 Séminaires et Congrès - 14 - pages 103-167 | |
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Théories asymptotiques et équations de Painlevé - Angers, juin 2004
Éric Delabaere - Michèle Loday-Richaud (Éd.)
Séminaires et Congrès 14 (2006), xxvi+363 pages
Dynamics of the Sixth Painlevé Equation
Michi-aki Inaba - Katsunori Iwasaki - Masa-Hiko Saito
Séminaires et Congrès 14 (2006), 103-167
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Résumé :
Dynamique de la sixième équation de Painlevé
Malgré une apparente simplicité, l'équation de Painlevé VI cache des structures géométriques très riches. Nous en décrivons les aspects dynamiques en nous appuyant sur l'approche de type Riemann-Hilbert récemment développée par les auteurs et en utilisant différentes techniques issues de la géométrie algébrique.
Une grande partie de ces résultats peut être étendue aux systèmes de Garnier. Toutefois, dans cet article, nous nous limitons au cas de l'équation de Painlevé VI.
Mots clefs : sixième équation de Painlevé, dynamique hamiltonienne, méthode de conjugaison, espace de modules, connexion parabolique stable, correspondence de Riemann-Hilbert, groupe de Weyl affine, flot isomonodromique, flot de Painlevé, flot de Riccati, groupe de tresses, groupe modulaire, surface cubique, transformation de Bäcklund, singularité simple, résolution des singularités, coordonnées canoniques
Abstract:
The sixth Painlevé equation is hiding extremely rich geometric structures behind its outward appearance. In this article, we give a complete picture of its dynamical nature based on the Riemann-Hilbert approach recently developed by the authors and using various techniques from algebraic geometry.
A large part of the contents can be extended to Garnier systems, while this article is restricted to the original sixth Painlevé equation.
Key words: sixth Painlevé equation, Hamiltonian dynamics, conjugacy method, moduli space, stable parabolic connection, Riemann-Hilbert correspondence, affine Weyl group, isomonodromic flow, Painlevé flow, Riccati flow, braid group, modular group, cubic surface, Bäcklund transformation, simple singularity, resolution of singularities, canonical coordinates
Class. math. : Primary 34M55, 14D20; Secondary 33E17, 32G34, 37J35