研究活動

教授  大槻 知忠 (位相幾何学)
 結び目と3次元多様体の不変量について研究している。
 1980年代以来,Chern-Simons 理論にもとづいて膨大な数の不変量(量子不変量)が発見され,不変量の研究,すなわち,結び目の集合と3次元多様体の集合の研究という新しい研究領域(量子トポロジー)がもたらされた。この20年間のこの分野の研究の主な動機はChern-Simons 場の理論の相関関数をトポロジーの立場から理解することにあったが,この分野に関してこの20年間になされたさまざまな研究によりその作業はほぼ完了し,今後のこの分野の研究は,そのようにして得られた膨大な数の不変量を研究の基礎として,さまざまな新しい研究の方向性を創出するべき段階にある。この分野の今後のよりよい方向性を考える,という観点から,筆者は未解決問題集[9,10]を編集したが,未解決問題の中でも「同変不変量」「体積予想」「数論との関連」などが今後の発展のために重要ではないかと筆者は考えている。
 「体積予想」は,双曲結び目のKashaev不変量(この不変量は1のN乗根における結び目の色つきJones多項式に等しい)の極限に双曲体積が現れることを主張する予想である。1970年代にはじまった双曲幾何の研究と1980年代にはじまった量子トポロジーの研究は,それぞれ別々に発展してきたが,体積予想はこれらの研究領域を結び付ける重要な予想である。最近,筆者はKashaev不変量の漸近展開を比較的簡単ないくつかの双曲結び目について具体的に計算し,それらの場合について体積予想が成り立つことを確認した。また,その漸近挙動の第2項(準古典極限の項)はReidemeister torsion であるとおもわれ,筆者は多くの結び目でこれを確認した。さらに高次の項は未知のべき級数不変量になっているようである。これらの不変量について,さらに詳しく調べることをめざす。また,筆者は「結び目の不変量」について著書を執筆した。
  1. The perturbative SO(3) invariant of rational homology 3-spheres recovers from the universal perturbative invariant, Topology 39 (2000) 1103--1135.
  2. On the 2-loop polynomial of knots, Geometry and Topology 11 (2007) 1357--1475.
  3. Perturbative invariants of 3-manifolds with the first Betti number 1, Geometry and Topology 14 (2010) 1993--2045.
  4. (with Thang T. Q. Le, Takahito Kuriya) The perturbative invariants of rational homology 3-spheres can be recovered from the LMO invariant, J Topology 5 (2012) 458--484.
  5. On the asymptotic expansion of the Kashaev invariant of the 52 knot, Quantum Topology (to appear).
  6. (with T. Takata) On the Kashaev invariant and the twisted Reidemeister torsion of two-bridge knots, Geometry and Topology 19 (2015) 853--952.
  7. Quantum invariants, --- A study of knots, 3-manifolds, and their sets, Series on Knots and Everything, 29. World Scientific Publishing Co., Inc., 2002.
  8. 大槻知忠,「結び目の不変量」, 共立出版, 2015年.
  9. T. Ohtsuki (ed.), Problems on invariants of knots and 3-manifolds, Invariants of knots and 3-manifolds (Kyoto 2001), 377--572, Geom. Topol. Monogr. 4, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2004.
  10. T. Ohtsuki (ed.), Problems on Low-dimensional Topology 2015, RIMS Kôkyûroku 1960 (2015) 112-123.

教授 岡本 久 (非線形力学の数値解析的研究)
 非線型微分方程式で記述される現象では,その複雑さ故に様々な手法が要求される。中でも数値的手法,即ち,コンピュータを使って大規模かつ精密な近似解を構成し,それに基づいて現象の解析を行なうことの有用性は今では広く認識されている。数値的手法は,流体などの連続体の偏微分方程式の研究ではとくに盛んであり,実社会からの強い要請もあって,極めて多くの研究者が競い合っている分野である。
 ところが,主に次の二つの理由によって,数学的な研究がスーパーコンピューターの発展と同じ位望まれているのである。ひとつには,スーパーコンピューターですら解けない巨大な問題が存在することである。このような問題に対しては理論的考察やモデルの構築なしに,単にスーパーコンピューターを走らせても無意味である。ふたつには,より大規模な計算が進むにつれて,より深い問題が新たに発見されることである。このような状況では新しい数学的なアイデアが要求されるので,``インプットデータを与えて計算機を走らせたら全て解決''という(一部に標傍されているような)事態は決して来ないのである。このような現状に鑑み,流体力学に現れる非線型現象の解明のため,アルゴリズムの解析,実際の計算,及びその理論的解釈を総合的に行なっている。最近は精度保証計算にも興味がある。
  1. A study of bifurcation of Kolmogorov flows with an emphasis on the singular limit, Proc. Int Congress Math., III (1998), 523-532.
  2. 岡本 久,非線型力学,岩波書店 岩波講座「応用数学」(1995), 改訂版 (1998) (藤井 宏との共著). (171ページ)
  3. 岡本 久,関数解析,岩波書店 岩波講座「現代数学の基礎」(1997), (中村 周との共著). (再版2006年) (274ページ)
  4. The Mathematical Theory of Bifurcation of Permanent Progressive Water- Waves, World Scientific, 2001. (with M. Shoji)(229ページ)
  5. A three-dimensional autonomous system with unbounded `bending' solutions, Physica D., 164 (2002), 168-186. (with A. D. D. Craik)
  6. Numerical computation of water and solitary waves by the double exponential transform, J. Comp. Appl. Math., 152 (2003), 229--241. (with K. Kobayashi and J. Zhu)
  7. Blow-up solutions appearing in the vorticity dynamics with linear strain, J. Math. Fluid Mech., 6 (2004), 157--168. (with K.-I. Nakamura and H. Yagisita)
  8. Uniqueness of the exact solutions of the Navier-Stokes equations having null nonlinearity, Proc. R. Soc. Edinburgh, 136 (2006), 1303-1315. (with S.C. Kim)
  9. On a generalization of the Constantin-Lax-Majda equation, Nonlinearity, 21 (2008), 2447-2461.
  10. ナヴィエ−ストークス方程式の数理, 東京大学出版会, (2009) (365ページ).
  11. S.-C. Kim and H. Okamoto, Vortices of large scale appearing in the 2D stationary Navier-Stokes equations at large Reynolds numbers, Japan J. Indust. Appl. Math., 27 (2010), 47--71.

教授  小澤 登高(作用素環と離散群の研究)
 私は作用素環と離散群の関わりを研究している。(離散)群とは,任意の対象の対称性を記述するための数学言語である。例えば,ある結晶が与えられたとき,その結晶構造を変えない変換(回転操作,鏡映操作,反転操作など)全体を考えたものが群である。人間には線形的な構造の方が理解しやすいので,群の各要素を適当な(線形)空間上の作用素とみなして取り扱うことにする。さらに,そうした作用素全体が生成する代数系を考え,適当な位相で完備化すれば作用素環と呼ばれる対象ができる。(考える位相の違いにより,C*環とvon Neumann環の二種類が存在する。)位相の存在により,群論のような代数的な問題に対しても解析的なテクニックを使えるところが作用素環論の特徴である。作用素環の研究はそもそもは,John von Neumannが量子力学の数学的取り扱いを目指して始めたものであったが,現在では数理物理だけでなく,群論やエルゴード理論などに幅広い応用がある。私の研究は双方向的で,これらの分野への作用素環論の応用とその逆を同時に扱っている。伝統的な作用素環論の他にも,作用素論,Banach環論,Banach空間論,群表現の摂動理論,離散距離幾何学等の研究を行っている。
 現在の作用素環論において最も重要な未解決問題は「Connesの埋め込み予想」である。この予想は任意のvon Neumann環が適当な意味で有限次元環で近似できるというものである。この予想をConnesが述べた時点(1970年代半ば)ではvon Neumann環の技術的な問題に過ぎなかったが,その後,作用素環論におけるいくつかの見掛けの全く異なる重要予想と同値であることが判明している。私はこの予想に対する新たなアプローチを研究し,この予想が量子情報理論におけるTsirelson問題と同値であることを示した[1,2]。Tsirelson問題は,2人の独立した観測者の間に起こりうる量子相関に対する2つの異なる定式化が実は一致するという予想である。これまでの研究により,この予想は本質的には自由群F_rの直積群F_r × F_rのユニタリ表現に関する問題であるということが明らかになっている。さらに,上記のConnesの埋め込み予想は非可換実代数幾何学におけるある予想と同値であることが知られているが[1],私は非可換実代数幾何学を利用して,離散群Gの実群環{\mathbb R}[G]や群Gそのものを研究している[1,4]。非可換実代数幾何学は最近研究され始めた分野であって,実群環などの非可換実代数における等式や不等式を扱う分野である。その表現論を通して作用素環論を利用できるところが私にとっての魅力である。
 平成 27 年度は特に,「多項式増大度を持つ群は有限指数部分群でベキ零なものを持つ」という Gromov の定理に関数解析による新証明を付けた[8]。この定理は幾何学的群論における基本定理であり,群の幾何学的な性質から代数的な性質を導くものである。新証明は極めて簡明なもので,更なる応用が期待される。さらに,去年に引き続き群作用素環の研究を行い,接合積 von Neumann環がいつ充足という条件を満たすかを調べた[9]。
  1. N. P. Brown and N. Ozawa; C^*-algebras and finite-dimensional approximations. Graduate Studies in Mathematics, 88. American Mathematical Society, 2008, 509 pp.
  2. N. Ozawa; About the Connes Embedding Conjecture. Algebraic approaches. Jpn. J. Math., 8 (2013), 147--183.
  3. Y. Choi, I. Farah, and N. Ozawa; A nonseparable amenable operator algebra which is not isomorphic to a C^*-algebra. Forum Math. Sigma, 2 (2014), e2 (12 pages).
  4. N. Ozawa, M. Rørdam, and Y. Sato; Elementary amenable groups are quasidiagonal. Geom. Funct. Anal., 25 (2015), 307--316.
  5. N. Ozawa; Noncommutative real algebraic geometry of Kazhdan's property (T). J. Inst. Math. Jussieu, 15 (2016), 85-90.
  6. N. Ozawa and G. Pisier; A continuum of C^*-norms on B(H) \otimes B(H) and related tensor products. Glasg. Math. J., 58 (2016), 433-443.
  7. E. Breuillard, M. Kalantar, M. Kennedy, and N. Ozawa; C^*-simplicity and the unique trace property for discrete groups. Preprint.
  8. R. Okayasu, N. Ozawa, and R. Tomatsu; Haagerup approximation property via bimodules. Math. Scand., to appear.
  9. N. Ozawa; A functional analysis proof of Gromov's polynomial growth theorem. Preprint.
  10. N. Ozawa; A remark on fullness of some group measure space von Neumann algebras. Preprint.

教授 小野 薫 (微分幾何学・位相幾何学の研究)
 空間の幾何構造,特に symplectic 構造,の幾何学の研究をしている。Arnold は symplectic 幾何学が興味深い研究対象であることを数々の予想とともに指摘し,その後の研究に大きな影響を与えた。1980 年頃に Conley-Zehnder は Hamilton 系の周期解の存在,個数の下からの評価に関する Arnold の予想をトーラス上で証明した。また,Gromov は(擬)正則曲線の方法を考案し,symplectic 幾何学の研究を大きく進展させた。1980年代の半ば過ぎに Floer は Conley-Zehnder の変分法の枠組と正則曲線の方法を結びつけて現在 Floer (co)homology と呼ばれる理論を創始した。技術的な困難を避けるために条件はついていたが,新たな数学が切り開かれた。現在では,他の様々な設定でも Floer 理論が研究され,symplectic 幾何に限らず,低次元トポロジーなどでも強力な道具となっている。
 私は,Hamilton 微分同相写像に対する Floer 理論を技術的条件なしで構成することを研究し,先ず Floer の条件を弱めることができること [1],そのあと深谷賢治氏と一般の閉 symplectic 多様体上で構成できること [4] を示し,Betti 数版の Arnold 予想を証明した。同様の議論で,Gromov-Witten 不変量の構成し,期待される性質が満たされることを示した。Hamilton 微分同相写像より広いクラスのsymplectic 微分同相写像に対する Floer 理論についても研究し [2], それを発展させて Hamilton 微分同相写像群はsymplectic 微分同相写像群の中で C1-位相に関して閉じていること (flux 予想) を証明した [6]。
 Lagrange 部分多様体の Floer (co)homology は一般には定義できないが,境界作用素を適当に修正することで定義できる場合もある。その一般論を深谷氏,Oh 氏,太田氏と研究し [7],それを具体的な場面に応用することで Hamilton 微分同相写像で displace できない Lagrange トーラスの記述に関する成果を得た[8],[9],[10]。Lagrange 部分多様体の Floer 理論は,深谷圏の基盤であり,ホモロジー的ミラー対称性の研究に不可欠である。上述の研究に引き続き,トーリック多様体のホモロジー的ミラー対称性に関する研究成果を論文あるいは preprint として順次纏めて発表している。
 上に書いた研究は,1996年の深谷賢治氏との共同研究による倉西構造と仮想的基本類・仮想的基本鎖の理論に基礎を置いている。この理論の詳細を含む expository articles を深谷氏,Oh 氏,太田氏とともに書き,順次公表している。
  1. On the Arnold conjecture for weakly monotone symplectic manifolds, Invent. Math. 119 (1995), 519-537.
  2. Symplectic fixed points, the Calabi invariant and Novikov homology (with H.-V. Le), Topology 34 (1995), 155-176.
  3. Lagrangian intersection under legendrian deformations, Duke Math. J. 85 (1996), 209-225.
  4. Arnold conjecture and Gromov-Witten invariants, (with K. Fukaya), Topology 38 (1999), 933-1048.
  5. Simple singularities and symplectic fillings, (with H. Ohta), J. Differential Geom. 69 (2005), 1-42.
  6. Floer-Novikov cohomology and the flux conjecture, Geom. Funct. Anal. 16 (2006), 981-1020.
  7. Lagrangian intersection Floer theory - anomaly and obstruction -, (with K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta), AMS/IP Studies in Advanced Mathematics 46-1,2, Amer. Math. Soc. and International Press, 2009.
  8. Lagrangian Floer theory on compact toric manifolds I, (with K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta), Duke Math. J. 151 (2009), 23-174.
  9. Lagrangian Floer theory on compact toric manifolds II, (with K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta), Selecta Math. New Series, 17 (2011), 609-711.
  10. Toric degeneration and non-displaceable Lagrangian tori in S^2 \times S^2, (with K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta), International Mathematical Research Notices, 2012, no13, 2942-2993, DOI 10.1093/imrn/rnr128.
  11. Symplectic fillings of links of quotient surface singularities, (with M. Bhupal), Nagoya Math. J. 207 (2012), 1-45.
  12. Displacement of polydisks and Lagrangian Floer theory, (with K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta), J. Symp. Geom. 11 (2013), 231-268.
  13. Lagrangian Floer theory and mirror symmetry on compact topic manifolds, (with K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta), Astérisque 376, Société Mathématique de France, 2016.

教授 熊谷 隆 (確率論)
 複雑な系の上の物理現象の解明を目指して,系の上の確率過程と対応する作用素について研究を進めている。典型例であるフラクタルに関しては,熱核の精密な評価,大偏差原理の研究を行い,対応する二次形式の定める関数空間の理論を構築するなど,フラクタル上の確率過程論・調和解析学の基礎を固める研究を行ってきた。また,当該分野の重要な未解決問題の一つであったシェルピンスキーカーペット上のブラウン運動の一意性を証明した[6]。
 フラクタル上の拡散過程は,劣拡散的である,すなわちユークリッド空間のブラウン運動に比べて,拡散のオーダーが小さい(拡散が遅い)。では,確率過程のこのような性質は摂動安定性を持つであろうか?熱核が上下からガウス型評価を持つ拡散過程については,安定性の問題は古くから研究され,対応する作用素に多少の摂動を加えても大域的な挙動に大きな変化が現れないことが知られている。私は,一般の測度つき距離空間において,熱核が劣ガウス型の評価を持つことと,ある種の放物型ハルナック不等式が成り立つことが同値であり,さらにいくつかの関数不等式と同値であることを示した[1,2]。これは,劣ガウス型熱核評価の安定性を意味する。さらに,このような評価が空間のquasi-isometricな変形で保たれるという安定性の理論を構築し,この理論を発展させることにより,相転移を持つ確率モデルの臨界確率における熱伝導の研究を推し進めている[3,5]。その成果の一つとして,統計力学の基礎モデルであるパーコレーションクラスターの,臨界確率における熱伝導についての数理物理学者の予想(アレキサンダー・オーバッハ予想)を,いくつかの具体例で肯定的に解決した。また,これらの手法を有限グラフの列の上のマルコフ連鎖に応用し,混合時間の評価等を行っている[9]。複雑な系の上の確率過程の研究の近況は,講義録[B1]にまとめられている。
 複雑な系の上の確率過程の研究を通じて,非対称拡散過程や飛躍型確率過程論に新たな方向性を与える研究も行っている。離散で非対称なマルコフ連鎖の自然なクラスにおいて,熱核がガウス型の評価を持つことを示し,さらにそのスケール極限が非対称な拡散過程に収束するための十分条件を解析した[10]。また,ハルナック不等式や熱核評価の研究を,飛躍型確率過程にも発展させている[4,7,8,11]。飛躍型確率過程の調和解析では,従来の解析学の手法が適用できない状況が多く,熱核評価に関する研究は限定的であった。上記研究では,確率論的手法と実解析学的手法を融合することによりこれらの困難を乗り越え,安定過程型確率過程の熱核の精密な評価を行い,その一般化を行っている。
  1. (With M.T. Barlow and T. Coulhon) Characterization of sub-Gaussian heat kernel estimates on strongly recurrent graphs, Comm. Pure Appl. Math. 58 (2005), 1642--1677.
  2. (With M.T. Barlow and R.F. Bass) Stability of parabolic Harnack inequalities on metric measure spaces, J. Math. Soc. Japan 58 (2006), 485--519.
  3. (With M.T. Barlow, A.A. Járai, and G. Slade) Random walk on the incipient infinite cluster for oriented percolation in high dimensions, Comm. Math. Phys. 278 (2008), 385--431.
  4. (With M.T. Barlow and A. Grigor'yan) Heat kernel upper bounds for jump processes and the first exit time, J. Reine Angew. Math. 626 (2009), 135--157.
  5. (With B.M. Hambly) Diffusion on the scaling limit of the critical percolation cluster in the diamond hierarchical lattice, Comm. Math. Phys. 295 (2010), 29--69.
  6. (With M.T. Barlow, R.F. Bass and A. Teplyaev) Uniqueness of Brownian motion on Sierpinski carpets, J. European Math. Soc. 12 (2010), 655--701.
  7. (With Z.-Q. Chen) A priori Hölder estimate, parabolic Harnack principle and heat kernel estimates for diffusions with jumps, Rev. Mat. Iberoamericana 26 (2010), 551--589.
  8. (With Z.-Q. Chen and P. Kim) Global heat kernel estimates for symmetric jump processes, Trans. Amer. Math. Soc., 363 (2011), 5021--5055.
  9. (With D.A. Croydon and B.M. Hambly) Convergence of mixing times for sequences of random walks on finite graphs, Electron. J. Probab., 17 (2012), 1--32.
  10. (With J.-D. Deuschel) Markov chain approximations to non-symmetric diffusions with bounded coefficients, Comm. Pure Appl. Math. 66 (2013), 821--866.
  11. (With K. Bogdan and M. Kwa\'snicki) Boundary Harnack inequality for Markov processes with jumps, Trans. Amer. Math. Soc. 367 (2015), 477--517.

[B] 確率論, 共立出版, 2003.

