Савельева Н. В.
Максимальные подклассы Фиттинга класса всех конечных π-групп
Класс Фиттинга  назовем π-максимальным, если максимален (по включению) в классе  π всех конечных π-групп, где π обозначает непустое множество простых чисел. Установлен критерий
π-максимальности для класса Фиттинга конечных π-групп: доказано, что нетривиальный класс Фиттинга является π-максимальным в точности тогда, когда найдется простое число p  π такое, что для любой
π-группы G индекс -радикала  в группе G равен 1 или p. Отсюда следует известный результат Лауэ о необходимом и достаточном условии максимальности произвольного класса Фиттинга конечных групп в классе всех конечных групп. Полученный критерий π-максимальности также дает подтверждение отрицательного решения вопроса А. Н. Скибы о том, что в локальном классе Фиттинга не существует максимальных по включению подклассов Фиттинга (см. вопрос 13.50, Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп), 14-е изд. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1999).
|
Savelyeva N. V.
Maximal fitting subclasses of the class of all finite π-groups
Call a Fitting class π-maximal if is (inclusion-)maximal in the class π of all finite π-groups, where π stands for a nonempty set of primes. We establish a π-maximality criterion for a Fitting class of finite π-groups: we prove that a nontrivial Fitting class is π-maximal if and only if there is a prime p π such that, for every π-group G, the index of the -radical in G is equal to 1 or p. This implies Laue’s familiar result on a necessary and sufficient condition of the maximality of an arbitrary Fitting class of finite groups in the class of all finite groups. The π-maximality criterion obtained also gives a confirmation of the negative solution of Skiba’s Problem asking whether a local Fitting class has no inclusion-maximal Fitting subclasses (see Problem 13.50, The Kourovka Notebook: Unsolved Problems in Group Theory, 14th ed., Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, 1999).
|
