Soit F_{n} le corps fixe par Γ_{n} = Γ^{p^{n}}. Si L_{∞} est une sous-ℤ_{p}-extension de F_{∞}/F, on note L_{∞,n} = L_{∞}F_{n}. Ainsi, L_{∞,n+1}/L_{∞,n} est une extension d’ordre p (pour n assez grand). D’autre part, fixons une ℤ_{p}-extension L′_{∞} de F telle que F_{∞} = L_{∞}L′_{∞}. On pose Λ_{L_{∞,n}} = ℤ_{p}[[Gal(L_{∞,n}/L′_{n})]]. Si M est un ℤ_{p}[[Gal(L_{∞,n}/F)]]- module, a_{ℤ_{p}[[Gal(L_{∞,n}/F)]]}^{1}(M) et a_{Λ_{L∞,n}}^{1} (M) muni de sa structure naturelle de ℤ_{p}[[Gal(L_{∞,n}/F)]]-modules s’identifient canoniquement ([20, Lemme 2.3]). La norme de L_{∞,n+1} à L_{∞,n} induit alors des homomorphismes naturels :

a_{ℤ_{p}[[Gal(L_{∞,n+1}/F)]]}^{1}(M_{Γ_{n+1}}) → a_{ℤ_{p}[[Gal(L_{∞,n}/F)]]}^{1}(M_{Γ_{n}}) .

Choisissons une ℤ_{p}-extension L_{∞} telle que X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})_{Gal(F_{∞}/L_{∞,n})} soit de Λ_{L_{∞,n}}-torsion pour tout entier n. Par la proposition 2.5.1, cela est équivalent à ce que X_{∞,∗}(L_{∞,n}, Ť⊗ρ^{−1}) soit de Λ_{L_{∞,n}}-torsion pour tout entier n. On dit alors que ρ est admissible pour F_{∞}/L_{∞}.

2.6.4 Proposition. On suppose vérifiés (Hyp(F_{∞}, V, ρ)), que

X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}) est un Λ-module de torsion  (Tors(F_{∞}, V, ρ))

et que ρ est admissible pour F_{∞}/L_{∞}. Les applications naturelles

r_{n} : a_{Λ_{L∞,n}}^{1} (X_{∞,∗}(L_{∞,n}, Ť⊗ρ^{−1})) → a_{Λ_{L∞,n}}^{1} (X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})_{Gal(F_{∞}/L_{∞,n})})

induisent un Λ-homomorphisme r_{∞} injectif

lim_{←_{n}} a_{Λ_{L∞,n}}^{1} (X_{∞,∗}(L_{∞,n}, Ť⊗ρ^{−1})) → a_{Λ}^{1}(X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}))

et on a la suite quasi-exacte

0 → lim_{←_{n}} a_{Λ_{L∞,n}}^{1} (X_{∞,∗}(L_{∞,n}, Ť⊗ρ^{−1})) →a_{Λ}^{1}(X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}))

→ ∏_{v∈S^{nd}(F_{∞}/L_{∞})} ℨ_{ρ}(F_{∞,v})

Démonstration. Posons Λ_{n} = Λ_{L_{∞,n}}, Γ′_{n} = Gal(F_{∞}/L_{∞,n}) et a_{n}^{1} = a_{Λ_{n}}^{1}, M_{n} = X_{∞,∗}(L_{∞,n}, Ť⊗ρ^{−1}), M = X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}), ℨ = ∏_{v∈S(F_{∞})} ℨ_{ρ}(F_{∞,v}), Ξ_{n} = Ξ_{F_{∞}/L_{∞,n}}(T ⊗ρ). La suite exacte de la proposition 2.5.1 appliquée à F_{∞}/L_{∞,n} devient

{ \atop coker Ξ_{n}} → M_{Γ′_{n}} → M_{n} → { \atop ker Ξ_{n}} → 0

et on a la suite exacte tautologique

0 → { \atop coker Ξ_{n}} → { \atop H^{1}(Γ′_{n}, ℨ)} → { \atop H^{1}(Γ′_{n}, U_{ρ}^{G_{F∞}})} → { \atop ker Ξ_{n}} → 0 .

Soit M′_{n} l’image de M_{Γ′_{n}} dans M_{n}. On a alors les suites exactes

0 → a_{n}^{1}(M′_{n}) → a_{n}^{1}(M_{Γ′_{n}}) → a_{n}^{1}({ \atop coker Ξ_{n}})

0 → a_{n}^{1}(M_{n}) → a_{n}^{1}(M′_{n}) → a_{n}^{2}({ \atop ker Ξ_{n}}) .

On en déduit l’injectivité de a_{n}^{1}(M_{n}) → a_{n}^{1}(M_{Γ′_{n}}) et par passage à la limite celle de lim_{←_{n}} a_{n}^{1}(M_{n}) → a_{Λ}^{1}(M_{Γ′_{n}}).

D’autre part, on déduit de la suite exacte tautologique la suite exacte

0 → a_{n}^{1}({ \atop H^{1}(Γ′_{n}, ℨ)}) → a_{n}^{1}({ \atop coker Ξ_{n}}) → R_{n} → 0

avec R_{n} d’ordre borné par rapport à n (on utilise le fait que a_{n}^{1}(R) = 0 si R est un module fini). Nous allons maintenant raisonner à des modules finis près d’ordre borné par rapport à n (on parle alors de suites quasi-exactes et de quasi-isomorphismes contrôlés): on a la suite quasi-exacte contrôlée:

0 → a_{n}^{1}(M_{n}) → a_{n}^{1}(M_{Γ′_{n}}) → a_{n}^{1}({ \atop coker Ξ_{n}})

et le quasi-isomorphisme contrôlé

a_{n}^{1}({ \atop H^{1}(Γ′_{n}, Z)}) ≅ a_{n}^{1}({ \atop coker Ξ_{n}})

Comme ℨ est annulé par une puissance de p, a_{n}^{1}({ \atop H^{1}(Γ′_{n}, ℨ)}) ≅ H^{1}(Γ′_{n}, ℨ) et la limite projective des a_{n}^{1}({ \atop coker Ξ_{n}}) est quasi-isomorphe à ℨ. La proposition se déduit alors de la proposition 1.3.1

2.6.5 Remarques. On peut être plus précis sous une hypothèse dont on montrera plus tard qu’elle est vraie. Supposons que le plus grand sous-Λ_{n}-module fini de M_{n} = X_{∞,∗}(L_{∞,n}, Ť⊗ρ^{−1}) est d’ordre borné par rapport à n. Alors la dernière flèche est quasi-surjective. En effet, comme M′_{n} est contenu dans M_{n}, a_{n}^{2}(M′_{n}) est fini d’ordre borné par rapport à n. On a donc la suite quasi-exacte

\begin{matrix}0 → lim_{←_{n}} a_{Λ_{L∞,n}}^{1} (X_{∞,∗}(L_{∞,n}, Ť⊗ρ^{−1})) → & a_{Λ}^{1}(X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})) \\ → ∏_{v∈S^{nd}(F_{∞}/L_{∞})} ℨ_{ρ}(F_{∞,v}) → 0 \end{matrix} (2)

3 Construction d’accouplements entre modules de Selmer

3.1 Accouplements de Cassels-Tate

3.1.1 Théorème (Flach). Il existe un homomorphisme naturel

Cassels_{F} (T ⊗ ρ) : H_{∗}^{1}(F, Ǔ_{ρ}) × H_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) → ℚ_{p}/ℤ_{p}

qui induit un isomorphisme

C_{F} (T ⊗ ρ) : { \atop H_{∗}^{1}(F, Ǔ_{ρ})/ div} → H_{∗}^{1}(F, U_{ρ})/ div

où M/ div désigne le quotient d’un ℤ_{p}-module M par sa partie divisible. En particulier, si H_{∗}^{1}(F, Ǔ_{ρ}) et H_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) sont finis, on en déduit un isomorphisme

C_{F} (T ⊗ ρ) : { \atop H_{∗}^{1}(F, Ǔ_{ρ})} → H_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) .

