研究活動

教授  大槻 知忠 (位相幾何学)
 結び目と3次元多様体の不変量について研究している。
 1980年代以来,Chern-Simons 理論にもとづいて 膨大な数の不変量(量子不変量)が発見され,不変量の研究,すなわち, 結び目の集合と3次元多様体の集合の研究という新しい研究領域がもたらされた。 この20年間のこの分野の研究の主な動機は Chern-Simons 場の理論の相関関数をトポロジーの立場から理解することにあっ たが, この分野に関してこの20年間になされたさまざまな研究により その作業はほぼ完了し,今後のこの分野の研究は, そのようにして得られた膨大な数の不変量を研究の基礎として, さまざまな新しい研究の方向性を創出するべき段階にある。 この分野の今後のよりよい方向性を考える,という観点から,筆者は 未解決問題集[9,10]を編集したが, 未解決問題の中でも「同変不変量」「体積予想」「数論との関連」 などが今後の発展のために重要ではないかと筆者は考えている。
 「体積予想」は,双曲結び目のKashaev不変量 (この不変量は1のN乗根における結び目の色つきJones多項式に等しい) の極限に双曲体積が現れることを主張する予想である。 1970年代にはじまった双曲幾何の研究と 1980年代にはじまった量子トポロジーの研究は,それぞれ別々に発展してきたが, 体積予想はこれらの研究領域を結び付ける重要な予想である。 最近,筆者はKashaev不変量の漸近展開を 比較的簡単ないくつかの双曲結び目について具体的に計算し, それらの場合について体積予想が成り立つことを確認した。 それらの場合について,その漸近挙動は, 主要項が双曲体積で記述され,準古典極限が Reidemeister torsion で記述され, さらに高次の部分が未知のべき級数不変量になっているようである。 これらの不変量について,さらに詳しく調べることをめざす。 また,筆者は比較的簡単な双曲結び目について, その双曲構造方程式の有限体での解の個数を無限個の有限体で計算し, 合同ゼータ関数を求めた。これらの研究を発展させることをめざす。
  1. The perturbative SO(3) invariant of rational homology 3-spheres recovers from the universal perturbative invariant, Topology 39 (2000) 1103--1135.
  2. A cabling formula for the 2-loop polynomial of knots, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 40 (2004) 949--971.
  3. On the 2-loop polynomial of knots, Geometry and Topology 11 (2007) 1357--1475.
  4. Invariants of knots derived from equivariant linking matrices of their surgery presentations, Internat. J. Math. 20 (2009) 883--913.
  5. Perturbative invariants of 3-manifolds with the first Betti number 1, Geometry and Topology 14 (2010) 1993--2045.
  6. (with Thang T. Q. Le, Takahito Kuriya) The perturbative invariants of rational homology 3-spheres can be recovered from the LMO invariant, to appear in Journal of Topology.
  7. On the asymptotic expansion of the Kashaev invariant of the $5_2$ knot}, preprint.
  8. Quantum invariants, --- A study of knots, 3-manifolds, and their sets, Series on Knots and Everything, 29. World Scientific Publishing Co., Inc., 2002.
  9. T. Ohtsuki (ed.), Problems on invariants of knots and 3-manifolds, Invariants of knots and 3-manifolds (Kyoto 2001), 377--572, Geom. Topol. Monogr. 4, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2004.
  10. T. Ohtsuki (ed.), Problems on Low-dimensional Topology 2011, RIMS Kokyuroku 1766 (2011) 102--121.

教授 岡本 久 (非線形力学の数値解析的研究)
 非線型微分方程式で記述される現象では,その複雑さ故に様々な手法が要求さ れる。中でも数値的手法,即ち,コンピュータを使って大規模かつ精密な近似 解を構成し,それに基づいて現象の解析を行なうことの有用性は今では広く認 識されている。数値的手法は,流体などの連続体の偏微分方程式の研究ではと くに盛んであり,実社会からの強い要請もあって,極めて多くの研究者が競い 合っている分野である。
 ところが,主に次の二つの理由によって,数学的な研究がスーパーコンピュー ターの発展と同じ位望まれているのである。ひとつには,スーパーコンピュー ターですら解けない巨大な問題が存在することである。このような問題に対し ては理論的考察やモデルの構築なしに,単にスーパーコンピューターを走らせ ても無意味である。ふたつには,より大規模な計算が進むにつれて,より深い 問題が新たに発見されることである。このような状況では新しい数学的なアイ デアが要求されるので,``インプットデータを与えて計算機を走らせたら全て 解決''という(一部に標傍されているような)事態は決して来ないのである。 このような現状に鑑み,流体力学に現れる非線型現象の解明のため,アルゴリ ズムの解析,実際の計算,及びその理論的解釈を総合的に行なっている。最近 は精度保証計算にも興味がある。
  1. A study of bifurcation of Kolmogorov flows with an emphasis on the singular limit, Proc. Int Congress Math., III (1998), 523-532.
  2. 岡本 久,非線型力学,岩波書店 岩波講座「応用数学」(1995), 改訂版 (1998) (藤井 宏との共著). (171ページ)
  3. 岡本 久,関数解析,岩波書店 岩波講座「現代数学の基礎」(1997), (中村 周との共著). (再版2006年) (274ページ)
  4. The Mathematical Theory of Bifurcation of Permanent Progressive Water- Waves, World Scientific, 2001. (with M. Shoji)(229ページ)
  5. A three-dimensional autonomous system with unbounded `bending' solutions, Physica D., 164 (2002), 168-186. (with A. D. D. Craik)
  6. Numerical computation of water and solitary waves by the double exponential transform, J. Comp. Appl. Math., 152 (2003), 229--241. (with K. Kobayashi and J. Zhu)
  7. Blow-up solutions appearing in the vorticity dynamics with linear strain, J. Math. Fluid Mech., 6 (2004), 157--168. (with K.-I. Nakamura and H. Yagisita)
  8. Uniqueness of the exact solutions of the Navier-Stokes equations having null nonlinearity, Proc. R. Soc. Edinburgh, 136 (2006), 1303-1315. (with S.C. Kim)
  9. On a generalization of the Constantin-Lax-Majda equation, Nonlinearity, 21 (2008), 2447-2461.
  10. ナヴィエ−ストークス方程式の数理, 東京大学出版会, (2009) (365ページ).
  11. S.-C. Kim and H. Okamoto, Vortices of large scale appearing in the 2D stationary Navier-Stokes equations at large Reynolds numbers, Japan J. Indust. Appl. Math., 27 (2010), 47--71.

教授  小澤 登高(作用素環と離散群の研究)
 私は作用素環と離散群の関わりを研究している。(離散)群とは, 任意の対象の対称性を記述するための数学言語である。例えば, ある結晶が与えられたとき,その結晶構造を変えない変換(回転操作, 鏡映操作,反転操作など)全体を考えたものが群である。 人間には線形的な構造の方が理解しやすいので, 群の各要素を適当な(線形)空間上の作用素とみなして取り扱うことにする。 さらに,そうした作用素全体が生成する代数系を考え, 適当な位相で完備化すれば作用素環と呼ばれる対象ができる。 (考える位相の違いにより, $\mathrm{C}^*$環とvon Neumann環の二種類が存在する。) 位相の存在により,群論のような代数的な問題に対しても 解析的なテクニックを使えるところが作用素環論の特徴である。 作用素環の研究はそもそもは, John von Neumannが量子力学の数学的取り扱いを目指して始めたものであったが, 現在では数理物理だけでなく,幾何学,群論, エルゴード理論などに幅広い応用がある。 私の研究は双方向的で,これらの分野への作用素環論の応用と その逆を同時に扱っている。
 無限離散群を函数解析的に取り扱う際には,大抵, 適当な意味で有限近似をする必要がある。 中でも最も重要な概念が「従順性(amenability)」である。 実際,離散群一般に対して函数解析と関連した問題を考えるとき, 従順な群では振る舞いが礼儀正しいが, そうでない群はひどくワイルドであるという 極端なdichotomyに出会うことがしばしばある。 従順群のクラスは可解群や劣指数的増大群を全て含み, 部分群,商群,群拡大などの操作で不変なそれなりに大きいクラスであるが, 非可換な自由群などの,従順ではないが重要な群も多く存在する。 そこで,従順性を弱めた概念を考えて, より広い対象を扱おうというのが私の研究テーマのひとつである。
 そのような概念のひとつに 従順性を大幅に緩めた「完全性(exactness)」がある。 私は論文[1]において,完全性の便利な特徴づけを得て, それまで別々に行われていた先行研究を統合し, どのような群が完全であるかを調べた。 全ての群は完全であるという予想が当時あったが,この研究の結果, よく知られている群のほとんどが実際に完全であること, しかし世の中には完全でない群も存在することが判明した。 完全性は作用素環論における群の取り扱いにおいて重要な他, 幾何学における重要予想である強Novikov予想を導くことが知られている。 従って,どのような群が完全であるかを調べることは重要である。 完全性の研究は現在も続けているが,既に一段落しており, 主要な結果は文献[3,5]に纏めてある。
 完全群は距離空間としても特徴付けられる。 群$\Gamma$が有限生成なら,生成系$S$に関する語長$\ell$を $\ell(x)=\min\{ n : x\in (S\cup S^{-1})^n \}$で定義する。 このとき$d(x,y)=\ell(x^{-1}y)$は左不変な距離となる。 一般に,勝手な左不変距離$d$で任意の有界集合が有限集合となる ようなものを考える。このような条件を満たす距離$d$と$d'$は 次の意味で同値である: $d(x_n,y_n)\to\infty\Leftrightarrow d'(x_n,y_n)\to\infty$。 従って,各群$\Gamma$に対して,距離空間$(\Gamma,d)$の同値類が ただひとつ定まる。 Gromovはこのような距離空間の同値類を「粗い距離空間」と名付け, その研究を推進した。 上記の同値条件は名前の通り非常に粗いと思われるかもしれないが, 実は完全性を含め群$\Gamma$のいろいろな性質が粗い距離空間$(\Gamma,d)$に 反映されるのである。 粗い距離空間に対する指数理論(作用素環を利用する)や, 粗い幾何学も存在して,興味深い発展を遂げている。 こうした視点に立った私の最近の結果として, 群$\Gamma=\langle S \rangle$が双曲的ならば, 半群$\phi_t(x)=\exp(-t\ell(x))$が群環上の 乗数作用素として一様有界になるというものがある([4])。 この半群は双曲群上の調和解析においてFejér核の代わりとなるもので, この定理は双曲群は従順ではないものの, 完全性よりは強い良い性質を持つことを意味している。 実階数$1$のLie群の格子の一般化である双曲群とは対照的に, 実階数$2$以上のLie群の格子は変形に対する剛性を示し, 上記のような近似の性質は持たない([9])。 こうした結果は非可換調和解析のほか, 該当する群から出来る作用素環の研究にも使われる。
  1. N. Ozawa; Amenable actions and exactness for discrete groups. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 330 (2000), 691--695.
  2. N. Ozawa; Solid von Neumann algebras. Acta Math., 192 (2004), 111--117.
  3. N. Ozawa; Amenable Actions And Applications. International Congress of Mathematicians, Vol. II, 1563--1580, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006.
  4. N. Ozawa; Weak amenability of hyperbolic groups. Groups Geom. Dyn., 2 (2008), 271--280.
  5. N. P. Brown and N. Ozawa; C^*-algebras and finite-dimensional approximations. Graduate Studies in Mathematics, 88. American Mathematical Society, 2008, 509 pp.
  6. N. Ozawa and S. Popa; On a class of II_1 factors with at most one Cartan subalgebra. Ann. of Math. (2), 172 (2010), 713--749.
  7. N. Monod and N. Ozawa; The Dixmier problem, lamplighters and Burnside groups. J. Funct. Anal., 258 (2010), 255--259.
  8. N. Ozawa; Quasi-homomorphism rigidity with noncommutative targets. J. Reine Angew. Math., 655 (2011), 89--104.
  9. N. Ozawa; Examples of groups which are not weakly amenable. Kyoto J. Math., 52 (2012), 333--344.
  10. M. Burger, N. Ozawa and A. Thom; On Ulam stability. Israel J. Math., to appear.

教授 小野 薫 (微分幾何学・位相幾何学の研究)
 空間の幾何構造,特に symplectic 構造,の幾何学の研究をしている。 Arnold は symplectic 幾何学が興味深い研究対象であることを数々の予想とともに指摘し, その後の研究に大きな影響を与えた。 1980 年頃に Conley-Zehnder は Hamilton 系の周期解の存在,個数の下からの 評価に関する Arnold の予想をトーラス上で証明した。 また,Gromov は(擬)正則曲線の方法を考案し,symplectic 幾何学の研究を大きく 進展させた。1980年代の半ば過ぎに Floer は Conley-Zehnder の変分法の枠組と正則曲線の方法を 結びつけて現在 Floer (co)homology と呼ばれる理論を創始した。技術的な困難を避けるために 条件はついていたが,新たな数学が切り開かれた。現在では,他の様々な設定でも Floer 理論が 研究され,symplectic 幾何に限らず,低次元トポロジーなどでも強力な道具となっている。
 私は,Hamilton 微分同相写像に対する Floer 理論を技術的条件なしで構成することを研究し, 先ず Floer の条件を弱めることができること [1],そのあと深谷賢治氏と一般の閉 symplectic 多様体上で 構成できること [4] を示し,Betti 数版の Arnold 予想を証明した。同様の議論で,Gromov-Witten 不変量の 構成し,期待される性質が満たされることを示した。Hamilton 微分同相写像より広いクラスの symplectic 微分同相写像に対する Floer 理論についても研究し [2], それを発展させて Hamilton 微分同相写像群は symplectic 微分同相写像群の中で $C^1$-位相に関して閉じていること (flux 予想) を証明した [6]。
 Lagrange 部分多様体の Floer (co)homology は一般には定義できないが,境界作用素を適当に修正することで 定義できる場合もある。 その一般論を深谷氏,Oh 氏,太田氏と研究し [7],それを具体的な場面に応用する ことで Hamilton 微分同相写像で displace できない Lagrange トーラスの記述に関する成果を得た [8],[9],[10]。Lagrange 部分多様体の Floer 理論は,深谷圏の基盤であり,ホモロジー的ミラー対称性の 研究に不可欠である。上述の研究に引き続き,トーリック多様体のホモロジー的ミラー対称性に関する 現在までの研究成果は preprint あるいは準備中の論文として纏める。
  1. On the Arnold conjecture for weakly monotone symplectic manifolds, Invent. Math. 119 (1995), 519-537.
  2. Symplectic fixed points, the Calabi invariant and Novikov homology (with H.-V. Le), Topology 34 (1995), 155-176.
  3. Lagrangian intersection under legendrian deformations, Duke Math. J. 85 (1996), 209-225.
  4. Arnold conjecture and Gromov-Witten invariants, (with K. Fukaya), Topology 38 (1999), 933-1048.
  5. Simple singularities and symplectic fillings, (with H. Ohta), J. Differential Geom. 69 (2005), 1-42.
  6. Floer-Novikov cohomology and the flux conjecture, Geom. Funct. Anal. 16 (2006), 981-1020.
  7. Lagrangian intersection Floer theory - anomaly and obstruction -, (with K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta), AMS/IP Studies in Advanced Mathematics 46-1,2, Amer. Math. Soc. and International Press, 2009.
  8. Lagrangian Floer theory on compact toric manifolds I, (with K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta), Duke Math. J. 151 (2009), 23-174.
  9. Lagrangian Floer theory on compact toric manifolds II, (with K. Fukaya, Y.-G. Oh, H. Ohta), Selecta Math. New Series, 17 (2011), 609-711.
  10. Toric degeneration and non-displaceable Lagrangian tori in $S^2 \times S^2$, International Mathematical Research Notices, DOI 10.1093/imrn/rnr128.

