Дубинин В. Н.
Об одной экстремальной задаче для комплексных полиномов с ограничениями на их критические значения

Для любых фиксированных комплексных чисел a, b и натурального n ≥ 2 исследуется задача о нахождении верхней грани произведения |P′(0)P′(1)| по множеству всех полиномов P степени n, удовлетворяющих следующим условиям: P(0) = a, P(1) = b и |P(z)| ≤ 1 для всех z, при которых P′(z) = 0. В качестве приложений основного результата работы приводится ряд точных оценок для модулей производных полиномов с учетом их критических значений. В частности, устанавливается новая версия неравенства марковского типа для произвольного компакта.

Dubinin V. N.
On one extremal problem for complex polynomials with constraints on critical values

For all fixed complex numbers a and b and a natural n ≥ 2, we study the problem of finding the supremum of the product |P′(0)P′(1)| over the set of all polynomials P of degree n satisfying the following conditions: P(0) = a and P(1) = b, while |P(z)| ≤ 1 for all z for which P′(z) = 0. As an application of the main result of the article, we give a number of exact estimates for polynomials with account taken of their critical values. We in particular establish a new version of a Markov-type inequality for an arbitrary compact set.

Полный текст статьи / Full texts:

• PDF file
• PostScript file