On a les propriétés suivantes :

1. Si L/F est une extension finie,

Cassels_{F} (T ⊗ ρ)(x, cores_{L/F} y) = Cassels_{L}(res_{L/F} x, y)

2. Si F/F_{1} est une extension galoisienne et σ ∈ Gal(F/F_{1}),

Cassels_{F} (T ⊗ ρ)(σx, σy) = Cassels_{F} (T ⊗ ρ)(x, y) .

3. Soit L un corps contenant le corps fixe par le noyau de ρ^{p^{n}}. Soit x ∈ H_{∗}^{1}(L, Ǔ_{p^{n}}) et y ∈ H_{∗}^{1}(L, U_{p^{n}}). Alors, si T w_{ρ}(x) (resp. T w_{ρ^{−1}}(x) désigne le ρ-ième twist de x (resp. le ρ^{−1}-ième twist de y), on a

Cassels_{L}(T ⊗ ρ)(T w_{ρ}(x), T w_{ρ^{−1}}(x)) = Cassels_{L}(T)(x, y)

4. Le dual de C_{F} (T ⊗ ρ) par la dualité de Pontryagin est C_{F} (Ť⊗ρ^{−1}).

3.1.2 Remarques. 1) La partie divisible de H_{∗}^{1}(F, U_{ρ}) est ℚ_{p}/ℤ_{p} ⊗ H_{∗}^{1}(F, T ⊗ ρ).

2) Pour ρ le caractère trivial, V = V_{p}(E) et en utilisant l’accouplement de Weil pour identifier V → V̌ = V^{∗}(1), l’accouplement obtenu est l’accouplement de Cassels. L’accouplement de Weil étant alterné, l’accouplement de Cassels est une forme bilinéaire alternée (on utilise pour cela la propriété 4). C’est ce qui permet de montrer que l’ordre du quotient du groupe de Tate-Shafarevich par sa partie divisible est un carré.

La démonstration du théorème 3.1.1 est faite dans [11], les deux sous-espaces de V ⊗ ρ et V̌ ⊗ρ^{−1} que sont Fil_{v}^{1} V ⊗ρ et Fil_{v}^{1} V̌ ⊗ρ^{−1} sont orthogonaux dans la dualité naturelle V ⊗ ρ × V̌ ⊗ρ^{−1} → ℚ_{p}(1) (voir aussi [13, §5.4]) Pour le comportement par twist, il suffit de reprendre la définition en remarquant que pour τ ∈ G_{L}, ρ(τ) ≡ 1 mod p^{n}. Les différentes cochaines construites diffèrent alors d’éléments de T et finalement l’image est la même dans \frac{1}{p^{n}} ℤ/ℤ.

3.2 Dualité : cas d’une ℤ_{p}-extension

Soit F_{∞}/F une ℤ_{p}-extension. On suppose toujours vérifiées les hypothèses (Hyp(F_{∞}, V)) et (Hyp(F_{∞}, V̌)).

3.2.1 Théorème. Soit ρ un caractère continu de G_{F} à valeurs dans ℤ_{p}^{∗} tel que (Tors(F_{∞}, V, ρ)) soit vérifiée et tel que ρ soit admissible pour F_{∞} et V. Les applications C_{F_{n}}(T ⊗ ρ) induisent un Λ-homomorphisme quasi-injectif

C_{F_{∞}}(T ⊗ ρ) : X_{∞,∗}(F_{∞}, T ⊗ ρ) → a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}))

et on a plus précisément la suite exacte

0 → ker ξ_{F_{∞}}(T ⊗ ρ) → X_{∞,∗}(F_{∞}, T ⊗ ρ) → a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}))
→ coker ξ_{F_{∞}}(T ⊗ ρ)

où

ξ_{F_{∞}}(T ⊗ ρ) : U_{ρ}^{G_{F∞}} → ∏_{v∈S^{nd}(F_{∞})} ℨ_{ρ}(F_{∞,v}) .

Si de plus ρ^{−1} est admissible pour V et F_{∞}, on a la suite exacte

0 → ker ξ_{F_{∞}}(T ⊗ ρ) → X_{∞,∗}(F_{∞}, T ⊗ ρ) → a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}))

→ coker ξ_{F_{∞}}(T ⊗ ρ) → ; Ǔ_{ρ}^{G_{F∞}} .

En particulier, X_{∞,∗}(F_{∞}, T ⊗ ρ) est lui aussi de Λ-torsion.

Démonstration. Par passage à la limite projective des isomorphismes

C_{F_{n}}(T ⊗ ρ) : { \atop H_{∗}^{1}(F_{n}, Ǔ_{ρ})} → H_{∗}^{1}(F_{n}, U_{ρ}) ,

on obtient un homomorphisme de Λ-modules

X_{∞,∗}(F_{∞}, T ⊗ ρ) → lim_{←_{n}} H_{∗}^{1}(F_{n}, U_{ρ}) → a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})) .

La première flèche est bijective. Les noyau et conoyau de la seconde sont décrits en 2.6.1 ainsi que dans la remarque qui le suit.

3.2.2 Corollaire. On suppose vérifiée (Tors(F_{∞}, V)). Les applications C_{F_{∞}}(T ⊗ ρ), pour un caractère continu admissible ρ de Gal(F_{∞}/F) à valeurs dans ℤ_{p}^{∗}, induisent par twist par ρ^{−1} un quasi-isomorphisme indépendant de ρ

X_{∞,f}(F_{∞}, T) →^{∼} a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť))

et on a plus précisément la suite exacte

0→ker ξ_{F_{∞}}(T)→X_{∞,f}(F_{∞}, T)→a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť))→coker ξ_{F_{∞}}(T)→ ; Ǔ^{G_{F∞}} (3)

où

ξ_{F_{∞}}(T) : U^{G_{F∞}} → ∏_{v∈S^{nd}(F_{∞})} ℨ_{ρ}(F_{∞,v})

En particulier, X_{∞,f}(F_{∞}, T) est lui aussi de Λ-torsion.

Démonstration. Il existe sous ces hypothèses un caractère ρ de Gal(F_{∞}/F) admissible pour T tel que ρ^{−1} soit admissible pour Ť. L’indépendance par rapport à ρ se déduit de 3.1.1 et du fait que le calcul de l’adjoint d’un module M peut se faire en utilisant uniquement les quotient M̂^{Γ_{n}}/p^{n}M̂^{Γ_{n}}.

3.2.3 Corollaire (Greenberg). Supposons vérifiée (Tors(F_{∞}, V)). Le plus grand sous-Λ-module fini de X_{∞,f}(F_{∞}, T) est égal au noyau de ξ_{F_{∞}}(T). Si ker ξ_{F_{∞}}(T) est nul, X_{∞,f}(F_{∞}, T) n’a pas de sous-modules finis non nuls et est de dimension projective inférieure ou égale à 1.

Ainsi, si U^{G_{F}} est nul, il en est de même de U^{G_{F∞}} (son dual de Pontryagin est alors un Λ-module de type fini de coinvariant nul, il est donc nul) et X_{∞,f}(F_{∞}, T) n’a pas de sous-modules finis non nuls et est de dimension projective inférieure ou égale à 1. S’il existe une place v ∤ p de S telle que V^{G_{F∞,v}} = 0, ξ_{F_{∞}}(T) est injective et X_{∞,f}(F_{∞}, T) est de dimension projective inférieure ou égale à 1. Si V est la représentation p-adique associée à une courbe elliptique, cela est le cas s’il existe une place v ∤ p où E a mauvaise réduction additive. On retrouve le résultat démontré par Greenberg ([14, Proposition 4.15]). Il est commode de travailler avec l’application Λ-sesquilinéaire qui se déduit de C_{F_{∞}}(T ⊗ ρ) :

Cassels_{F_{∞}}(T ⊗ ρ) : X_{∞,∗}(F_{∞}, T ⊗ ρ) × X_{∞,∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1})) → Frac Λ/Λ

ou

Cassels_{F_{∞}}(T) : X_{∞,f}(F_{∞}, T) × X_{∞,f}(F_{∞}, Ť)) → Frac Λ/Λ .