教授 熊谷 隆 (確率論)
 複雑な系の上の物理現象の解明を目指して,系の上の確率過程と対応する 作用素について研究を進めている。典型例であるフラクタルに関しては, 熱核の精密な評価,大偏差原理の研究を行い,対応する二次形式の定める 関数空間の理論を構築するなど,フラクタル上の確率過程論・調和解析学の 基礎を固める研究を行ってきた。また,当該分野の重要な未解決問題の一つ であったシェルピンスキーカーペット上のブラウン運動の一意性を証明した[8]。
 フラクタル上の拡散過程は,劣拡散的である,すなわちユークリッド空間の ブラウン運動に比べて,拡散のオーダーが小さい(拡散が遅い)。では, 確率過程のこのような性質は摂動安定性を持つであろうか?熱核が上下からガウス型 評価を持つ拡散過程については,安定性の問題は古くから研究され,対応する作用素 に多少の摂動を加えても大域的な挙動に大きな変化が現れないことが知られている。 私は,一般の測度つき距離空間において,熱核が劣ガウス型の評価を持つことと, ある種の放物型ハルナック不等式が成り立つことが同値であり,さらにいくつかの 関数不等式と同値であることを示した[1,2]。これは,劣ガウス型熱核評価の安定性 を意味する。さらに,このような評価が空間のquasi-isometricな変形で保たれる という安定性の理論を構築し,この理論を発展させることにより,相転移を持つ確率 モデルの臨界確率における熱伝導の研究を推し進めている[5,7]。その成果の一つ として,統計力学の基礎モデルであるパーコレーションクラスターの,臨界確率に おける熱伝導についての数理物理学者の予想(アレキサンダー・オーバッハ予想)を, いくつかの具体例で肯定的に解決した。最近は,これらの手法を有限グラフの列の 上のマルコフ連鎖に応用し,混合時間の評価等を進めている。
 複雑な系の上の確率過程の研究を通じて,関数空間論や飛躍型確率過程論に 新たな方向性を与える研究も行っている。熱核が劣ガウス型の評価を持つ,対称な 拡散過程に対応する二次形式の作る関数空間はベソフ空間である。そこで,ベソフ 空間の埋め込みの理論を応用することにより,フラクタルにしみ込む拡散過程を 構成し,その詳しい挙動を調べる研究を行った[3]。また,ハルナック不等式や 熱核評価の研究を,飛躍型確率過程にも発展させている[4,6,9,10]。飛躍型確率過程の 調和解析では,従来の解析学の手法が適用できない状況が多く,熱核評価に関する 研究は限定的であった。上記研究では,確率論的手法と実解析学的手法を融合 することによりこれらの困難を乗り越え,安定過程型確率過程の熱核の精密な 評価を行い,その一般化を行っている。
  1. (With M.T. Barlow and T. Coulhon) Characterization of sub-Gaussian heat kernel estimates on strongly recurrent graphs, Comm. Pure Appl. Math. 58 (2005), 1642--1677.
  2. (With M.T. Barlow and R.F. Bass) Stability of parabolic Harnack inequalities on metric measure spaces, J. Math. Soc. Japan 58 (2006), 485--519.
  3. (With M. Hino) A trace theorem for Dirichlet forms on fractals, J. Func. Anal. 238 (2006), 578--611.
  4. (With R.F. Bass) Symmetric Markov chains on Zd with unbounded range, Trans. Amer. Math. Soc. 360 (2008), 2041--2075.
  5. (With M.T. Barlow, A.A. Járai, and G. Slade) Random walk on the incipient infinite cluster for oriented percolation in high dimensions, Comm. Math. Phys. 278 (2008), 385--431.
  6. (With M.T. Barlow and A. Grigor'yan) Heat kernel upper bounds for jump processes and the first exit time, J. Reine Angew. Math. 626 (2009), 135--157.
  7. (With B.M. Hambly) Diffusion on the scaling limit of the critical percolation cluster in the diamond hierarchical lattice, Comm. Math. Phys. 295 (2010), 29--69.
  8. (With M.T. Barlow, R.F. Bass and A. Teplyaev) Uniqueness of Brownian motion on Sierpinski carpets, J. European Math. Soc. 12 (2010), 655--701.
  9. (With Z.-Q. Chen) A priori Hölder estimate, parabolic Harnack principle and heat kernel estimates for diffusions with jumps, Rev. Mat. Iberoamericana 26 (2010), 551--589.
  10. (With Z.-Q. Chen and P. Kim) Global heat kernel estimates for symmetric jump processes, Trans. Amer. Math. Soc., 363 (2011), 5021--5055.

[B] 確率論, 共立出版, 2003.


教授  玉川 安騎男(整数論,数論幾何学の研究)
 1.代数多様体,特に代数曲線やそのモジュライ空間の被覆と 基本群に関する数論幾何は,近年内外の多くの研究者に よってさまざまな視点から研究されている。 本研究所では,望月新一,星裕一郎及び当該所員を中心に, 広い意味での遠アーベル幾何(anabelian geometry)を 軸として活発に研究が進められ,当該分野を世界的に リードしている。 特に,曲線の遠アーベル幾何に関して, 当該所員は,これまでに 有限体上の結果,有理数体上有限生成な体上の結果, 有限体の代数閉包上の結果を得てきた。
 以下では,当該所員が最近得た,いくつかの結果を簡単に紹介する。
・(M.Saïdiとの共同研究)有限体上の曲線やその関数体の 遠アーベル幾何に関し,幾何的基本群を標数と素な最大商に置き換えた場合 のIsom版を証明した([5][7])。更に,ある種の局所条件を仮定した 上でのHom版([8]), 素数の無限集合$\Sigma$である条件を満たすものに対して 幾何的基本群を最大副$\Sigma$商に置き換えた場合のIsom版(論文1編投稿中, 1編準備中),などを証明できた。また,正標数代数閉体上の曲線の (弱い意味での)遠アーベル幾何について,有限体の代数閉包の場合には 当該所員により良い結果が得られていたが,最近, (そのままの定式化では成立しない)一般の場合に一定の結果を得ることが できた(論文準備中)。
・(A.Cadoretとの共同研究) 有理数体上有限生成な体上の曲線の上のアーベルスキームと素数$l$に対し, そのファイバーに現れるアーベル多様体の有理的な$l$冪ねじれ点の位数に 対する上界の存在を証明し,その系として,フルビッツ空間(曲線のガロア被覆の モジュライ空間)の有理点に関するFriedのモジュラータワー予想のうち, 1次元の場合を肯定的に解決した([6][10])。更に, この結果を大きく一般化し,有理数体上有限生成な体上の曲線の数論的基本群の $l$進ガロア表現で幾何的基本群の像がある種の弱い条件を満たすものが与えられた時, その表現を曲線の(剰余次数を制限した)閉点の分解群に制限して得られるガロア表現に 対する像の下界の存在を証明できた(論文1編掲載予定,1編投稿中)。 この結果は,条件を外した場合は一般には成立しないが,最近, 一般の表現の場合に,部分的な肯定的結果を得た(論文準備中)。 更に,素数$l$を走らせた時のガロア像の幾何的部分のふるまいについて考察し, アーベルスキームからくるガロア表現の場合には, 種数の発散性に関する望ましい結果を証明できた(論文投稿中,一部[9])。 また,アーベル多様体のねじれ点に対する普遍上界予想と曲線のヤコビ多様体の ねじれ点に対する普遍上界予想の定量的な比較をした(論文掲載予定)。
・(C.Rasmussen との共同研究)射影直線引く3点の副$l$基本群の上の ガロア表現に関する伊原の問題に関連して,有限次代数体$K$と非負整数 $g$が与えられた時,$K$上の$g$次元 アーベル多様体$A$の同型類と素数$l$の組で,体 $K(A[l^\infty])$ が $l$ の外で不分岐で$K(\zeta_l)$上副$l$な拡大になるようなものは 有限個しかないことを予想し, $[K:\Bbb Q]\leq 3$,$g=1$の場合, $K=\Bbb Q$,$g\leq 3$の場合, 及び一般Riemann予想の仮定下での $\text{$K$:一般}$,$\text{$g$:一般}$の場合などに肯定的 解決を得た(以上論文準備中,一部[3])。

 2.標数$0$の体の上の種数2以上の曲線をヤコビ多様体に埋め込む時, Manin-Mumford予想(Raynaud の定理)により, 曲線上にあるヤコビ多様体のねじれ点は有限個 であるが, フェルマー曲線の場合(R.Coleman,P.Tzermiasとの共同研究) とモジュラー曲線 の場合に,それぞれこの有限集合を具体的に決定した。

 3.Drinfeld 加群やそのモジュライ空間に関する研究を以前行ったことがある。
  1. The l-component of the unipotent Albanese map, Math. Ann., 340 (2008), 223--235. (with Minhyong Kim)
  2. The algebraic and anabelian geometry of configuration spaces, Hokkaido Math. J., 37(1) (2008), 75-131. (with Shinichi Mochizuki)
  3. A finiteness conjecture on abelian varieties with constrained prime power torsion, Math. Res. Lett., 15(6) (2008), 1223--1231. (with Christopher Rasmussen)
  4. Stratification of Hurwitz spaces by closed modular subvarieties, Pure and Applied Mathematics Quarterly, 5 (1) (2009), 227--253. (with Anna Cadoret)
  5. A prime-to-p version of Grothendieck's anabelian conjecture for hyperbolic curves over finite fields of characteristic p>0, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 45(1)(2009), 135--186. (with Mohamed Saïdi)
  6. Torsion of abelian schemes and rational points on moduli spaces, RIMS Kokyuroku Bessatsu B12 (2009), 7--29. (with Anna Cadoret)
  7. On the anabelian geometry of hyperbolic curves over finite fields, RIMS Kokyuroku Bessatsu B12 (2009), 67--89. (with Mohamed Saïdi)
  8. On the Hom-form of Grothendieck's birational anabelian conjecture in characteristic $p>0$}, Algebra and Number Theory 5 (2011), no. 2, 131--184. (with Mohamed Saïdi).
  9. On a weak variant of the geometric torsion conjecture, Journal of Algebra 346 (2011), no. 1, 227--247. (with Anna Cadoret).
  10. Uniform boundedness of $p$-primary torsion of abelian schemes, Inventiones Mathematicae 188 (2012), no. 1, 83--125. (with Anna Cadoret).

教授 中島 啓 (表現論、代数幾何学、微分幾何学)
 理論物理学に起源を持つ,4次元多様体上のインスタントン方程式の解のモジュ ライ空間を研究することを中心テーマとしている。主に,4次元多様体が代数曲 面と仮定して,連接層をパラメトライズするモジュライ空間を代わりに調べる。 インスタントン方程式は非線形偏微分方程式であるために取扱いに難しいとこ ろがあるのに対し,連接層は,代数幾何的な手法で取り扱うことが可能である からである。 また,その代数曲面が,単純特異点の特異点解消である場合には,非可換環の 表現論を用いて研究することも可能であり,モジュライ空間を箙多様体 と名付けて細かく調べている。[4,5]
箙多様体の研究の成果の一つとして,そのコホモロジー群(正確には同変K群)に 量子ループ環の表現の構造が定義できることが分かり,これを用いて,指 標公式を導出した。[6,7] これは,箙多様体の理論を使わずに証明することが現在までのところできてい ない結果である。 また,この構成はLusztigによる量子展開環の標準基底の構成に起源を持つので, 標準基底の理論や,それと同じであることが知られている柏原の結晶基底にも 関心がある。[1]
また,$\mathbf R^4$上のインスタントンのモジュライ空間の上で,微分形式を 同変ホモロジーの意味で積分する,Nekrasovの分配関数の性質に興味を持って いる。特に$\mathbf R^4$の一点ブローアップの上のインスタントンのモジュラ イ空間との関係を,神戸大の吉岡康太氏との共同研究で詳しく調べ,分配関数 の持ついろいろな性質を導いた。[10,11,12] さらにその結果を用いて$4$次元多様体のDonaldson不変量の性質を調べること を,ICTPのL.Göttsche氏を加えた共同研究で行った。[2,3]
以下,昨年度得た研究成果を簡単に紹介する。
・$A$型の有限$W$代数が,箙多様体のある$\mathbf C^*$作 用に関する固定点集合のコホモロジー群に作用するという,Bravermanらの研究 を用いて,有限$W$代数の既約表現の指標を,箙多様体の固定点集合の交叉ホモ ロジーを用いて表す公式を証明した。[8]
・箙多様体から定義される合成積代数の上に余積を定義した。 [9]
・N.Guay氏との共同研究で,アファイン・リー代数 $\mathfrak g$ に対応するヤンギアン $Y(\mathfrak g)$ 上に余積を定義した。 有限次元リー代数に付随したヤンギアンに対しては,Drinfeldによって定義さ れていたが,そのためにはヤンギアンの別の表示式を用いる必要があり,この 表示式はアファイン・リー代数の場合には意味を持たなくなるので,まったく 別の議論が必要であった。(論文準備中)
  1. J. Beck and H. Nakajima, Crystal bases and two-sided cells of quantum affine algebras, Duke Math. J., 123 (2004), no. 2, 335--402.
  2. L. Göttsche, H. Nakajima, and K. Yoshioka, Instanton counting and Donaldson invariants, J. Differential Geom., 80 (2008), no. 3, 343--390.
  3. L. Göttsche, H. Nakajima, and K. Yoshioka, Donaldson = Seiberg-Witten from Mochizuki's formula and instanton counting, Publ. RIMS 47 (2011), no. 1, 307--359.
  4. H. Nakajima, Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras, Duke Math. J., 76 (1994), no. 2, 365--416.
  5. H. Nakajima, Quiver varieties and Kac-Moody algebras, Duke Math. J., 91 (1998), no. 3, 515--560.
  6. H. Nakajima, Quiver varieties and finite-dimensional representations of quantum affine algebras, J. Amer. Math. Soc., 14 (2001), no. 1, 145--238.
  7. H. Nakajima, Quiver varieties and t-analogs of q-characters of quantum affine algebras, Ann. of Math., (2) 160 (2004), no. 3, 1057--1097.
  8. H. Nakajima, Handsaw quiver varieties and finite $W$-algebras, 2011, arXiv:1107.5073.
  9. H. Nakajima, Quiver varieties and tensor products, II, 2012.
  10. H. Nakajima and K. Yoshioka, Lectures on instanton counting, Algebraic structures and moduli spaces, CRM Proc. Lecture Notes, vol. 38, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004, pp. 31--101.
  11. H. Nakajima and K. Yoshioka, Instanton counting on blowup. I. 4-dimensional pure gauge theory, Invent. Math., 162 (2005), no. 2, 313--355.
  12. H. Nakajima and K. Yoshioka, Instanton counting on blowup. II. K-theoretic partition function, Transform. Groups 10 (2005), no. 3-4, 489--519.