[B1]Random Walks on Disordered Media and their Scaling Limits. Lect. Notes in Math. 2101, École d'Été de Probabilités de Saint-Flour XL--2010. Springer, New York, (2014).


教授  玉川 安騎男(整数論,数論幾何学の研究)
(1) 代数多様体,特に代数曲線やそのモジュライ空間の被覆と基本群に関する数論幾何は,近年内外の多くの研究者によってさまざまな視点から研究されている。本研究所では,望月新一,星裕一郎及び当該所員を中心に,広い意味での遠アーベル幾何(anabelian geometry)を軸として活発に研究が進められ,当該分野を世界的にリードしている。特に,曲線の遠アーベル幾何に関して,当該所員は,これまでに有限体上の結果,有理数体上有限生成な体上の結果,有限体の代数閉包上の結果を得てきた。
以下では,当該所員が近年得た,いくつかの結果を簡単に紹介する。
・(M. Saïdiとの共同研究)有限体上の曲線やその関数体の遠アーベル幾何に関し,幾何的基本群を標数と素な最大商に置き換えた場合の Isom 版([1][3]),ある種の局所条件の下での Hom 版([4]),素数の無限集合 \Sigma である条件を満たすものに対して幾何的基本群を最大副 \Sigma 商に置き換えた場合の Isom 版(論文 2 編投稿中)などを証明した。また,正標数代数閉体上の曲線の(弱い意味での)遠アーベル幾何について,一般の閉体の場合に一定の結果を得た(J. Algebraic Geom. に論文掲載予定)。さらに,有限生成体上の曲線に対するセクション予想に関連して,離散的セルマー群や離散的シャファレビッチ・テイト群という,有限生成体上のアーベル多様体の新しい数論幾何的不変量を導入し た(論文投稿中)。
・(A. Cadoret との共同研究)有理数体上有限生成な体上の曲線の上のアーベルスキームと素数 l に対し,ファイバーに現れるアーベル多様体の有理的な l 冪ねじれ点の位数に対する上界の存在を証明し,系として, Fried のモジュラータワー予想の 1 次元の場合を肯定的に解決した([2][6])。また,この結果を大きく一般化し,有理数体上有限生成な体上の曲線の数論的基本群の l 進ガロア表現で幾何的基本群の像がある種の弱い条件を満たすものが与えられた時,その表現を曲線の(剰余次数を制限した)閉点の分解群に制限して得られるガロア表現に対する像の下界の存在を証明した([7][9])。この結果は,条件を外した場合は一般には成立しないが,一般の l 進表現の場合に,部分的な肯定的結果を得た([10])。素数 l を走らせた時のガロア像の幾何的部分のふるまいについても考察し,種数やゴナリティーの発散性や像の l 独立性などに関する結果を証明した([5]及び論文 2 編投稿中, 1 編 Compositio Math. に掲載予定)。さらに,幾何的モノドロミーの法 l 半単純性についての強い結果を最近得た(C. Hui との三名共著論文を準備中)。また,アーベル多様体のねじれ点に対する普遍上界予想と曲線のヤコビ多様体のねじれ点に対する普遍上界予想の定量的な比較をした([8])。
・(C. Rasmussen との共同研究)3 点抜き射影直線の副 l 基本群の上のガロア表現に関する伊原の問題に関連して,有限次代数体 K と正整数 g が与えられた時,K 上の g 次元アーベル多様体 A の同型類と素数 l の組で,体 K(A[l^\infty]) が l の外で不分岐で K (\zeta_l ) 上副 l な拡大になるようなものは有限個しかないことを予想し,[K:\mathbb{Q}] \leq 3,g =1 の場合,K=\mathbb{Q},g \leq 3 の場合,及び一般 Riemann 予想の仮定下での K:一般,g:一般の場合などに肯定的解決を得た(論文 1 編掲載済,1 編 Trans. AMS に掲載予定)。また,関連して,2 の外で不分岐な主偏極アーベル曲面の 2 冪ねじれ点の研究(Int. J. Number Theory に論文掲載予定)や射影直線の l 冪次巡回被覆のヤコビ多様体の l 冪ねじれ点の研究(論文準備中)を行った。
(2) 標数 0 の体の上の種数 2 以上の曲線をヤコビ多様体に埋め込む時,Manin-Mumford 予想(Raynaud の定理)により,曲線上にあるヤコビ多様体のねじれ点は有限個であるが,フェルマー曲線の場合(R. Coleman,P. Tzermias との共同研究)とモジュラー曲線の場合に,それぞれこの有限集合を具体的に決定した。
(3) Drinfeld 加群やそのモジュライ空間に関する研究を以前行った。
  1. A prime-to-p version of Grothendieck's anabelian conjecture for hyperbolic curves over finite fields of characteristic p>0, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 45 (2009), no. 1, 135--186 (with Mohamed Saïdi).
  2. Torsion of abelian schemes and rational points on moduli spaces, RIMS Kôkyûroku Bessatsu B12 (2009), 7--29 (with Anna Cadoret).
  3. On the anabelian geometry of hyperbolic curves over finite fields, RIMS Kôkyûroku Bessatsu B12 (2009), 67--89 (with Mohamed Saïdi).
  4. On the Hom-form of Grothendieck's birational anabelian conjecture in characteristic p>0, Algebra and Number Theory 5 (2011), no. 2, 131--184. (with Mohamed Saïdi).
  5. On a weak variant of the geometric torsion conjecture, Journal of Algebra 346 (2011), no. 1, 227--247 (with Anna Cadoret).
  6. Uniform boundedness of p-primary torsion of abelian schemes, Inventiones Mathematicae 188 (2012), no. 1, 83--125 (with Anna Cadoret).
  7. A uniform open image theorem for \ell-adic representations I, Duke Mathematical Journal 161 (2012), no. 13, 2605--2634 (with Anna Cadoret).
  8. Note on torsion conjecture, Séminaires et Congrès 27 (2013), 57--68 (with Anna Cadoret).
  9. A uniform open image theorem for \ell-adic representations II, Duke Mathematical Journal 162 (2013), no. 12, 2301-2344 (with Anna Cadoret).
  10. Controlling the Galois images in one-dimensional families of \ell-adic representations, Journal of Algebra 412 (2014), 189--206 (with Anna Cadoret).

教授 中島 啓 (表現論,代数幾何学,微分幾何学)
 理論物理学に起源を持つゲージ理論を数学的に研究することを中心テーマとしている。また,この研究がカッツ・ムーディー・リー環や,その変形と関係することから,これらの対象の表現論も同時に研究している。
 主要な成果として,次のようなものを得た。
  • ALE 空間とよばれる,複素二次元の単純特異点の特異点解消の上で,ゲージ群をユニタリ群とするインスタントン方程式の解のモジュライ空間を考える。この空間は,箙の表現による記述を持つ。[5] この定義は,より一般の箙に拡張可能であり, 箙多様体と名づけた。そのホモロジー群には,カッツ・ムーディー・リー環の表現が構成される。[6,7]また,箙多様体の同変 K 群には,量子ループ環の表現が構成される。
  • R^4 上のインスタントンのモジュライ空間の上で,微分形式を同変ホモロジーの意味で積分する,Nekrasov の分配関数の研究を行っている。特にR^4 の一点ブローアップの上のインスタントンのモジュライ空間との関係を,神戸大の吉岡康太氏との共同研究で詳しく調べ,分配関数の持ついろいろな性質を導いた。[9,10,11]さらにその結果を用いて 4 次元多様体の Donaldson 不変量の性質を調べることを,ICTP の L. Göttsche 氏を加えた共同研究で行った。[3,4]
  • R^4 上の ADE 型のリー群をゲージ群とするインスタントンのモジュライ空間を考え,その Uhlenbeck 部分コンパクト化をとり,その同変交叉コホモロジー群を考える。作用する群は G と二次元トーラス T^2 の積である。この同変交叉コホモロジーの空間に,頂点作用素代数の例である \mathscr W-代数の表現が構成される。[1]
 以下,昨年度得た研究成果を簡単に紹介する。
・[2](A.Braverman, M.Finkelberg との共同研究)コンパクト・リー群 G と,その四元数体上の表現 M が与えられたとき,物理学者は 3 次元の N=4 超対称性ゲージ理論とよばれる場の量子論を考え,特にそのゲージ理論のクーロン枝とよばれる,超ケーラー多様体を研究していた。しかし,その定義には,「量子補正」とよばれる数学的に厳密な取り扱いがなされていない手続きが含まれており,クーロン枝の数学的な定義は与えられていなかった。そこで,数学的に厳密な定義を与える試みを始めた。一昨年度[8]において,クーロン枝の構造環になっていると期待される,次数付きベクトル空間をあるモジュライ空間の,自然な消滅サイクルに係数を持つコホモロジー群として導入した。
 昨年度は,M が N \oplus N^* と分解しているという仮定のもとに,上のモジュライ空間を若干変更した上で,その同変ボレル・ムーア・ホモロジー群を考え,この上に可換な積構造を定義した。この可換環の Spectrum として,クーロン枝のアファイン・スキームとしての定義が与えれたことになる。また,構成から自然に座標環の非可換変形が同時に得られる。
 いくつかの例について,クーロン枝を今まで知られていた多様体と同定する研究が進行中であり,論文を準備中である。
  1. A. Braverman, M. Finkelberg, and H. Nakajima, Instanton moduli spaces and \mathscr W-algebras, ArXiv e-prints (2014), arXiv:1406.2381 [math.QA].
  2. ──, Towards a mathematical definition of Coulomb branches of 3-dimensional \mathscr N = 4 gauge theories, II, ArXiv e-prints (2016), arXiv:1601.03586 [math.RT].
  3. L. Göttsche, H. Nakajima, and K. Yoshioka, Instanton counting and Donaldson invariants, J. Differential Geom. 80 (2008), no. 3, 343-390.
  4. ──, Donaldson = Seiberg-Witten from Mochizuki 's formula and instanton counting, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 47 (2011), no. 1, 307-359.
  5. P. B. Kronheimer and H. Nakajima, Yang-Mills instantons on ALE gravitational instantons, Math. Ann. 288 (1990), no. 2, 263-307.
  6. H. Nakajima, Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras, Duke Math. J. 76 (1994), no. 2, 365-416.
  7. ──, Quiver varieties and Kac-Moody algebras, Duke Math. J. 91 (1998), no. 3, 515-560.
  8. ──, Towards a mathematical definition of Coulomb branches of 3-dimensional \mathscr N = 4 gauge theories, I, ArXiv e-prints (2015), arXiv:1503.03676 [math-ph].
  9. H. Nakajima and K. Yoshioka, Lectures on instanton counting, Algebraic structures and moduli spaces, CRM Proc. Lecture Notes, vol. 38, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, pp. 31-101.
  10. ──, Instanton counting on blowup. I. 4-dimensional pure gauge theory, Invent. Math. 162 (2005), no. 2, 313-355.
  11. ──, Instanton counting on blowup. II. K-theoretic partition function, Transform. Groups 10 (2005), no. 3-4, 489-519.

教授 長谷川 真人 (理論計算機科学の研究)
 今日の電子計算機において実現されている,もしくはされつつある多様なソフトウェアについて統一的かつ厳密に議論することを可能にするために,計算現象が根底に持っている数学構造を抽出し,分析することを研究の目的としている。 基本的な考え方は,複雑な計算現象を表現・分析するために,適切に抽象化された構造を特定し,そのような構造に関する考察から,計算現象に関する有益な情報を得ようというものであり,いわば「計算の表現論」である。特に,プログラミング言語における制御構造の数学モデル(意味論)の,主に代数的・圏論的な手法と,証明論・型理論的な枠組みを用いた分析および応用に取り組んでいる。
 これまでの研究成果の多くは,i) トレース付きモノイダル圏を用いた再帰プログラムや巡回構造のモデル,ii) 副作用を伴う計算のモナドを用いたモデル,あるいは iii) 線型論理に基づく型理論とそのモノイダル圏によるモデルに関するものである。i) については,巡回構造から生じる再帰計算を論じた仕事[1](これは ii) や iii) にも密接に関連していた)を出発点に,領域理論における最小不動点演算子の一様性原理をトレース付きモノイダル圏に拡張した研究などを行なってきた。圏論を直接には用いないが関連する方向では,巡回構造を持つ必要呼びラムダ計算の操作的意味論を調べている[7]。ii) については,副作用を伴う制御構造を用いた再帰プログラムの意味論の研究を行ない,特に再帰と第一級継続の組み合わせから生じる計算を分析した[2]。また,第一級継続を用いた多相型プログラムが満たすパラメトリシティ原理を与えた[6]。iii) に関しては,線型論理に対応する線型ラムダ計算とその圏論的モデルに関する理論の整備を行なっている[4]。さらに,ii) と iii) にまたがる仕事として,制御構造の数学モデルに内在する一種の線型性に着目することにより,効果的に用いられた制御構造の持つ,明快かつ有用な性質を調べてきた[3]。最近は,i) と iii) に関連して,トレース付きモノイダル圏の上に双方向計算のモデルを構築するGirardらの「相互作用の幾何」を,高階の計算を含むように拡張した状況について調べている[6, 8]。また,古典線型論理の圏論的モデル(*-自律圏,あるいは Grothendiek-Verdier圏)がトレースを持つのは,実はコンパクト閉圏である場合に限られることを示した[10]。
 また,新しいテーマとして,プログラム意味論と量子トポロジーの接点を模索している。これまでに,プログラミング言語の理論で用いられているモノイダル圏においてリボンHopf代数を考え,その表現の圏として非自明なブレイドを持ち同時に再帰プログラムのモデルにもなっているリボン圏を構成した [9]。
  1. Models of Sharing Graphs: A Categorical Semantics of let and letrec, Distinguished Dissertation Series, Springer-Verlag (1999).
  2. Axioms for recursion in call-by-value, Higher-Order and Symbolic Computation, 15(2/3) (2002), 235-264. (with Y. Kakutani)
  3. Linearly used effects: monadic and CPS transformations into the linear lambda calculus, In Proc. Functional and Logic Programming, LNCS, 2441 (2002), 167-182.
  4. Classical linear logic of implications, Math. Structures Comput. Sci., 15(2) (2005), 323-342.
  5. Relational parametricity and control, Logical Methods in Computer Science, 2(3:3) (2006), 1-22.
  6. On traced monoidal closed categories, Math. Structures Comput. Sci., 19 (2) (2009), 217-244.
  7. Small-step and big-step semantics for call-by-need, J. Funct. Programming, 19 (6) (2009), 699-722. (with K. Nakata)
  8. A note on the biadjunction between 2-categories of traced monoidal categories and tortile monoidal categories, Math. Proc. Cambridge Phils. Soc., 148 (1) (2010), 107-109. (with S. Katsumata)
  9. A quantum double construction in Rel, Math. Structures Comput. Sci., 22(4) (2012), 618-650.
  10. Traced *-autonomous categories are compact closed, Theory Appl. Categ., 28 (7) (2013), 206-212. (with T. Hajgato)

教授 向井 茂 (代数幾何学とモジュライ)
 対象としてはEnriques曲線,K3曲面と3次元Fano多様体を中心に,手法・概念としてはモジュライや自己同型を中心に研究を続けている。モジュライの基礎理論(文献[5])との関係で不変式論や群の表現と関係する代数多様体も研究している。
 80年代に発見したK3曲面と大Mathieu群M_{24}との関係(文献[13])の類似を考え,Enriques曲面への(指標的に)Mathieuな有限群作用を小Mathieu群M_{12}と関連づけて任意標数の閉体上で分類することができた(文献[13])。結果や証明はEnriques 曲面上の Riemann 球の配置を統制するルート系(文献[9])を使うと理解しやすい。最近はこれの理解が進展し,概アーベル的ではない無限自己同型群の決定がいくつかのEnriques曲面に対して得られている(例えば,文献[12])。また,extremal Enriques 曲面を分類し,それらの幾何学的実現を与えることもできた。なお,コホモロジーに鏡映で作用する対合の研究(文献[8])は主偏極Abel曲面のモジュライの自己射に関する結果(文献[10])を副産物として生んだ。
 K3曲面の関連では,高次数偏極K3曲面の研究(特に,モジュライ空間の単有理性)に,新しい場合(30次)を付け加えることができた(文献[11])。
 不変式論においては,Hilbertの第14問題(永田の反例がある)を肯定的に復活する試みとして,次を提出した(文献[6])。

[問題]
多項式環に2次元加法群が線型に作用するとき,不変式環は有限生成か?

 この問題は表現論(例えば Kronecker quiver の表現や共形ブロックの個数に関するVerlinde公式)とも深く結びついている。また,ベクトル束のモジュライ空間とも関係深い。

  1. Duality between \mathbf{D}(X) and \mathbf{D}(\hat X) with its application to Picard sheaves, Nagoya Math. J., 81 (1981), 53--175.
  2. On the moduli space of bundles on K3 surfaces, I, in 'Vector Bundles on Algebraic Varieties', Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1987, pp.341--413.
  3. Finite groups of automorphisms of K3 surfaces and the Mathieu group, Invent. Math., 94 (1988), 183--221.
  4. Fano 多様体論の新展開, New development of theory of Fano manifolds, 数学, (English translation : Sugaku Exposition 15 (2002)), 47巻 (1995), 125--144.
  5. モジュライ理論1,2, 岩波書店,1998年,2000年,455頁  (English translation "An introduction to invariants and moduli", Cambridge University Press, 2003)
  6. Counterexample to Hilbert's fourteenth problem for the 3-dimensional additive group, RIMS Preprint, 1343, 2001.
  7. Curves and symmetric spaces, II, Ann. of Math., 172 (2010), 1359--1558.
  8. Kummer's quartics and numerically reflective involutions of Enriques surfaces, J. Math. Soc. Japan, 64(2012), 231--246.
  9. Lecture notes on K3 and Enriques surfaces, in "Contributions to Algebraic Geometry", P. Pragacz (ed.), European Math. Soc., Zurich, 2012, 389--405.
  10. Igusa quartic and Steiner surfaces, Contemp. Math. 564(2012), 205--210. Correction in an appendix of "Siegel modular forms of genus 2 and level 2" (by F. Clery, G. van der Geer and S. Grushevsky), International J. Math. (2015), 1550034.
  11. K3 surfaces of genus sixteen, RIMS preprint, 1743, 2012. to appear in "Minimal models and extremal rays" (Adv. Stud. Pure Math.).
  12. (with H. Ohashi) The automorphism groups of Enriques surfaces covered by symmetric quartic surfaces, in "Recent Advances in Algebraic Geometry", A volume in honor of Rob Lazarsfeld's 60th birthday, eds. Hacon, Mustata and Popa, Cambridge Univ. Press, 2015, 307--320.
  13. (with H. Ohashi) Finite groups of automorphisms of Enriques surfaces and the Mathieu group M_{12}, preprint, arXiv1410.7535.