On a donc pour l’une ou l’autre

Cassels(λx, y) = Cassels(x, λ̇y) = λ Cassels(x, y) .

La proposition suivante est fondamentale :

3.2.4 Proposition. On a

Cassels_{F_{∞}}(T)(x, y) = Cassels_{F_{∞}}(Ť)(y, x)˙ .

Démonstration. Il suffit de démontrer l’égalité

Cassels_{F_{∞}}(T ⊗ ρ)(x, y) = Cassels_{F_{∞}}(Ť ⊗ ρ^{−1})(y, x)˙

pour ρ un caractère de Gal(F_{∞}/F) admissible. Posons M = X_{∗}(F_{∞}, T ⊗ ρ) et M′ = Ẋ_{∗}(F_{∞}, Ť⊗ρ^{−1}). L’application C_{F_{∞}}(T ⊗ ρ) est définie par passage à la limite des Λ-homomorphismes

{ \atop H_{∗}^{1}(F_{n}, Ǔ_{ρ})} → H_{∗}^{1}(F_{n}, U_{ρ})

et on a le diagramme commutatif

{ \atop H_{∗}^{1}(F_{n}, Ǔ_{ρ})} →^{C_{Fn} (T ⊗ρ)} H_{∗}^{1}(F_{n}, U_{ρ})
↑  ↓
M_{Γ_{n}}  →  ˆ  Ṁ′^{Γ_{n}}
||  ↑
M_{Γ_{n}}  →  a_{Λ}^{1}(M′)_{Γ_{n}}

En prenant le dual de Pontryagin de ce diagramme, on obtient le diagramme commutatif

{ \atop H_{∗}^{1}(F_{n}, Ǔ_{ρ})} →^{Ċ_{Fn} (Ť⊗ρ^{−1})} H_{∗}^{1}(F_{n}, U_{ρ})
↑  ↓
M′_{Γ_{n}}  →  ˆ  Ṁ^{Γ_{n}}
↓  ||
 ; ȧ_{Λ}^{1}(M′)_{Γ_{n}}  →  { \atop M_{Γ_{n}}}

On passe ensuite à la limite projective. Les applications M′_{Γ_{n}} → ; ȧ_{Λ}(M′)_{Γ_{n}} induisent alors l’homomorphisme naturel M′ → a_{Λ}(a_{Λ}(M′)) et les C_{F_{n}}(Ť⊗ρ^{−1}) induisent l’application C_{F_{∞}}(Ť ⊗ ρ^{−1}).

3.3 Dualité : cas d’une ℤ_{p}^{2}-extension

Soit F_{∞}/F une ℤ_{p}^{2}-extension. On suppose (Hyp(F_{∞}, V)) et (Hyp(F_{∞}, V̌)). Soit L_{∞} une sous-ℤ_{p}-extension de F_{∞}/F.

Définition. Disons que L_{∞} est admissible si X_{∞,f}(L_{∞,n}, Ť) est un Λ_{L_{∞},n}- module de torsion pour tout entier n.

Une telle ℤ_{p}-extension existe lorsque (Tors(F_{∞}, V)) est vérifiée. En effet, cela revient à montrer que si F est un élément de ℤ_{p}[[T_{1}, T_{2}]] (en l’occurrence la série caractéristique de X_{∞,f}(F_{∞}Ť)), il existe un entier b tel que F (ζ_{n}(1 + T_{2})^{b} − 1, T_{2}) ≠ 0 pour tout entier n. Dans le cas contraire, F (T_{1}, T_{2}) serait divisible par 1+T_{1} −ζ_{n(b)}(1+T_{2})^{b} pour tout entier b avec n(b) entier dépendant de b. Ces éléments étant premiers entre eux, cela impliquerait que F (T_{1}, T_{2}) est identiquement nul. On peut alors appliquer le corollaire 3.2.2 à L_{∞,n}/L′_{n} : il existe une famille de Λ_{L_{∞},n}-homomorphismes

C_{L_{∞,n}}(T) : X_{∞,f}(L_{∞,n}, T) → a_{Λ_{L∞,n}}^{1}(Ẋ_{∞,f}(L_{∞,n}, Ť))

puis définir par passage à la limite projective et en composant avec r_{∞} (2.6.4) un homomorphisme de Λ-modules

X_{∞,f}(F_{∞}, T) → a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť))

3.3.1 Proposition. On suppose vérifiés (Hyp(F_{∞}, T)), (Hyp(F_{∞}, V̌)) et (Tors(F_{∞}, V)). Le Λ-homomorphisme C_{F_{∞}}(T) se trouve dans une suite quasiexacte

0 → X_{∞,f}(F_{∞}, T) → a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť)) → ∏_{w∈S^{nd}(F_{∞})} ℨ(F_{∞,w}) → 0

Le noyau de X_{∞,f}(F_{∞}, T) → a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť)) est contenu dans ; Ǔ^{G_{F∞}}.

Démonstration. Considérons les suites exactes (3) relatives à la ℤ_{p}-extension L_{∞,n}/L′_{n} et passons à la limite projective. Les ker ξ_{L_{∞,n}}(T) sont finis et d’ordre borné et leur limite projective est finie. La limite projective des X_{∞,f}(L_{∞,n}, Ť) est X_{∞,f}(F_{∞}, Ť). La limite projective des a_{Λ_{L∞,n}}^{1} (Ẋ_{∞,f}(L_{∞,n}, T)) est étudiée dans la proposition 2.6.4 (on peut utiliser la remarque qui suit car le plus grand module fini de X_{∞,f}(L_{∞,n}, Ť) est ker ξ_{L_{∞},n} qui est d’ordre borné par rapport à n) : on a la suite quasi-exacte

0 → lim_{←_{n}} a_{Λ_{L∞,n}}^{1} (X_{∞,∗}(L_{∞,n}, Ť)) →a_{Λ}^{1}(X_{∞,f}(F_{∞}, Ť))

→ ∏_{v∈S^{nd}(F_{∞}/L_{∞})} ℨ(F_{∞,v}) → 0

où S^{nd}(F_{∞}/L_{∞}) désigne les places de F_{∞} non totalement décomposées dans F_{∞}/L_{∞}. Comme U^{G_{F∞}} est supposé fini, la limite projective W du quatrième terme de la suite exacte est quasi-isomorphe à la limite projective des ∏_{v∈S^{nd}(L_{∞,n})} ℨ(L_{∞,n,v}). Soit v ∈ S^{nd}(L_{∞,n}) ne divisant pas p. Elle n’est pas totalement décomposée dans L_{∞,n}, elle est donc totalement décomposée dans F_{∞}/L_{∞}. Comme d’autre part ℨ(F_{∞,w}) est fini, les groupes ℨ(L_{∞,n,w}) sont stationnaires pour n ≫ 0 et l’application de corestriction de ∏_{w∈S(L_{∞,n}),w|v} ℨ(L_{∞,n,w}) est surjective. La limite projective est ∏_{w∈S(F_{∞}),w|v} ℨ(F_{∞,w}). On en déduit que W est quasi-isomorphe à

∏_{w∈S(F_{∞}),w|v∈S^{nd}(L_{∞})} ℨ(L_{∞,n,w}). Enfin, la limite projective des ; Ǔ^{G_{L∞,n}} est

finie.