教授 長谷川 真人 (理論計算機科学の研究)
 今日の電子計算機において実現されている,もしくはされつつある多様なソフ トウェアについて,統一的かつ厳密に議論することを可能にするために、計算 現象が根底に持っている数学構造を抽出し,分析することを研究の目的として いる。 基本的な考え方は,複雑な計算現象を表現・分析するために,適切に抽象化さ れた構造を特定し,そのような構造に関する考察から,計算現象に関する有益 な情報を得ようというものであり,いわば「計算の表現論」である。特に,プ ログラミング言語における制御構造の数学モデルの,主に代数的・圏論的な手 法と,証明論・型理論的な枠組みを用いた分析および応用に取り組んでいる。
 これまでの研究成果の多くは,
i) トレース付きモノイダル圏を用いた再帰プログラムや巡回構造のモデル,
ii) 副作用を伴う計算のモナドを用いたモデル,あるいは
iii) 線型論理に基づく型理論とそのモノイダル圏によるモデル
に関するものである。
i)については,巡回構造から生じる再帰計算を論じた[1]の仕事(これはii) とiii)にも密接に関連していた)を出発点に,領域理論における最小不動点演 算子の一様性原理をトレース付きモノイダル圏に拡張した研究[4] などを行なってきた。圏論を直接には用いないが関 連する方向では,巡回共有を持つ必要呼びラムダ計算の操作的意味論を調べて いる[8]。
ii)については,副作用を伴う制御構造を用いた再帰プログラムの意味論の研究 を行ない,特に再帰と第一級継続の組み合わせから生じる計算を分析した[2]。 また,第一級継続を用いた多相型プログラムが満たすパラメトリシティ原理を 与えた[6]。
iii)に関しては,線型論理に対応する線型ラムダ計算とその圏論的モデルに関 する理論の整備を行なっている[5]。
さらに,ii)とiii)にまたがる仕事として、制御構造の数学モデルに内在する 一種の線型性に着目することにより,効果的に用いられた制御構造の持つ,明 快かつ有用な性質を調べてきた[3]。
最近は,i)とiii)に関連して,トレース付きモノイダル圏の上に双方向計算の モデルを構築するGirardらの「相互作用の幾何」を,高階の計算を含むように 拡張した状況について調べている[7, 9]。
また,新しいテーマとして,プログラム意味論と量子トポロジーの 接点を模索している。これまでに,プログラミング言語の理論で用いられている モノイダル圏においてリボンHopf代数を考え,その表現の圏として非自明な ブレイドを持ち同時に再帰プログラムのモデルにもなっているリボン圏を構成した [10]。
  1. Models of Sharing Graphs: A Categorical Semantics of let and letrec, Distinguished Dissertation Series, Springer-Verlag (1999).
  2. Axioms for recursion in call-by-value, Higher-Order and Symbolic Computation, 15(2/3) (2002), 235-264. (with Y. Kakutani)
  3. Linearly used effects: monadic and CPS transformations into the linear lambda calculus, In Proc. Functional and Logic Programming, LNCS, 2441 (2002), 167-182.
  4. The uniformity principle on traced monoidal categories, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 40(3) (2004), 991-1014.
  5. Classical linear logic of implications, Math. Structures Comput. Sci., 15(2) (2005), 323-342.
  6. Relational parametricity and control, Logical Methods in Computer Science, 2(3:3) (2006), 1-22.
  7. On traced monoidal closed categories, Math. Structures Comput. Sci., 19 (2) (2009), 217-244.
  8. Small-step and big-step semantics for call-by-need, J. Funct. Programming, 19 (6) (2009), 699-722. (with K. Nakata)
  9. A note on the biadjunction between 2-categories of traced monoidal categories and tortile monoidal categories, Math. Proc. Cambridge Phils. Soc., 148 (1) (2010), 107-109. (with S. Katsumata)
  10. A quantum double construction in Rel, to appear in Math. Structures Comput. Sci.

教授 向井 茂 (代数幾何学とモジュライ)
 対象としては代数曲線,K3曲面と3次元Fano多様体を中心に,手法・概念としてはモジュライや自己同型を中心に研究を続けている。 モジュライの基礎理論(文献[5])との関係で不変式論や群の表現と関係する代数多様体も研究している。
 K3曲面の関連では,80年代に発見した Mathieu群との関係(文献[3])を cubic 4-fold や Enriques 曲面に 拡張することを考えた。 Enriques 曲面に関しては,その準備として特別な 位数2の自己同型を文献[8,9]で調べ, 最近になって, M-semi-symplectic な作用を分類することができた(大橋久範氏との共同研究)。 Enriques 曲面の研究には,その上の Riemann 球の配置を統制するルート系が重要で,これらの結果はルート系の理解の進展に負うところが大きい。 また,別の方向としては,高種数偏極K3曲面の研究(特に,モジュライ空間の単有理性)に,新しい場合を付け加えることができた(文献[10])。
 不変式論においては,Hilbertの第14問題(永田の反例がある)を肯定的に復活する試みとして,次を提出した(文献[6])。
[問題] 多項式環に2次元加法群が線型に作用するとき,不変式環は有限生成か?
この問題は表現論(例えば Kronecker quiver の表現や 共形ブロックの個数に関するVerlinde公式) とも深く結びついている。 また,ベクトル束のモジュライ空間とも関係深い。
  1. Duality between \mathbf{D}(X) and \mathbf{D}(\hat X) with its application to Picard sheaves, Nagoya Math. J., 81 (1981), 53--175.
  2. On the moduli space of bundles on K3 surfaces, I, in 'Vector Bundles on Algebraic Varieties', Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1987, pp.341--413.
  3. Finite groups of automorphisms of K3 surfaces and the Mathieu group, Invent. Math., 94 (1988), 183--221.
  4. Fano 多様体論の新展開, New development of theory of Fano manifolds, 数学, (English translation : Sugaku Exposition 15 (2002)), 47巻 (1995), 125--144.
  5. モジュライ理論1,2, 岩波書店,1998年,2000年,455頁  (English translation "An introduction to invariants and moduli", Cambridge University Press, 2003)
  6. Counterexample to Hilbert's fourteenth problem for the 3-dimensional additive group, RIMS Preprint, 1343, 2001.
  7. Curves and symmetric spaces, II, Ann. of Math., 172 (2010), 1359--1558.
  8. Numerically trivial involutions of Kummer type of an Enriques surface, Kyoto J. Math., vol. 50, no. 4 (2010), 889--902.
  9. Kummer's quartics and numerically reflective involutions of Enriques surfaces, J. Math. Soc. Japan, 64(2012), 231--246.
  10. K3 surfaces of genus sixteen, RIMS preprint, 1743, 2012.

教授 望月 新一 (数論幾何の研究)
 私の研究の大きなテーマは,数体や局所体のような「数論的な体」の上で定義された双曲的代数曲線の「内在的ホッジ理論」を実現することにある。一般に, 代数多様体の「ホッジ理論」とは,その多様体上の代数幾何学的な構造, またはその構造が定める不変量と, 多様体のエタール・サイト(=多様体の「位相」)へのガロアの作用という二つの一見異質そうなものを関係付けるような理論のことをいう。なお,この
「代数幾何=位相+ガロア」
という式の左辺に出てくるものが「曲線自身」([2,5,7,10])または 「その曲線のモジュライ」([3])となるようなホッジ理論のことを 「内在的なホッジ理論」と呼ぶことにしている。
 例えば,局所体上の楕円曲線のホッジ理論では,楕円曲線のドラム・コホモロジーと, エタールまたは特異コホモロジーの間のいわゆる「比較同型」が中心的な存在となっているが, 90年代後半から研究を続けている楕円曲線の「ホッジ・アラケロフ理論」では, このような局所体上の楕円曲線の比較同型の類似を,アラケロフ理論という, 数体上大域的な枠組の中で実現している([4])。なお, この「ホッジ・アラケロフ比較同型」を適用することによって, 数体上で定義された楕円曲線に対して, 一種の数論的な小平・スペンサー射([4])を構成することができる。 この射は,古典的に知られている「(幾何的な)小平・スペンサー射」 の数論的な類似であり,幾何的な場合と同様,楕円曲線の族が定義されている基礎空間(=「ベース」)内の「移動」に対して, その移動によって生じる楕円曲線のモジュライの動きを記述するものである。
 古典的な幾何的な状況では,小平・スペンサー射の存在から, 様々な面白いディオファントス不等式が直ちに従うことがよく知られており, そのため,数論的な小平・スペンサー射の構成によって, 数体上の数論的な状況においても同様な興味深い不等式が従うことが期待される。一方, このようなディオファントス幾何への応用を実現するためには, ある技術的な障害を処理する必要がある。最近の研究では, 「遠アーベル幾何」([2,5,7,10])にヒントを得た, 斬新な圏論的な手法([6],[8]) によって数体上の「絶対的なフロベニウス射」を構成し, それを用いることにより,「ホッジ・アラケロフ理論」に対して(p進タイヒミューラー 理論を連想させられるような)一種の 「標準的な数論的フロベニウス持ち上げ」 としての新しい解釈を与えることができることを発見した。 これらの進歩により,上述の障害が解消される日が近いと期待している。
  1. S. Mochizuki, A version of the Grothendieck conjecture for p-adic local fields, The International Journal of Math. 8 (1997), pp. 499-506.
  2. S. Mochizuki, The local pro-p anabelian geometry of curves, Invent. Math. 138 (1999), pp. 319-423.
  3. S. Mochizuki, An introduction to p-adic Teichmüller theory, Cohomologies p-adiques et applications arithmétiques I, Astérisque 278 (2002), pp. 1-49.
  4. S. Mochizuki, A survey of the Hodge-Arakelov theory of elliptic curves I, Arithmetic Fundamental Groups and Noncommutative Algebra, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 70, American Mathematical Society (2002), pp. 533-569.
  5. S. Mochizuki, The absolute anabelian geometry of canonical curves, Kazuya Kato's fiftieth birthday, Doc. Math. 2003, Extra Vol., pp. 609-640.
  6. S. Mochizuki, Semi-graphs of anabelioids, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 42 (2006), pp. 221-322.
  7. S. Mochizuki, Absolute anabelian cuspidalizations of proper hyperbolic curves, J. Math. Kyoto Univ. 47 (2007), pp. 451-539.
  8. S. Mochizuki, The Étale Theta Function and its Frobenioid-theoretic Manifestations, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 45 (2009), pp. 227-349.
  9. S. Mochizuki, Arithmetic Elliptic Curves in General Position, Math. J. Okayama Univ. 52 (2010), pp. 1-28.
  10. Y. Hoshi, S. Mochizuki, On the Combinatorial Anabelian Geometry of Nodally Nondegenerate Outer Representations, Hiroshima Math. J. 41 (2011), pp. 275-342.

教授 望月 拓郎 (微分幾何,代数幾何の研究)
 1980年代末,K. CorletteとC. Simpsonは, 射影多様体上の平坦束,ヒッグス束, 調和バンドルの三位一体を見出し, これをもとにしてトポロジー・ 代数幾何・微分幾何にまたがる巨大な仕事をしました。 彼等の仕事の発展として, 私は特異性を持つ調和バンドルについて 研究しています。 全く一般の特異性を考えるのは生産的ではないので, ``有理型''に相当する``ワイルド''という 条件を課したものを研究しています。 この特異性を持つ調和バンドルの研究は, 代数幾何学・大域解析学・ 代数解析学・トポロジーなどが交錯する地点で, 非常に興味深い展開を見せています。
 より制限された``従順''な特異性を持つものに関しては, [2], [3]--[6]において満足すべき結果を得られていました。 例えば, [3], [6]では, 従順調和バンドルと 安定パラボリックヒッグス束や安定パラボリック平坦束の 間のKobayashi-Hitchin対応を確立することで, Corlette-Simpsonの三位一体を 確定特異性を許す場合にまで拡張しました。 これより, 準射影多様体上の任意の平坦ベクトル束を 偏極付Hodge構造の変動に変形できることがわかり, 応用として例えば $\Gamma$を任意の群,nを3以上の整数とすると, ``$SL(n,{\mathbb Z})\times \Gamma$ $(n\geq 3)$は 準射影多様体の基本群にならない'' ことなどが示されます。 また[2], [4]では, 従順調和バンドルは無限遠において 偏極付Hodge構造の変動と(ある意味で) ほぼ同様の振舞をする,ということを 示しました。 これをもとにして,射影多様体上の 偏極付正則純ツイスター加群と 半単純ホロノミックD-加群の対応を確立して, 半単純正則ホロノミックD-加群(偏屈層)に関する 強Lefschetz定理の証明を得ました。
 ここ数年は, これらの結果をワイルドの場合に拡張する, という仕事に取り組んできました。 従順とワイルド,あるいは確定特異点と 不確定特異点の間の大きな違いの一つは 変わり目点の存在でしたが, 代数曲面上の有理型平坦束の変わり目点の 解消の存在定理[7]を示すことで, この方面の突破口が開かれました。 そして, 満足できる成果をまとめたモノグラフ [10]が出版されました。
 現在は,発展の後の小康状態ですが, はっきりさせておくべき課題はまだだいぶ残っているので, 少しずつ処理していく予定です。 これまでに, TERP構造の漸近挙動の研究 [9] ホロノミックD-加群のベッチ構造についての研究 ``Holonomic D-module with Betti structure'' arXiv:1001.2336, 混合ツイスターD-加群の研究 ``Mixed twistor D-module'' arXiv:1104.3366 などを行なってきました。 今後の当面の目標としては, 調和バンドルの研究で得られた知見を モジュライ理論に応用することが挙げられます。 さらに,非可換代数幾何学のHodge理論, 正標数多様体上の$\ell$-進層の理論との類似, 非正則な場合のRiemann-Hilbert対応, 超局所解析との関連など, 未発達な課題にも取り組んでいきたいと思います。 またインスタントンなどのように調和バンドルと関連するものに 研究の幅を広げていきたいと考えています。
 これとは別に,最近は離れてしまっていますが, 射影曲面上の半安定層などのモジュライ, およびそこから得られる不変量にも興味を 持っています。 80年代から90年代初めにかけて,Donaldson不変量が 盛んに研究されました。 その頃は主としてトポロジーへの応用が主目的でしたが, Seiberg-Witten不変量の登場以来, Seiberg-Witten不変量との関係(Witten予想)や 計量への依存(壁越え公式)への興味から 研究されています。 私は[8]において, 一般階数の半安定層のモジュライや \delta-安定Bradlow対のモジュライを用いて Donaldson不変量の代数幾何的類似物を構成しました。 このようにして得られる不変量達の間の関係を調べることは 興味深い問題であり, 例えば偏極への依存を階数の低い半安定層のモジュライ達の 直積上の積分の和としてあらわす 弱壁越え公式が得られています。 特に階数2の場合にはHilbert schemeの直積上の積分の和として 表す式になり,曲面のコホモロジー環と特性類のみに依存する 普遍的な関係の存在を意味します。 L. Göttsche, H. Nakajima, K. Yoshiokaの仕事 とあわせると射影曲面に関する壁越え公式が得られます。 類似の話を別のモジュライの場合に展開すること, あるいは,上の話をJ. LurieやB. Toenによる 導来スタックの理論を使ってやり直してみることなどを 当面の課題としていますが, 背後に隠れている(?)幾何学構造をつかまえることが, 遠い目標です。
  1. The Gromov-Witten class and a perturbation theory in algebraic geometry, Amer. J. Math., 123 (2001), 343--381
  2. Asymptotic behaviour of tame nilpotent harmonic bundles with trivial parabolic structure, J. Diff. Geometry, 62, (2002), 351--559
  3. Some calculations of cohomology groups of finite Alexander quandles. J. Pure Appl. Algebra, 179 (2003), 287--330
  4. Kobayashi-Hitchin correspondence for tame harmonic bundles and an application, Astérisque, 309, (2006)
  5. Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an application to pure twistor D-modules I, Mem. AMS., 185, no. 869, (2007)
  6. Asymptotic behaviour of tame harmonic bundles and an application to pure twistor D-modules II, Mem. AMS., 185, no. 870, (2007)
  7. Kobayashi-Hitchin correspondence for tame harmonic bundles II, Geometry & Topology, 13, (2009), 359--455
  8. Good formal structure for meromorphic flat connections on smooth projective surfaces, IN `Algebraic Analysis and Around', Advanced Studies in Pure Mathematics 54, (2009), 223--253
  9. Donaldson type invariants for algebraic surfaces, Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics 1972, Springer, 2009
  10. Asymptotic behavior of variation of pure polarized TERP structure. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 47 (2011), no. 2, 419--534
  11. Wild harmonic bundles and wild pure twistor $D$-modules, Astérisque 340, 2011