教授 望月 新一 (数論幾何の研究)
 数体や局所体あるいは有限体の上で定義された楕円曲線は数論幾何の中でも中心的な研究対象の一つであり,その研究は20世紀初頭まで遡る。特にそのような楕円曲線の等分点へのガロア群の作用や楕円曲線の上で定義されるテータ関数は楕円曲線の数論幾何の研究では重要なテーマである。一方,種数が2以上の代数曲線をはじめとする双曲的な代数曲線の数論幾何は比較的最近まで余り熱心に研究されてこなかった。双曲的代数曲線の場合,非アーベルな基本群への基礎体の絶対ガロア群の外作用は楕円曲線の等分点へのガロア群の作用の「双曲的な類似物」と見ることができ,双曲的代数曲線の数論幾何の自然な出発点となるが,その研究は1980年代後半の伊原康隆の仕事以降,日本の数論幾何において,取り分け数理解析研究所を中心に重要な研究テーマの一つとなった。1990年代半ばに得られた遠アーベル幾何の様々な結果もこの文脈の中で興ったものである。また1990年代の後半以降,一点抜き楕円曲線の上で定義されたテータ関数を従来の「アーベル系」の視点とは決定的に異なる「遠アーベル的」な視点で扱うホッジ・アラケロフ理論の研究も大きく進展している。
 1990年代の望月の研究の殆どは,
   (a) p進タイヒミューラー理論 ([3])
   (b) p進遠アーベル幾何 ([1], [2])
   (c) 楕円曲線のホッジ・アラケロフ理論 ([4])
という三つの大きなテーマに分類することができるが,2000年以降の研究では,
   (d) 絶対p進遠アーベル幾何 ([5], [7])と
   (e) 組合せ論的遠アーベル幾何 ([8])
を中心に,上の三つのテーマの「相互作用」や「融合」に関心の対象が移った。特に有限体上の双曲的曲線と数体の間の古典的な類似の延長線上にあるものとして,(a)にヒントを得た形で,((b)の延長線上にある)(d)と(e)を用いて,(c)をスキーム論の枠組みに収まらない幾何([6], [7])の下で再定式化することにより,「宇宙際タイヒミューラー理論」(=「数体に対する一種の数論的なタイヒミューラー理論」)を構築することが大きな目標となった。
 「宇宙際タイヒミューラー理論」に関する4篇からなる連続論文は2012年8月,プレプリントとして公開した(理論の要約については[9]を参照)。4篇で500頁にも上る連続論文の内容を一言で総括すると,数体上の楕円曲線に付随するテータ関数の値やその周辺にある数論的次数の理論を,絶対遠アーベル幾何等を用いて(比較的軽微な不定性を除いて)「異なる環論」にも通用するような形で記述することによってディオファントス幾何的な不等式を帰結するという内容である。
 一方,星裕一郎講師と共同で「節点非退化外部表現」の理論を構築し,長年未解決問題であった基礎体の絶対ガロア群の外部表現の単射性に関する定理を証明したり([8]),またその延長線上にある「組合せ論的遠アーベル幾何」に関する,4〜5篇からなる連続共著論文の執筆に2010年度から取り組んでいる。第一論文は2010年度に完成し既に出版されており,第二・第三・第四論文はプレプリントとして公開済みである。2010年度から2011年度に掛けて,特に双曲的曲線に付随する配置空間の副有限基本群の惰性群の群論的特徴付けの理論やアンドレ氏による「緩和基本群」の理論への応用において大きな進展があり,それによって得られた結果は第二および第三論文に収録済みである。第四論文では,組合せ論的セクション予想や理論の副有限版と離散版の間の比較が主なテーマとなっている。
  1. S. Mochizuki, A version of the Grothendieck conjecture for p-adic local fields, The International Journal of Math. 8 (1997), pp. 499-506.
  2. S. Mochizuki, The local pro-p anabelian geometry of curves, Invent. Math. 138 (1999), pp. 319-423.
  3. S. Mochizuki, An introduction to p-adic Teichmüller theory, Cohomologies p-adiques et applications arithmétiques I, Astérisque 278 (2002), pp. 1-49.
  4. S. Mochizuki, A survey of the Hodge-Arakelov theory of elliptic curves I, Arithmetic Fundamental Groups and Noncommutative Algebra, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 70, American Mathematical Society (2002), pp. 533-569.
  5. S. Mochizuki, The absolute anabelian geometry of canonical curves, Kazuya Kato's fiftieth birthday, Doc. Math. 2003, Extra Vol., pp. 609-640.
  6. S. Mochizuki, Semi-graphs of anabelioids, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 42 (2006), pp. 221-322.
  7. S. Mochizuki, The Étale Theta Function and its Frobenioid-theoretic Manifestations, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 45 (2009), pp. 227-349.
  8. Y. Hoshi, S. Mochizuki, On the Combinatorial Anabelian Geometry of Nodally Nondegenerate Outer Representations, Hiroshima Math. J. 41 (2011), pp. 275-342.
  9. S. Mochizuki, A Panoramic Overview of Inter-universal Teichmüuller Theory, Algebraic number theory and related topics 2012, RIMS Kôkyûroku Bessatsu B51, Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kyoto (2014), pp. 301-345.
  10. S. Mochizuki, Topics in Absolute Anabelian Geometry III: Global Reconstruction Algorithms, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 22 (2015), pp. 939-1156.

教授 望月 拓郎 (微分幾何,代数幾何の研究)
 [2,7]において私は調和バンドルの特異性についての研究を行い,漸近挙動の大雑把な分類を得ました。その結果に基いて, [1,3,4,7]においてワイルド調和バンドルや純ツイスターD加群を研究し,小林・ヒッチン対応や半単純ホロノミックD加群の強レフシェッツ定理などを得ました。さらに,その自然な発展として,プレプリント``Mixed twistor D-modules'' (arXiv:1104.3366)において混合ツイスターD加群の理論の整備に取り組みました。その過程で,不確定特異点やストークス現象にも関心を抱き,有理型平坦束の局所構造の研究[5,7],ホロノミックD加群のベッチ構造の研究[10]などを行ってきました。
 最近は,これまでの研究で得られた結果・知見を,調和バンドルやツイスターD加群に関連する対象や,より具体的な題材に適用することを試みています。
 ワイルド調和バンドルの小林・ヒッチン対応はヒッグス束上の調和バンドルの分類をパラボリック構造の分類に帰着するものといえます。数理物理で自然に現れるヒッグス束上の調和バンドルの分類は, ある種の物理的な対象の分類と関連づけられるため興味深いです。そこで,[8]では小林・ヒッチン対応を用いて,二次元戸田方程式の実数値解の分類を行い,さらに同伴する有理型平坦束のストークス構造やモノドロミーを具体的に計算しました。
 多重周期性を持つインスタントンやモノポールは``無限次元のワイルド調和バンドル''とみなす見方が有効であり,これまでの調和バンドルの研究で培ってきた知見を活かせます。この観点から[9]で二重周期性を持つインスタントンの研究を行い,漸近挙動の大雑把な分類,Nahm変換,小林・Hitchin 対応などを確立しました。
 混合ツイスターD加群の関手性と,各有理型関数に混合ツイスターD加群が同伴することを用いると,多くの自然なホロノミックD加群が自然に混合ツイスター構造を持つことがわかります。そこで,プレプリント``Twistor property of GKZ-hypergeometric systems''(arXiv:1501.04146)では,特に超幾何ホロノミックD加群上の混合ツイスターD加群について調べています。これは,トーリック多様体の(局所)ミラー対称性の研究で自然にあらわれるものでもあります。混合ツイスターD加群の一般論を超幾何ホロノミックD加群の退化に適用することで,局所Aモデルと局所Bモデルに付随する混合TEP構造の同型を得ています。
 このような具体的な例や関連する対象の研究を通じて,調和バンドルや混合ツイスターD加群の理論を整備し,より多くの場面で使えるものに育てていきたいと考えています。
  1. Kobayashi-Hitchin correspondence for tame harmonic bundles and an application, Astérisque, 309, (2006)
  2. Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an application to pure twistor D-modules I, Mem. AMS., 185, no. 869, (2007)
  3. Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an application to pure twistor D-modules II, Mem. AMS., 185, no. 870, (2007)
  4. Kobayashi-Hitchin correspondence for tame harmonic bundles II, Geometry & Topology, 13, (2009), 359--455
  5. Good formal structure for meromorphic flat connections on smooth projective surfaces, IN `Algebraic Analysis and Around', Advanced Studies in Pure Mathematics 54, (2009), 223--253
  6. Donaldson type invariants for algebraic surfaces, Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1972, Springer, 2009
  7. Wild harmonic bundles and wild pure twistor D-modules, Astérisque 340, 2011
  8. Harmonic bundles and Toda lattices II, Communications in Mathematical Physics 328, (2014), 1159--1198
  9. Asymptotic behaviour and the Nahm transform of doubly periodic instantons with square integrable curvature, Geometry & Topology 18, (2014), 2823--2249
  10. Holonomic D-modules with Betti structure, Méoires de la Société Mathématique de France, 2014

教授 山田 道夫 (流体力学・非線形力学・ウェーブレット解析の研究)
 2次元および3次元の Navier-Stokes 方程式に従う流体の運動を研究している。対象となる流体運動は,流体乱流,回転乱流,微小生物に関わる遅い流れなどである。乱流については流れの統計的特徴と相空間におけるカオス軌道の性質の関係,回転系の流れでは天体や地球惑星系における大規模流体運動と関連する波動と流れの相互作用,遅い流れでは微小生物の運動機構などについて興味を持ち,それぞれ理論的および数値解析的な研究を行うと共に,これらの研究に現れるデータ解析に必要な駅 p 数学的手法の研究も行っている。

・乱流の統計性質の研究
 発達した流体乱流については Kolmogorov の相似則を初めとする統計性質が知られているが,それらが相空間の軌道の構造とどのような関係にあるのかということについては殆ど知見が得られていない。実際 Navier-Stokes 方程式について解軌道の解析を行うことは現状では非常に難しい。そこで流体乱流のモデル方程式であるシェルモデルや低次元写像,低次元微分方程式系において,カオス平均と周期軌道平均の関係を調べ,従来から散見されていた短周期の軌道解析の有効性を支持する結果を得た。また近年開発された共変リヤプノフ解析の手法を2次元トーラス上の Navier-Stokes 方程式(Kolmogorov問題)に適用し,Reynolds 数の増大とともに,初め双曲的であった系が次第に非双曲系に近づき,あるReynolds数において非双曲化することを見出した。さらにこのときの流れの物理的特徴に注目し,特に流れ場に伴う長時間相関関数の形が双曲/非双曲転移に伴って変化することを見出した。またNavier-Stokes 方程式に従う3次元乱流として Couette 乱流を取り上げ,乱流の自己維持過程として知られている過程を共変リヤプノフ解析を用いて調べ,ストリークの崩壊は解軌道の不安定性によること,及び,ストリークの再形成過程には解軌道の不安定性が存在しないことを見出した。またエネルギー収支解析より,ストリーク構造に対叡るモードには常にエネルギーが流入しているが,エネルギーが増加すると蛇行モードへのエネルギー流出が生じこれがストリークモードの消長を制御していることを見出した。

・回転を含む系の流体運動
 これまでに高精度の数値実験によって,回転球面上の自由減衰2次元乱流では両極域に東風周極ジェットが形成されることを見出し,この現象の定量的記述のため回転角速度が非常に大きな場合の両極域における周極ジェットに特徴的な漸近挙動を明らかにした。回転球面上の強制2次元乱流についても長史の数値実験を実行し,従来知られていた多数本の帯状ジェット形成が遷移状態に過ぎず,最終的には少数本(2本または3本)のジェットからなる状態に落ち着くことを見出した。これらの現象の背後にはロスビー波による角運動量再配分機構がある。そこで,回転球面上で少数本のジェットをもつ基本的な(流れ関数が球面調和関数)解の安定性および分岐構造を調べることにより,回転が流れを安定化させることを見出し,乱流の終状態との関連を議論した。また分岐解析によって得られた定常解の張る低次元空間によって乱流状態を近似し,乱流の平均量がよく近似されることを見出した。
 ロスビー波とジェットの相互作用の基本的なモデルは,\beta-平面上における平行流とロスビー波の相互作用である。この相互作用は従来,臨界層を通じた運動量輸送として定性的な描像が与えられてきた。この定量的記述を目的として,平行流の周りの線形摂動解の遠方の漸近形,特にロスビー波の反射係数と透過係数を用いて平均流加速量の表式を導いた。これは臨界層を通じた運動量輸送を平行流の安定性固有値問題に帰着させるもので,固有値問題の中立安定解に物理的意味を与えるものである。
  また3次元の流れに回転が及ぼす影響を,回転球殻内の熱対流パターンについて調べた。これは地球や惑星の内部対流の典型的なモデルであるが,平面ベナール対流に比べ未知の部分が多い。中間的な回転角速度のパラメータ領域において静止解から分岐する東西方向定常進行波解を求め,その安定性をしらべて分岐図を作成し,東西位相速度の反転現象を見出した。さらに反転前後の対流パターンを調べることにより,この反転が解の分岐によるものではなく,赤道付近に生成される帯状流の強さの変化を原因とするものであることを見出した。またこの系において,流れが内側および外側境界に及ぼすトルクを求め,対流によって境界の回転角速度の違いが引き起こされることを見出し,内側および外側境界が3軸回転を行う場合の分岐解析を行い,境界が固定された場合の結果と比較した。

・微小生物の周りの遅い流れ
 流体中の微小生物がゆっくりと形状変化する場合は,Stokes 方程式中の史微分項の寄与が小さいため,周囲の流れは定常 Stokes 流として扱うことができる。このような場合について,生物の形状変化が往復運動,すなわち区間 [0,1] 上の変数によって記述できるときは,形状変化の一周期における生物の移動距離がゼロとなることを主張する「Purcell の帆立貝定理」が知られている。これは微小生物の運動形態に強い制約を与える重要な定理であり多くの研究者が部分的な証明を試みてきたが,完全な証明は知られていなかった。そこで,周囲に流体が存在しない仮想的な生物を導入して生物運動を形状変形運動と重心・回転運動に分離することによって,この定理の完全な証明を与えた。

・ウェーブレットおよびデータ解析法の研究
 データ解析に利用するために,与えられた波形に近い関数形を持つウェーブレット(双直交ウェーブレット)の構成方法を研究している。2スケール関係式の係数によって作られるシンボルと呼ばれる関数を最適化することによる双直交ウェーブレットの構成などにより,直交ウェーブレット展開の特性を利用したデータ解析や波形合成,また大規模構造物設計用の地震波形合成などを行っている。
  1. Covariant Lyapunov analysis of chaotic Kolmogorov flows, Physical Review E, 01633:1--10 (2012). doi: 10.1103/PhysRevE.85.016331 (with M.Inubushi, M.U.Kobayashi and S.Takehiro)
  2. A coordinate-based proof of the scallop theorem, SIAM J. Appl. Math., 72(5), 1686-1694 (2012). doi: 10.1137/110853297 (with K.Ishimoto)
  3. A note on the stability of inviscid zonal jet flows on a rotating sphere, J. Fluid Mech., 710, 154-165 (2012). doi: 10.1017/jfm.2012.356 (with E.Sasaki and S.Takehiro)
  4. Resonant interaction of Rossby waves in two-dimensional flow on a beta plane, Physica D, 245(1), 1-7 (2013). doi: 10.1016/j.bbr.2011.03.031 (with T.Yoneda)
  5. Stability and bifurcation diagram of Boussinesq thermal convection in a moderately rotating spherical shell allowing rotation of the inner sphere, Phys. Fluids, 25, 084107-1 to 15 (2013). doi:10.1063/1.4819140 (with K.Kimura and S.Takehiro)
  6. Linear stability of viscous zonal jets flows on a rotating sphere, J. Phys. Soc. Japan, 82, 094402-1 to 6 (2013). doi: 10.7566/JPSJ.82.094402 (with E.Sasaki and S.Takehiro)
  7. Equatorial symmetry of Boussinesq convective solutions in a rotating spherical shell allowing rotation of the inner and outer spheres, Phys Fluids, 26, 084105 (2014). doi: 10.1063/1.4893374 (with K.Kimura and S.Takehiro)
  8. Regeneration cycle and the covariant Lyapunov vectors in a minimal wall turbulence, Phys. Rev. E 92, 023022-1 to -14 (2015). doi: 10.1103/ PhysRevE.92.023022 (M. Inubushi, S. Takehiro)
  9. Bifurcation structure of two-dimensional viscous zonal flows on a rotating sphere, Journal of Fluid Mechanics, 774, pp 224- 244 (2015). doi: http://dx.doi. org/10.1017/jfm.2015.262 (with E. Sasaki, S. Takehiro)
  10. Reconstruction of chaotic saddles by classification of unstable periodic orbits: Kuramoto-Sivashinsky equation, Chaos, 25, 103123 (2015). doi: 10.1063/1.4933267 (with Y. Saiki, A.C.-L. Chian, R.A. Miranda and E.L. Rempel)

准教授 荒川 知幸 (表現論)
 主に無限次元代数の表現論を研究している。特にアフィンKac-Moody代数やVirasoro代数などの無限次元Lie環,その仲間であるW代数の表現論について興味がある。またこれらを統一的に扱う枠組みである頂点代数の理論にも興味がある。
 これらの無限次元代数は二次元の共形場理論に起源を持つが,可積分系,量子群,モジュラー表現論,幾何学的Langlands対応および4次元のゲージ理論などさまざまな話題とも密接に関係する興味深い対象である。
 一般に表現論における基本問題は
 (1)既約表現の指標を決定すること,
 (2)``良い''表現を決定すること,
の二つに集約されると思われる。
 (1)の問題に関して,論文[1]では極小冪零元に付随する(スーパー)W代数の既約最高ウエイト表現の指標が(スーパー)アフィンリー環のそれから完全に決定される事を示し,特に2003年のKac-Roan-脇本の予想を肯定的に解決した。論文[2]では主冪零元に付随するW代数のすべての最高ウエイト表現の既約指標を決定し,特にモジュラー不変な表現の存在と構成に関する1992年のFrenkel-Kac-脇本の予想を肯定的に解決した。論文[3,4]ではカイラルD加群のアフィンKac-Moody代数の表現論への応用を行い,アフィンKac-Moody代数の臨界レベルにおけるG可積分な表現の指標公式の導出を行った。論文[5]ではアフィンリー環の臨界レベルの表現の指標に関するFeigin-Frenkel予想の一部である(new) linkage principleを証明した。
 (2)の問題に関して,論文[6]では頂点代数の随伴多様体の概念を導入し,これを用いて W 代数の C_2 有限性条件とアフィンリー環の表現の特異台との関係を明らかにした。また,アフィンリー環の許容表現の特異台に関するFeigin-Frenkelの予想を解決するとともにW代数のC_2有限性条件に関する2008年のKac-脇本の予想を肯定的に解決した。論文[9]ではアフィンリー環の許容表現に関する1995年のAdamovic-Milasの予想を肯定的に解決した。また論文[8]では主冪零元に付随するW代数の極小系列表現の理性に関する1992年のFrenkel-Kac-脇本の予想を証明する事に成功した。また論文[10]では最近の川節和哉氏の研究に触発され,極小冪零元に付随する W 代数の新しい「良い」表現の系列を発見した。
 今後は上記の結果の一般化とともに,物理への応用も視野に置き,徐々に応用も行っていく予定である。
  1. Representation Theory of Superconformal Algebras and the Kac-Roan-Wakimoto Conjecture, Duke Math. J., Vol. 130 (2005), No. 3, 435-478.
  2. Representation Theory of W-Algebras, Invent. Math., Vol. 169 (2007), no. 2, 219--320.
  3. (with D. Chebotarov and F. Malikov) Algebras of twisted chiral differential operators and affine localization of g-modules, Selecta mathematica, new series, vol.17 (2011), no. 1, 1-46.
  4. (with F. Malikov) A chiral Borel-Weil-Bott theorem, Adv. Math., 229 (2012) 2908-2949.
  5. (with P. Fiebig) The linkage principle for restricted critical level representations of affine Kac-Moody algebras, Compos. Math., 148 (2012), 1787--1810.
  6. Associated varieties of modules over Kac-Moody algebras and C_2-cofiniteness of W-algebras, Int. Math. Res. Notices (2015) Vol. 2015, 11605-11666.
  7. (with T. Kuwabara and F. Malikov) Localization of affine W-algebras, Comm. Math. Phys, Vol. 335 (2015), Issue 1, pp 143-182.
  8. Rationality of W-algebras; principal nilpotent cases, Ann. Math., 182 (2015), 565-604.
  9. Rationality of admissible affine vertex algebras in the category \mathcal{O}, Duke Math. J., Vol. 165, No. 1 (2016), 67-93.
  10. (with A. Moreau) Joseph ideals and lisse minimal W-algebras, J. Inst. Math. Jussieu, published online.