3.3.2 Corollaire. On suppose (Hyp(F_{∞}, V)), (Hyp(F_{∞}, V̌)) et (Tors(F_{∞}, V)). Le Λ-module X_{∞,f}(F_{∞}, T) vérifie la propriété (A) : il n’a pas de sous-modules pseudo-nuls non finis et les a_{Λ}^{i}(X_{∞,f}(F_{∞}, T)) sont finis pour i ≥ 2.

4 Conséquences

Nous pouvons maintenant appliquer les résultats de §1.

4.1 Descente : ℤ_{p}-extension

Soit F_{∞}/F une ℤ_{p}-extension. On suppose (Hyp(F_{∞}, V)), (Hyp(F_{∞}, V̌)) et (Tors(F_{∞}, V)). Réécrivons le diagramme (1) pour M = X_{∞,f}(F_{∞}, T), M′ = Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť) et pour le Λ-homomorphisme

X_{∞,f}(F_{∞}, T) → a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť))

qu’on a construit dans les §3.2 et 3.3. Posons S_{p}(T) = H_{f}^{1}(F, U), S_{p}(Ť) = H_{f}^{1}(F, Ǔ), Š_{p}(T) = H_{f}^{1}(F, T) et Š_{p}(Ť) = H_{f}^{1}(F, Ť).

Š_{p}(Ť)
↓
0 → S_{p}(Ť)/ div  Hom_{ℤ_{p}}(M′_{Γ}, ℤ_{p}) → 0
↓  ↓
0 → { \atop t_{ℤ_{p}}(M′_{Γ})} → a_{Λ}^{1}(M′)_{Γ} → Hom_{ℤ_{p}}(M′^{Γ}, ℤ_{p}) → 0
↑  ↑  ↑
0 → t_{ℤ_{p}}(M_{Γ}) →  M_{Γ}  →  L_{ℤ_{p}}(M_{Γ})  → 0
↓  ↓  ↓
0 → { \atop S_{p}(T)/ div} → { \atop S_{p}(T)} → Hom_{ℤ_{p}}(Š(T), ℤ_{p}) → 0

On peut démontrer en suivant les flèches qu’on retrouve l’application de Cassels, autrement dit que l’on a le diagramme commutatif

S_{p}(Ť)/ div → { \atop t_{ℤ_{p}}(M′_{Γ})}
C_{F} (T) ↑ ↑
{ \atop S_{p}(T)/ div} ← t_{ℤ_{p}}(M_{Γ})

D’autre part, lorsque Š(T) n’est pas fini, on obtient une forme bilinéaire ⟨·, ·⟩_{γ}

Š(T) × Š(Ť) → ℚ_{p} .

Elle dépend de γ et bien sûr de la ℤ_{p}-extension F_{∞}. Pour ρ caractère non trivial de Γ à valeurs dans ℤ_{p}^{∗}, on note ⟨·, ·⟩_{ρ} = (log_{p} ρ(γ))^{−1}⟨·, ·⟩_{γ}. On peut démontrer que l’on retrouve la hauteur p-adique ordinaire associée à ρ (cf. [28] dans un cadre un peu différent). Nous n’en aurons pas besoin.

4.2 Descente : ℤ_{p}^{2}-extension

Maintenant qu’a été construit C_{F_{∞}}(T) avec l’aide de coinvariants convenables (c’est-à-dire de torsion pour la ℤ_{p}-extension corespondante), il est possible de redescendre en utilisant les homomorphismes fonctoriels construits dans le §1 et plus particulièrement §1.2. Ce qui permet d’obtenir des informations pour les ℤ_{p}-extensions telles que X_{∞,f}(L_{∞}, T) n’est pas de torsion. On fait les hypothèses (Hyp(F_{∞}, V)), (Hyp(F_{∞}, V̌)) et (Tors(F_{∞}, V)). Soit ℨ(T) = ℨ(F_{∞}, T) = ∏_{w∈S^{nd}(F_{∞})} ℨ(F_{∞,w}, T) (pour le caractère ρ trivial). On a contruit dans le §3.3 la suite quasi-exacte de Λ-modules suivante

0 → X_{∞,f}(F_{∞}, T) → a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť)) → ℨ(F_{∞}, T) → 0

Soit L_{∞} une sous-ℤ_{p}-extension de F_{∞}/F. Posons Γ′ = Gal(F_{∞}/L_{∞}), Λ_{L_{∞}} = ℤ_{p}[[Gal(L_{∞}/F)]]. Dans le cas où X_{∞,f}(L_{∞}, T) est de torsion, on a alors le diagramme commutatif suivant dont les lignes et les colonnes sont quasi-exactes

0  0 ↓  ↑ { \atop ℨ(Ť)_{Γ′}}  a_{Λ_{L∞}}^{1} ({ \atop ℨ(T)_{Γ′}}) ↓  ↑ 0 → ℨ(T)^{Γ′} → X_{∞,f}(F_{∞}, T)_{Γ′} → a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť)_{Γ′}) → ℨ(T)_{Γ′}→ 0 ↓  ↑ X_{∞,f}(L_{∞}, T) → a_{Λ}^{1}(Ẋ_{∞,f}(L_{∞}, Ť)) ↓  ↑ 0  0 .

et le quasi-isomorphisme du §3.2

X_{∞,f}(L_{∞}, T) → a_{Λ_{L∞}}^{1} (Ẋ_{∞,f}(L_{∞}, T))

Ne supposons plus X_{∞,f}(L_{∞}, Ť) de Λ_{L_{∞}}-torsion. On a alors le diagramme commutatif suivant dont les lignes sont quasi-exactes :

a_{L_{∞}}^{1}(t_{Λ_{L∞}} (Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť)_{Γ′}))  Hom_{Λ_{L∞}} (Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť)_{Γ′}, Λ_{L_{∞}})
↑∼  ↓
0 → a_{L_{∞}}^{1}(Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť))  → A → Hom_{Λ_{L∞}} (Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť)^{Γ′}, Λ_{L_{∞}}) → 0
↑ ↑ ↑
0 → t_{Λ_{L∞}} (X_{∞,f}(F_{∞}, T)_{Γ′}) → B →  L_{Λ_{L∞}} (X_{∞,f}(F_{∞}, T)_{Γ′}) → 0
avec A := a_{L_{∞}}^{1}(Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť)_{Γ′}), B := X_{∞,f}(F_{∞}, T)_{Γ′}.

On en déduit comme en §1.2 des homomorphismes

t_{Λ_{L∞}} (X_{∞,f}(F_{∞}, T)_{Γ′}) → ȧ_{L_{∞}}(X_{∞,f}(F_{∞}, Ť)_{Γ′})

et une forme sesqui-linéaire

Cassels_{L_{∞}}(T) : t_{Λ_{L∞}} (X_{∞,f} (F_{∞}, T)_{Γ′}) × t_{Λ_{L∞}} (X_{∞,f} (F_{∞}, Ť)_{Γ′}) → Frac(Λ_{L_{∞}})/Λ_{L_{∞}}

quasi non dégénérée vérifiant

Cassels_{L_{∞}}(T)(γx, y) =γ Cassels_{L_{∞}}(T)(x, y) = Cassels_{L_{∞}}(T)(x, γ^{−1}y)
Cassels_{L_{∞}}(T)(x, y) = Cassels_{L_{∞}}(Ť)(y, x) .

On obtient aussi une hauteur p-adique qui est un accouplement sur les quotients sans Λ_{L_{∞}}-torsion de X_{∞,f}(F_{∞}, T)_{Γ′} et de X_{∞,f}(F_{∞}, Ť)_{Γ′} à valeurs dans Λ_{L_{∞}}.