教授 森 重文(代数多様体の研究)
 代数多様体を双有理的に分類する事は代数幾何で基本的な問題の一つである。 曲線の場合はリーマンにより曲面の場合はエンリケスや小平邦彦によりなされたが3次元の場合にはリード, 川又,ベンベニステ,ショクロフ,コラール, 宮岡等の結果を基に, [5]により粗い意味で完成された。
 この問題の難しさは代数多様体を双有理同値な他の多様体(モデル)で取り替える事を許すことに起因する。 なぜなら,この操作(双有理幾何)を理解する必要があるが, 双有理幾何は3次元以上だと非常に複雑になるからである。結局, 多くの試行的研究の後に, マイルドな(端末的)特異点しか持たず標準因子がネフであるという, 「極小モデル」の定義が確立された。
 3次元では,極小モデルに,モデルを取り替えながら到達するための道しるべ(端射線)が必要であり, モデルに特異点を許す必要もある。[3]により導入され, 川又等により発展させられた端射線の理論とリードにより導入された特異点のクラスが, 3次元分類論の基礎になっている。これにより,3次元の場合は極小モデルやQファノ多様体等を研究する事に分類論が帰着された。 この帰着の段階で重要な役割を果たすのがフリップと呼ばれる3次元で初めて現れる双有理変換である。
 又,境界付き(つまり, ログ)3次元多様体にも,ショクロフ,川又,コラール等により, フリップが拡張され,コルティ等によりサルキソフ・プログラムが完成され, 3次元Qファノ多様体やQコニック束等の詳細な研究の基礎ができた。 任意次元でも,ヘイコン・マッカーナン・ビルカー・カシーニ(2006)は, ログ極小モデルの存在を一般型などの緩い条件の下に証明し,[8]を用いて任意の代数多様体の標準環が有限生成であることを確立した。
 3次元にもどると, 端射線の収縮射の分類も進展してきた。この方向では, [2,3]を原型とする一連の[5,7,9]があり,さらにその後も分類が進められている。 それらに基づく最近の[10]はイスコフスキー予想「3次元Qコニック束の底曲面は高々デュバル特異点しか持たない」を証明した。 同予想は, イスコフスキーによる, 3次元Qコニック束の有理性に関する研究の中で使われたものである。このように, 3次元多様体の有理性判定法など幾何学的問題へのさらなる応用も有力と思われる。
  1. Projective manifolds with ample tangent bundles, Ann. Math., 110 (1979), 593-606.
  2. Classification of Fano 3-folds with the second B_2 \geqq 2, Manuscripta Math., 36 (1981), 147-162; Erratum, 110 (2003), 407. (with S.Mukai)
  3. Threefolds whose canonical bundles are not numerically effective, Ann. Math., 116 (1982), 133-176.
  4. A numerical criterion of uniruledness, Ann. of Math., 124 (1986), 65-69. (with Y.Miyaoka)
  5. Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds, J. AMS, 1 (1988), 117-253.
  6. Rationally connected varieties, J. Alg. Geom., 1 (1992), 429-448. (with J.Kollar and Y.Miyaoka)
  7. Classification of three dimensional flips, J. AMS, 5 (1992), 533-703, (with J.Kollar); Erratum, 20 (2007) 269-271.
  8. A canonical bundle formula, J. Diff. Geom., 56 (2000), 167-188. (with O.Fujino)
  9. On semistable extremal neighborhoods, Adv. Stud. Pure Math., 35 (2002), 157-184.
  10. On Q-conic bundles, Publ. RIMS, 44, No.2, (2008). (with Yu.G.Prokhorov)

教授 山田 道夫 (流体力学・非線形力学・ウェーブレット解析の研究)
 2次元および3次元の Navier-Stokes 方程式に従う流体の運動を研究している。 対象となる流体運動は,強い非線形効果を持つ発達した流体乱流, 回転する系における流れ,微小生物の周りの遅い流れなどである。 乱流については流れの統計的特徴と相空間におけるカオス軌道の性質の関係, 回転系の流れでは天体や地球惑星系における大規模流体運動と関連する 波動と流れの相互作用,遅い流れでは微小生物の運動機構などについて興味 を持ち,これらのテーマに関して理論的および数値解析的な研究を行 っている。これらの研究に現れるデータ解析に必要な応用数学的手法の 研究も行っている。

・乱流の統計性質の研究
 発達した流体乱流については Kolmogorov の相似則を初めとする統計性質が知 られているが,それらが相空間の軌道の構造とどのような関係にあるのかという ことについては殆ど知見が得られていない。実際 Navier-Stokes 方程式について 解軌道の解析を行うことは現状では非常に難しい。そこで流体乱流のモデ ル方程式であるシェルモデルや低次元写像,低次元微分方程式系において, カオス平均と周期軌道平均の関係を調べ,従来から散見されていた短周期の 軌道解析の有効性を支持する結果を得た。また近年開発された共変リヤプノフ 解析の手法を2次元トーラス上の Navier-Stokes 方程式(Kolmogorov問題) に適用し,初期の乱流化過程における系の双曲性の程度を数値的に調べた。 力学系理論において双曲性は重要な概念であるが,特定の物理系における 双曲/非双曲の判定は困難であり,双曲性がどのような物理的特徴に対応する のかは未知の部分が大きい。 Kolmogorov 流においては,Reynolds 数の増大 とともに,初め双曲的であった系が次第に非双曲系に近づき, あるReynolds数において非双曲化することを見出した。またこのときの 流れの物理的特徴に注目し,特に長時間の振る舞いを反映する時間相関 関数の形が,この双曲/非双曲転移に伴って変化することを見出した。

・回転を含む系の流体運動
 非回転系の2次元 Navier-Stokes 乱流中で は,時間発展とともにコヒーレント渦と呼ばれる大きな秩序渦が形成されるこ とが知られている。この渦は統計的には位置に関して一様に形成されるが,回 転球面上における自由減衰2次元乱流はこのような一様性をもたず,秩序渦 形成に関して特徴的なパターンの存在が期待される。これまでに高精度の数値 実験によって,回転球面上では両極域に東風周極ジェットが形成されることを 見出した。さらに,この現象の定量的記述のため回転角速度が非常に大きな場 合を調べ,両極域における周極ジェットに特徴的な漸近挙動を明らかにした。 回転球面上の強制2次元乱流についても長時間の数値実験を実行し,従来多数本 の帯状ジェットの形成が報告されていたがこれは遷移状態に過ぎず,最終的 には少数本(2本または3本)のジェットからなる状態に落ち着くことを 見出した。これらの現象の背後にはロスビー波による角運動量再配分機構が あるが,その詳細は未だ明らかではない。さらに,この状態のように 回転球面上で少数本のジェットをもつ基本的な(流れ関数が 球面調和関数)解の安定性および分岐構造を調べることにより, 回転が流れを安定化させることを見出し,乱流の終状態との関連を 議論した。  ロスビー波とジェットの相互作用の基本的なモデルは,$\beta$-平面上に おける平行流とロスビー波の相互作用である。この相互作用は従来,臨界層 を通じた運動量輸送として定性的な描像が与えられてきた。そこで定量的理論 を得るために,平行流の周りの線形摂動解の遠方の漸近形,特にロスビー波の 反射係数と透過係数を用いて平均流加速量の表式を導いた。これは臨界層を 通じた運動量輸送を平行流周りの固有値問題に帰着させるもので, 固有値問題の中立安定解に物理的意味を与えるものである。  また3次元の流れに回転が及ぼす影響を,回転球殻内の熱対流パターンについて 研究している。これは地球や惑星の内部対流の典型的なモデルであるが, 平面ベナール対流に比べ対流の分岐構造は未だ不明の部分が多い。そこで 中間的な回転角速度のパラメータ領域において,静止解から分岐する東西方向 定常進行波解を求め,その安定性をしらべて分岐図を作成し,回転角速度および レーリー数の変化と共に位相速度の方向が反転することを見出した。反転前後の対流 パターンを調べることにより,この反転が解の分岐によるものではなく解の 連続的変化,特に回転軸方向を向いた渦のコラムの変形および非線形効果 によって赤道付近に生成される帯状流の強さの変化を原因とするものであ ることを見出した。またこのような系において,流れが内側および外側境界に及ぼす トルクを求め,対流によって境界の回転角速度の違いが引き起こされることを 見出した。

・微小生物の周りの遅い流れ
 水中のプランクトンなどの微小生物の運動はスケールの小ささから Stokes 流体中の運動として扱われることが多い。 特に生物がゆっくりと形状変化する場合は,Stokes 方程式中の時間微分項の 寄与が小さいため,周囲の流体運動は定常 Stokes 流として扱うことができる。 このような場合について,生物の形状変化が往復運動,すなわち区間 $[0,1]$ 上の 変数によって記述できるときは,形状変化の一周期における生物の移動距離が ゼロとなることを主張する「Purcell の帆立貝定理」が知られている。これは微小生物 の運動形態に強い制約を与える重要な定理であり多くの研究者が部分的な 証明を試みてきたが,完全な証明は知られていなかった。そこで,周囲に流体が 存在しない生物を仮想的に導入し,生物運動を形状変形運動と 重心・回転運動に分離することによって,この定理の完全な証明を与えた。

・データ適合型ウェーブレットの開発とウェーブレットの応用
 データ解析に利用するために,与えられた波形に近い関数形を持つウェーブレッ ト(双直交ウェーブレット)の構成方法を開発している。基本的には,2スケー ル関係式の係数によって作られるシンボルと呼ばれる関数の形を最適化するこ とで,双直交ウェーブレットを構成する。直交ウェーブレット展開の特性を 利用したデータ解析や波形合成,特に大規模構造物設計用の地震波形合成, などを行っている。
  1. Time averaged properties along unstable periodic orbits and chaotic orbits in ordinary differential equation systems, Phys. Rev. E, vol.79, 015201:1-4, 2009. (with Y.Saiki)
  2. Closed vortex in a rotating polar cap, Theor. Appl. Mech., Eds. T. Tamura and N. Izumi, Vol.58, pp.131--143, 2010. (with Y. Taniguchi and H. Kitauchi)
  3. Amplitude-phase synchronization at the onset of permanent spatiotemporal chaos, Physical Review Letters, vo.104, 254102:1-4, 2010. (with A.C.Chian, R.A.Rodrigo, E.L.Rempel and Y.Saiki)
  4. Long-time asymptotic states of forced two-dimensional barotropic incompressible flows on a rotating sphere Physics of Fluids, 22, 056601:1-9, 2010. (with K.Obuse and S.Takehiro)
  5. Jet formation in decaying two-dimensional turbulence on a rotating sphere, Proceedings of the IUTAM Symposium on Turbulence in the Atmosphere and Oceans, D. Dritschel(Ed.), Springer, IUTAM BOOKSERIES, 28, 253--263, 2010. (with S. Yoden, Y.-Y. Hayashi, K. Ishioka, Y. Kitamura, S.Nishizawa, S.Takehiro)
  6. Stability and bifurcation diagram of Boussinesq thermal convection in a moderately rotating spherical shell, Physics of Fluids, 23, 074101:1--11, 2011. (with K.Kimura and S.Takehiro)
  7. Retrograde equatorial surface flows generated by thermal convection confined under a stably stratified layer in a rapidly rotating spherical shell. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 105, (2011) 61--81. (with Shin-ichi Takehiro and Yoshi-Yuki Hayashi)
  8. Linear stability of steady zonal jet flows induced by a small-scale forcing on a beta-plane, Physica D, 240, 1825--1834, 2011. (with K.Obuse and S.Takehiro)
  9. A note on the transition of the polar cap flow to the westward flow on a rotating sphere. 60th Japan National Congress for Theoretical and Applied Mechanics, vol.60, pp.29--42, 2011. (with Y.Taniguchi)
  10. Covariant Lyapunov analysis of chaotic Kolmogorov flows Physical Review E, 01633:1--10, doi: 10.1103/PhysRevE.85.016331, 2012, (with M.Inubushi, M.U.Kobayashi and S.Takehiro)

准教授 荒川 知幸 (表現論)
 主に無限次元代数の表現論を研究している。特にアフィンKac-Moody代数や Virasoro代数などの無限次元Lie環,さらに無限次元Lie環のある種の一般化である$W$代数の 表現論について興味がある。またこれらを統一的に扱う枠組みである頂点代数の 理論にも興味がある。
 論文[1], [2], [3], [9], [10]は$W$代数の表現論に関する研究である。$W$代数は二次元 の共形場理論に起源を持つが,可積分系,量子群,モジュラー表現論,幾何学的 Langlands対応および4次元のゲージ理論などさまざまな話題とも密接に関係す る興味深い対象である。ただその構造は極めて複雑であり,そのため 未解決な問題が数多く残っている。$W$代数の定義にはいくつかの方法があるが,カイ ラルハミルトニアン構成法によるものが最も見通しが良い。これらの論文ではカ イラルハミルトニアン構成法の手法により その表現論を研究した。特に極小冪零元や主冪零元に付随する $W$代数,あるいは$A$型の任意の冪零元に付随する$W$代数の 任意の最高ウエイト表現の既 約指標がこれらの論文によって決定された。 頂点代数には [9]はこれらの結果の応用を目指すと同時に 随伴多様体の理論の頂点代数に対する 有効性を確認することを目的としたものである。 P. Fiebigとの共同研究である論文[5], [7]はアフィンリー環の臨界レベルの 表現論を研究し,特に[8]ではFeigin-Frenkel予想の一部である(new) linkage principleを証明した。これらの論文では[2]の結果が本質的に用いられる。 D.Chebotarov とF. Malikovとの共同研究[4]ではカイラル$D$加群のアフィン Kac-Moody代数の表現論への応用を始めた。カイラル$D$加群とは通常の$D$加群のア フィン版であり,層としては頂点代数の加群の層である。続くF. Malikovとの共 同研究[6]では[4]の理論のアフィンKac-Moody代数の指標公式への応用を行った。 論文[10]では臨界レベルのW代数について研究した。
  1. Representation Theory of Superconformal Algebras and the Kac-Roan-Wakimoto Conjecture, Duke Math. J., Vol. 130 (2005), No. 3, 435-478.
  2. Representation Theory of W-Algebras, Invent. Math., Vol. 169 (2007), no. 2, 219--320.
  3. Representation theory of W-algebras, II, Adv. Stud. Pure. Math. 61(2011), 51--90.
  4. Algebras of twisted chiral differential operators and affine localization of g-modules, Selecta mathematica, new series, vol.17, no. 1, 1-46, 2011.
  5. On the restricted Verma modules at the critical level, to appear in Trans. Amer. Math. Soc.
  6. A chiral Borel-Weil-Bott theorem, Adv. Math., 229 (2012) 2908-2949.
  7. The linkage principle for restricted critical level representations of affine Kac-Moody algebras, to appear in Compos. Math.
  8. A remark on the C_2-cofiniteness condition on vertex algebras, Math. Z. vol. 270, no. 1-2, 559-575, 2012.
  9. Associated varieties of modules over Kac-Moody algebras and C_2-cofiniteness of W-algebras, arXiv:1004.1554[math.QA].
  10. W-algebras at the critical level, Contemp. Math. 565, 1--14, 2012.