准教授 河合 俊哉 (場の理論・弦理論・数理物理学)
 手法としても研究対象としても2次元(超)共形場の理論と関連する数理物理に永らく興味を持ち続けているが,近年は超対称性のある場の理論や弦理論の物理が代数多様体の数え上げ幾何と関連している場合に関心がある。
 具体的には,(ある種の楕円カラビ・ヤウ多様体にコンパクト化した) F 理論ないし IIA 型弦理論と混成的弦理論(の適当なコンパクト化)の間に成立すると予想されている双対性の理解およびBPS状態の数え上げとしての定量的検証を近年の研究主題としている。混成的弦理論はゲージ理論や重力理論などの馴染みの物理との関係が見やすく,また数学的には表現論と近い関係にあるといってもよい。一方 F 理論ないし IIA 型弦理論では考えている楕円カラビ・ヤウ多様体のグロモフ・ウィッテン不変量やDブレーンの解釈としての「層の足し上げ」などの数え上げ幾何のテーマと関係する。特にBPS状態の数え上げに対する生成関数をボーチャーズ積の類似として解釈することを試みている。また具体例で試行錯誤してみると上記の数え上げ幾何以外にもヤコビ形式,不変式論,保型形式,楕円コホモロジー,表現論などの諸分野が有機的にからみあっていることが分かってきた。これらの諸概念を何らかの意味で統一する様な形で弦理論双対性を理解できればと願っている。
 ゲージ理論と開カラビ・ヤウ多様体の対応は近年盛んに研究されているが,量子重力を含む場合を取り扱おうとすると閉(楕円)カラビ・ヤウ多様体を考えなければならない。考えている状況の限りでは量子重力の難しさは豊穣な「楕円」数学の世界と呼応しているようである。従って,困難ではあるが物理的にも数学的にも意義深く挑戦しがいがあると考えて日々研究している次第である。
  1. K3 surfaces, Igusa cusp form and string theory, in Topological field theory, primitive forms and related topics, (M. Kashiwara, A. Matsuo, K. Saito and I. Satake, eds.), Progr. Math. 160, Birkhäuser 1998.
  2. String duality and enumeration of curves by Jacobi forms, in Integrable systems and algebraic geometry, (M.-H. Saito, Y. Shimizu and K. Ueno, eds.), World Scientific 1998.
  3. String partition functions and infinite products, (with K. Yoshioka) Adv. Theor. Math. Phys., 4 (2000), 397--485.
  4. String and Vortex, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 40 (2004), 1063--1091.
  5. Abelian Vortices on Nodal and Cuspidal Curves, JHEP11(2009)111.
  6. Twisted Elliptic Genera of N=2 SCFTs in Two Dimensions, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 45.39 (2012): 395401.

准教授 川北 真之 (代数幾何学)
 双有理幾何学における極小モデルプログラム(MMP)は,標準因子の比較によって各双有理同値類を代表する代数多様体を抽出する。3 次元では森が本来のプログラムを作り,その後 Shokurov らの努力により完成した。MMP が動くにはフリップの存在と終止が必要であるが,その存在は Birkar,Cascini,Hacon,McKernan によって一般次元で示された。
 3 次元双有理幾何の詳細な理解の要請に応えて,私は 3 次元因子収縮写像の系統的研究を行った。3 次元では収縮先が点のときが本質的で,これらの写像を食違い係数が小さい場合を除き完全に分類し,残る場合も分類方法を確立した。研究過程では Reid の general elephant 予想も証明した。
 高次元 MMP の目下の最重要な課題はフリップの終止予想である。私はMMP の過程で現れる特異点を極小対数的食違い係数を手掛かりに研究している。MMP の特異点は極小対数的食違い係数により定義され,さらにフリップの終止は係数の下半連続性と昇鎖律の二予想に還元されるからである。
 先ず逆同伴問題を研究した。逆同伴とは,多様体と因子の組から因子上に新たな組が導入されるときの,両組の特異点の比較である。私は両組の対数的標準性の同値性を証明した。より一般に両組の極小対数的食違い係数の一致が予想され,Ein,Musta\c{t}\u{a},安田のモチーフ積分論の手法を一般化した。
 極小対数的食違い係数の有界性は,下半連続性及び昇鎖律のどちらの系でもある予想である。私は特異点の超平面切断が与える Artin 環の解析から,3 次元における係数の有界性と Gorenstein 端末特異点の特徴付けを回復した。また特異点の有界性問題として,真の 3 次元標準特異点の Gorenstein 指数は 6 以下であるという Shokurov の予想を証明した。
 Kollárとde Fernex,Ein,Musta\c{t}\u{a}は対数的標準閾のイデアル進半連続性を示し,イデアルの生成極限を用いて昇鎖律へ応用させた。私はその極小対数的食違い係数への拡張を研究し,多様体とイデアルの指数が指定された時の,対数的標準な組の対数的食違い係数全体の集合の離散性を示した。系として局所完全交叉特異点の極小対数的食違い係数の昇鎖律を得た。
 イデアルの生成極限は形式的べき級数環上定義される。私は Shokurov とKollár の連結性補題を形式的べき級数環上で考察し,3 次元最小対数的標準中心の存在と正規性を証明した。これを用いて 3 次元非特異多様体上の 1 以上の極小対数的食違い係数の昇鎖律を示した。
  1. Divisorial contractions in dimension three which contract divisors to smooth points, Invent. Math., 145, No.1, 105-119 (2001)
  2. General elephants of three-fold divisorial contractions, J. Amer. Math. Soc., 16, No.2, 331-362 (2003)
  3. Three-fold divisorial contractions to singularities of higher indices, Duke Math. J., 130, No.1, 57-126 (2005)
  4. Inversion of adjunction on log canonicity, Invent. Math., 167, No.1, 129-133 (2007)
  5. On a comparison of minimal log discrepancies in terms of motivic integration, J. Reine Angew. Math., 620, 55-65 (2008)
  6. Towards boundedness of minimal log discrepancies by Riemann--Roch theorem, Am. J. Math. 133, No.5, 1299-1311 (2011)
  7. Ideal-adic semi-continuity problem for minimal log discrepancies, Math. Ann. 356, No.4, 1359-1377 (2013)
  8. Discreteness of log discrepancies over log canonical triples on a fixed pair, J. Algebr. Geom. Geom. 23, No.4, 765-774 (2014)
  9. The index of a threefold canonical singularity, Am. J. Math. 137, No.1, 271-280 (2015)
  10. A connectedness theorem over the spectrum of a formal power series ring, Int. J. Math. 26, No. 11, Article ID 1550088, 27p. (2015)

准教授 齋藤 盛彦 (代数解析学の研究)
 ホッジ加群[1][2]やD-加群の理論の応用等について研究を続けている。まず b - 関数に関係した話題としては,ブドゥール氏やヴァルター氏から正則関数 f の有理数冪で生成される D - 加群の族と b - 関数の根との関係についての質問を受けたので,それに対する解答を考察した[3]。これは b- 関数の根が必ずしもすべて上記の D - 加群の族の変化に寄与するわけではないという多少とも以外な結果となったのだが,その副産物として,超曲面孤立特異点のブリースコーン加群の飽和化におけるガウス・マニン接続の留数として得られる行列と超曲面特異点のモノドロミーとの関係についての 30 年来の未解決の問題の否定的な答えを得る事が出来た。この反例の構成にはかなり精密なガウス・マニン接続の計算が必要となり,30 年間できなかったことも納得させられる。また,b - 関数の根の重複度に関しては,斉次多項式の b- 関数の根の重複度と多項式の定める射影超曲面の孤立特異点の b - 関数の根の重複度との間には或る程度の関係がある事などもだんだんと分かってきた[4]。
 次に[5]では,多項式環を斉次多項式の偏微分で生成されるヤコビ・イデアルで割ってできたミルナー環の一種の捻れ部分と b - 関数の根との関係についてのヴァルター氏の結果がどうも納得出来なかったので,計算機を使って色々試してみた結果,定式化が多少誤っているのではないかという結論に至り,その修正を行った上で正しい証明も付け加えた。これはカスピダル有理曲線の場合のミルナー環の捻れ部分の次元に関するディムカ氏の予想ともかなり密接に関係しており,この予想についても随分考えたのではあるが,反例も証明も見つける事はできなかった。ただしそれらと関係して,斉次多項式の特異点が一次元の場合に b - 関数の根がミルナー環のヒルベルト数列だけでは決定されない例を発見する事などが出来た。
 上の例では斉次多項式の定める射影超曲面の孤立特異点は重み付き斉次特異点ではないのだが,[6]とも関連して特異点がすべて重み付き斉次孤立特異点の場合には今迄のところすべての計算例において b - 関数の根をヒルベルト数列から決定する事ができる。これが一般にどの程度の仮定の下に成り立つのかは現在まだ研究中であるが,超平面配置の b- 関数の根が組合せ不変量ではないというヴァルター氏の例などもこの方法を使って直接確かめる事が出来る。これの良いところは b - 関数自体を計算するよりも相当に速いという事で,ヴァルター氏の例などでは b - 関数を計算する事自体,普通の計算機ではかなり困難な様である。なお,上記の計算および考察にかなり時間を取られたのと,それから以前程は興味を持たれなくなったせいもあって,斉次多項式の定める射影超曲面の特異点がすべて重み付き斉次孤立特異点の場合の極位数スペクトル系列の E2 退化の証明は延期となった。
 次にヒルツェブルフ特性類に関しては,数年前の研究で得た超平面配置の場合の公式を更に精密化するために,スペクトラル・ヒルツェブルフ特性類というのを導入して,これがホッジ加群に対するトム・セバスチャニ定理とうまく組み合わされる事などを示した。この副産物として超平面の乗数イデアルに対するトム・セバスチャニ型定理というのも得る事が出来た[7]。
 その他には,フロベニウス多様体におけるいわゆる「再構成定理」に対する反例の可能性についての考察[8]を行ったり,ホッジ加群とツイスター加群との間にある幾つかの違いについての研究[9]を行ったりした。最後にホッジ加群の分かり易い入門[10]に関しては,うまく書くのはあまり容易ではなさそうに思われる。
  1. Modules de Hodge polarisables, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 24 (1988), 849--995.
  2. Mixed Hodge Modules, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 26 (1990), 221--333.
  3. D-modules generated by rational powers of holomorphic functions, preprint
  4. Weight structure of vanishing cycle sheaves of homogeneous polynomials with one-dimensional singular loci, preprint
  5. Hilbert series of graded Milnor algebras and roots of Bernstein-Sato polynomials, preprint
  6. Pole order spectra of projective hypersurfaces with weighted homogeneous isolated singularities, preprint
  7. Spectal Hirzebruch-Milnor classes of singular hypersurfaces, preprint (with L. Maxim and J. Schürmann)
  8. Nilpotent orbits of Brieskorn lattices, preprint
  9. Mixed Hodge modules and mixed twistor modules, preprint
  10. A young person's guide to mixed Hodge modules, preprint

准教授 竹井 義次 (微分方程式の研究)
 Borel 総和法に基礎をおく完全 WKB 解析は,特に 2 階の線型常微分方程式の解の大域解析に威力を発揮する。一方,仮想的変わり点が存在し Stokes 幾何の構造が 2 階の場合ほど単純ではない高階方程式や,形式解の Borel 変換の構造が複雑な非線型方程式については,いまだ解明すべき多くの課題が残っている。こうした課題の解決に向けて,WKB 解及びインスタントン型形式解のBorel 変換の構造解析に加えて,最近は特に完全 WKB 解析のホロノミック系への拡張について諸々の視点からの研究を行っている。
 研究の方向は,大きく二つにわかれる。一つは,微分方程式のホロノミック系への完全 WKB 解析の拡張である。線型微分方程式のホロノミック系は,変わり点の交差現象が起こる点(変わり点集合のカスプ状の特異点)の近傍では最も退化した 2 変数超幾何方程式系(Pearcey 系)に変換されることが廣瀬により示された。この結果の非線型版を得ることが当面の課題である。我々は,こうした非線型の変わり点の交差現象が起こる点での標準形が,4 階の I 型Painlevé方程式の拡張である 2 変数退化 Garnier 系により与えられると予想している([6])。第 1 種変わり点における構造定理([1],[3])の証明を参考にしてこの予想を証明することが第一の目標である。廣瀬の結果やその非線型版である上記の予想は,高階常微分方程式の仮想的変わり点の問題とも密接に関連する([8])。廣瀬の結果の非線型版が得られれば,非線型微分方程式のホロノミック系への完全 WKB 解析の拡張に加えて,高階 Painlevé方程式に対する完全 WKB 解析にも新たな展開がもたらされると期待される。
 もう一つは,Bäcklund 変換といった微分方程式に含まれるパラメータに関する離散構造を,元の微分方程式と連立させて一つの可積分系として捉えることにより解析しようとする方向である。これに関連して,最近の Joshi との共同研究では,II 型の Painlevé方程式とそれに付随する変形 I 型離散 Painlevé方程式を連立させることにより,変形 I 型離散 Painlevé方程式の transseries 解に関する Stokes 現象を記述する接続公式を明示的に書き下すことに成功した[9])。この方向の研究は,WKB 解の Borel 変換が持つ「動かない特異点」やその記述の鍵となる Voros 係数の解析とも深く関わっていると考えられ,Weber 方程式等の標準形への変換論([2],[5])に基づく従来の方法に加えてこの方向の研究が進展すれば,「動かない特異点」の解析に大きなブレークスルーが起きることも十分に期待できる。非線型の Painlevé方程式や線型の超幾何方程式を,この新たなアプローチを用いて解析することが現在の大きな関心事である。
  1. WKB analysis of higher order Painlevé equations with a large parameter, Adv. Math., 203(2006), 636-672 (with T. Kawai).
  2. The Bender-Wu analysis and the Voros theory. II, Advanced Studies in Pure Mathematics, Vol.54, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2009, pp.19-94 (with T. Aoki and T. Kawai).
  3. WKB analysis of higher order Painlevé equations with a large parameter. II, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 47 (2011), 153-219 (with T. Kawai).
  4. Exact WKB analysis of second-order non-homogeneous linear ordinary differential equations, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B40 (2013), 293-312 (with T. Koike).
  5. Exact WKB analysis of a Schrödinger equation with a merging triplet of two simple poles and one simple turning point. I & II, Adv. Math., 260 (2014), 458-564 & 565-613 (with S. Kamimoto and T. Kawai).
  6. On the fourth order PI equation and coalescing phenomena of nonlinear turning points, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B52 (2014), 301-316.
  7. On the multisummability of WKB solutions of certain singularly perturbed linear ordinary differential equations, Opuscula Math., 35 (2015), 775-802.
  8. Virtual Turning Points, SpringerBriefs in Mathematical Physics, Vol. 4, Springer-Verlag, 2015 (with N. Honda and T. Kawai).
  9. On Stokes phenomena for the alternate discrete PI equation, preprint (RIMS- 1849), 2016 (with N. Joshi).
  10. Stokes geometry of higher order linear ordinary differential equations and middle convolution, preprint (RIMS-1850), 2016 (with T. Moteki).

准教授 竹広 真一 (地球および惑星流体力学の研究)
 地球および惑星などの天体での流体現象を記述し考察するための流体力学の研究を行なっている。地球および惑星規模の流れの特徴的な性質を与える主な要因として,惑星が自転していること・重力と密度成層・構成物質の相変化・領域が球形であること,といった点があげられる。惑星大気やマントル・中心核の現象の複雑な状況を単純化したモデルを構成し,その中に登場する自転速度や重力と密度成層の強さ,球の半径などのパラメターを様々に変えて,計算機を用いた数値実験によって流れの様子を求め,さらに数値実験結果に現れた流れの性質を統合的にとらえるための理論を構築することを試みる。このような作業を通じて地球や惑星のさまざまな流体現象に内在する基本的な流体力学的ふるまいを理解することを目指している。また,上記の研究を効率的に行なうための数値計算技法とソフトウェアの開発も行なっている[4,9]。単純化したモデルを用いて流れの基本的な性質を掌握しておくことは,さまざまな物理過程を取り込んだシミュレーションモデルにおいて表現されるべき流体力学過程を明らかにすることとなり,そのことが地球や惑星の構造とその進化に対する予言能力の獲得につながると期待される。
 これまでの具体的な研究テーマの一つとして,木星型惑星大気・太陽大気および惑星中心核の単純化したモデルである回転球殻内での熱対流の研究があげられる。この問題に対して,近年急速に発達した計算機を利用して線形安定性と弱非線形計算を数値的に実行し,球殻の回転角速度や厚さなどのパラメターを広い範囲で変化させて発生する熱対流の構造の変化の様子を調べ,その流れの支配要因の分析を詳細に行った[6,7]。その結果,回転が遅い場合には回転と逆向きに伝播するバナナ型の対流セルが出現すること,回転が速い場合には回転方向と同じ向きに伝播する回転軸に沿った柱状あるいは螺旋状に棚引いた対流セルが出現すること,そしてこの傾向は球殻の厚さに関係なくテイラー数にして 104 程度のところで遷移すること,を見出した。そしてバナナ型・柱型・螺旋型といった対流構造と伝播性質が,実は渦度の伸縮に伴う波動運動の性質の違いによるものであることを見出し,従来の単にみかけの形態による対流パターンの分類を力学的な構造に結びつけることに成功した[6,7]。加えて,対流の存在によって生成される平均帯状流の構造を,同様に広いパラメター範囲に渡って求めることを行い,さまざまに変化する帯状流分布の生成の仕組みを分類し明らかにした[10]。最近では,地球内核内の流れ[2],回転球殻内の磁気流体ダイナモ[3],木星大気および地球中心核の状況を想定した球殻の上層に安定成層が存在する場合の熱対流による帯状流分布とその生成過程[1,5],ならびに安定成層内の 2 次元乱流運動[8]についても考察している。太陽や木星型惑星の表面の平均帯状流は観測可能な物理量であり,各天体の大気運動を特徴づけるものとしてそのパターンが以前から注目され,その生成過程を詳細に調べることは地球惑星科学的な面からも重要である。また,現在フランスのサクレー研究所と共同して太陽及び恒星内部の熱対流の臨界状態と有限振幅状態との関係について研究を進めている。
  1. Penetration of Alfven waves into an upper stably stratified layer excited by magnetoconvection in rotating spherical shells, Phys. Earth Planet. Inter., 241 (2015) 37--43.
  2. Influence of surface displacement on solid state flow induced by horizontally heterogeneous Joule heating in the inner core of the Earth, Phys. Earth Planet. Inter., 241 (2015), 15--20.
  3. Effects of latitudinally heterogeneous buoyancy flux conditions at the inner boundary on MHD dynamo in a rotating spherical shell, Phys. Earth Planet. Inter., 223 (2013), 55--61. (with Y. Sasaki, S. Nishizawa, and Y.-Y. Hayashi)
  4. "Gtool5": a Fortran90 library of input/output interfaces for self-descriptive multi-dimensional numerical data, Geosci. Model Dev., 5 (2012) 449-455. (with M. Ishiwatari and other 13 authors)
  5. Retrograde equatorial surface flows generated by thermal convection confined under a stably stratified layer in a rapidly rotating spherical shell, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 105 (2011) 61-81. (with M. Yamada and Y.-Y. Hayashi)
  6. On the retrograde propagation of critical thermal convection in a slowly rotating spherical shell, J. Fluid Mech, 659 (2010) 505-515.
  7. Physical interpretation of spiralling-columnar convection in a rapidly rotating annulus with radial propagation properties of Rossby waves, J. Fluid Mech., 614 (2008) 67-86.
  8. Circumpolar jets emerging in two-dimensional non-divergent decaying turbulence on a rapidly rotating sphere, Fluid Dynam. Res., 39 (2007) 209-220. (with M. Yamada and Y.-Y. Hayashi)
  9. SPMODEL: A series of hierarchical spectral models for geophysical fluid dynamics, Nagare Multimedia (2006)
    http://www.nagare.or.jp/mm/2006/index_en.htm (with M. Odaka, K. Ishioka, M. Ishiwatari, Y.-Y. Hayashi and SPMODEL Development Group)
  10. Mean zonal flows excited by critical thermal convection in rotating spherical shells, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 90 (1999), 43--77. (with Y.-Y. Hayashi)