Le noyau (resp. conoyau) de X_{∞,f}(F_{∞}, T)_{Γ′} → a_{L_{∞}}^{1}(Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť)_{Γ′}) est de torsion et quasi-isomorphe à ℨ(T)^{Γ′}(resp. ℨ(T)_{Γ′}) qui est d’ailleurs annulé par une puissance de p. On en déduit une suite exacte

0 → ℨ(T)^{Γ′} → t_{Λ_{L∞}} (X_{∞,f}(F_{∞}, T)_{Γ′}) → a_{L_{∞}}^{1}(Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť)_{Γ′}) → Z → 0

avec Z annulé par une puissance de p et de μ-invariant inférieur à celui de ℨ(T)^{Γ′}. La série caractéristique de t_{Λ_{L∞}} (X_{∞,f}(F_{∞}, Ť)_{Γ′}) divise donc celle de t_{Λ_{L∞}} (X_{∞,f}(F_{∞}, T)_{Γ′}). Par symétrie, on en déduit qu’elles sont égales et que l’on a la suite quasi-exacte

0 → ℨ(T)^{Γ′} → t_{Λ_{L∞}} (X_{∞,f}(F_{∞}, T)_{Γ′}) → a_{L_{∞}}^{1}(Ẋ_{∞,f}(F_{∞}, Ť)_{Γ′}) → ℨ(T)_{Γ′} → 0

Comme { \atop ℨ(Ť)_{Γ′}} et { \atop ℨ(T)_{Γ′}} sont de torsion, les suites suivantes sont quasi-exactes

0 → { \atop ℨ(Ť)_{Γ′}} → t_{Λ_{L∞}} (X_{∞,f} (F_{∞}, T)_{Γ′}) → t_{Λ_{L∞}} (X_{∞,f} (L_{∞}, T)) → 0

0 → a_{Λ_{L∞}}^{1} (t_{Λ_{L∞}} (Ẋ_{∞,f} (L_{∞}, Ť)))

→ a_{Λ_{L∞}}^{1} (t_{Λ_{L∞}} (Ẋ_{∞,f} (F_{∞}, Ť)_{Γ′})) → a_{Λ_{L∞}}^{1} ({ \atop ℨ̇(T)_{Γ′}}) → 0 .

En remarquant que ℨ(T)^{Γ′} et { \atop ℨ(Ť)_{Γ′}} ont même série caractéristique (cela peut se voir soit sur le diagramme, soit directement : seuls les nombres de Tamagawa aux places de S totalement décomposées dans L_{∞} interviennent et on a alors Tam_{v}(T) = Tam_{v}(Ť) pour une place ne divisant pas p, en fait ℨ(T) et ℨ(Ť) sont quasi-isomorphes), on en déduit le théorème :

4.2.1 Théorème. Supposons (Hyp(F_{∞}, V)), (Hyp(F_{∞}, V̌)) et (Tors(F_{∞}, V)). Soit f(F_{∞}, T) la série caractéristique de X_{∞,f}(F_{∞}, T) et f(F_{∞}, Ť) la série caractéristique de X_{∞,f}(F_{∞}, Ť). Alors

ḟ(F_{∞}, Ť)Λ = f(F_{∞}, T)Λ

Pour toute sous-ℤ_{p}-extension L_{∞} de F_{∞}/F, soit f^{∗}(L_{∞}, Ť) (resp. f^{∗}(L_{∞}, T)) la série caractéristique du sous-module de torsion de X_{∞,f}(L_{∞}, Ť) (resp. X_{∞,f}(L_{∞}, T)). Alors

ḟ^{∗}(L_{∞}, Ť)Λ_{L_{∞}} = f^{∗}(L_{∞}, T)Λ_{L_{∞}}

Autrement dit, pour tout caractère ρ de Gal(L_{∞}/F) à valeurs dans ℂ_{p}^{∗}, on a

ρ(f^{∗}(L_{∞}, T)) = ρ^{−1}(f^{∗}(L_{∞}, Ť))

5 La situation diédrale

5.1 Préliminaires

Soit K un corps quadratique imaginaire de discriminant d_{K} et p un nombre premier impair et premier à d_{K}. Il existe une unique extension K_{∞} de K dont le groupe de Galois est topologiquement isomorphe à ℤ_{p}^{2}. Elle contient deux ℤ_{p}- extensions qui sont la sous-ℤ_{p}-extension cyclotomique Kℚ_{∞} de K et la sous-ℤ_{p}- extension anti-cyclotomique (diédrale sur ℚ) H_{∞} = D_{∞} de K[p^{∞}] = ∪K[p^{n}], le Ringklasskörper de K de rayon une puissance de p. Soit G_{∞} = Gal(K_{∞}/K). L’algèbre d’Iwasawa associée est Λ = Λ_{K_{∞}} = ℤ_{p}[[G_{∞}]]. On a une dualité

Λ_{K_{∞}} × Hom(G_{∞}, ℂ_{p}^{×}) → ℂ_{p} .

Ce qui permet de voir les éléments de Λ_{K_{∞}} comme des fonctions sur Hom(G_{∞}, ℂ_{p}^{×}) à valeurs dans ℂ_{p}. Tout élément de Hom(G_{∞}, ℤ_{p}^{×}) est de la forme ν^{a}χ^{b} avec χ la p-partie du caractère cyclotomique et ν un caractère diédral. On note χ_{cycl} le caractère cyclotomique et ν_{died} un caractère diédral. La théorie d’Iwasawa d’une courbe elliptique sur un corps quadratique imaginaire et des famille des points de Heegner tire ses origines de l’article de Mazur ([25], voir aussi Kurčanov, [23]). Grâce aux résultats récents de Cornut et Vatsal, un regain d’intérêt s’est manifesté. Mais il y a bien d’autres résultats montrés ou en voie de l’être et je voudrais les placer ici un peu plus dans le contexte de la théorie d’Iwasawa.

5.2 Théorie arithmétique

Soit E une courbe elliptique définie sur ℚ ou K de conducteur N_{E} premier à d_{K} et ayant bonne réduction ordinaire en p. Soit T = T_{p}(E) son module de Tate, c’est-à-dire la limite projective des points de p^{n}-torsion pour n entier et V_{p}(E) = ℚ_{p} ⊗ T_{p}(E). Soit L une extension finie de K. Le groupe de Selmer S_{p}(E/L) de E/L vérifie la suite exacte

0 → ℚ_{p}/ℤ_{p} ⊗ E(L) → S_{p}(E/L) → � (E/L)(p) → 0

Son dual de Pontryagin Ŝ_{p}(E/L) est Hom_{ℤ_{p}}(S_{p}(E/L), ℚ_{p}/ℤ_{p}). Sa variante compacte (voir [3], [12]) Š_{p}(E/L) est la limite projective des groupes de Selmer relatif à la multiplication par p^{n} :

0 → ℤ_{p} ⊗_{ℤ} E(L) → Š_{p}(E/L) → T_{p}(� (E/L)) → 0

Lorsque � (E/L)(p) est fini, le dernier terme est nul. Avec les notations du §2, on a Š_{p}(E/L) = H_{f}^{1}(L, T_{p}(E)) et S_{p}(E/L) = H_{f}^{1}(L, V_{p}(E)/T_{p}(E)). Le quotient de � (E/L)(p) par sa partie divisible est le groupe de Tate-Shafarevich � (T_{p}(E)/L) associé à la représentation p-adique T_{p}(E) et vaut S_{p}(E/L)/ℚ_{p}/ℤ_{p} ⊗ Š_{p}(E/L). Ainsi,