准教授  小嶋 泉(場の量子論の研究)
 ミクロ量子とマクロ古典をつなぐ「量子古典対応」の深い物理的含意を数学的方法論の形で具現化した「ミクロ・マクロ双対性」[3] とそれを圏論的随伴として組込んだ理論枠=「4項図式 (quadrality scheme)」[5] を整備し,それを用いて量子場のミクロ動力学とそれが産み出す多様なマクロ現象・構造との相互関係を研究している。相対論的量子場の局所熱的状態の 数学的定式化[1] および代数的量子場の「セクター」概念を拡張したセクター構造を方程式論的に制御する \textquotedblleft selection criterion\textquotedblright\ に基づいて,記述対象の物理的状況に適した量子状態の族を選び出せば,その物理的解釈が圏論的随伴により定まる[2]。 この方法の具体的運用を通じて枠組自体を拡充・整備し,量子場理論をミクロ自然の普遍的言語として確立することが中心的な課題である。
 セクター理論は群双対性と(環の)ガロア理論により,群不変量である観測量に関するマクロデータだけからミクロ量子場とそれに働く内部対称性の群の再構成を実現する。 論文[2]は,セクター概念を因子表現に一般化して破れのない対称性に適用を限る制約を除去し,対称性の破れた一般状況へ理論を拡張して,温度概念をスケール不変性の破れに伴う秩序変数に同定した。この枠組を「逆問題」の文脈に置くと帰納と演繹が双方向的に制御され,Tsallis entropy,$\alpha$-divergence 等の非加法的統計量も統一的に扱える [5]。 この一般化「セクター」の概念は,ミクロ量子系とマクロ古典系とを分ける「境界」として機能すると共に,両者を「ミクロ・マクロ複合系」に統合し,圏論的随伴関係に置く。そこでは,マクロ秩序変数は外部から持ち込まれることなくミクロ量子系内部から表現の中心として生成・創発し,そのスペクトルがミクロ量子系の多様な構造・配置を記述・分類・解釈する分類空間として働く。古典的マクロレベルの幾何構造の持つ数学的普遍性はこの随伴関係で基礎づけられ,ミクロ系と種々の古典的マクロレベルとをつなぐ普遍的相互関係が「ミクロ・マクロ双対性」 [3] として明確に定式化される。
 セクター間構造としてのミクロ・マクロ相互関係に対して,ミクロ量子系固有の特性解明に不可欠なセクター内部の解析は,測定量から定まる極大可換部分環とそれに伴う Kac-竹崎作用素で可能となる [3]:後者によりセクターの内部探索に必要な相互作用が決まり,接合積に関する竹崎双対定理により測定データの構造からミクロ量子系を記述する代数が決定される。この相互作用はミクロ量子系に接する測定系のミクロ端の量子状態変化を引起こすと共に,その微視的状態変化から測定器示針の振れへの増幅を Lévy 過程として 記述する [4]。 この扱いを上記対称性の破れの議論と統合し,「相分離」過程を数学基礎論の「強制法」を用いて定式化すれば,時空間の物理的創発が説明可能となる[8]。 この新しい物理的視角から一般相対論的時空,等価原理, 重力の本質を見直す\cite{IO10} と,重力の吸込み口及び重力波の不在が結論され [8],更に4つの相互作用の新しい意味での統合とその歴史的生成過程の理論的記述も視野に入ってくる(\textquotedblleft How to Unify Interactions?\textquotedblright\ ,RIMS 研究集会「独立性と従属性の数理」2011.12,Nagoya Winter Workshop 2012.2 での招待講演等)。また,量子場の測定は従来,散乱過程しか理論的扱いがなかったが,量子場の局所状態の相空間的性質に基づく演算子展開を群双対性と結びつけると,くりこみ処方の非摂動的再定式化[6] も可能で,そこから量子場の測定過程を一般的・具体的に論ずる新たな展望が開ける[7]。例えば massless 光子の局在化条件の解明 [9] や無限自由度量子系に大偏差原理を組込み統計的推論・量子系制御に向けた統一的枠組[10] の整備等,新たな課題が山積する。
  1. Thermodynamic properties of non-equilibrium states in quantum field theory, Ann. Phys. (N.Y.) 297, 219 - 242 (2002) (with D. Buchholz and H. Roos).
  2. A unified scheme for generalized sectors based on selection criteria ---Order parameters of symmetries and of thermal situations and physical meanings of classifying categorical adjunctions---, Open Systems and Information Dynamics 10, 235-279 (2003); Temperature as order parameter of broken scale invariance, Publ. RIMS (Kyoto Univ.) 40, 731-756 (2004).
  3. Micro-macro duality in quantum physics, 143-161, Proc. Intern. Conf. "Stochastic Analysis: Classical and Quantum", World Sci., 2005.
  4. How to observe and recover quantum fields from observational data? --Takesaki duality as a Micro-macro duality-- (with M. Takeori), Open Systems and Information Dynamics 14, 307 - 318 (2007); Micro-Macro duality and emergence of macroscopic levels, Quantum Probability and White Noise Analysis, 21, 217 - 228 (2008); A unified scheme of measurement and amplification processes based on Micro-Macro Duality -- Stern-Gerlach experiment as a typical example --, Open Systems and Information Dynamics 16, 55--74 (2009) (with R. Harada).
  5. Meaning of Non-Extensive Entropies in Micro-Macro Duality, J. Phys.: Conf. Ser. 201 012017 (2010).
  6. Perspectives from Micro-Macro Duality -- Towards non-perturbative renormalization scheme --, Quantum Probability and WNA 24, 160 - 172 (2009).
  7. Roles of asymptotic conditions and S-matrix as Micro-Macro Duality in QFT, Quantum Probability and WNA 26, 277 - 290 (2010).
  8. Micro-Macro duality and space-time emergence, Proc. Intern. Conf. "Advances in Quantum Theory", 197 -- 206 (2011); New interpretation of equivalence principle in General Relativity from the viewpoint of Micro-Macro duality (arXiv:gen-ph/1112.5525), Foundations of Probability and Physics 6, Sweden, 2011.6 (invited talk).
  9. Who has seen a photon? (arXiv:physics.gen-ph/1101.5782v1 (2011)) (with H. Saigo).
  10. Large deviation strategy for inverse problem, arXiv:quant-ph/1101.3690 (2011) (with K. Okamura).

准教授 河合 俊哉 (場の理論・弦理論・数理物理学)
 手法としても研究対象としても2次元(超)共形場の理論と関連する数理物理に 永らく興味を持ち続けているが, 近年は超対称性のある場の理論や弦理論の物理が代数多様体の数え上げ幾何と 関連している場合に関心がある。
 具体的には,(ある種の楕円カラビ・ヤウ多様体にコンパクト化した) F 理論 ないし $IIA$ 型弦理論と混成的弦理論(の適当なコンパクト化)の間に成立する と予想されている双対性の理解およびBPS状態の数え上げとしての 定量的検証を近年の研究主題としている。 混成的弦理論はゲージ理論や重力理論などの馴染みの物理との関係が見やすく, また数学的には表現論と近い関係にあるといってもよい。一方 F 理論ないし $IIA$ 型弦理論では考えている楕円カラビ・ヤウ多様体の グロモフ・ウィッテン不変量やDブレーンの解釈としての「層の足し上げ」 などの数え上げ幾何のテーマと関係する。 特にBPS状態の数え上げに対する生成関数をボーチャーズ積の類似として解釈することを試みている。また具体例で試行錯誤してみると上記の数え上げ幾何以外にも ヤコビ形式,不変式論,保型形式,楕円コホモロジー,表現論などの諸分野が 有機的にからみあっていることが分かってきた。 これらの諸概念を何らかの意味で統一する様な形で弦理論双対性を理解できれ ばと願っている。
 ゲージ理論と開カラビ・ヤウ多様体の対応は近年盛んに研究されているが, 量子重力を含む場合を取り扱おうとすると閉(楕円)カラビ・ヤウ多様体を 考えなければならない。考えている状況の限りでは量子重力の難しさは 豊穣な「楕円」数学の世界と呼応しているようである。従って,困難ではあるが 物理的にも数学的にも意義深く挑戦しがいがあると考えて日々研究している次第である。
  1. K3 surfaces, Igusa cusp form and string theory, in Topological field theory, primitive forms and related topics, (M. Kashiwara, A. Matsuo, K. Saito and I. Satake, eds.), Progr. Math. 160, Birkhäuser 1998.
  2. String duality and enumeration of curves by Jacobi forms, in Integrable systems and algebraic geometry, (M.-H. Saito, Y. Shimizu and K. Ueno, eds.), World Scientific 1998.
  3. String partition functions and infinite products, (with K. Yoshioka) Adv. Theor. Math. Phys., 4 (2000), 397--485.
  4. String and Vortex, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 40 (2004), 1063--1091.
  5. Abelian Vortices on Nodal and Cuspidal Curves, JHEP11(2009)111.
  6. Twisted Elliptic Genera of N=2 SCFTs in Two Dimensions, preprint.

准教授 川北 真之 (代数幾何学)
 双有理幾何学の基礎は,各双有理同値類を代表する多様体の抽出及び解析である。極小モデル理論はその抽出を標準因子の比較によって実現させる理論であり,極小モデルプログラム(MMP)として定式化されている。3次元では森が本来のプログラムを作り,その後主にShokurovの努力により完成した。MMPの完成にはフリップの存在と終止が必要であるが,Birkar,Cascini,Hacon,McKernanは特殊な状況下でのMMPを機能させ,特に一般次元でフリップの存在を示した。
 3次元双有理幾何の詳細な理解の要請に応えて,私は3次元因子収縮写像の系統的研究を行った。3次元では収縮先が点のときが本質的で,これらの写像を食違い係数が小さい場合を除き完全に分類し,残る場合も分類方法を確立した。研究過程ではReidのgeneral elephant予想も証明した。
 高次元MMPの目下の最重要な課題はフリップの終止予想である。私の差当っての指針は,MMPの過程で現れる特異点の,極小対数的食違い係数の視点からの研究である。MMPの特異点は極小対数的食違い係数により定義され,係数の大小は特異点の程度を反映する。さらにフリップの終止は係数の下半連続性と昇鎖律の二予想に還元されるからである。
 私は始めに逆同伴問題を研究した。(逆)同伴とは,多様体と因子の組から因子上に新たな組が導入されるときの,両組の特異点の比較である。私は両組の対数的標準性の同値性を証明した。対数的標準性とは極小対数的食違い係数が0以上のことである。より一般に両組の極小対数的食違い係数の一致が予想され,Ein,Musta\c{t}\u{a},安田のモチーフ積分論の手法の一般化を試行した。
 極小対数的食違い係数の下半連続性及び昇鎖律のどちらの系でもある基本的な主張として,係数の有界性がある。それはRiemann--Roch公式による粗い評価から,特異点の程度が良い場合の重複度或いは埋込次元の有界性に帰着される。その手法を推し進めて特異点の超平面切断から得られるArtin環を解析し,3次元の係数の有界性及び3次元Gorenstein端末特異点の特徴付けを回復した。
 極小対数的食違い係数の代わりに,それを重複度で割ったものに相当する対数的標準閾を考えると扱い易い。昇鎖律への応用から,Kollár及びde Fernex,Ein,Musta\c{t}\u{a}は対数的標準閾のイデアル進半連続性を示したが,私はその極小対数的食違い係数への拡張を研究した。先ず純対数的端末特異点の設定で,モチーフ積分論を用いて係数のイデアル進半連続性を証明した。さらに多様体と因子の組,及びイデアルの指数が指定された時の,対数的標準な三つ組上の対数的食違い係数全体の集合の離散性を示し,系として局所完全交叉特異点の極小対数的食違い係数の昇鎖律を得た。
  1. Divisorial contractions in dimension three which contract divisors to smooth points, Invent. Math., 145 (2001), 105-119
  2. Divisorial contractions in dimension three which contract divisors to compound A1 points, Compositio Math., 133 (2002), 95-116
  3. General elephants of three-fold divisorial contractions, J. Amer. Math. Soc., 16 (2003), 331-362
  4. Three-fold divisorial contractions to singularities of higher indices, Duke Math. J., 130 (2005), 57-126
  5. Inversion of adjunction on log canonicity, Invent. Math., 167 (2007), 129-133
  6. On a comparison of minimal log discrepancies in terms of motivic integration, J. Reine Angew. Math., 620 (2008), 55-65
  7. Towards boundedness of minimal log discrepancies by Riemann--Roch theorem, Am. J. Math. 133 (2011), 1299-1311
  8. Ideal-adic semi-continuity problem for minimal log discrepancies, arXiv:1012.0395
  9. Supplement to classification of three-fold divisorial contractions, Nagoya Math. J. 206 (2012), 67-73
  10. Discreteness of log discrepancies over log canonical triples on a fixed pair, arXiv:1204.5248

准教授 Kirillov, Anatoli (Algebraic Analysis and Algebraic Combinatorics)
 In recent years (2007-2012) 10 my papers (according to Mat.Sci.Net) have been published in different reviewed Mathematical journals, and 5 my papers are still in press. In these papers different aspects of Classical and Quantum Schubert Calculi, Algebraic Combinatorics, Discrete Integrable Systems and Representation Theory have been investigated.
 In papers [3,4,5,6,11] jointly with T.Maeno, we continue the study of various interesting connections between certain noncommutative braided Hopf algebras and Classical and Quantum Schubert and Grothendieck Calculi, as well as noncommutative differential Geometry on Coxeter groups in the sense of S.Majid. In particular,
 we described relations between flat connections on Weyl groups of classical type;
 we find the so-called Nichols--Woronowicz algebra model for the small quantum cohomology ring and the Grothendieck ring of flag varieties of classical type.
 As an application of our approach, we proved positivity of certain $B_n$ type Littlewood--Richardson numbers.
 We extend part of our results to the case of the complex reflection groups, including construction of Dunkl elements and Nichols --Woronowicz type model for the coivariant algebra of the corresponding complex reflection group.
 We have describe relations between elliptic Dunkl elements, which can be treated as a description of the elliptic cohomology of the type A flag varieties.
 In paper [2] I continue the study of certain quadratic algebras related with Schubert Calculus, hyperplane arrangements, double coinvariants and so on. In particular, I computed the Hilbert series of the classical Yang-Baxter algebras, described commutative subalgebras generated by Dunkl's elements, introduced and investigated double Orlik-Solomon algebras and so on. I also constructed the hyper-elliptic representation of the algebra I'm interested in, and relate the former with the theory of elliptic
 hypergeometric functions.
 In paper [1] jointly with B.Feigin and S.Loktev, we find interesting connections between Higher Level Weyl Modules and the theory of plane partitions. In particular, we proved that a certain level k 2D Weyl module has dimension at least equals (conjecturally equals) to the number of plane partitions of generalized staircase shape.
 In papers [7], [8], jointly with R. Sakamoto we began to study different aspects of relationships between the rigged configurations bijection, invented by the author in 1985, and combinatorics of Ball-Box systems, Macdonald polynomials, energy functions and melting crystal models.
 In papers [9], [10], jointly with H.Katsura, N.Kawashima, V.Korepin and S.Tanaka we began to study some statistical models on graphs related with certain problems in condensed matter.
 In papers [12], [13] I have discovered some interesting and new connections between $\beta$-Grothendieck polynomials, $k$-dissections of a convex $(n+k+1)$-gon, Chan-Robbins polytope and some symmetry classes of plane partitions.
  1. Combinatorics and Geometry of Higher Level Weyl Modules (with B.Feigin and S.Loktev), Advances in the Matematical Sciences, Ser.2, 221 (2007), 33-48.
  2. On some quadratic algebras,II, Preprint, 150p., submitted.
  3. Extended quadratic algebra and a model of the equivariant cohomology ring of flag varieties (with T. Maeno), Algebra and Analysis, 21 (2010) no. 4.
  4. Nichols--Woronowicz model of coinvariant algebra of complex reflection groups (with T.Maeno), J. Pure Appl. Algebra, 214 (2010), no. 4, 402-409.
  5. Braided differential structure on Weyl groups, quadratic algebras, and elliptic functions (with T. Maeno), Int. Math. Res. Not. IMRN 2008, no. 14.
  6. Skew divided difference operators and Schubert polynomials. SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl., 3 (2007), Paper 072, 14 pp.
  7. Paths and Kostka--Macdonald polynomials (with R. Sakamoto), Moscow Mathematical Journal, 9 (2009) no.4, 823-854.
  8. Relationships between two approaches: rigged configurations and 10-eliminations, Lett. Math. Phys., 89 (2009), no. 1, 51--65. 37 (with R. Sakamoto).
  9. The valence bond solid in quasicrystals (with V. Korepin), 2009, submitted.
  10. Entanglement in Valence-Bond-Solid states on symmetric graphs, with H.Katsura, N.Kawashima, V.Korepin and S.Tanaka, Journal Phys. A, 43 (2010), no.255303 28p.
  11. Affine nil-Hecke algebras and braided differential structure on affine Weyl groups (with T. Maeno), submitted. Preprint arXiv:1008.3593.
  12. Algebraic and combinatorial properties of Dunkl elements, Quantum Integrable Systems, Singapore-2011, World Scientific, 2012.
  13. Combinatorial and algebraic properties of Dunkl elements, preprint, 44 pp., submitted.