准教授 照井 一成 (数理論理学の研究)
 「古典論理を理解するための非古典論理学」を推進する一方,計算量,プログラムの意味,評価戦略など,計算機科学にまつわる諸問題を数理論理学によって解明することを目指している。かつて論理学といえば「前提→結論」という推論の研究に範囲が限定されていたが,現代においては「インプット→アウトプット」という計算や,「エージェント↔エージェント」というコミュニケーションをも十分視野に納めている。特に関心をもっているのは,(1)線形論理と(2)部分構造論理である。
 (1)線形論理,これは数学において線形代数が果たすのと同じ役割を論理学において果たすものである。証明やプログラムは線形的な部分と指数関数的な部分に分解できるというのがその核心である。これまでは,線形論理に基づく計算量クラスの特徴付け[8,9],線形論理から派生したルディクス(あそび)の理論に基づく計算論再構築の試みなどを行ってきた[3]。またルディクスの枠組みで,伝統的な完全性定理(証明可能性 vs 反証可能性)を証明-モデル間のコミュニケーションとして理解する試み[7], 再帰型の一意的解釈[6]等の研究を行った。最近では,線形論理のモデルを用いて(単純型付き)ラムダ計算のブール型プログラムを高速に実行する方法を考案した。それによりシューベルトの問題 (ラムダ項の正規化にかかる計算量を項のオーダーnごとに確定する問題: n=2,3 については 2001年に解決済み)に一定の条件付きではあるが一般解を与えることに成功した[1]。
 (2)部分構造論理,これは構造規則を弱めることによって得られる論理一般の系を考察することにより論理の本質に迫ろうという試みである。主な成果としては,まず与えられた部分構造論理(のシークエント計算)について証明論の基本定理(“補題を用いて間接的に証明できることは直接的にも証明できる”こと)が成り立つための必要十分条件を代数的に与えたことがあげられる[10]。現在提唱しているのは,非古典論理における代数的証明論のプログラムであり,これはさまざまな論理的公理を証明論的難易度に従って階層づけ,そして証明論的手法と代数的手法の相互作用を通じて新しいタイプの結果を出していこうというものである[2]。鍵となるのは,証明論の基本定理は代数の言葉でいえば完備化に相当するという洞察である。これにより証明論的研究と代数的研究を結び付けることが可能になり,部分構造論理一般の可能性と限界を画定するという目標が一気に現実味を帯びてきた。具体的成果としては,まず選言特性と計算量を関連付けることにより,多くの部分構造論理がPSPACE困難であることを証明した[4]。また証明論的手法を代数の文脈に直接適用することにより,多くの剰余束の等式クラスが完備化について閉じていることを証明した[5]。
  1. Kazushige Terui. Semantic Evaluation, Intersection Types and Complexity of Simply Typed Lambda Calculus. Proceedings of 23rd International Conference on Rewriting Techniques and Applications (RTA'12), pp. 323-338, 2012.
  2. Agata Ciabattoni, Nikolaos Galatos and Kazushige Terui. Algebraic proof theory for substructural logics: Cut-elimination and completions. Annals of Pure and Applied Logic, 163, No. 3, pp. 266-290, 2012.
  3. Kazushige Terui. Computational ludics. Theorical Computer Science, 412, No. 20, pp. 2048-2071, 2011.
  4. Rostislav Horcik and Kazushige Terui. Disjunction property and complexity of substructural logics. Theoretical Computer Science, 412, No. 31, pp. 3992-4006, 2011.
  5. Agata Ciabattoni, Nikolaos Galatos and Kazushige Terui. MacNeille completions of FL-algebras. Algebra Universalis, 66, No. 4, pp. 405-420, 2011.
  6. Michele Basaldella and Kazushige Terui. Infinitary completeness in ludics. Proceedings of IEEE Annual Symposium on Logic in Computer Science (LICS'10), pp. 294-303, 2010.
  7. Michele Basaldella and Kazushige Terui. On the meaning of logical completeness. Logical Methods in Computer Science, 6, No. 4, 2010.
  8. Patrick Baillot and Kazushige Terui. Light types for polynomial time computation in lambda calculus. Information and Computation, 207, No. 1, pp. 41-62, 2009.
  9. Kazushige Terui. Light affine lambda calculus and polynomial time strong normalization. Archive for Mathematical Logic, 46, No. 3-4, pp. 253-280, 2007.
  10. Kazushige Terui. Which structural rules admit cut elimination? An algebraic criterion. Journal of Symbolic Logic, 72, No. 3, pp. 738-754, 2007.

准教授 中山 昇 (代数多様体・複素多様体の研究)
 代数多様体や複素多様体の双有理幾何学を研究している。小平次元,多重種数,不正則数,代数次元などの双有理不変量を用いて多様体の構造を解明している。このうち標準因子に関係する不変量を特に重視している。標準因子についてのアバンダンス予想は飯高加法性予想などを導き,双有理幾何学の中心問題と考えられる。このような不変量の研究や,双有理幾何学上重要と思われる多様体の具体的構造に興味があり,ザリスキ分解など代数多様体の因子の数値的性質に関わる研究や,楕円ファイバー空間,トーラスファイバー空間の構造についての研究などを行ってきた。近年は主に以下のテーマ (1),(2) についての研究が多い。
 (1) 全射だが同型でない自己正則写像をもつ多様体の分類:コンパクト非特異曲面の場合は,標数ゼロの代数曲面だけでなく一般の複素解析的曲面の場合にも分類が完成している [2]。また小平次元が非負の 3 次元非特異射影代数多様体についても,その構造が解明できた [3]。これらは藤本圭男氏との共同研究で得られた。その他,エタールな自己正則写像や偏極構造を保つ自己正則写像についての D.-Q. Zhang 氏との共同研究 [5],[6] や,ピカール数 1 の非特異ファノ多様体の場合についての J.-M. Hwang 氏との共同研究 [8] がある。またテーマ (2) と関連するが,同型でない全射自己正則写像をもつ曲面についても研究している。標数ゼロで正規射影的曲面の場合については,少なくとも非有理曲面の場合にはその構造が解明できた (論文は準備中)。正標数の場合,自己正則写像に分離的という条件を課して,非特異射影的曲面の構造を調べた [7]。
 (2) ある種の曲面の分類と構成:石井雄二氏との共同研究により,有理二重点以外の特異点を持つ (3次元射影空間内の) 正規4次曲面の幾何学的分類がなされた [1]。そこで使われた手法の応用によって,指数 2 の対数的デルペッツォ曲面の任意標数での分類に成功した [4]。数年前から Y. Lee 氏と共同で,種数ゼロで単連結な一般型曲面を特殊な特異有理曲面から \mathbb{Q} ゴレンスタイン変形によって構成する,という Lee--Park の方法を正標数に拡張する研究を始めた。ほんの少しの例外を除いて,ほぼすべての代数閉体上に,代数的エタール基本群が自明で種数ゼロの一般型極小曲面が 1 \leq K^2 \leq 4 の範囲で構成できた [9]。また標数に無関係な \mathbb{Q} ゴレンスタイン変形の一般論を現在構築中である。最近,Shokurov のトーリック曲面判定法の条件を緩めることで「不足数1の擬トーリック曲面」と「半トーリック曲面」の判定法を得ることができた [10]。前者の曲面にしかるべき全射自己正則写像があるか否かという問題が,テーマ (1) の正規射影的有理曲面の研究に関係する。
  1. (with Y. Ishii) Classification of normal quartic surfaces with irrational singularities, J. Math. Soc. Japan 56 (2004), 941--965.
  2. (with Y. Fujimoto) Compact complex surfaces admitting non-trivial surjective endomorphisms, Tohoku Math. J. 57 (2005), 395--426.
  3. (with Y. Fujimoto) Endomorphisms of smooth projective 3-folds with nonnegative Kodaira dimension, II, J. Math. Kyoto Univ. 47 (2007), 79--114.
  4. Classification of log del Pezzo surfaces of index two, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 14 (2007), 293--498.
  5. (with D.-Q. Zhang) Building blocks of étale endomorphisms of complex projective manifolds, Proc. London Math. Soc., 99 (2009), 725--756.
  6. (with D.-Q. Zhang) Polarized endomorphisms of complex normal varieties, Math. Ann. 346 (2010), 991--1018.
  7. Separable endomorphisms of surfaces in positive characteristic, Algebraic Geometry in East Asia -- Seoul 2008, pp.301--330, Adv. Stud. in Pure Math. 60 (2010).
  8. (with J.-M. Hwang) On endomorphisms of Fano manifolds of Picard number one, Pure and Appl. Math. Quarterly. 7 (2011), 1407--1426.
  9. (with Y. Lee) Simply connected surfaces of general type in positive characteristic via deformation theory, Proc. London Math. Soc. 106 (2013), 225--286.
  10. A variant of Shokurov's criterion of toric surface, preprint RIMS-1825 (2015), to appear.

准教授 葉廣 和夫 (位相幾何学の研究)
 3次元トポロジーにおける代数的および圏論的な構造に興味を持ち研究している。Jones多項式やWitten-Reshetikhin-Turaev不変量などの量子不変量は,タングルの圏やコボルディズムの圏などから,ベクトル空間の圏や加群の圏など代数的に定義される圏への関手として構成される。このような関手を定義するには,量子群と呼ばれるHopf代数が用いられる。
 [1]では,3 次元多様体と絡み目のクラスパーに沿った手術により生成される同値関係について研究した。クラスパーは Hopf 代数的な性質を満たすが,これは,円周を境界に持つ曲面を対象とし,コボルディズムを射とする圏における braided Hopf 代数構造(Crane-Yetter, Kerler による)と対応している。[2]においては,タングルの圏の部分圏で braided Hopf 代数の「作用」を許容するようなものと,その量子不変量への応用について考察した。また,[5]において,曲面を対象としラグランジアン同境を射とする圏 LCob において定義される関手として,Le-Murakami-Ohtsuki 型の不変量を構成した。
 [4]において,すべての 1 の巾根における整係数ホモロジー 3 球面の sl2 Witten-Reshetikhin-Turaev 不変量を統一するような不変量を構成した。[10]において,この結果を一般の有限次元複素単純 Lie 代数に付随する量子不変量に一般化した。
 3次元多様体の量子不変量の研究において重要な役割を果たす Kirby の定理は,3 次元球面内の 2 個の枠付き絡み目が同相な 3 次元多様体を Dehn 手術により与えるための必要十分条件を与える。この定理の一つの精密化として,[3]において整係数ホモロジー球面を考えるときには,絡み行列が対角行列である場合のみを考えれば十分であるということ(Hoste による予想)を証明した。[7]では,3次元多様体の中の null-homologous な枠付き絡み目に対する Kirby calculus について考察した。
 最近は量子群の圏化についても研究を行っている。[6]において,量子群 U_q (sl_2) の圏化においてリボン元に対応する複体を構成した。[8],[9]では,量子群の圏化のトレース(0 次 Hochschild ホモロジー群)について考察した。圏化された量子群のいろいろな代数的構造を明らかにすることと,それをトポロジーへ応用することを目標として研究を進めている。
  1. Claspers and finite type invariants of links, Geom. Topol., 4 (2000), 1-83.
  2. Bottom tangles and universal invariants, Alg. Geom. Topol., 6 (2006), 1113-1214.
  3. Refined Kirby calculus for integral homology spheres, Geom. Topol., 10 (2006), 1185-1217.
  4. A unified Witten-Reshetikhin-Turaev invariants for integral homology spheres, Invent. Math., 171 (2008), 1-81.
  5. A functorial LMO invariant for Lagrangian cobordisms, Geom. Topol., 12 (2008), 1091-1170. (with D. Cheptea and G. Massuyeau)
  6. A categorification of the ribbon elements in quantum sl(2). Preprint. (with A. Beliakova)
  7. Kirby calculus for null-homologous framed links in 3-manifolds. J. Topol. to appear. (with T. Widmer)
  8. Trace decategorification of categorified quantum sl(2). Math. Ann. (published online). (with A. Beliakova, A. D. Lauda and M. \v{Z}ivkovi\'{c})
  9. Current algebras and categorified quantum groups. Preprint. (with A. Beliakova, A. D. Lauda and B. Webster)
  10. Unified quantum invariants for integral homology spheres associated with simple Lie algebras, to appear in Geom. Topol. (with T. Q. T. Le)

准教授 福島 竜輝(確立論)
 主にランダム媒質中の確率過程の研究を行っている。この分野の研究は空間的に一様でない媒質における物理現象を理解するという動機から始まったが,二重のランダムネスが生み出す多様な現象の定式化や解析の過程で数学的にも新しい概念や手法が生まれてきた。典型的なモデルを挙げると,各点での遷移確率がランダムなランダムウォーク(ランダム媒質中のランダムウォーク),強磁性と反磁性がランダムに混ざったスピン系(スピングラス),ランダムポテンシャルを伴うSchrödinger 作用素(Anderson 模型)ながあるが,私自身はこれまではAnderson 模型に関わる研究を中心に行ってきた。
 Anderson模型は不純物を含む結晶中での電子の運動を記述するモデルとしてP.W.Andersonによって提唱されたモデルであり,そこではとくに低いエネルギーを持つ電子が結晶の中の小さな領域に局在することが議論されている。Andersonの議論は数学的に厳密な証明ではなかったが,その後の多くの数学者の努力によりとくに合金型と呼ばれる,ポテンシャルの配置は規則的であるが高さ(形状)がランダムなモデルに対しては理解が進んできている。一方でポテンシャルの配置がランダムなモデルについては研究が遅れており,合金型に近いと見なせるPoisson配置の場合を除いてほとんど結果が無かった。そこで[1,2,3]では格子点をランダムに揺動したモデルを考察し,作用素の無限体積極限におけるスペクトル分布の挙動を決定した。
 またAnderson模型に対応する拡散過程の局在についても,精密な定量的評価を目指して研究している。この方面ではGärtner, König, MolchanovやSznitmanによる先行研究があり,合金型のポテンシャルで短距離の影響力を持つ場合には拡散過程が通常の時間の平方根のスケールより小さい領域に局在することは知られていた。一方で長距離の影響力を持つ場合は異なるスケールで局在が起こることが予想されていたが,これを[4,5]において実際に確かめた。より一般の確率場として長距離相関を持つポテンシャルを扱うことは今後の課題である。
 最近はAnderson模型のポテンシャルに小さな因子を掛けたときにそれがあるランダムでない作用素で近似される,いわゆる均質化の問題も考えている。ポテンシャルの分布に適当な仮定をおけば一次近似は比較的容易であるが,その周りでの揺らぎに関する中心極限定理にあたる結果も示すことができた。とくに高次元では中心極限定理における揺らぎの中心を,均質化の極限ではなく統計平均に取る必要があるように思われ,両者の違いを記述することはこれからの課題である。
この他にdirected polymerと呼ばれるモデルの研究も行い,とくに劣加法エルゴード定理が使えない状況で自由エネルギーの存在を示す方法などについて調べている。[6]
  1. Brownian survival and Lifshitz tail in perturbed lattice disorder Journal of Functional Analysis, vol. 256, issue 9, 2867-2893 (2009)
  2. Classical and quantum behavior of the integrated density of states for a randomly perturbed lattice (joint work with Naomasa Ueki), Annales Henri Poincaré, vol. 11, no. 6, 1053-1083 (2010)
  3. Moment asymptotics for the parabolic Anderson problem with a perturbed lattice potential (joint work with Naomasa Ueki), Journal of Functional Analysis, vol. 260, issue 3, 724-744 (2011)
  4. Second order asymptotics for Brownian motion in a heavy tailed Poissonian potential Markov Processes and Related Fields, vol. 17, issue 3, 447-482 (2011)
  5. Annealed Brownian motion in a heavy tailed Poissonian potential, Annals of Probability, vol. 41, no. 5, 3462-3493 (2013)
  6. Limiting results for the free energy of directed polymers in random environment with unbounded jumps (joint work with Francis Comets, Shuta Nakajima and Nobuo Yoshida), Journal of Statistical Physics, vol. 161, issue 3, 577-597 (2015)

准教授 牧野 和久(離散最適化とアルゴリズムの研究)
 グラフ理論,あるいは,組合せ論などの離散的な構造を解析する研究,あるいは,それらの構造を利用した最適化やアルゴリズムの研究を行っている。
 代表的な研究としては,単調な論理関数の双対化問題を研究している[1]。単調な論理関数の双対化問題とは,与えられた論理積形からそれと等価な単調な論理和形を求める問題であり,数理計画,人工知能,データベース,分散システム,学習理論など様々な分野に現れる数多くの重要かつ実用的な問題と(多項式時間還元の意味で)等価であることが知られている。1996 年にFredmanとKhachiyan による準多項式時間で解けることは示されているが,未だに多項式時間で解けるかどうか分かっていない。この双対化問題は,単調論理関数の論理積形,論理和形という2つの双対的な表現が与えられたときに,それらが等価であるかを判定する問題や人工知能分野において重要な役割をもつホーン理論におけるホーンルールと特性ベクトル集合という双対表現の等価性判定問題とも関連する[2]。また列挙分野においてその計算量が未解決であった多くの問題がこの双対化問題に準多項式帰着可能であることがわかってきた[3,4]。
 さらに推論分野における論理仮説の補完問題に対して,広く信じられていた予想を覆し,最も重要なクラスであるホーン推論において,逐次多項式時間で可能であることを示した[5]。
 上記以外にも,整数線形不等式系[6],相補性問題[7],オンライン最適化問題[8],ロバスト最適化[9],ゲーム理論における均衡解に関する研究[10] などを行っている。
  1. New Results on Monotone Dualization and Generating Hypergraph Transversals, SIAM Journal on Computing, 32 (2003) 514-537 (with T. Eiter and G. Gottlob)
  2. Computing Intersections of Horn Theories for Reasoning with Models, Artifical Intelligence 110(1999) 57-101. (with T. Eiter and T. Ibaraki)
  3. Dual-Bounded Generating Problems: All Minimal Integer Solutions for a Monotone System of Linear Inequalities, SIAM Journal on Computing 31 (2002) 1624-1643. (with E. Boros, K. Elbassioni, V. Gurvich, and L. Khachiyan)
  4. Dual-Bounded Generating Problems: Efficient and Inefficient Points for Discrete Probability Distributions and Sparse Boxes for Multidimensional Data, Theoretical Computer Science 379 (2007) 361-376. (with L. Khachiyan, E. Boros, K. Elbassioni, and V. Gurvich)
  5. On Computing All Abductive Explanations from a Propositional Horn Theory, Journal of the ACM 54 (5) (2007). (with T. Eiter)
  6. Trichotomy for Integer Linear Systems Based on Their Sign Patterns, STACS 2012. (with K. Kimura)
  7. Sparse Linear Complementarity Problems, CIAC 2013. (with H. Sumita, N. Kakimura)
  8. Online Removable Knapsack with Limited Cuts. Theoretical Computer Science 411 (2010) 3956-3964, (with X. Han)
  9. Robust Independence Systems, ICALP (2011) 367-378. (with N. Kakimura)
  10. A Pseudo-Polynomial Algorithm for Mean Payoff Stochastic Games with Perfect Information and a Few Random Positions, ICALP (2013). (with E. Boros, K. Elbassioni, and V. Gurvich)