S_{p}(E/K_{∞}) = lim_{→_{L}} S_{p}(E/L) = H_{f}^{1}(K_{∞}, U)
{ \atop S_{p}(E/K_{∞})} = X_{∞,f}(K_{∞}, T_{p}(E))
Š_{p}(E/K_{∞}) = lim_{←_{L}} Š_{p}(E/L)

où la limite projective est prise relativement aux applications de norme (corestriction). Enfin, il n’est pas difficile de montrer [30] que pour une ℤ_{p}-extension, par exemple D_{∞}, on a

Š_{p}(E/D_{∞}) = Hom_{Λ_{D∞}} ({ \atop S_{p}(E/D_{∞})}, Λ_{D_{∞}})

≅ Hom_{Λ_{D∞}} ({ \atop S_{p}(E/D_{∞})}/t_{Λ_{D∞}} ({ \atop S_{p}(E/D_{∞}))}, Λ_{D_{∞}})

et que

{ \atop S_{p}(E/D_{∞})}/t_{Λ_{D∞}} ({ \atop S_{p}(E/D_{∞})}) → Hom(Š_{p}(E/D_{∞}), Λ_{D_{∞}})

est injectif avec conoyau fini. En particulier, Š_{p}(E/D_{∞}) est le Λ_{D_{∞}}-dual de

X_{∞,f}(D_{∞}, T_{p}(E)) = { \atop S_{p}(E/D_{∞})} et est libre.

5.2.1 Théorème (Kato). Si E est définie sur ℚ, Š_{p}(E/Kℚ_{∞}) est de torsion sur Λ_{ℚ_{∞}K} et Š_{p}(E/K_{∞}) est de torsion sur Λ_{K_{∞}} (donc nuls). Il en est de

même de { \atop S_{p}(E/K_{∞})}.

Il suffit d’appliquer le théorème démontré par Kato dans [21] à E et à sa tordue par le caractère quadratique de K/ℚ. Soit L_{p}(E/K_{∞}) une série caractéristique du module de torsion { \atop S_{p}(E/K_{∞})}.

5.3 Théorie analytique

Soit L_{p}(E/K_{∞}) la fonction L p-adique interpolant les valeurs L(E, ρ, 1) pour ρ caractère d’ordre fini de Gal(K_{∞}/K). On peut trouver sa définition dans [29] qui suit de très près une construction antérieure de Hida. D’autres constructions ont été faites par Bertolini et Darmon [6]. Par un théorème de Rohrlich [32], L_{p}(E/K_{∞}) est non nulle.

Conjecture (Conjecture principale, [30]). Les idéaux de Λ_{K_{∞}} engendrés par L_{p}(E/K_{∞}) et par L_{p}(E/K_{∞})) sont égaux.

Remarque. On peut utiliser le théorème de Kato pour obtenir une divisibilité lorsqu’on se restreint à Gal(Kℚ_{∞}/K).

5.4 Equation fonctionnelle

Soit c une conjugaison complexe induisant l’automorphisme non trivial de Gal(K/ℚ). Elle agit sur le groupe des caractères Ĝ_{∞} de G_{∞} : ρ^{c}(τ) = ρ(cτc^{−1}). Ainsi, si χ se factorise par Gal(Kℚ_{∞}/K), on a χ^{c} = χ. Si ν est diédral, ν^{c} = ν^{−1}. On considère l’involution suivante sur Ĝ_{∞} : ρ^{ι} = ρ^{−c}. Ainsi, ρ^{ι}(τ) = ρ(c^{−1}τc)^{−1}, χ_{cycl} = χ_{cycl}^{−1}, ν_{died}^{ι} = ν_{died}. Les deux fonctions vérifient une équation fonctionnelle

(L(ρ)) = (L(ρ^{ι}))

Pour la première, cela se déduit de l’équation fonctionnelle complexe et on a en fait

L_{p}(E/K_{∞})(ρ^{ι}) = ϵ_{D}(−N_{E})L_{p}(E/K_{∞})(ρ) .

En appliquant l’automorphisme non trivial c de K/ℚ qui laisse stable E ainsi que tous les modules définis et la proposition 4.2.1 on obtient la seconde équation fonctionnelle. On en déduit que l’on peut définir le signe de l’équation fonctionnelle de L_{p}(E/K_{∞}) : le groupe de cohomologie H^{1}({1, ι}, Λ_{K_{∞}}^{×}) est d’ordre 2 et admet −1 comme élément non trivial. Ainsi, on peut choisir L_{p}(E/K_{∞}) (qui est alors défini à une unité près de ℤ_{p}^{∗}) de manière à ce que

L_{p}(E/K_{∞})(ρ^{ι}) = ϵ_{p}L_{p}(E/K_{∞})(ρ)

avec ϵ_{p} = ±1.

5.4.1 Proposition. Soit λ_{0}(D_{∞}) le rang du Λ_{D_{∞}}-module { \atop S(E/D_{∞})}. Alors,

ϵ_{p} = (−1)^{rg_{ℤp} Š_{p}(E/K)} = (−1)^{λ_{0}(D_{∞})}

Démonstration. On utilise le théorème de contrôle 2.5.1, l’existence de formes bilinéaires alternées montrées dans le paragraphe 3.3 et l’argument suivant de Guo [16] tel qu’il a été repris par Greenberg dans [14]. Soit Λ = ℤ_{p}[[Γ]], Γ′ un sous-ℤ_{p}-module de Γ isomorphe à ℤ_{p}. On note Ξ_{n} = Γ/Γ′_{n}, Λ_{n} = ℤ_{p}[[Ξ_{n}]], Ξ un sous-ℤ_{p}-module de Γ tel que Ξ ∩ Γ′ = {0}, Λ_{Ξ} = ℤ_{p}[[Ξ]]. Soit M un Λ-module de torsion et de type fini ; M_{Γ′_{n}} est un Λ_{Ξ}- module de type fini. Soit λ_{n} le Λ_{Ξ}-rang de M_{Γ′_{n}}. Alors λ_{n} est stationnaire et on a λ_{n} ≡ λ_{0} mod p−1. En effet, les ℚ_{p}-représentations irréductibles de Γ′/Γ′_{n} sont de degré divisible par (p − 1)p^{n−1}. Soit 𝔏_{n} le quotient de M_{n} par son Λ_{Ξ}-module de torsion 𝔗_{n} et 𝔗_{∞} le noyau de M → 𝔏_{∞} où 𝔏_{∞} est la limite projective des 𝔏_{n}. Alors, l’application naturelle 𝔏_{∞} → 𝔏_{n} est injective pour n assez grand, les rangs de 𝔏_{∞} et de 𝔏_{n} sur Λ_{Ξ} sont égaux pour n assez grand et on a donc

rg_{Λ_{Ξ}} 𝔏_{∞} ≡ λ_{0} mod p − 1 .

Supposons qu’il existe une forme bilinéaire alternée sur 𝔗_{n} quasi non dégénérée (ou telle que les noyaux soient annulés par une puissance de p). Alors le rang de 𝔗_{∞} en tant que Λ_{Ξ}-module est pair et le rang de M en tant que Λ_{Ξ}-module est de même parité que λ_{0}. Pour le démontrer, on remarque, en utilisant le lemme du serpent et le fait que 𝔏_{∞} → 𝔏_{n} est injective, que l’application 𝔗_{∞} → 𝔗_{n} est surjective. Si 𝔭 est un idéal de Λ de hauteur 1 premier à p, la forme bilinéaire alternée sur 𝔗_{n} induit par localisation une forme alternée non dégénérée sur Λ_{𝔭} ⊗ 𝔗_{n}. Le Λ_{𝔭}-rang de Λ_{𝔭} ⊗ 𝔗_{∞} est alors pair. En effet, il suffit d’appliquer le lemme suivant :

Lemme (Guo). Soit A un anneau de valuation discrète d’uniformisante π et soit M_{n} un système projectif de A-modules de longueur finie tel que M_{∞} = lim_{←_{n}} M_{n} soit de type fini et que l’application naturelle M_{∞} → M_{n} soit sur-

jective. Alors, il existe un entier d et des entiers r_{1}(n), ⋯, r_{d}(n) tels que M_{n} ≅ A/π^{r_{1}(n)} × ⋯ × A/π^{r_{d}(n)} avec r_{1}(n) ≥ ⋯ ≥ r_{d}(n) et le rang sur ℤ_{p} de M_{∞} est égal au nombre d’entiers j tels que la suite r_{j}(n) soit non bornée.