准教授 斉藤 盛彦 (代数解析学の研究)
 ホッジ加群[1][2]や$D$-加群の理論の応用等について研究を続けている。コンツェヴィチの予想に関するサバ氏との共同研究[3]では,帰納的極限をうまく処理する為には代数多様体の滑層分割だけでは十分でなく,以前バルレ氏との共同研究で得られたブリースコーン加群の構成可能層に関する結果を使わなければならない事が判明し,現在その一般化を研究中である。超曲面の特性類と仮想特性類との差を表すミルナー類に関するマキシム及びシュルマンの両氏との共同研究では,これを非特異射影多様体の完全交叉部分多様体の場合に拡張するのが自然である事が解り,現在その論文[4]を書いている最中であるが,孤立特異点の場合に得られた類がミルナーコホモロジー上の普遍変形を使った自然な混合ホッジ数からきたものと一致することの証明が残っている。特異点の理論に関するディムカ氏との共同研究においては,まず無限遠点において従順な特異性を持つ多項式で定義された写像に付随した局所系の無限遠点におけるウェイトフィルトレーションのモノドロミー性に関するサバ氏の結果を,フーリエ変換や非確定特異点型の微分方程式系等を使わずに,特異点の専門家にとっても解り易い方法で証明する共同論文[5]を書いた。これに続いて,代数多様体の族に対してその局所モノドロミーのジョルダン因子の中で大きさが理論上最大値を取るものの個数を,特異点の還元により得られた正規交叉因子の重複度等を使って一定の条件下において表す公式[6]を得た。この証明にはステンブリンク氏やズッカー氏等によって始められた幾何学的極限混合ホッジ構造の理論が本質的に使われる。ただしここでより興味あるのは,その個数が組合せ論的な情報だけでは決まらない様な例が存在する事のように思われる。また,以前ディムカ氏等と行った非特異射影超曲面に関するグリフィスの結果を特異点がある場合に拡張する研究の続き[7]も現在進行中である。
  1. Modules de Hodge polarisables, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 24 (1988), 849--995.
  2. Mixed Hodge Modules, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 26 (1990), 221--333.
  3. Kontsevich's conjecture on an algebraic formula for vanishing cycles of local systems, preprint (with Claude Sabbah)
  4. Hirzebruch-Milnor classes of complete intersections, preprint (with Laurentiu Maxim and Jörg Schürmann)
  5. Weight filtration of the limit mixed Hodge structure at infinity for tame polynomials, preprint (with Alexandru Dimca)
  6. Number of Jordan blocks of the maximal size for local monodromies, preprint (with Alexandru Dimca)
  7. Koszul complexes, filtered Gauss-Manin systems and pole order filtrations, preprint in preparation (with Alexandru Dimca)

准教授 竹井 義次 (微分方程式の研究)
 Borel 総和法に基礎をおく完全 WKB 解析は,1次元 Schrödinger 方程式 の固有値やスペクトル函数を論じた Voros や Silverstone の先駆的な仕事 以来,次第にその適用範囲を広げてきた。我々の周辺でも,2階 Fuchs 型 方程式のモノドロミー群の具体的計算,Painlevé 方程式のインスタントン 型形式解に対する単純変わり点における構造定理,積分表示式に対する従来の 最急降下法を完全 WKB 解析を用いて一般化した「完全最急降下法」の創出等, 着実に成果は上がってきた。しかし,WKB 解やインスタントン型形式解の (Ecalle の意味での)再生函数としての構造の解析や,仮想的変わり点が 存在し Stokes 曲線の構造が複雑な高階方程式の場合への完全 WKB 解析の 拡張等については,未だ十分な理解が得られたとは言えない状況である。 最近は完全 WKB 解析に関するこうした基本的な課題について,多方面からの 研究を行っている。
 まず線型方程式に対する WKB 解の Borel 変換の構造解析については,複数の 変わり点が存在することに由来する「動かない特異点」が主たる課題である。 こうした「動かない特異点」の構造も,Weber 方程式や Whittaker 方程式 への変換論を利用することにより厳密に解析できることが最近明らかになった ([5],[6],[7],[10])。さらに,非線型方程式である II 型 Painlevé 方程式の インスタントン型形式解に対しても,こうした「動かない特異点」が存在し それに付随してある種の Stokes 現象が起こることが大学院生の岩木耕平君に より最近示された。Costin,Schäfke,小池,等により進められている WKB 解の Borel 総和可能性に対する漸近解析的研究をより一層発展させ,標準形 への変換論とうまく組み合わせることで,WKB 解やインスタントン型形式解の 再生函数としての大域構造の解析に大きな進展が得られるのではないかと期待 される。
 他方,高階方程式の仮想的変わり点については,変形パラメータを導入し, さらにその変形パラメータも変数と見なして偏微分方程式系を考えることに より,その構造がより自然に理解できるらしいことが次第に明らかに なりつつある ([2])。このアプローチはまた,高階 Painlevé方程式が 多変数の非線型可積分系の制限として得られるという小池や坂井の結果とも 妙に符合する。Birkhoff 標準形を利用したインスタントン型形式解の構成 ([4]) と第1種変わり点における構造定理 ([3],[8]) により基本的な枠組が 出来上がった高階 Painlevé 方程式に対する完全 WKB 解析を,こうした 視点から捉え直すことは非常に興味深いテーマである。2階の Painlevé 方程式に対する2重変わり点や単純極における構造定理 ([9]) の高階 方程式への一般化や,高階方程式特有の第2種変わり点における構造定理 の確立と共に,こうした問題に対して今後特に関心をもって取り組んで 行きたい。
  1. 特異摂動の代数解析学, 岩波書店, 2008 (1998年刊行の講座版の単行本化, 河合隆裕との共著).
  2. Virtual turning points and bifurcation of Stokes curves for higher order ordinary differential equations, J. Phys.A: Math.Gen., 38(2005), 3317-3336 (with T. Aoki, T. Kawai, S. Sasaki and A. Shudo).
  3. WKB analysis of higher order Painlevé equations with a large parameter, Adv. Math., 203(2006), 636-672 (with T. Kawai).
  4. Instanton-type formal solutions for the first Painlevé hierarchy, Algebraic Analysis of Differential Equations, Springer-Verlag, 2008, pp.307-319.
  5. Sato's conjecture for the Weber equation and transformation theory for Schrödinger equations with a merging pair of turning points, RIMS Kôkyôroku Bessatsu, B10(2008), 205-224.
  6. The Bender-Wu analysis and the Voros theory. II, Advanced Studies in Pure Mathematics, Vol.54, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2009, pp.19-94 (with T. Aoki and T. Kawai).
  7. On the WKB theoretic structure of a Schrödinger operator with a merging pair of a simple pole and a simple turning point, Kyoto Journal of Mathematics, 50 (2010), 101-164 (with S. Kamimoto, T. Kawai and T. Koike).
  8. WKB analysis of higher order Painlevé equations with a large parameter. II, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 47 (2011), 153-219 (with T. Kawai).
  9. On the turning point problem for instanton-type solutions of Painlevé equations, preprint (RIMS-1693), 2010, to appear in Asymptotics in Dynamics, Geometry and PDEs; Generalized Borel Summation, Vol.2, Edizioni della Normale, 2011, pp.255-274.
  10. Exact WKB analysis of a Schrödinger equation with a merging triplet of two simple poles and one simple turning point, preprint (RIMS-1735), 2011 (with S. Kamimoto and T. Kawai).

准教授 竹広 真一 (地球および惑星流体力学の研究)
 地球および惑星などの天体での流体現象を記述し考察するための 流体力学の研究を行なっている。 地球および惑星規模の流れの特徴的な性質を与える主な要因として, 惑星が自転していること・重力と密度成層・構成物質の相変化 ・領域が球形であること,といった点があげられる。 惑星大気やマントル・中心核の現象の複雑な状況を単純化したモデルを構成し, その中に登場する自転速度や重力と密度成層の強さ, 球の半径などのパラメターを様々に変えて, 計算機を用いた数値実験によって流れの様子を求め, さらに数値実験結果に現れた流れの性質を統合的にとらえるための理論を 構築することを試みる。 このような作業を通じて 地球や惑星のさまざまな流体現象に内在する基本的な流体力学的ふるまいを 理解することを目指している。 また,上記の研究を効率的に行なうための 数値計算技法とソフトウェアの開発も行なっている[4]。 単純化したモデルを用いて流れの基本的な性質を掌握しておくことは, さまざまな物理過程を取り込んだシミュレーションモデルにおいて 表現されるべき流体力学過程を明らかにすることとなり, そのことが地球や惑星の構造とその進化に対する予言能力の獲得に つながると期待される。
 これまでの具体的な研究テーマの一つとして, 木星型惑星大気・太陽大気および惑星中心核の単純化したモデルである 回転球殻内での熱対流の研究があげられる。 この問題に対して,近年急速に発達した計算機を利用して線形安定性 と弱非線形計算を数値的に実行し, 球殻の回転角速度や厚さなどのパラメターを広い範囲で変化させて 発生する熱対流の構造の変化の様子を調べ, その流れの支配要因の分析を詳細に行った[3,4]。 その結果,回転が遅い場合には回転と逆向きに 伝播するバナナ型の対流セルが出現すること,回転が速い場合には回転方 向と同じ向きに伝播する回転軸に沿った柱状あるいは螺旋状に棚引い た対流セルが出現すること,そしてこの傾向は球殻の厚さに関係なくテイ ラー数にして $10^4$ 程度のところで遷移すること,を見出した。 そして バナナ型・柱型・螺旋型といった対流構造と伝播性質が,実は渦度の 伸縮に伴う波動運動の性質の違いによるものであることを見出し,従来の 単にみかけの形態による対流パターンの分類を力学的な構造に結びつける ことに成功した[3,4]。 加えて,対流の存在によって生成される平均帯状流の構造を, 同様に広いパラメター範囲に渡って求めることを行い,さまざまに変化する帯状 流分布の生成の仕組みを分類し明らかにした[9]。 最近では,地球内核内の流れ[1], 回転球殻内の磁気流体ダイナモ, 木星大気および地球中心核の状況を想定した球殻の上層に安定成層が 存在する場合の熱対流による帯状流分布とその生成過程[2,7], ならびに安定成層内の2次元乱流運動[5]についても考察している。 太陽や木星型惑星の表面の平均帯状流は観測可能な物理量であり, 各天体の大気運動を特徴づけるものとしてそのパターンが以前から注目され、 その生成過程を詳細に調べることは地球惑星科学的な面からも重要である。
  1. Fluid motions induced by horizontally heterogeneous Joule heating in the Earth's inner core, Phys, Earth Planet Inter., 184 (2011) 134-142.
  2. Retrograde equatorial surface flows generated by thermal convection confined under a stably stratified layer in a rapidly rotating spherical shell, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 105 (2011) 61-81. (with M. Yamada and Y.-Y. Hayashi)
  3. On the retrograde propagation of critical thermal convection in a slowly rotating spherical shell, J. Fluid Mech, 659 (2010) 505-515.
  4. Physical interpretation of spiralling-columnar convection in a rapidly rotating annulus with radial propagation properties of Rossby waves, J. Fluid Mech., 614 (2008) 67-86.
  5. Circumpolar jets emerging in two-dimensional non-divergent decaying turbulence on a rapidly rotating sphere, Fluid Dynam. Res., 39 (2007) 209-220. (with M. Yamada and Y.-Y. Hayashi)
  6. SPMODEL: A series of hierarchical spectral models for geophysical fluid dynamics, Nagare Multimedia (2006)
    http://www.nagare.or.jp/mm/2006/index_en.htm (with M. Odaka, K. Ishioka, M. Ishiwatari, Y.-Y. Hayashi and SPMODEL Development Group)
  7. Surface zonal flows induced by thermal convection trapped below a stably stratified layer in a rapidly rotating spherical shell, Geophysical Research Letters, 29 (2002), 10.1029/2002GL015450. (with J. R. Lister)
  8. Numerical modeling of Jupiter's moist convection layer, Geophysical Research Letters, 27 (2000), 3129--3132. (with K. Nakajima, M. Ishiwatari and Y.-Y. Hayashi)
  9. Mean zonal flows excited by critical thermal convection in rotating spherical shells, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 90 (1999), 43--77. (with Y.-Y. Hayashi)
  10. The horizontal cell sizes of mantleconvection induced by the effects of continental plates, Nagare Multimedia 99, Nagare, 18 (1999),
    http://www.nagare.or.jp/mm/99/takehiro/ (with J. Matsumoto)