講師 岸本 展(偏微分方程式の研究)
 非線形偏微分方程式,特に分散型と呼ばれるクラスの発展方程式(非線形シュレディンガー方程式,KdV方程式等が含まれる)について,実解析的手法に基づいて初期値問題の適切性(解の存在と一意性,初期値の変動に対する安定性)や,線形解への散乱・有限時間爆発といった解の時間大域的性質等を研究している。
 線形分散型方程式の発展作用素は,放物型方程式ほど顕著ではないが,その分散性(異なる周波数の波が異なる速度で伝播する性質)に由来する平滑化効果を持ち,これは非線形方程式を解析する際に重要な道具となる。1990年代に登場したフーリエ制限ノルム法は,この種の平滑化効果を捉える新たな手法として,非線形分散型方程式の研究を飛躍的に進展させた。現在までの研究では,方程式の線形部分の性質に基づいたフーリエ制限ノルム法に,個々の方程式の非線形部分がもたらす相互作用の影響を考慮した修正を加えるというアイデアにより,精密な結果を得ることに成功した[1-5]。
 ここ数年は主として周期境界条件下での(即ちトーラス上での)初期値問題に取り組んでいる。トーラスのようなコンパクトな空間上では,解の分散性に由来する平滑化効果は大幅に制限されるが,方程式の線形部分のもつ振動の周波数が非線形部分の周波数からずれている状況(非共鳴状態)において,フーリエ制限ノルム法や部分積分により方程式を繰り返し変形する手法(一種のノーマルフォーム)を用いることである程度の平滑化効果を引き出せる。これを活用し,初期値問題の適切性や解の爆発等について非周期的な場合と対応する結果を得た[5-8]。現在は初期値問題の解の一意性を証明するための一般的な枠組みの開発や,微小摂動させた方程式から元の方程式への解の収束問題に取り組んでいる。
 周期境界条件下では,十分な平滑化効果を得られない共鳴状態にある周波数がどれくらいあるかを見積もることが重要となるが,波の振動は離散的な波数(格子点)に制限されているので,特定の条件をみたす格子点の組の個数を評価することが必要であり,組合せ論的な知識がしばしば有用となる。現在までに非線形シュレディンガー方程式[9]や,より複雑な共鳴構造を持つ回転流体の方程式[10]に対して初等的な組合せ論に基づいた共鳴構造の解析を行っており,共鳴相互作用が解の振る舞いに与える影響について今後解明したい。
  1. Low-regularity bilinear estimates for a quadratic nonlinear Schrodinger equation, Journal of Differential Equations 247 (2009), 1397-1439.
  2. Well-posedness of the Cauchy problem for the Korteweg-de Vries equation at the critical regularity, Differential and Integral Equations 22 (2009), 447-464.
  3. Counterexamples to bilinear estimates for the Korteweg-de Vries equation in the Besov-type Bourgain space, Funkcialaj Ekvacioj 53 (2010), 133-142.
  4. Local well-posedness for quadratic nonlinear Schrodinger equations and the "good" Boussinesq equation, Differential and Integral Equations 23 (2010), 463-493. (with K. Tsugawa)
  5. Sharp local well-posedness for the "good" Boussinesq equation, Journal of Differential Equations 254 (2013), 2393-2433.
  6. Local well-posedness for the Zakharov system on multidimensional torus, Journal d'Analyse Mathematique 119 (2013), 213-253.
  7. Resonant decomposition and the I-method for the two-dimensional Zakharov system, Discrete and Continuous Dynamical Systems 33 (2013), 4095-4122.
  8. Construction of blow-up solutions for Zakharov system on T2, Annales de l'Institut Henri Poincare (C) Analyse Non Lineaire 30 (2013), 791--824. (with M. Maeda)
  9. Remark on the periodic mass critical nonlinear Schrodinger equation, Proceedings of the American Mathematical Society 142 (2014), 2649--2660.
  10. A number theoretical observation of a resonant interaction of Rossby waves, to appear in Kodai Mathematical Journal. (with T. Yoneda)

講師 星 裕一郎(数論幾何の研究)
 私は,遠アーベル幾何学という観点を中心として,双曲的な代数曲線,及び,それから派生する代数多様体の数論的基本群の研究を行っている。
 Grothendieck は,遠アーベル幾何学という枠組みを提唱すると同時に,その基本的な問題として,遠アーベル予想,セクション予想という 2 つの予想を定式化した。[5],[7]において遠アーベル予想の研究が,そして,[1],[6]においてセクション予想の研究が行われている。[5]では,p 進局所体の絶対Galois 群の間の開準同型射に対して,その開準同型射が体の拡大から生じることと,その開準同型射が p 進表現の Hodge・Tate 性を保つことが同値であるという事実が証明されている。[7]では,多重双曲的曲線に関する様々な形の遠アーベル予想型の結果が議論されており,特に,劣 p 進体上の次元が 4 以下の多重双曲的曲線に対する遠アーベル予想が解決されている。[1]では,セクション予想の副 p 版が一般には成立しないことが証明されており,この展開は,双曲的曲線に対する遠アーベル予想の副 p 版の成立と対比すると興味深い。[6]では,有理数体や虚二次体上の代数曲線の双有理 Galois セクションが有理点から生じるためのいくつかの必要十分条件が与えられている。
 [2],[3]では,望月新一氏と共同で,組み合わせ論的遠アーベル幾何学の研究を行った。[2]では,節点非退化外表現に対する遠アーベル予想型の結果を確立して,その系として,数体などといった体上定義された双曲的曲線に付随する外 Galois 表現の忠実性を証明した。[3]では,組み合わせ論的遠アーベル幾何学に関する様々な話題の研究が行われており,特に,副有限 Dehn 捻りの一般論を展開して,その帰結として,曲線のモジュライ空間上の普遍曲線に対する幾何学版遠アーベル予想を解決した。
 数論的基本群という観点を通じて,しばしば,アーベル多様体に対する概念の類似的概念を,双曲的曲線に対して考察することができる。[4],[8],[10]では,そういった概念に関する研究を行った。[4]では,玉川安騎男氏と松本眞氏によって研究が始められた双曲的曲線に対するモノドロミー充満性についての研究が行われている。双曲的曲線に対するモノドロミー充満性という性質は,楕円曲線に対する虚数乗法の非存在という性質の類似と考えられる。[4]では,玉川安騎男氏と松本眞氏によるモノドロミー充満性の l 独立性の問題を,種数が 0 の場合に否定的に解決した。[8],[10]で行われている研究の中心的な対象は,数体上の双曲的曲線の穏やかな点である。これは,松本眞氏によってその研究が始められた概念であり,アーベル多様体の等分点の双曲的曲線に対する類似と考えることができる。[8]では,数体上の双曲的曲線に付随する外 Galois 表現の核とその曲線の上の穏やかな点の座標の間の関連についての研究が行われており,特に,そのような外 Galois 表現に関わる諸問題とFermat 予想との関連についての議論が与えられている。[10]では,数体上の一点抜き楕円曲線の穏やかな有理点の有限性が証明されており,この有限性は,数体上のアーベル多様体の有理等分点の有限性の曲線類似と考えることができる。
 また,双曲的曲線に対する数論幾何学の研究として,遠アーベル幾何学とは独立に,p 進 Teichmüller 理論の研究を行っている。[9]では,古典的な p 進Teichmüller 理論の正標数部分においてもっとも中心的な対象である巾零許容固有束や巾零通常固有束という概念を,標数が 3 の場合に考察している。特に,標数が 3 の場合の巾零許容固有束や巾零通常固有束の Hasse 不変量やそれが定める超特異因子を,Cartier 作用素を通じて特徴付けて,そして,その系として,望月新一氏による巾零固有束の通常性の有限エタール被覆に対する安定性の問題を否定的に解決した。
  1. Existence of nongeometric pro-p Galois sections of hyperbolic curves, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 46 (2010), no. 4, 829-848.
  2. On the combinatorial anabelian geometry of nodally nondegenerate outer representations (with Shinichi Mochizuki), Hiroshima Math. J. 41 (2011), no. 3, 275-342.
  3. Topics surrounding the combinatorial anabelian geometry of hyperbolic curves I: Inertia groups and profinite Dehn twists (with Shinichi Mochizuki), Galois-Teichmüller Theory and Arithmetic Geometry. 659-811, Adv. Stud. Pure Math., 63, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2012.
  4. On a problem of Matsumoto and Tamagawa concerning monodromic fullness of hyperbolic curves: Genus zero case, Tohoku Math. J. 65 (2013), no. 2, 231-242.
  5. A note on the geometricity of open homomorphisms between the absolute Galois groups of p-adic local fields, Kodai Math. J. 36 (2013), no. 2, 284-298.
  6. Conditional results on the birational section conjecture over small number fields, Automorphic Forms and Galois Representations. vol. 2, 187--230, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 415, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2014.
  7. The Grothendieck conjecture for hyperbolic polycurves of lower dimension, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 21 (2014), no. 2, 153--219.
  8. On the kernels of the pro-l outer Galois representations associated to hyperbolic curves over number fields, Osaka J. Math. 52 (2015), no. 3, 647-677.
  9. Nilpotent admissible indigenous bundles via Cartier operators in characteristic three, Kodai Math. J. 38 (2015), no. 3, 690-731.
  10. Finiteness of the moderate rational points of once-punctured elliptic curves, to appear in Hokkaido Math. J.

講師 山下 剛 (数論幾何の研究)
 数論幾何,特に以下のトピックに関心を持っている :
  • p 進 Hodge 理論とそれに関連する分野((φ,Γ)加群,p 進微分方程式など),
  • 岩澤理論と Bloch- 加藤の玉河数予想,
  • 多重ゼータ値,淡中基本群,混合 Tate モチーフ,
  • 志村多様体(や Drinfel'd モジュラー多様体やシュトゥカのモジュライ)と Langlands 対応,
  • 保型性持ち上げ定理(R = \mathbb{T})と p 進 Langlands 対応,
  • 代数的サイクル,混合モチーフ,代数的 K 理論,
  • 宇宙際 Teichmüller 理論とそれに関連する分野(遠アーベル幾何,p 進 Teichmüller 理論,Hodge-Arakelov 理論など)。
 多重ゼータ値は,共形場理論・KZ 方程式・結び目の量子不変量・擬テンソル圏・擬三角擬 Hopf 量子普遍包絡代数・曲線のモジュライ・Grothendieck-Teichmüller 群・混合 Tate モチーフ・代数的 K 理論など数学・物理の様々な分野と関連する面白い対象である。[2]において,多重ゼータ値における Don Zagier 氏の次元予想の p 進版である p 進多重ゼータ値の空間の次元についての予想を定式化(古庄英和氏との予想)し,混合 Tate モチーフの圏のモチーフ的 Galois 群を用いることで代数的 K 理論と関係のある予想値で次元を上からおさえることを示した([6]も参照)。これは多重ゼータ値の空間の次元に関する寺杣友秀氏,Alexander Goncharov 氏,Pierre Deligne 氏による結果の p 進版であり, p 進多重ゼータ値に膨大な線形関係式が存在することを示している。また,ここでは以前開多様体に対して拡張した p 進 Hodge 理論([1],[5]) も使われている。p 進多重ゼータ値の空間と同様に p 進多重 L 値の空間の次元も代数的 K 理論と関係のある量で抑えたが,多重 L 値の時と同様に p 進多重 L 値の間には一般に代数的 K 理論だけでは説明できない関係式が存在し,その一部は保型形式と関係することも分かった([2],[6])。混合 Tate モチーフの圏のモチーフ的 Galois 群の特殊元についての Grothendieck の予想の p 進版も定式化し,それと上述の古庄英和氏との次元予想及び p 進等圧予想との関係も明らかにした([2],[6])。岩澤理論の“混合 Tate 型の非可換化”の方向性の疑問についても[2]で言及した。
 [4]の内容は玉川安騎男氏からの質問へ返答である。Pierre Berthelot 氏とArthur Ogus 氏による p 進 Lefschetz(1, 1)定理を準安定還元の場合へ拡張することと兵頭治氏と加藤和也氏による兵頭-加藤同型を族の場合に拡張することで Davesh Maulik 氏と Bjorn Poonen 氏による Picard 数跳躍軌跡についての結果を拡張した。
 Andrew Wiles 氏と Richard Taylor 氏によってつくられ Mark Kisin 氏によって改良された Taylor-Wiles 系の議論による保型性持ち上げ定理(R^{red} = \mathbb{T})とそこから得られる Langlands 対応において,技術的には整 p 進 Hodge 理論を用いて局所普遍変形環を調べることが核心になってくる。[3]では Laurent Berger 氏と Hanfeng Li 氏と Hui June Zhu 氏による Frobenius 跡の附値が十分大きい時のクリスタリン表現の法 p 還元の計算及びそれを用いた Mark Kisin 氏による局所普遍変形環の構造解明の手法を n 次元表現に拡張した(考える絶対 Galois 群も p 進体だけでなくその有限次不分岐拡大にも拡張した)。その研究をFrobenius 跡の附値が大きくないときにも推し進め,p 進体の絶対 Galois 群の 2 次元表現で Hodge-Tate 重みの差が(p^2 + 1) /2 以下の時にクリスタリン表現の法 p 還元の様子が超幾何多項式の係数や終結式の p 可除性などにより統制される事実を見つけた([7])。これはクリスタリン表現の法 p 還元についてこれまで知られていなかった現象である。また,統一的視点もなく予想すらなかった法 p 還元の研究において部分的にであれ一般的な規則を見出したので,それと手がかりにより統一的な視点も模索したい。また,Pierre Colmez 氏・Christophe Breuil 氏・Vytautas Paskunas 氏・Matthew Emerton 氏たちによる p 進 Langlands 対応の拡張の研究への応用や相互作用も期待される。
 近年は,望月新一氏による宇宙際幾何学のさらなる発展の方向性で同氏と共同研究をしている。望月新一氏の計算において abc 予想の誤差項に Riemann ゼータ関数との関連性を示唆する1/2が現れる。一方,同氏の宇宙際 Teichmüller 理論においてテータ関数が中心的役割を果たすのであるが,テータ関数は Mellin 変換によって Riemann ゼータ関数と関係する。さらに,宇宙際 Teichmüller 理論において宇宙際 Fourier 変換の現象が起きている。これらのことから,長期的な計画であるが“宇宙際 Mellin 変換”の理論ができれば Riemann ゼータ関数と関係させることができるのではないかと期待して共同研究を進めている。
 他,代数的サイクルや p 進微分方程式や t モチーフなどでそれぞれ関連する専門家と議論を進めることもしている。
  1. Yamashita, G., Yasuda, S. p-adic étale cohomology and crystalline cohomology for open varieties with semistable reduction. preprint.
  2. Yamashita, G. Bounds for the dimensions of p-adic multiple L-value spaces. Documenta Math. Extra Volume: Andrei A. Suslin's Sixtieth Birthday (2010), 687-723.
  3. Yamashita, G., Yasuda, S. On some applications of integral p-adic Hodge theory to Galois representations. J. Number Theory 147 (2015), 721-748.
  4. Yamashita, G. p-adic Lefschetz (1,1) theorem in semistable case, and Picard number jumping locus. Math. Res. Let. 18 (2011), no. 01, 107-124.
  5. Yamashita, G. p-adic Hodge theory for open varieties. Comptes Rendus Math., volume 349 (2011), issues 21-22, 1127-1130.
  6. Yamashita, G. p-adic multiple zeta values, p-adic multiple L-values, and motivic Galois groups. Galois-Teichmüller Theory and Arithmetic Geometry, Adv. Studies in Pure Math. 63 (2012), 629-658.
  7. Yamashita, G., Yasuda, S. Reduction of two dimensional crystalline representations and Hypergeometric polynomials. In preparation.
  8. A small remark on finite multiple zeta values and p-adic multiple zeta values. to appear in RIMS Kôkyûroku Bessatsu.
  9. A simple proof of convolution identities of Bernoulli numbers. Proc. Japan Acad., 91, Ser. A (2015), 5-6.
  10. Yamashita, G. On finite multiple zeta values of non-positive weight. preprint.
  11. Yamashita, G. A small remark on the filtered φ-module of Fermat varieties and Stickelberger's theorem. to appear in Tsukuba J. Math.

助教 入江 慶(幾何学の研究)
 シンプレクティック幾何学(特にハミルトン系のフレア理論)と,関連する主題について研究している。大域シンプレクティック幾何学における記念碑的な結果であるグロモフの圧縮不可能性定理は,擬正則曲線を用いてシンプレクティック多様体の「二次元的な幅」(シンプレクティック容量)を測ることで示された。その後ホーファーらは,シンプレクティック容量の研究と,ハミルトン系の周期軌道の研究とが密接に関わることを見出した。この発見は,フレア・ホモロジーと結びつき,フレア,ホーファー,ヴィテルボ等によるシンプレクティック・ホモロジー (定量的なフレア・ホモロジー)の理論へと深化した。私はこれらの研究の発展や応用を目標にしている。
 昨年度の特筆すべき成果として,力学系における重要問題のひとつであるC^∞ 級の閉補題を,三次元閉接触多様体上のレーブ流に対して証明した[6]が挙げられる。自由度 2 以上の一般のハミルトン系においては C^∞ 級の閉補題が成立しない(エルマンによる結果)ことと比較すると驚くべき結果である。証明には,三次元閉接触多様体に対して定義される一種のフレア・ホモロジーである埋込接触ホモロジーの理論,特にそれに伴うスペクトル不変量(一種のミニマックス値)に関する最近の進展(ハッチングスとその共同研究者達による)を用いる。またこの結果を応用して,[7]においては閉曲面のハミルトン微分同相写像に対しても C^∞ 級の閉補題を証明した。これは,球面の場合に限っても長年未解決であった問題である。
 それと並行して,いわゆるストリング・トポロジーの基礎付けにも取り組んでいる。閉多様体の余接束のフレア・ホモロジーと,自由ループ空間のホモロジーが同形であるのは(ヴィテルボ等による)基本的な事実であるが,この対応においてフレア・ホモロジー上の自然な積(パンツ積)は,自由ループ空間のホモロジー上の(チャス・サリバン)ループ積に対応することが知られている。フレア・ホモロジー上の代数構造の研究においては高次の積や余積が自然に現れるが,これらを記述するにはストリング・トポロジー側の代数構造を鎖複体のレベルで実現する必要があると考えられる。しかし(横断正則性をはじめとする)諸々の技術的な困難のためこの方向の研究はあまり進んでいない。[8]においてド・ラム鎖という道具を用いて多様体の自由ループ空間の新しい鎖複体モデルを提案し,チャス・サリバンにより発見されたホモロジー上のBV(バタリン・ヴィルコヴィスキー)構造を鎖複体レベルで再現することに成功した。この結果を推し進めて,複数の出力を持つ演算や S1 同変ホモロジー上の演算を扱う枠組みをつくる研究が進行中である。
 その他の研究として,シンプレクティック幾何の手法(特に,シンプレクティック・ホモロジーを用いて定義される容量)を応用して周期ビリヤード軌道の長さの評価を与えた[1]とそれに関連する[2],[4],[5]や,シンプレクティック・ホモロジーの積構造を利用して(ハミルトン系の立場からは)最も重要なシンプレクティック容量のひとつであるホーファー・ゼンダー容量の評価を与えた[3]などがある。
  1. Symplectic capacity and short periodic billiard trajectory, Math. Z. 272, 1291--1320, 2012.
  2. Displacement energy of unit disk cotangent bundles, Math. Z. 276, 829--857, 2014.
  3. Hofer-Zehnder capacity of unit disk cotangent bundles and the loop product, J. Eur. Math. Soc, (JEMS) 16, 2477--2497, 2014.
  4. Symplectic homology of disk cotangent bundles of domains in Euclidean space, J. Symplectic Geom, 12, 511--552, 2014.
  5. Periodic billiard trajectories and Morse theory on loop spaces, Comment. Math. Helv. 90, 225--254, 2015.
  6. Dense existence of periodic Reeb orbits and ECH spectral invariants, J. Mod. Dyn. 9, 357-363, 2015.
  7. A C^∞ closing lemma for Hamiltonian diffeomorphisms of closed surfaces (with M. Asaoka), arXiv:1512.06336v2, submitted.
  8. A chain level Batalin-Vilkovisky structure in string topology via de Rham chains, arXiv:1404.0153v4, submitted.