Si maintenant M_{n} est muni d’une forme bilinéaire alternée pour tout entier n, on a r_{2j−1}(n) = r_{2j}(n) pour j ≥ 1 et le rang sur ℤ_{p} de M_{∞} est donc pair. Revenons à la démonstration de la proposition 5.4.1. Prenons Γ = Gal(K_{∞}/K), Γ′ = Gal(K_{∞}/D_{∞}) et Ξ le sous-groupe de Γ laissant invariant la sous-ℤ_{p}- extension cyclotomique. Alors, l’équation fonctionnelle de L_{p}(E/K_{∞}) implique que

ϵ_{p} = (−1)^{λ}

avec λ le Λ_{Ξ}-invariant de la série caractéristique, autrement dit le Λ_{Ξ}-rang du module { \atop S_{p}(E/K_{∞})}. En utilisant les théorèmes de contrôle et les formes bilinéaires alternées du paragraphe 3.2, on obtient l’existence des formes bilinéaires quasi-non dégénérées alternées nécessaires et on a donc :

λ ≡ λ_{0}(D_{∞}) mod 2 .

Ce qui démontre une des égalités de la proposition 5.4.1. L’autre égalité se démontre de la même manière (et était déjà montrée par Greenberg) en travaillant sur la ℤ_{p}-extension cyclotomique (ici Ξ est nul) :

ϵ_{p} = (−1)^{rg_{ℤp} Š_{p}(E/K)}

5.5 La conjecture de Mazur

On suppose toujours que le discriminant de K est premier au conducteur N_{E} de E. Dans [25], Mazur conjecture que { \atop S_{p}(E/D_{∞})} est un Λ_{D_{∞}}-module de rang 1 si ϵ(−N_{E}) = −1 et de rang 0 si ϵ(−N_{E}) = 1. Cette conjecture et la proposition 5.4.1 impliquent que les signes des équations fonctionnelles de L_{p}(E/K_{∞}) et de L_{p}(E/K_{∞}) sont égaux.

Récemment, la situation de cette conjecture a énormément évolué dans le cas de l’hypothèse de Heegner mais aussi dans les autres cas. Nous appellerons hypothèses techniques des hypothèses qui devraient pouvoir être affaiblies ou évoluer rapidement jusqu’à disparaître et que l’on trouvera dans les articles originaux :

5.5.1 Théorème (Bertolini-Darmon+Vatsal, [7], [33]). Supposons que ϵ(−N_{E}) = 1. Supposons de plus que ℓ^{2} ∤ N_{E} si ℓ est inerte dans K + des hypothèses techniques, alors { \atop S_{p}(E/D_{∞})} est de torsion.

La démonstration est en deux parties :

• démontrer la non nullité de la fonction L p-adique L_{p}(E/D_{∞}) (théorème sur les familles de L(E/K, η) pour η un caractère diédral d’ordre fini et de conducteur une puissance de p)

• démontrer que si L_{p}(E/D_{∞}) est non nul, { \atop S_{p}(E/D_{∞})} est de torsion

5.5.2 Théorème (Cornut-Vatsal + Bertolini-Darmon-Nekovář [5]). Lorsque ϵ(−N_{E}) = −1 et que tous les nombres premiers divisant N_{E} sont décomposés dans K, { \atop S_{p}(E/D_{∞})} est de rang 1.

L’énoncé complet que l’on attend est montré ou sur le point de l’être :

5.5.3 Théorème. Supposons que ϵ(−N_{E}) = −1 et que p^{2} ne divise pas N_{E}. Alors, { \atop S_{p}(E/D_{∞})} est de rang 1.

La démonstration comporte plusieurs étapes :

• Construire des points x_{n} de E(D_{n}) en utilisant une paramétrisation de E par une courbe modulaire ou une courbe de Shimura et les points de Heegner ou les points spéciaux provenant de la théorie de la multiplication complexe x(p^{n}) (idée de Gross exploitée par Bertolini et Darmon, [6]). En modifiant légèrement ces points, on obtient des points compatibles pour les applications de trace et donc un élément z_{∞}^{spec} de Š_{p}(D_{∞}) et un sous-module H_{∞} de Š_{p}(E/D_{∞}).

• Montrer que z_{∞}^{spec} est non nul (conjecture de Mazur), ce qui se ramène facilement à montrer qu’il existe un entier n tel que x_{n} est non nul. C’est le rôle des théorèmes de Cornut et Vatsal. On pourrait aussi peut-être utiliser les formules démontrées par Zhang ([35]) généralisant les formules de Gross-Zagier et qui sont du type :

L′(E/K, ν, 1) = C < x_{n}^{(ν)}, x_{n}^{(ν)} >

avec C non nul et utiliser un théorème de non-annulation de la famille des L′(E/K, ν, 1) pour un caractère ν diédral d’ordre une puissance de p. On en déduit alors facilement que H_{∞} est un module libre de rang 1.

• Utiliser les techniques de Kolyvagin [22] pour démontrer que le quotient Š_{p}(E/D_{∞})/H_{∞} est de torsion et donc que Š_{p}(E/D_{∞}) et { \atop S_{p}(E/D_{∞})} sont de Λ-rang 1. Ici, c’est la notion de système d’Euler qui est fondamentale. La définition précise des points x_{n} ne sert pas mais le fait qu’il existe des points x(np^{m}) pour n sans facteurs carrés définis sur le Ringklasskörper de rayon np^{m} vérifiant des relations convenables.

5.6 Quelques remarques supplémentaires

Soit u = (♯O_{K}^{∗}) /2 et c_{E} la constante de Manin correspondant à la paramétrisation de E par X_{0}(N_{E}). Soit I(H_{∞}) une série caractéristique du Λ_{K_{∞}}-module de torsion Š_{p}(E/D_{∞})/H_{∞}. Soit T_{p}(E/D_{∞}) une série caractéristique du Λ_{D_{∞}}-module de torsion de { \atop S_{p}(E/D_{∞})}.

5.6.1 Conjecture ([30]). Sous l’hypothèse de Heegner, les deux éléments c_{E}^{2}u^{2}T_{p}(E/D_{∞}) et I(H_{∞})^{2} engendrent le même idéal de Λ_{D_{∞}}.

Une version faible de cette conjecture avait été montrée par Bertolini [4] en utilisant les techniques de Kolyvagin. Récemment, Howard [18] a démontré la divisibilité de T_{p}(E/D_{∞}) par I(H_{∞})^{2} lorsque l’application Gal(\overline{K}/K) → Aut(T_{p}) est surjective ([1]). On devrait d’autre part pouvoir remplacer l’hypothèse de Heegner par l’hypothèse que ϵ(−N_{E}) = −1 en utilisant les points de Heegner-Shimura.