准教授 照井 一成 (数理論理学に関する研究)
 「古典論理を理解するための非古典論理学」を推進する一方, 計算量,プログラムの意味,評価戦略など,計算機科学にまつわる諸問題を 数理論理学によって解明することを目指している。かつて論理学といえば 「真なる命題→真なる命題」という推論の研究に範囲が限定されていたが, 現代においては「インプット→アウトプット」という計算や, 「エージェント⇔エージェント」というコミュニケーションをも 十分視野に納めている。特に関心をもっているのは, (1)線形論理と(2)部分構造論理である。
 (1)線形論理,これは数学において線形代数が果たすのと同じ役割を 論理学において果たすものである。証明やプログラムは 線形的な部分と指数関数的な部分に分解できるというのがその核心である。 これまでは,線形論理に基づく計算量クラスの特徴付け[5,7,8],線形論理から派生 したルディクス(あそび)の理論に基づく計算論再構築の試みなどを行ってきた[4]。ルディクスのフレームワークは多くの可能性を秘めており,伝統的な完全性定理(証明可能性 vs 反証可能性)をルディクスに基づいて証明-モデル間のコミュニケーションとして理解する試み[3], 再帰型の一意的解釈[1]等の研究を進めている。 他にもたとえばゲーデルの不完全性定理をコミュニケーションの観点から見るとどうなるのか,無限構造上のオートマトンに関する決定問題はどうか,対話的計算量クラスはどうか,など興味の尽きるところがない。
 (2)部分構造論理,これは構造規則を弱めることによって得られる 論理一般の系を考察することにより論理の本質に迫ろうという試みである。 主な成果としては,まず与えられた部分構造論理(シークエント計算)について 証明論の基本定理(”補題を用いて間接的に証明できることは直接的にも証明できる” こと) が成り立つための必要十分条件を代数的に与えたことがあげられる[9,10]。現在提唱 しているのは, 非古典論理における代数的証明論のプログラムであり,これはさまざまな論理的公理 を 証明論的難易度に従って階層づけ,そして証明論的手法と代数的手法の相互作用を通 じて 新しいタイプの結果を出していこうというものである[2,6]。鍵となるのは,証明論の 基本定理は 代数の言葉でいえば完備化に相当するという洞察である。これにより証明論的研究と 代数的研究を結び付けることが可能になり,部分構造論理一般の可能性と限界を画定 するという 目標が一気に現実味を帯びてきた。当面この方針に従って研究を進める予定である。
  1. Michele Basaldella and Kazushige Terui. Infinitary completeness in ludics. Proceedings of IEEE Annual Symposium on Logic in Computer Science (LICS'10), pp. 294-303, 2010.
  2. Agata Ciabattoni, Lutz Stra\ss burger and Kazushige Terui. Expanding the realm of systematic proof theory. Proceedings of Computer Science Logic (CSL'09), pp. 163-178, 2009.
  3. Michele Basaldella and Kazushige Terui. On the meaning of logical completeness. Proceedings of Typed Lambda Calculus and Its Applications (TLCA'09), pp. 50-64, 2009.
  4. Kazushige Terui. Computational ludics. Theoretical Computer Science, 412, Issue 20, pp. 2048-2071, 2011.
  5. Patrick Baillot and Kazushige Terui. Light types for polynomial time computation in lambda calculus. Information and Computation, 207, No. 1, pp. 41-62, 2009.
  6. Agata Ciabattoni, Nikolaos Galatos, and Kazushige Terui. From axioms to analytic rules in nonclassical logics. Proceedings of IEEE Annual Conference on Logic in Computer Science (LICS'08), pp. 229-240, 2008.
  7. Vincent Atassi, Patrick Baillot, and Kazushige Terui. Verification of ptime reducibility for system F terms: Type inference in dual light affine logic. Logical Methods in Computer Science, 3, No. 4, 2007.
  8. Kazushige Terui. Light affine lambda calculus and polynomial time strong normalization. Archive for Mathematical Logic, 46, No. 3-4, pp. 253-280, 2007.
  9. Kazushige Terui. Which structural rules admit cut elimination? An algebraic criterion. Journal of Symbolic Logic, 72, No. 3, pp. 738-754, 2007.
  10. Agata Ciabattoni and Kazushige Terui. Towards a semantic characterization of cut-elimination. Studia Logica, 82, No. 1, pp. 95-119, 2006.

准教授 中山 昇 (代数多様体・複素多様体の研究)
 代数多様体や複素多様体の双有理幾何学を研究している。 小平次元,不正則数,代数次元などの双有理不変量 を用いて多様体の構造を解明している。 このうち標準因子に関係する不変量を特に 重視している。標準因子についてのアバンダンス予想は 飯高加法性予想などを導き,双有理幾何学の中心問題と考えられる。 このような不変量の研究や,分類論上重要と思われる多様体の具体的構造に 興味があり,楕円ファイバー空間やトーラスファイバー空間の研究, ザリスキ分解など代数多様体の因子の数値的性質に関わる研究などを行ってきた。 近年は主に以下のテーマ (1),(2) についての研究が多い。
 (1) 全射だが同型でない自己正則写像をもつ多様体の分類: コンパクト非特異曲面の場合は,代数曲面だけでなく一般の複素解析的 曲面の場合にも分類が完成している [2]。 また小平次元が非負の 3 次元非特異射影代数多様体についても, その構造が解明できた [3]。これらは藤本圭男氏との共同研究で得られた。 その他,エタールな自己正則写像や偏極構造を保つ 自己正則写像の一般論について,D.-Q.Zhang 氏との 共同研究 [5],[6] もある。 ただし,論文 [6] に必要だった ``intersection sheaf'' についての理論は [7] で用意した。 ピカール数1 の非特異ファノ多様体が同型以外の全射自己正則写像を持てば, その多様体は射影空間に限るという予想についての部分的結果が,J.-M. Hwang 氏との共同研究 [9] で得られている。 またテーマ (2) と関連するが, 同型でない全射自己正則写像をもつ曲面について,標数ゼロで 正規射影的曲面の場合については,現在論文を準備中である。 正標数の場合は,自己正則写像に分離的という条件を課すが, この場合の非特異射影的曲面の構造を論文 [8] で調べた。 正標数特有の現象もあるが, 特に小平次元が非負の場合は,その曲面の構造を決定できた。
 (2) ある種の曲面の分類と構成: 石井雄二氏との共同研究により,有理二重点以外の特異点を持つ (3次元射影空間内の) 正規4次曲面の幾何学的分類がなされた [1]。そこで使われた手法の応用によって, 指数2 の対数的デルペッツォ曲面の任意標数での分類に成功した [4]。 標数ゼロの場合,同様の分類が,K3曲面と格子の理論を用いて Alexeev--Nikulin によりなされているが,これとは全く手法が異なる。 昨年からは Y.Lee 氏との共同で,種数ゼロで単連結な一般型曲面を 特殊な特異有理曲面から $\mathbb{Q}$ ゴレンスタイン変形によって構成する,という Lee--Park の方法を正標数に拡張する研究を始めた。ほんの少しの例外を除いて, ほぼすべての代数閉体上に,代数的エタール基本群が自明で 種数ゼロの一般型極小曲面が \(1 \leq K^2 \leq 4\) の範囲で構成できた [10]。 また標数に無関係な $\mathbb{Q}$ ゴレンスタイン変形の一般論を現在構築中である。
  1. (with Y. Ishii) Classification of normal quartic surfaces with irrational singularities, J. Math. Soc. Japan 56 (2004), 941--965.
  2. (with Y. Fujimoto) Compact complex surfaces admitting non-trivial surjective endomorphisms, Tohoku Math. J. 57 (2005), 395--426.
  3. (with Y. Fujimoto) Endomorphisms of smooth projective 3-folds with nonnegative Kodaira dimension, II, J. Math. Kyoto Univ. 47 (2007), 79--114.
  4. Classification of log del Pezzo surfaces of index two, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 14 (2007), 293--498.
  5. (with D.-Q. Zhang) Building blocks of étale endomorphisms of complex projective manifolds, Proc. London Math. Soc., 99 (2009), 725--756.
  6. (with D.-Q. Zhang) Polarized endomorphisms of complex normal varieties, Math. Ann. 346 (2010), 991--1018.
  7. Intersection sheaves over normal schemes, J. Math. Soc. Japan, 62 (2010), 487--595.
  8. Separable endomorphisms of surfaces in positive characteristic, Algebraic Geometry in East Asia -- Seoul 2008, pp.301--330, Adv. Stud. in Pure Math. 60 (2010).
  9. (with J.-M. Hwang) On endomorphisms of Fano manifolds of Picard number one, preprint RIMS-1628, Kyoto Univ. 2008; to appear in Pure and Appl. Math. Quarterly.
  10. (with Y. Lee) Simply connected surfaces of general type in positive characteristic via deformation theory, preprint 2011 (arXiv:1103.5185v1). to appear in Proc.\ London Math.\ Soc.

准教授 葉廣 和夫 (位相幾何学の研究)
 3次元トポロジーにおける代数的および圏論的な構造に興味を持ち研究している。Jones多項式やWitten-Reshetikhin-Turaev不変量などの量子不変量は,タングルの圏やコボルディズムの圏などから,ベクトル空間の圏や加群の圏など代数的に定義される圏への関手として構成される。このような関手を定義するには、量子群と呼ばれるHopf代数が用いられる。
 [1]では,3次元多様体と絡み目のクラスパーに沿った手術により生成される同値関係について研究した。クラスパーはHopf代数的な性質を満たすが、これは、円周を境界に持つ曲面を対象とし,コボルディズムを射とする圏におけるbraided Hopf代数構造(Crane-Yetter,Kerlerによる)と対応している。[5]においては,タングルの圏の部分圏でbraided Hopf代数の「作用」を許容するようなものと,その量子不変量への応用について考察した。また,[9]において,曲面を対象としラグランジアン同境を射とする圏Lにおいて定義される関手として,Le-Murakami-Ohtsuki型の不変量を構成した。[10]において,この関手を曲面のホモロジーシリンダーのなす半群へ応用した。
 [2,8]において,すべての1の巾根における整係数ホモロジー3球面の$sl_2$ Witten-Reshetikhin-Turaev不変量を統一するような不変量を構成した。この不変量は[3]で考察した多項式環の完備化に値をとる。
 3次元多様体の量子不変量の研究において重要な役割を果たすKirbyの定理は,3次元球面内の2個の枠付き絡み目が同相な3次元多様体をDehn手術により与えるための必要十分条件を与える。 [6]において,これの一つの精密化として,整係数ホモロジー球面を考えるときには,絡み行列が対角行列である場合のみを考えれば十分であるということ(Hosteによる予想)を証明した。
  1. Claspers and finite type invariants of links, Geom. Topol., 4 (2000), 1-83.
  2. On the quantum $sl_2$ invariants of knots and integral homology spheres, Geom. Topol. Monogr., 4 (2002), 55-68.
  3. Cyclotomic completions of polynomial rings, Publ. RIMS Kyoto Univ., 40 (2004), 1127-1146.
  4. An integral form of the quantized enveloping algebra of $sl_2$ and its completions, J. Pure Appl. Alg., 211 (2007), 265-292.
  5. Bottom tangles and universal invariants, Alg. Geom. Topol., 6 (2006), 1113-1214.
  6. Refined Kirby calculus for integral homology spheres, Geom. Topol., 10 (2006), 1185-1217.
  7. Brunnian links, claspers and Goussarov-Vassiliev finite type invariants, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 142 (2007), 459-468.
  8. A unified Witten-Reshetikhin-Turaev invariants for integral homology spheres, Invent. Math., 171 (2008), 1-81.
  9. A functorial LMO invariant for Lagrangian cobordisms, Geom. Topol., 12 (2008), 1091-1170. (with D. Cheptea and G. Massuyeau)
  10. Symplectic Jacobi diagrams and the Lie algebra of homology cylinders, J.Topology, 2 (2009), 527-569. (with G. Massuyeau)

准教授 牧野 和久(離散最適化とアルゴリズムの研究)
 グラフ理論、あるいは、組合せ論などの離散的な構造を解析する研究、あるいは,それらの構造を利用した最適化やアルゴリズムの研究を行っている。
 代表的な研究としては、単調な論理関数の双対化問題を研究している[1]。単調な論理関数の双対化問題とは、与えられた論理積形からそれと等価な単調な論理和形を求める問題であり、数理計画,人工知能,データベース,分散システム,学習理論など様々な分野に現れる数多くの重要かつ実用的な問題と(多項式時間還元の意味で)等価であることが知られている.1996 年にFredmanとKhachiyan による準多項式時間で解けることは示されているが、未だに多項式時間で解けるかどうかわかっていない。この双対化問題は,この問題は、単調論理関数の論理積形、論理和形という2つの双対的な表現が与えられたときに、それらが等価であるかを判定する問題と等価であり、人工知能分野において重要な役割をもつホーン理論におけるホーンルールと特性ベクトル集合という双対表現の等価性とも関連する[2]。また、列挙分野においてその計算量が未解決であった多くの問題がこの双対化問題に準多項式帰着可能であることがわかってきた[3,4]。
 また、推論分野における論理仮説の補完問題に対して、広く信じられていた予想を覆し、最も重要なクラスであるホーン推論において、逐次多項式時間で可能であることを示した[5]
 上記以外にも、整数線形不等式系[6]、相補性問題[7]、オンライン最適化問題[8]、ロバスト最適化[9]、ゲーム理論における均衡解に関する研究[10] などを行っている。
  1. New Results on Monotone Dualization and Generating Hypergraph Transversals, SIAM Journal on Computing, 32 (2003) 514-537 (with T. Eiter and G. Gottlob)
  2. Computing Intersections of Horn Theories for Reasoning with Models, Artifical Intelligence 110(1999) 57-101. (with T. Eiter and T. Ibaraki)
  3. Dual-Bounded Generating Problems: All Minimal Integer Solutions for a Monotone System of Linear Inequalities, SIAM Journal on Computing 31 (2002) 1624-1643. (with E. Boros, K. Elbassioni, V. Gurvich, and L. Khachiyan)
  4. Dual-Bounded Generating Problems: Efficient and Inefficient Points for Discrete Probability Distributions and Sparse Boxes for Multidimen- sional Data, Theorical Computer Science 379 (2007) 361-376. (with L. Khachiyan, E. Boros, K. Elbassioni, and V. Gurvich)
  5. On Computing All Abductive Explanations from a Propositional Horn Theory, Journal of the ACM 54 (5) (2007). (with T. Eiter)
  6. Trichotomy for Integer Linear Systems Based on Their Sign Patterns, STACS 2012. (with K. Kimura)
  7. Sparse Linear Complementarity Problems, CIAC 2013. (with H. Sumita, N. Kakimura).
  8. Online Removable Knapsack with Limited Cuts. Theoretical Computer Science 411 (2010) 3956-3964, (with X. Han).
  9. Robust Independence Systems, ICALP (2011) 367-378. (with N. Kakimura)
  10. A Pseudo-Polynomial Algorithm for Mean Payoff Stochastic Games with Perfect Information and a Few Random Positions, ICALP (2013). (with E. Boros, K. Elbassioni, and V. Gurvich)