助教 大浦 拓哉 (数値解析,数値計算法の開発)
 数値解析の分野での基礎的な数値計算法の開発およびその解析を中心に行っている。これまでの主な研究内容は,フーリエ型積分変換の高速高精度計算の研究である。
 無限区間の収束の遅いフーリエ型積分の計算はさまざまな理工学の分野で必要とされるが,絶対収束しないような収束の遅いフーリエ積分は,十数年ほど前までは計算機で値を計算することが困難であった。この計算困難性の問題は,無限区間のフーリエ積分の計算が応用上非常に重要であるという背景から,日本や海外の多くの研究者を悩ませてきた。この収束の遅いフーリエ積分の計算法はここ十数年ほどで飛躍的に進歩し,筆者および森正武氏により,いくつかのフーリエ積分に対して有効な二重指数関数型公式(DE公式)の提案を行い,この困難を克服した[1],[2],[3],[8],[11]。これらの公式の提案により,収束の遅いフーリエ積分が通常の有限区間の積分と同程度の手間で計算可能となった。なお,本論文のアルゴリズムは,有名な数学ソフトウェアMathematicaでの数値積分``NIntegrate''で採用されている。
 フーリエ型積分変換計算のもうひとつのアプローチとして,連続オイラー変換の研究 [4],[5],[7],[10]がある。連続オイラー変換は,収束の遅い,または緩やかに発散するフーリエ積分を速く収束するフーリエ積分に変換するための方法として私が考案したものである。この連続オイラー変換を応用することで,今まで計算が困難だった収束の遅いまたは緩やかに発散するフーリエ積分に対する高速高精度の数値計算が可能になった。さらに,級数加速に関する有名な書である G. H. Hardy 著の``Divergent Series'', Oxford University Press, (1949) にはオイラー変換((E,1) definition)の連続版は存在しないと記されていて(pp.11),この連続オイラー変換の発見はその記述を覆すものであり,数値解析の分野において,この発見は今後さらに大きな革新をもたらすものであるとの予測がついている。今後の研究課題は,この連続オイラー変換の研究を発展させ,さまざまな数値計算に応用することである。
 その他の積分計算法の研究として,変数変換型数値積分公式の高速高精度化を行った[6],[9],[12]。論文[6]ではさまざまなタイプのDE公式(二重指数関数型数値積分公式)の信頼性と計算効率をともに向上させる方法の提案を行った。この方法を用いることでDE公式の誤差の信頼性を大きく向上させることができ,さらに計算時間の短縮も可能となった。また,論文[9]ではDE公式と同じ漸近性能を持つIMT型公式の提案を行った。変数変換型数値積分公式は,代表的なものに伊理正夫・森口繁一・高澤嘉光のIMT公式と,高橋秀俊・森正武のDE公式があるが,IMT公式はその多くの改良版も含めて,DE公式に漸近性能で劣っていた。この論文では,DE公式と同じ漸近誤差を達成するIMT型積分公式を初めて提案した。
 また,フーリエ積分の計算の一環として,汎用で高速なFFT(高速フーリエ変換)ライブラリの作成を行った。この方法は,Split-Radix FFTに再帰的なバタフライ演算をさせることでメモリーアクセスを高速化したものである。このライブラリはWEBで一般公開し,多くの教育機関や企業で用いられている。今後はさらに多くの数値計算ライブラリの開発および改良を行う予定である。
  1. The double exponential formula for oscillatory functions over the half infinite interval, J. Comput. Appl. Math., 38 (1991), 353--360. (with M. Mori)
  2. Double exponential formulas for Fourier type integrals with a divergent integrand, Contributions in Numerical Mathematics,ed. R. P. Agarwal, World Scientific Series in Applicable Analysis, 2 (1993), 301--308. (with M. Mori)
  3. A robust double exponential formula for Fourier type integrals, J. Comput. Appl. Math., 112 (1999), 229--241. (with M. Mori)
  4. A Continuous Euler Transformation and its Application to the Fourier Transform of a Slowly Decaying Function, J. Comput. Appl. Math., 130 (2001), 259--270.
  5. A Generalization of the Continuous Euler Transformation and its Application to Numerical Quadrature, J. Comput. Appl. Math., 157 (2003), 251-259.
  6. 二重指数関数型数値積分公式の収束判定法の改良, 日本応用数理学会論文誌, 13 (2003), 225-230.
  7. 連続Euler変換による二次元振動積分の計算法, 応用数学合同研究集会報告集, 龍谷大学(2005), 149-152.
  8. A Double Exponential Formula for the Fourier Transforms, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 41 (2005), 971-977.
  9. An IMT-type quadrature formula with the same asymptotic performance as the DE formula, J. Comput. Appl. Math., 213 (2008), 232-239.
  10. 連続オイラー変換による超関数の直接計算, 雑誌「数学」,岩波書店,2009年61巻3号.
  11. 二重指数関数型変換を用いた様々な積分変換の計算法, 日本応用数理学会論文誌,Vol.19, No.1, (2009), 73-79.
  12. Fast computation of Goursat's infinite integral with very high accuracy, J. Comput. Appl. Math., 249, (2013), 1--8.

助教 勝股 審也 (理論計算機科学の研究)
 計算機科学の一分野にプログラミング言語の意味論がある。これはプログラミング言語が供える様々な機構を数学的および論理学的にモデル化して調べ,得られた知見を実際の言語の設計や改良に還元する研究分野である。この分野において以下の研究を行ってきた。
エフェクトシステムの意味論 プログラムの最適化や安全性の検証を行う上で必要不可欠なのがプログラムの挙動の静的な分析である。特にプログラムが引き起こす入出力やメモリのアクセス,非決定的選択といった副作用の分析には,エフェクトシステムと呼ばれる型理論的なアプローチが広く用いられている。現在はモナドに類似した構造である次数付きモナドに関心がある。[7]では一般的なエフェクトシステムの圏論的意味論を次数付きモナドを用いてを与えた。また,次数付きモナドに対する Kleisli 圏と Eilenberg-Moore 圏の構成を東京大学の藤井氏とパリ・ディドロ大学の Melliès 氏との共同研究[8]で与えた。
ラムダ計算の部分モデルの構成 プログラミング言語の性質を調べることの多くは,「プログラムの解釈がある性質を満たす」ことを示す問題に帰着される。この問題を解くには,その性質を満たす部分モデルの存在を示せばよく,特にラムダ計算では論理関係と呼ばれる手法が頻繁に用いられてきた。論理関係はラムダ計算の型の構造に依存して定義されるため,90 年代に入り,ラムダ計算をモナド型で拡張してプログラミング言語の持つ様々な機構を表現することが提案されると,モナド型に対する論理関係の定義が様々な研究で問題となった。
 これに対し,[1]で意味論的 TT-lifting というモナドのための論理関係の構成法を提案した。この構成法の特徴はパラメータを変える事で様々な論理関係を導く事ができる柔軟さにある。この柔軟さを応用し,[5]で,値呼び関数型プログラミング言語の二つのモナド的意味論の間に大域的な関係が成立することを示すための十分条件を与えた。この結果は幅広いクラスの表示的意味論に対して適用でき,副作用を持つ関数型プログラミング言語の意味論の比較や,安全性の検証に有用である。
プログラム変換 関数型プログラミングに関連する話題として,融合変換の研究を行った。累積変数付きの関数の融合変換を再帰的定義を用いて行う手法は属性文法の descriptional composition という手法を背景としていることが知られている。[3]の研究後,これらの融合変換と属性文法の両者をシステマティックに分析,導出する枠組として,トレース付きモノイダル圏における属性文法の定式化を[2]で提案した。この定式化を押し進め,[4]では構文上の属性文法をトレースを保つある種の関手として,またそれらの descriptional composition を関手の合成として定式化できる事を示した。
  1. A Semantic Formulation of TT-lifting and Logical Predicates for Computational Metalanguage. In Proc. CSL 2005, LNCS, 3634 (2005), 87-102.
  2. Attribute Grammars and Categorical Semantics. In Proc. ICALP 2008, Part II, LNCS 5126, pp. 271-282.
  3. (Joint work with Susumu Nishimura) Algebraic Fusion of Functions with an Accumulating Parameter and Its Improvement. J. Functional Programming, 18, issue 5-6, pp. 781-819.
  4. Categorical Descriptional Composition. In Proc. APLAS 2010, LNCS 6461, pp.222-238.
  5. Relating Computational Effects by TT-Lifting. Information and Computation (Special issue on ICALP 2011), 222 (2013), pp. 228-246.
  6. (Joint work with Tetsuya Sato) Preorders on Monads and Coalgebraic Simulations. In Proc. FoSSaCS 2013, LNCS, 7794 (2013), pp. 145--160.
  7. Parametric Effect Monads and Semantics of Effect Systems. ACM SIGPLAN Notices - POPL '14, 49 (2014), issue 1, pp. 633-645.
  8. (Joint work with Soichiro Fujii and Paul-Andrè Melliès) Towards a Formal Theory of Graded Monads. In Proc. FoSSaCS 2016, LNCS, 9634 (2016), pp. 513-530.

助教  川ノ上 帆(代数幾何学の研究)
 代数幾何学,特に正標数の代数多様体の特異点解消について研究している。特異点解消は代数幾何学の重要な問題の一つである。標数 0 の体上で定義された代数多様体はいつでも特異点解消を持つ,というのが 1964 年の廣中平祐先生による大定理であるが,正標数の場合は特異点解消の存在は高々 3 次元までしか知られていない。私は任意標数の完全体上で定義された代数多様体の特異点解消を目指して Idealistic Filtration Program(IFP)を提唱し,Purdue 大学の松木謙二氏と共同で研究を進めている。IFP は Bierstone 氏 -Milman 氏,Villamayor 氏らによって簡易化された標数 0 の場合の特異点解消の構成的証明を正標数の場合にも通用するように翻訳することをその骨子とする。雛型となる標数 0 の場合の構成的証明は,代数多様体の各閉点に不変量を導入し,その最大軌跡を爆発するという方針で与えられる。この不変量の定義の際に鍵となる概念が,最大接触超曲面と呼ばれる非特異な超曲面であるが,正標数の場合は最大接触超曲面が常に存在するとは限らない。IFP においては,idealistic filtration という概念を導入してその構造を解析することで,先頭生成系と呼ばれる最大接触超曲面の代替物を導入する。先頭生成系は正標数においては必ずしも非特異な超曲面を与えるとは限らず,このことに由来する様々な困難が現れる。その内不変量の最大軌跡の非特異性,基本単位となる不変量の上半連続性などの比較的基本的な性質が保証されることを示し,基本的な概念の導入やその性質と共に IFP の基礎付けを与えたのが[1],[2]である。上記論文では基本単位となる不変量について議論しているが,実際の特異点解消で登場する不変量はこれらを複雑に組み合わせたものであり,IFP の設定下で機能させる為には様々の変更,調整が必要である。実際に機能する不変量を確立するため,現在は以下の二通りの方向から研究を進めている。一つの方向は本来想定していた対数微分飽和を相対微分飽和と呼ばれる特殊な微分によるより小さな飽和で置き換える方法である。この場合不変量の非増加性は保証されるが,最終状態の一つである単項型における非特異性が保証されず,更なる解析が必要となる。全空間三次元での埋め込み特異点解消については, Benito 氏 -Villamayor 氏による単項型の解析を簡易化して爆発で必ず減少する単項型用の不変量を定義し,IFP の枠組み下での再証明を与えた。この結果は初めての構成的な証明という意味で価値があり,技術的懸案の一つであった同伴改変の代数化と共に松木氏との共著として[3]にまとめた。当面の目標はこの手法を未解決の全空間四次元の場合に拡張することである。この単項型用の不変量は,巧妙に機能するがその意味付けは明らかではない。そこで高次元に拡張する為の指針を得るために,[3]と同じ状況下で単項型用の新しい不変量を導入した[6]。この不変量は,その後の処方箋が確立している緊密単項型と呼ばれる状況を単項型における最終状態の一つと捉え,緊密単項型への近さの尺度と古典的な剰余重複度を組み合わせることによって定義される。意味付けが明快で高次元への拡張に展望を与えること,[3]で導入した不変量の自然な解釈を与えること,都市伝説であった Moh の安定性と呼ばれる剰余重複度の制御を特殊な状況下ではあるが確立したことなどが長所である。もう一つの方向は技術的理由から一旦退けていた根基的飽和を組み込んだより大きな飽和を用いる方法である。この場合については単項型状態での非特異性が任意次元で成立することを証明した(IFP の概説と共に[4]に所収)。未だ肝心の不変量の非増加性を得るには至っていないが,IFP の哲学上は根基的飽和を含める方が自然なのでこの方針で進展を得る為に特異点解消のアルゴリズムを根基的飽和と両立するべく基礎から改造する試みを進めている。最後に,特異点解消とはやや趣きが異なるが超平面配置の自由性についても研究している。[5]においては 3 次元空間内の平面の中心的自由配置について 12 枚以下では全て再帰的自由であること及び 13 枚では再帰的自由でない例が存在することを示し,12 枚以下の中心的平面配置に関する寺尾予想の別証を与えた。
  1. H. Kawanoue. Toward resolution of singularities over a field of positive characteristic. Part I. Foundation of the program: the language of the idealistic filtration. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 43(3):819--909, 2007.
  2. H. Kawanoue and K. Matsuki. Toward resolution of singularities over a field of positive characteristic Part II. Basic invariants associated to the idealistic filtration and their properties. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 46(2), 359-422, 2010.
  3. H. Kawanoue and K. Matsuki. Resolution of singularities of an idealistic filtration in dimension 3 after Benito-Villamayor. Adv. Stud. Pure Math. (accepted)
  4. H. Kawanoue. Introduction to the Idealistic Filtration Program with emphasis on the radical saturation. Clay Math. Proc., 20, 285--317, 2014.
  5. T. Abe, M. Cuntz, H. Kawanoue and T. Nozawa. Non-recursive freeness and non-rigidity. Discrete Math., 339 (5):1430-1449, 2016.
  6. H. Kawanoue and K. Matsuki. A new strategy for resolution of singularities in the monomial case in positive characteristic. preprint, arXiv:1507.05195

助教 谷川 眞一 (離散数学・離散アルゴリズムの研究)
 離散幾何学における一研究課題であるグラフやリンケージの剛性に関してその組合せ的側面の研究を行なってきた。ユークリッド空間内に埋め込まれたグラフの各辺を棒材,各頂点を節点と捉えることでグラフの局所剛性や大域剛性を定義することが出来る。一般的な埋め込みに対する剛性は一般剛性と呼ばれており,Asimov-Roth(1978)によって一般局所剛性が,Gortler-Healy-Thurston(2010)によって一般大域剛性がグラフの性質であることが示されている。2次元の場合,Maxwellの条件によってグラフの一般局所剛性が組合せ的に特徴付けされることがLaman(1971)によって示されているが,3次元以上の場合においてはMaxwellの条件は十分ではなく,特に3次元一般剛性の組合せ的特徴付けは剛性理論における重要な未解決問題である。同様に大域剛性に対しては,2次元の場合Jackson-Jordán(2005)によるConnelly予想の肯定的解決によって組合せ的特徴付けが与えられているが,3次元以上は未解決である。この一般剛性/大域剛性の組合せ的特徴付け問題を解決することを目標として,これまで幾つかの部分的成果をあげてきた。また一般性の仮定が成立たない対称な埋め込みのリンケージに対する理論展開や関連するアルゴリズム設計問題に対しても一定の成果を得ている。
 TayとWhiteleyは,分子グラフと呼ばれる特殊なグラフクラスに対しMaxwellの条件が3次元一般剛性の必要十分条件であると予想した。[1]では,この予想を肯定的に解決した。この主張から導かれる高速かつ頑健な分子構造の自由度計算アルゴリズムは,幾つかのタンパク質の挙動解析ソフトウェアに組み込まれており,本結果はこれらの応用研究に対する理論的妥当性を与えている。
 [4]ではグラフの大域剛性の組合せ的特徴付け問題に取り組み,大域剛グラフを逐次的に構成するための新たな手法を提案し,局所剛性に対する頂点冗長性が大域剛性の十分条件であることを証明した。またこの手法を利用することで Jackson-Jordán の 2 次元大域剛性定理や Frank-Jiang の k-chain に関する大域剛性予想が容易に導かれる事を示した。さらに論文[5]では,3 次元大域剛性に関する Connelly 予想の反例を与えた。我々の例は,剛体ヒンジ構造と呼ばれる構造モデルの大域剛性特徴づけから得られたものである。Connelly-Jordán-Whiteley(2013)は剛体ヒンジ構造の大域剛性の十分条件を予想したが,その条件が実は必要十分で成立することを証明した。
 [2,3,9,6]ではゼオライト等の結晶構造の振動や対称性の高いメカニズムに潜む組合せ的性質の解明に向け,既存の有限グラフに対する理論の拡張を行った。Malestein-Theran や Ross は,周期グラフに対する群ラベル付き商グラフを考える事で Laman の 2 次元一般剛性定理を 2 次元周期グラフに拡張可能である事を証明している。この成果に触発され[3,9]では,群ラベル付き商グラフ上の新たなマトロイド構成法を構築し,既存の成果や幾つかの未解決問題がそのマトロイドの表現理論から従う事を示した。
 論文[8]では,ユークリッド空間と球面空間での剛性の等価性に着目し,d 次元剛性と d + 1 次元剛性を補完する剛性概念を導入し,Laman の 2 次元剛性定理の拡張を行った。また論文[7]では,剛性判定問題と行列補完問題の類似性を利用して,階数制限付き行列補完問題の解の唯一性を解析し,組合せ的十分条件の導出を行った。
 論文[10]では,行列補完問題の解空間の構造を解析した。距離多面体の面構造と最大階数補完・最小階数補完の関係を明らかにした。さらに行列補完問題の解の唯一性と球面空間での剛性の関係から,odd-K4 をマイナーとして含まない球テンセグリティ構造の普遍剛性の特徴づけを導いた。さらに Connelly-Gortler(2015)によって指摘された普遍剛性の特徴づけと半正定値計画問題の面的縮小法の関係に着目し,論文[11]では行列補完問題における面的縮小回数の組合せ的特徴づけを行った。
  1. A proof of the molecular conjecture, Discrete Comput. Geom., 45 (2011), 647--700. (with N. Katoh)
  2. Infinitesimal rigidity of symmetric frameworks, SIAM J. Discrete Math., 29 (2015), 1259-1286.(with B. Schulze)
  3. Matroids of gain graphs in applied discrete geometry. Trans. Amer. Math. Soc., 367 (2015), 8597-8641.
  4. Sufficient conditions for globally rigidity of graphs, J. Comb. Theory Ser. B, 113 (2015), 123-140.
  5. Generic global rigidity of body-hinge frameworks, J. Comb. Theory Ser. B, 117 (2016), 59-76. (with T. Jordán and C. Király)
  6. Gain-sparsity and symmetry-forced rigidity in the plane. Discrete Comput. Geom., 55 (2016), 314-372. (with T. Jordán and V. Kaszanitzky)
  7. Unique low rank completability of partially filled matrices, EGRES Technical Reports, TR-2015-08, (2015). (with B. Jackson and T. Jordán)
  8. Rigidity of frameworks on expanding sphere, arXiv:1501.01391, (2015). (with A. Nixon, B. Schulze and W. Whiteley)
  9. Count matroids of group-labeled graphs, arXiv:1507.01259, (2015). (with Rintaro Ikeshita)
  10. The signed positive semidefinite matrix completion problem for odd-K4 minor free signed graphs, arXiv:1603.08370, (2016)
  11. Singularity degree of the positive semidefinite matrix completion problem, arXiv:1603.09586, (2016)