2

Remarquons qu’on déduit des résultats du §4.2 que T_{p}(E/D_{∞}) est un carré, ce qui est compatible avec la conjecture précédente. En effet, en composant avec l’involution c et en identifiant T_{p}(E) avec T_{p}(E)^{∗}(1) par l’accouplement alterné de Weil, on obtient une forme bilinéaire alternée

t_{Λ_{D∞}} (X_{∞,f}(K_{∞}, T_{p}(E))_{Gal(K_{∞}/D_{∞})})×t_{Λ_{D∞}} (X_{∞,f}(K_{∞}, T_{p}(E))_{Gal(K_{∞}/D_{∞})})
→ Frac(Λ_{D_{∞}})/Λ_{D_{∞}}

En tenant compte des noyaux et de la différence entre les modules X_{∞,f}(K_{∞}, T_{p}(E))_{Gal(K_{∞}/D_{∞})} et X_{∞,f}(D_{∞}, T_{p}(E)) dont la série caractéristique est une puissance de p, on en déduit que T_{p}(E/D_{∞}) est un carré. Une conséquence de la démonstration de Cornut [9, théorème B appliqué à q = p] est la suivante :

5.6.2 Proposition. On suppose que p ne divise pas N_{E}φ(N_{E}d_{K}), ainsi que le nombre de composantes connexes du noyau de la paramétrisation modulaire choisie de E. Alors, I(H_{∞}) n’est pas divisible par p.

Supposons que ϵ(−N_{E}) = −1. Nous avons défini précédemment une forme bilinéaire

⟨⟨·, ·⟩⟩_{χ_{cycl}} : Š_{p}(E/D_{∞}) × Š_{p}(E/D_{∞}) → Λ_{D_{∞}} .

2Cela semble être fait maintenant, voir [19].

Documenta Mathematica · Extra Volume Kato (2003) 725–760

Elle peut s’écrire en termes des hauteurs p-adiques classiques de la manière suivante

⟨⟨x, y⟩⟩_{χ_{cycl}} = (\frac{1}{[D_{n} : K]} ∑_{σ,τ} < σx_{n}, τy_{n} >_{χ_{n}} στ^{−1})_{n} .

Ici, χ_{n} est un caractère de Gal(K_{∞}/D_{n}) dont la restriction à Gal(K_{∞}/D_{∞}) est χ_{cycl}. On peut reprendre la démonstration de [30] pour démontrer :

5.6.3 Théorème. Soit ρ un caractère diédral de Gal(K_{∞}/K) à valeurs dans ℤ_{p}^{∗}.

1) Soit r_{D_{∞}} le rang de Š_{p}(E/D_{∞}) en tant que Λ_{D_{∞}}-modules. Alors, L(E/K_{∞})(ρχ_{cycl}^{s}) a un zéro en χ_{cycl} de multiplicité supérieure ou égale à r_{D_{∞}}.

2) Ce zéro est d’ordre exactement r_{D_{∞}} si et seulement si ⟨⟨·, ·⟩⟩_{χ_{cycl}} est non dégénérée.

3) On a dans ce cas

lim_{s→0} \frac{L(K_{∞}/K)(ρχ_{cycl}^{s})}{s^{r_{D∞}}} ∼ disc_{Š_{p}(E/D_{∞})}⟨⟨·, ·⟩⟩_{χ_{cycl}}(ρ)T_{p}(E/D_{∞})(ρ).

Les théorèmes ou conjectures précédentes impliquent que r_{D_{∞}} est en fait égal à 1 lorsque ϵ(−N_{E}) = −1. D’autre part, l’ordre du zéro de L(E/K_{∞})(ρχ_{cycl}^{s}) en s = 0 est impair. Il serait intéressant de montrer qu’il existe un point de Heegner z_{n} dont la hauteur p-adique < z_{n}, z_{n} >_{χ_{n}} est non nulle. Cela n’est connu que si E est à multiplication complexe ([8]). Revenons sur le module des points de Heegner. Soit H_{n} le sous-module de Š_{p}(E/D_{n}) engendré par les traces de K[p^{n}] à D_{n} des points de Heegner de niveau divisant p^{n+1}. On a alors la proposition :

5.6.4 Proposition. La norme de D_{n+1} à D_{n} induit une application de H_{n+1} à H_{n}. Elle est surjective pour n ≥ 1. L’indice de T r_{n,0}(H_{n}) dans H_{0} est égal à L(E/K_{p}, 1)^{−1} (facteur d’Euler local en p).

5.6.5 Remarques. La définition couramment admise est de prendre le sousmodule de Š_{p}(E/D_{n}) engendré par les traces de K[p^{n}] à D_{n} des points de Heegner de niveau p^{n+1}. Malheureusement, ce n’est pas toujours gros ! L’énoncé de Mazur dans [25] est incorrect : la condition a_{p} ≡ 2 mod p est inutile avec cette définition et la surjectivité affirmée est fausse pour a_{p} ≡ 1 mod p. Essentiellement, on a besoin des points de niveau p et de niveau 1 à la fois car la trace de H[p] à K de y_{p} est un “multiple rationnel” (et non entier) de la trace de H[1] à K.

5.6.6 Remarques. Plaçons-nous dans le cas où l’hypothèse de Heegner est vérifiée et où le rang de E(K) est strictement supérieur à 1. L’image de H_{∞} dans E(K) est alors nulle. On peut construire un élément de ℤ_{p} ⊗ E(K) de la manière suivante (à condition que � (E/K)(p) soit fini, construction de Kolyvagin-Solomon) : on choisit un générateur γ de Gal(D_{∞}/K) et γ_{n} sa restriction à D_{n}. Soit un élément z_{∞} = (z_{n}) de H_{∞} dont la projection est nulle (les z_{n} se calculent en fonction des points de Heegner de niveau une puissance de p). Alors

∑_{i=0}^{p^{n}−1} iγ_{n}^{i}z_{n}

converge dans lim_{→_{n}} Š(D_{n}) vers un élément de Š(K). Moins explicitement, cela

revient à résoudre l’équation z_{∞} = (γ − 1)z′_{∞} dans Š(D_{∞}) et à regarder la projection de z′_{∞} dans Š(K). Le fait que cette équation admet une solution vient de ce que l’application trace ℚ_{p} ⊗Š(D_{∞})_{Gal(D_{∞}/K)} → ℚ_{p} ⊗Š_{p}(K) est un isomorphisme. Il est possible que l’image de z′_{∞} dans E(K) soit encore nulle. Il existe alors un entier r = r_{K} tel que z_{∞} = (γ −1)^{r}z_{∞}^{(r)} et tel que la projection de z_{∞}^{(r)} dans Š_{p}(K) soit non nulle. Cette projection donne un point non trivial z_{K} de Š_{p}(K). Soit ϵ le signe de l’équation fonctionnelle de E/ℚ.

5.6.7 Lemme. Avec les notations précédentes, on a c(z_{K}) = −ϵ(−1)^{r_{K}} z_{K} mod torsion.

Cela se déduit de la relation x^{c} = −ϵc modulo torsion pour un point de Heegner et du fait que cγc^{−1} = γ^{−1}. Ainsi, z_{K} appartient à ℤ_{p} ⊗ E(K)^{−(−1)^{r_{K}} ϵ}. On peut alors se poser un certain nombre de questions. Entre autres :

1. Pour K fixé, peut-on relier les parités de r_{K} = r et de rg E(ℚ) ?

2. Comment varient les r_{K} avec K ?

3. Est-il possible de trouver une base du ℤ_{p}-module ℤ_{p} ⊗ E(ℚ) formée des points z_{K} pour certains corps quadratiques imaginaires Kg Cela “signifierait” que “le groupe de Mordell-Weil est engendré par des limites p-adiques de points de Heegner même en rang supérieur à 1”.

4. Si la réponse à la question précédente est vraie, peut-on espérer borner la taille des corps quadratiques ?

5. Y a-t-il des relations “intéressantes” entre les différents z_{K_{i}} ∈ ℤ_{p} ⊗ E(ℚ) pour différents corps K_{i} ?

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Bernadette Perrin-Riou Mathématiques, Bât. 425 Université Paris-Sud F-91405 Orsay France Bernadette.Perrin-Riou@math.u-psud.fr