助教 永田 雅嗣 (位相幾何・多様体論の研究)
 古典的な surgery 理論は群の自由作用の分類について飛躍的な成果をおさめた。surgery 完全系列と呼ばれる道具を用いて,幾何学的対象を特性類の計算から求まる対象である「法写像類群」と,二次形式の線型代数から求まる対象である「L-群」とに帰着させる方法であった。
 群作用が自由作用でない,より一般の場合を考えれば問題設定は複雑になる。「同変 surgery 完全系列」の構成は,各部において様相の異なる作用を扱うために開発された道具であった。群の位数が奇数の場合には,PL 局所線形な多様体について G-transversality が stable に成立するため自由作用の場合と類似の形の surgery 完全系列が成立し,これを用いて G- 多様体の分類が特性類の計算に帰着できるが,偶数位数の群については新たな困難が伴う。
 同変構造群の幾何学的性質を知るためには surgery 構造群に対しても Mackey構造のような代数的構造の構成が望ましい。特別な場合には同変 surgery 完全系列と可換な Mackey 構造を同変構造群に与えることができたが,一般の状況でも「同変向き付け」を利用した一般化が可能と思われる。
 同変構造群の幾何学的性質を知るためには surgery 構造群に対しても Mackey 構造のような代数的構造の構成が望ましい。特別な場合には同変 surgery 完全系列と可換な Mackey 構造を同変構造群に与えることができたが,一般の状況でも「同変向き付け」を利用した一般化が可能と思われる。
 具体的な分類問題に結び付ける立場からは,「同変(equivariant)」な分類に関する情報よりも「等変(isovariant)」な分類に関する情報の方がはるかによく知られている。後者の方がより直接に代数的構造に結び付けることができるからで,さまざまの特性類を用いた結果が多くの人たちによって得られている。これを本来の幾何的立場すなわち同変構造と結び付けるためには,G- 多様体における「同変」な情報と「等変」な情報とを橋渡しする手掛かりが必要となる。群の作用が比較的単純な場合,とくに半自由な作用についてはいくつかの結果が得られているが,より一般的な群作用についての状況は極めて複雑でありより深い構造が存在していると考えられるので,その解明,特に偶数位数の群の作用の解明を目指して研究している。
 位相多様体の局所理論から発展した controlled topology の理論や,一般化された階層的手術(stratified surgery)の方法は,ともにこうした代数構造の記述のために有効な道具と思われる。古典的な幾何的手法にこれらの新しい代数化やカテゴリー論的な手法と結果を適用することによって,多様体の幾何構造の解明のための結果を出してゆきたい。  
  1. The Fixed-Point Homomorphism in Equivariant Surgery, 数理解析研究所講究録 1517, 2006年 10月, 44-55.
  2. On the G-Isovariance under the Gap Hypothesis, 数理解析研究所講究録 1569, 2007年 9月, 162-169.
  3. G-Isovariance and the Diagram Obstruction, 数理解析研究所講究録 1612, 2008 年 9 月, 181-188.
  4. Diagram Obstruction in a Gap Hypothesis Situation, 数理解析研究所講究録 1670, 2009 年 12 月, 156-171.
  5. Functoriality of isovariant structure sets and the gap hypothesis, 数理解析研究所講究録 1732, 2011 年 3 月, 126-140.

助教 疋田 辰之 (幾何学的表現論の研究)
 幾何学的表現論の文脈において,あるスキームの位相的なコホモロジーと別のスキーム上の連接層のコホモロジーを結びつけるような現象を見つけ,定式化および証明することを目標に研究を行っている。
 例えば A 型 rational Cherednik algebra(RCA)と呼ばれる代数の表現論は,Beilinson-Bernstein 型の局所化定理を通じてアフィン平面上の点の Hilbert スキームの代数幾何と結びついている。そして A 型 RCA のある有限次元既約表現は diagonal coinvariant のなす環の変形とみなすことができる。Haiman はdiagonal coinvariant のなす環が Hilbert スキーム上の具体的な連接層の大域切断の空間と書けることを示し, それを用いて diagonal coinvariant の2変数Frobenius 級数の公式を与えた。
 一方で RCA と非常に近い代数である trigonometric double affine Hecke algebra は Steinberg 多様体の affine 版の同変 Borel-Moore ホモロジー(と思いたいもの)に convolution で積を入れたものとして実現することもでき,それを用いると例えば A 型 RCA の有限次元既約表現はある A 型 affine Springer fiber の Borel-Moore ホモロジーに実現することができる。[1]では affine Springer fiber のホモロジーにある filtration を構成し, その随伴商の2変数 Frobenius 級数が shuffle 予想と呼ばれる組み合わせ論の問題に現れる多項式と一致することを示した。この予想は diagonal coinvariant の 2 変数 Frobenius 級数の単項多項式展開の公式に関する予想であるが,その公式の片側は既に述べたように Hilbert スキーム上の連接層のコホモロジーを用いて記述されており,[1]はそのもう片側が affine Springer fiber の位相的なコホモロジーを用いて解釈できることを示している。そこで Hilbert スキームの幾何と affine Springer fiber の幾何を何らかの意味で結びつけることで shuffle 予想を理解できないか,というのが基本的な問題意識である。この予想自体は最近 Carlsson-Mellit により証明されているが,幾何学的に理解することができれば shuffle 予想のような非自明な等式をより広く一般化できるのではないかと期待している。
 [2]では上の問題意識と関係して,conical symplectic resolution のコホモロジー環が別の conical symplectic resolution(symplectic dual と呼ばれる)のアフィン化のあるトーラス作用による固定点スキームの座標環と次数付き環として同型になるだろうという予想を定式化し,それを A 型 S3 多様体やハイパートーリック多様体,アフィン平面上の点の Hilbert スキームの場合に証明した。最近ではこの予想を同変量子コホモロジー環の記述に一般化できないかと考えている。
  1. Affine Springer fibers of type A and combinatorics of diagonal coinvariants, Adv. Math., 263 (2014), 88-122.
  2. An algebro-geometric realization of the cohomology ring of Hilbert scheme of points in the affine plane, Int. Math. Res. Not. (2016)
 
助教 藤田 健人 (代数幾何学の研究)
 代数幾何学,特にファノ多様体の研究を主にしている。
 ファノ多様体とは反標準因子が豊富な非特異射影複素代数多様体のことで,極小モデル理論やケーラー幾何等で重要な対象である。私はファノ多様体の双有理的な側面に興味がある。具体的には,(1)ファノ多様体に関する向井予想,(2)極小モデル理論,(3)対数的デルペッツォ曲面の分類,そして(4)ファノ多様体の K 安定性,の研究を進めてきた。現在は主として(4)に取り組んでいる。
 (1) 1988 年に向井茂氏により提示された向井予想とは,ファノ多様体のピカール数と指数との関連性についての予想である。私は[1,2,4]にて,主張を可約化,対数化するなどして,この予想をより一般化したうえで考察した。[1]では「向井予想が従えば一つ次元の大きい対数的向井予想が従う」という,帰納的に予想を考える上での第一段階に当たる結果を得た。
 (2) [2]での経験をもとに ,[3]にて可約な代数多様体上の半端末モデルの存在を証明した。これは,正規代数曲面の極小特異点解消の存在という有名な事実の,可約かつ高次元版に相当する。
 (3) 商特異点を許した 2 次元ファノ多様体のことを対数的デルペッツォ曲面という。私は安武和範氏との共同研究[8]で,任意指数の対数的デルペッツォ曲面の分類のアルゴリズムを与え,更に指数 3 での全リストを与えることに成功した。ここでのアイデアは中山昇氏の指数 2 の分類方法を発展させることで得られた。またこの手法をもとに,[6, 7]にて様々な特殊な対数的デルペッツォ曲面を分類した。
 (4) ファノ多様体上にケーラー・アインシュタイン計量が入ることと K 安定であることは同値である。この事実は最近 Chen-Donaldson-Sun 三氏及びTian 氏により独立に証明された。しかしながら K 安定性の定義は複雑で,判定が容易ではない。私は[5]にて,Berman 氏によって導入された幾分分かりやすい「Gibbs 安定性」が,K 安定性の十分条件であることを証明した。ここで得られた着想をもとに,私は K 安定なファノ多様体の体積の最良上界を与えることに成功した (論文は投稿中)。更にその議論を発展させ,「付値安定性」なる安定性条件と K 安定が同値であるということを, Li 氏と独立に証明した(論文は投稿中)。この付値安定性は体積函数を使って定義され,極小モデル理論的に自然な条件である。将来的にはこの付値安定性がより洗練され,全ての 3次元ファノ多様体の K 安定性が具体的に判定可能になるような理論が構築できることを期待している。
  1. The Mukai conjecture for log Fano manifolds, Cent. Eur. J. Math., 12 (2014), 14-27.
  2. Simple normal crossing Fano varieties and log Fano manifolds, Nagoya Math. J., 214 (2014), 95-123.
  3. Semi-terminal modifications of demi-normal pairs, Int. Math. Res. Not., (2015), 13653-13668.
  4. Around the Mukai conjecture for Fano manifolds, Eur. J. Math., 2 (2016), 120- 139.
  5. On Berman-Gibbs stability and K-stability of Q-Fano varieties, Compos. Math., 152 (2016), 288-298.
  6. Log del Pezzo surfaces with not small fractional indices, Math. Nachr.,289 (2016), 34-59.
  7. Log del Pezzo surfaces with large volumes, Kyushu J. Math., 70 (2016), 131- 147.
  8. Classification of log del Pezzo surfaces of index three, accepted by J. Math. Soc. Japan. (with K. Yasutake)

助教 Helmke, Stefan (Algebraic Geometry)
 As I had planned for the preceding academic year and explained in my last report, I worked on the final details of a possible proof of Fujita's Conjecture on global generation of adjoint linear systems [1-4]. I could solve all the remaining problems except the following. In order to construct a global section of an algebraic line bundle \mathcal{L} on a projective variety X which is not vanishing at a closed point P \in X, one only needs to find a global section of the line bundle \mathcal{L}^n \otimes \omega_X^{-n} which is singular enough at P, but not too singular in X \ {P}, where \omega_X denotes the canonical sheaf and n is a positive integer. This idea goes back to the Italian school of algebraic geometry around 1940, where it was used in the case when X is an algebraic surface of general type, \mathcal{L}=\omega_X and n is a very specific small integer. Then, 25 years later the techniques where considerably improved with the help of cohomology theory and in particular Kodaira's Vanishing Theorem. In the 1990's there were strong efforts to generalize these results to higher dimensions. But in contrast to the two dimensional case, the integer n could now be arbitrary large. For the procedures used at that time, this caused no essential problem since one could always increase n as desired, but the results obtained in this way were not satisfying. However, with my new techniques increasing n is impossible since then the procedure may never come to an end. Therefore, one needs an a priori estimate for n. But unfortunately, the technique I designated to this problem and which was successful for the corresponding local problem failed in the global situation. However, during this rather time consuming course or research, I developed another technique, which is more promising. In fact, at least in low dimensions the argument already works and there is good experimental evidence that this will also work in all dimensions. So the new plan is now to spend some more time on these new techniques and in case this would fail again, then to publish the already obtained results [5] independently, without the Fujita Conjecture.
  1. S. Helmke, On Fujita's conjecture, Duke Math. J. 88 (1997), 201--216.
  2. S. Helmke, On global generation of adjoint linear systems, Math. Ann. 313 (1999), 635--652.
  3. S. Helmke, The base point free theorem and the Fujita conjecture, Vanishing theorems and effective results in algebraic geometry, ICTP Lecture Notes 6, Trieste, 2001, 215--248.
  4. S. Helmke, Multiplier ideals and basepoint freeness, Oberwolfach reports 1, 2004, 1137--1139.
  5. S. Helmke, New Combinatorial Methods in Algebraic Geometry, in preparation.

助教 星野 直彦 (プログラミング意味論の研究)
 プログラミング言語の意味論,特に相互作用の幾何学(Geometry of Interaction,GoI)と実現可能性解釈の研究を行っている。GoIはGirardにより始められた線型論理の意味論の一つで線型論理のカット除去に関する研究がその端緒である。Curry-Howard同型を通してGoIを多相型線型ラムダ計算の意味論と見なすことができ,さらにプログラミング言語の重要な機構である不動点演算子のGoI解釈について研究がなされている。GoI意味論の特色は,プログラミング言語の解釈がその言語の実装を与えていること,1990年代後半から今に至るまで種々のプログラミング言語の完全抽象性問題を解決したゲーム意味論とよく似た構造を持っていること,Abramsky, Haghverdi, Scottらによって整備された圏論的枠組を持つことが挙げられる。与えれらたプログラミング言語に対する完全抽象性を満たすモデルを与えることはプログラム意味論の研究において1980年代から取り組まれてきた問題であり,その動機はプログラミング言語の計算可能性を特徴づけるという哲学的問題意識とプログラミング言語の検証への応用の2つ挙げられる。実際ゲーム意味論を用いたプログラミング言語の観測的同値を検証する研究がある。ゲーム意味論は完全抽象性問題に対し多くの結果をもたらした強力な意味論である一方で,ゲーム意味論の定義は初等的であり,また,与えられた言語に対して完全抽象性を満たすゲーム意味論があるか,どのようにそれを定義すべきかという問題は与えられた言語ごとに取り組まれている。こういった状況に対し,GoIの圏論的枠組みを通してゲーム意味論を捉えなおすことで新たな「ゲーム意味論」を構成することを目指している。
 しかしながらGoI意味論の研究においては不動転演算子の解釈をどのように与えるべきかという問題すら十分に議論されていなかった。[2]において星野は標準的なGoI解釈は不動転演算子の解釈の取り方によらず多相型線型ラムダ計算の妥当(adequate)な意味論とはならないことを観察し,実現可能性解釈を用いた圏論的モデルの構成から多相型線型ラムダ計算の為の妥当なGoI意味論を与えた。最近ではGoIの圏論的枠組みがもたらす一般性に着目することで量子的データを扱う量子ラムダ計算や計算効果をもつラムダ計算の為のGoI解釈を統一的な手法により与えることを行った。種々の計算効果に対し統一的な形で意味論を提供できることはゲーム意味論にはないGoIの強みの一例でありゲーム意味論の成果を[3], [6]の結果に応用することによる体系的なプログラム検証手法の構築を考えている。
  1. Naohiko Hoshino. Linear Realizability. In Proceedings of CSL 2007, volume 4646 of LNCS, pages 420-434, Springer.
  2. Naohiko Hoshino. A Modified GoI Interpretation for a Linear Functional Programming Language and its Adequacy. In Proceedings of FoSSaCS 2011, volume 6604 of LNCS, pages 320-334, Springer.
  3. Ichiro Hasuo and Naohiko Hoshino. Semantics of Higher-Order Quantum Computation via Geometry of Interaction. In Proceedings of LICS 2011, page 237-246, IEEE Computer Society.
  4. Naohiko Hoshino. A Representation Theorem for Unique Decomposition Categories. In Proceedings of MFPS 2012. ENTCS, volume 286, pages 213--227.
  5. Naohiko Hoshino. Step Indexed Realizability Semantics for a Call-by-Value Language Based on Basic Combinatorial Objects. In Proceedings of LICS 2012, pages 385--394, IEEE Computer Society.
  6. Naohiko Hoshino, Koko Muroya, Ichiro Hasuo. Memoryful Geometry of Interaction: From Coalgebraic Components to Algebraic Effects. In Proceedings of LICS 2014, article 52.
  7. Koko Muroya, Naohiko Hoshino, Ichiro Hasuo. Memoryful Geometry of Interaction II: Recursion and Adequacy. In Proceedings of POPL 2016, pages 748-760.

助教 横田 巧 (微分幾何学の研究)
 私は微分幾何学,その中でも主にリッチ流(Ricci flow)と Alexandrov 空間の幾何学について研究しています。リッチ流とは R. Hamilton が 1982 年の論文で導入したある発展型偏微分方程式を解くことによりリーマン多様体を変形する手法のことで,G. Perelman が 2002〜03 年に発表した 3 次元ポアンカレ予想の証明に使われたことでも注目を集めました。私は特にリッチ流の幾何学的側面に興味を持って研究しています。
 論文[1-4]ではコンパクトとは限らない多様体上のリッチ流,特に古代解を扱っています。古代解とは,過去に無限時間存在するリッチ流方程式の解のことで,リッチ平坦計量や縮小リッチソリトン等を含み,リッチ流の特異点のモデルとなる重要な概念です。コンパクト多様体上のリッチ流は最大値原理により様々な非負曲率条件を保つことが知られていますが,一般に非コンパクト多様体上では最大値原理が成り立たないことがあり得ます。論文[4]では,非コンパクト多様体上で最大値原理的議論を用いて,曲率がピンチされた完備な古代解とリッチソリトンに関する剛性定理を証明しました。
 論文[5-10]では Alexandrov 空間などの距離空間を扱っています。曲率が下に有界な Alexandrov 空間とは,その曲率がある定数以上であることを意味する不等式を満たす距離空間のことです。例えば,断面曲率が下に一様に有界なリーマン多様体の列の極限空間がそのような空間の例となり,先の G. Perelman の証明にも現れます。
 最近は,縁あって CAT(1)- 空間について研究しました。CAT(κ)- 空間とは,Alexandrov 空間とは逆に,その曲率がある実数κ以下であることを意味する不等式を満たす距離空間のことで,三人の幾何学者の頭文字を並べてそのように呼ばれています。プレプリント[9,10]では,2 以上の実数 p に対して,半径がπ/2 未満の完備な CAT(1)- 空間上の任意の確率測度の p 重心の一意存在を証明しました。これは CAT(0)- 空間に対してよく知られた事実の CAT(1)- 空間への拡張です。また,この p 重心を用いて,半径の小さい完備な CAT(1)- 空間がバナッハ空間の Banach-Saks 性に似た性質を持つ事も証明しました。
  1. Curvature integrals under the Ricci flow on surfaces, Geom. Dedicata, 133 (2008), 169--179.
  2. Perelman's reduced volume and a gap theorem for the Ricci flow, Comm. Anal. Geom., 17, No.2 (2009), 227--263. addendum, Comm. Anal. Geom., 20, No.5 (2012), 949--955.
  3. On the asymptotic reduced volume of the Ricci flow, Ann. Global Anal. Geom., 37, No.3 (2010), 263--274.
  4. Complete ancient solutions to the Ricci flow with pinched curvature, Comm. Anal. Geom., Accepted.
  5. A rigidity theorem in Alexandrov spaces with lower curvature bound, Math. Annalen, 353, No. 2 (2012), 305--331.
  6. (joint with A. Takatsu) Cone structure of L^2-Wasserstein spaces, J. Topol. Anal., 4, 2 (2012), 237--253.
  7. On the filling radius of positively curved Alexandrov spaces, Math. Z., 273, 1-2 (2013), 161--171.
  8. On the spread of positively curved Alexandrov spaces, Math. Z. 277(1-2), 2014, 293--304.
  9. Convex functions and barycenters on CAT(1)-spaces of small radii, J. Math. Soc. Japan, Accepted.
  10. Convex functions and p-barycenter on CAT(1)-spaces of small radii, Preprint, 2016.