講師 岸本 展(偏微分方程式の研究)
 非線形偏微分方程式,特に分散型と呼ばれるクラスの発展方程式(非線形シュレディンガー方程式,KdV方程式等が含まれる)について,実解析的手法に基づいて初期値問題の適切性(解の存在と一意性,初期値の変動に対する安定性)や,線形解への散乱・有限時間爆発といった解の時間大域的性質等を研究している。線形分散型方程式の発展作用素は,放物型方程式ほど顕著ではないが,その分散性(異なる周波数の波が異なる速度で伝播する性質)からくるある種の平滑化効果を持ち,これは非線形方程式の解の性質を広いクラスの初期値に対して論じようとする際に常に重要な道具となる。1990 年代に登場したフーリエ制限ノルム法は,この種の平滑化効果を捉える新たな手法として,非線形分散型方程式の研究を飛躍的に進展させた。
 現在までの研究では,方程式の線形部分の性質に基づいたフーリエ制限ノルム法に,個々の方程式の非線形項がもたらす相互作用の影響を考慮した修正を加えて,より精密な結果を得ることに成功した[1-6]。方程式の非線形項を線形部分の性質のみを用いて制御しようとする従来の摂動法に対し,このように非線形性に関する情報を少しでも取り込むことができれば効果的である。一方で,この方法は一つ一つの非線形項に対して試行錯誤しながら修正していくといった側面があり,何らかの統一的な理論の整備が今後の課題として挙げられる。
 最近では周期境界条件下での(即ちトーラス上での)初期値問題に主として取り組んでいる。トーラスのようなコンパクトな空間上では,解の分散性に由来する平滑化効果は大幅に制限されるが,方程式の線形部分のもつ振動の周波数が非線形部分の周波数からずれている状況(非共鳴状態)においては,フーリエ制限ノルム法を用いることである程度の平滑化効果を引き出せる。これを活用すれば通常の(ユークリッド空間上で考える)問題と同様の結果が得られる場合がある[6-8] が,問題によっては本質的な違いが現れることもある[10]。周期境界条件下では,十分な平滑化効果を得られない共鳴状態にある周波数がどれくらいあるかを見積もることが重要となる。波の振動は離散的な波数(格子点)に制限されているので,特定の条件をみたす格子点の個数を評価することが必要となり,この段階で例えば球面上の格子点の個数の評価などといった数論分野の知識がしばしば有用となる。また,空間2 次元以上で各方向の周期が異なる場合に,周期(の比)によって解の性質にどういった違いが現れるかにも興味を持っている。
  1. Local well-posedness for the Cauchy problem of the quadratic Schrodinger equation with nonlinearity $(J\(Bbar{u}^2$, Communications on Pure and Applied Analysis 7 (2008), 1123-1143.
  2. Low-regularity bilinear estimates for a quadratic nonlinear Schrodinger equation, Journal of Differential Equations 247 (2009), 1397-1439.
  3. Well-posedness of the Cauchy problem for the Korteweg-de Vries equation at the critical regularity, Differential and Integral Equations 22 (2009), 447-464.
  4. Counterexamples to bilinear estimates for the Korteweg-de Vries equation in the Besov-type Bourgain space, Funkcialaj Ekvacioj 53 (2010), 133-142.
  5. Local well-posedness for quadratic nonlinear Schrodinger equations and the "good" Boussinesq equation, Differential and Integral Equations 23 (2010), 463-493. (with K. Tsugawa)
  6. Sharp local well-posedness for the "good" Boussinesq equation, Journal of Differential Equations 254 (2013), 2393-2433.
  7. Local well-posedness for the Zakharov system on multidimensional torus, Journal d'Analyse Mathematique 119 (2013), 213-253.
  8. Resonant decomposition and the I-method for the two-dimensional Zakharov system, Discrete and Continuous Dynamical Systems 33 (2013), 4095-4122.
  9. Construction of blow-up solutions for Zakharov system on T^2, preprint, to appear in Annales de l'Institut Henri Poincare (C) Analyse Non Lineaire. (with M. Maeda)
  10. Remark on the periodic mass critical nonlinear Schrodinger equation, preprint, to appear in Proceedings of the American Mathematical Society.

講師 福島 竜輝(確立論)
 主にランダム媒質中の確率過程の研究を行っている。この分野の研究は空間的に一様でない媒質における物理現象を理解するという動機から始まったが,二重のランダムネスが生み出す多様な現象の定式化や解析の過程で数学的にも新しい概念や手法が生まれてきた。典型的なモデルを挙げると,各点での遷移確率がランダムなランダムウォーク(ランダム媒質中のランダムウォーク),強磁性と反磁性がランダムに混ざったスピン系(スピングラス),ランダムポテンシャルを伴うSchrödinger 作用素(Anderson 模型)ながあるが,私自身はこれまではAnderson 模型に関わる研究を中心に行ってきた。
 Anderson 模型は不純物を含む結晶中での電子の運動を記述するモデルとしてP.W.Anderson によって提唱されたモデルであり,そこではとくに低いエネルギーを持つ電子が結晶の中の小さな領域に局在することが議論されている。Anderson の議論は数学的に厳密な証明ではなかったが,その後の多くの数学者の努力によりとくに合金型と呼ばれる,ポテンシャルの配置は規則的であるが高さ(形状)がランダムなモデルに対しては理解が進んできている。一方でポテンシャルの配置がランダムなモデルについては研究が遅れており,合金型に近いと見なせるPoisson 配置の場合を除いてほとんど結果が無かった。そこで[1,2,3] では格子点をランダムに揺動したモデルを考察し,作用素の無限体積極限におけるスペクトル分布の挙動を決定した。これはいわゆるAnderson 局在を示すための重要なステップになるが,局在の証明にはまだ困難があり将来の課題である。なお同じ時期にBaker, Loss, Stolz も類似のモデルを研究したが,彼らは有界な揺動を扱ったのに対して我々の研究では非有界な揺動を考察しており,結果も手法も大きく異なっている。
 また最近はAnderson 模型に対応する拡散過程の局在について,精密な定量的評価を目指して研究している。この方面ではGärtner, König, Molchanov やSznitman による先行研究があり,合金型のポテンシャルで短距離の影響力を持つ場合には拡散過程が通常の時間の平方根のスケールより小さい領域に局在することは知られていた。一方で長距離の影響力を持つ場合は異なるスケールで局在が起こることが予想されていたが,これを[4,5] において実際に確かめた。現在は,ポテンシャルが確率場として長距離相関を持つ状況への拡張や,ポテンシャルに小さな因子を掛けたときの局在の安定性などを調べている。
  1. Brownian survival and Lifshitz tail in perturbed lattice disorder Journal of Functional Analysis, vol. 256, issue 9, 2867-2893 (2009)
  2. Classical and quantum behavior of the integrated density of states for a randomly perturbed lattice (joint work with Naomasa Ueki), Annales Henri Poincar\'e, vol. 11, no. 6, 1053-1083 (2010)
  3. Moment asymptotics for the parabolic Anderson problem with a perturbed lattice potential (joint work with Naomasa Ueki), Journal of Functional Analysis, vol. 260, issue 3, 724-744 (2011)
  4. Second order asymptotics for Brownian motion in a heavy tailed Poissonian potential Markov Processes and Related Fields, vol. 17, issue 3, 447-482 (2011)
  5. Annealed Brownian motion in a heavy tailed Poissonian potential, to appear in Annals of Probability.

講師 星 裕一郎(数論幾何の研究)
 私は ``遠アーベル幾何学'' という観点を中心として,双曲的な代数曲線,及び,それから派生する代数多様体の数論的基本群の研究を行っている。
 [2],[3] では,双曲的曲線の数論的基本群に対するカスプ化問題の研究を行った。双曲的曲線の数論的基本群に対するカスプ化問題とは,与えられた双曲的曲線の数論的基本群から,その曲線の開部分スキームや配置空間の数論的基本群を群論的,関手的に復元することができるか,という問題である。[2] において,一般の体上の双曲的曲線の数論的基本群に対するカスプ化問題の考察を行い,[3] において,有限体上の固有な双曲的曲線の数論的基本群に対するカスプ化問題の副 $\ell$ 版を肯定的に解決した。これらカスプ化問題の研究において,[1] で行われた対数的基本群の一般論,特に,対数的ホモトピー系列の完全性の研究が基本的な役割を果たしている。
 望月新一氏との共同研究 [4],[9] では,組み合わせ論的遠アーベル幾何学の研究を行った。[4] では,ノード非退化な外表現に対する組み合わせ論的 Grothendieck 予想型の結果を証明して,その系として,組み合わせ論的カスプ化の単射性を得た。そして,この単射性によって,Belyi や松本眞氏によって証明されていた,数体や p 進局所体などといった体の上の非固有な双曲的曲線の数論的基本群から生じる外 Galois 表現の忠実性を,固有な双曲的曲線に対して一般化した。また,[9] では,配置空間群の間の同型射に対する FC 適合性,PSC 型遠半グラフから生じる様々な円分物の群論的同期化,副有限 Dehn 捻りの一般論,円分物の群論的同期化とスキーム論的同期化の比較,標点付き曲線のモジュライ空間上の普遍曲線に対する幾何学版 Grothendieck 予想などといった話題についての研究が行われている。
 [5],[7],[8] では,双曲的曲線やその配置空間の点に対するモノドロミー充満性についての研究が行われている。双曲的曲線に対する ``モノドロミー充満'' という性質は,楕円曲線に対する ``虚数乗法を持たない'' という性質の類似と考えられ,非常に多くの双曲的曲線がモノドロミー充満であるという事実が,玉川安騎男氏と松本眞氏によって証明されている。[5] では,モノドロミー充満な双曲的曲線に対する一般論の研究を行い,特に,種数が 0 であるようなモノドロミー充満な双曲的曲線に対する Grothendieck 予想型の結果を証明した。[7] では,双曲的曲線の配置空間のモノドロミー充満な点に関する研究を行い,双曲的曲線に付随する外 Galois 表現の核と有理点付き双曲的曲線に付随する Galois 表現の核の比較に関する松本眞氏による結果の部分的一般化を与え,また,双曲的曲線の配置空間のモノドロミー充満な点に対する Grothendieck 予想型の結果を証明した。[8] では,玉川安騎男氏と松本眞氏によって提出された双曲的曲線のモノドロミー充満性に関するある問題を,種数が0の場合に考察した。
 [6],[10] では,遠アーベル幾何学における未解決予想の一つであるセクション予想の研究が行われている。[6] では,(望月新一氏によって,双曲的曲線に対する遠アーベル Grothendieck 予想はその副 p 版も成立することが証明されているにもかかわらず) セクション予想の副 p 版は一般には成立しないこと,また,(Faltings による Mordell 予想の解決によって,数体上の固有な双曲的曲線の有理点は高々有限個であることが証明されているにもかかわらず) 無限に多くの副 p Galois セクションの共役類を持つような数体上の固有な双曲的曲線が存在することを証明した。[10] では,有理数体や虚二次体上の代数曲線に対する双有理セクション予想の研究が行われており,特に,そのような体上の代数曲線の双有理 Galois セクションが幾何学的になるための必要充分条件や,双有理セクション予想の副可解版が成立するような数体上の代数曲線の例が与えられている。
  1. The exactness of the log homotopy sequence, Hiroshima Math. J, 39 (2009), no. 1, 61-121.
  2. On the fundamental groups of log configuration schemes, Math. J. Okayama Univ, 51 (2009), 1-26.
  3. Absolute anabelian cuspidalizations of configuration spaces of proper hyperbolic curves over finite fields, Publ. Res. Inst. Math. Sci, 45 (2009), no. 3, 661-744.
  4. On the combinatorial anabelian geometry of nodally nondegenerate outer representations (with Shinichi Mochizuki), Hiroshima Math. J. 41 (2011), no. 3, 275-342.
  5. Galois-theoretic characterization of isomorphism classes of monodromically full hyperbolic curves of genus zero, Nagoya Math. J. 203 (2011), 47-100.
  6. Existence of nongeometric pro-p Galois sections of hyperbolic curves, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 46 (2010), no. 4, 829-848.
  7. On monodromically full points of configuration spaces of hyperbolic curves, The Arithmetic of Fundamental Groups - PIA 2010, 167-207, Contributions in Mathematical and Computational Sciences, vol. 2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2012.
  8. On a problem of Matsumoto and Tamagawa concerning monodromic fullness of hyperbolic curves: Genus zero case, RIMS preprint 1702.
  9. Topics surrounding the combinatorial anabelian geometry of hyperbolic curves I: Inertia groups and profinite Dehn twists (with Shinichi Mochizuki), to appear in the Proceedings for Conferences in Kyoto ``Galois-Teichmüller Theory and Arithmetic Geometry''.
  10. Conditional results on the birational section conjecture over small number fields, RIMS preprint 1742.

助教 伊藤 哲也(位相幾何学・幾何学的及び組み合わせ群)
 組みひも群、順序群およびその一般化などを中心に、関係するトポロジー・幾何・代数について幅広く研究している。
 組みひも群は多くの分野で基本的な対象として現れ、現在まで盛んに研究されている。私は主に結び目理論などの低次元トポロジーや、幾何学的・組み合わせ群論の側面について研究をしている。順序群とは群自身の作用で不変であるような全順序を持つ群であり、近年になり基本群の順序付け可能性とHeegaard Floer Homology との関連が予想されるなど、トポロジー・力学系などの観点から着目されるようになった対象である。私はトポロジーの視点から、非自明な順序群の構成や、順序構造のトポロジーの問題への応用などについて、研究を行っている。また、これらの対象以外にも、関連する話題についても広く研究を行っている[6,7]。
 [1,2] では、Thurston 型順序と呼ばれる幾何的に構成された組みひも群の順序について代数的な別の定式化を与え、順序を計算する効率的なアルゴリズムを得た。[3,4] ではBraid 群のDehornoy 順序と呼ばれる標準的な順序とBraidfoliation の理論との関連を調べ、Dehornoy 順序の結び目理論への応用を与えた。特に、Dehornoy 順序についての適当な条件下で、組みひも群のNielsen-Thurston 分類と結び目の補空間の幾何構造が一対一に対応することを示した。代数トポロジーの観点からの順序構造の研究として、有理ホモトピー理論による順序構造の幾何的な記述を与え[5]、ねじれアレキサンダー多項式と順序付け可能性との関連について考察した。[8]
 一般の順序群の代数的側面の研究として、Dehornoy 順序の一般化である、Dehornoy-like 順序を導入し、具体的な例の構成を行った。[9] Dehornoy-like 順序は極めて特異な性質を持つため、これらは順序群の研究において有用な例を与えることが期待される。[10] では絡み目の二重分岐被覆として表示される3次元多様体について、その基本群の順序付け可能性について調べ、順序構造の持たない例を多数構成した。最近では閉組みひもの理論の拡張として、3次元接触多様体のオープンブック分解について研究を行っている。また、組みひも群の線形表現とGarside 構造との関連など、順序構造以外の側面についても幅広く研究を進めている。
  1. T.Ito, On finite Thusrton-type orderings of braid groups, Groups Com- plexity Cryptol. 2, (2010),pp 123?155.
  2. T.Ito, Finite Thurston type orderings on dual braid monoids, J. Knot Theory Ramifications, 20 (2011) 995?1019.
  3. T.Ito, Braid ordering and the geometry of closed braids, Geom. Topol, 15 (2011) 473?498.
  4. T.Ito, Braid ordering and knot genus, J. Knot Theory Ramification, 20 (2011),1311?1323.
  5. T.Ito, A note on geometric constructions of bi-invariant orderings, Topol- ogy Appl. 158 (2011) pp. 690?696.
  6. T.Ito, Finite orbits of Hurwitz actions on braid systems, Osaka J. Math. 48 (2011) 613?632.
  7. T.Ito, A functor-valued extension of knot quandles, J. Math. Soc. Japan. 64 (2012) 1147?1168.
  8. T.Ito, A remark on the Alexander polynomial criterion for the bi- orderability of fibered 3-manifold groups, Int. Math. Res. Not. IMRN (2013) 2013 (1), 156?169.
  9. T.Ito, Dehornoy-like left orderings and isolated left orderings, J. Algebra, 374 (2013) 42?58.
  10. T.Ito, Non-left-orderable double branched coverings, Algebr. Geom. Topol., to appear

助教 入江 慶(微分幾何学の研究)
 シンプレクティック幾何学,特にハミルトン系の周期解やシンプレクティック容量に関する研究を行っている。シンプレクティック・トポロジー初期の記念碑的な結果であるGromov の非圧縮性定理は,擬正則曲線を用いてシンプレクティック多様体の"2 次元的な幅" (シンプレクティック容量)を測ることで示された。その後Hofer らは,シンプレクティック容量の概念と,ハミルトン力学系の周期解の研究とが密接に関わることを見出した。この発見は,フレアホモロジーと結びつき,Floer, Hofer, Viterbo らによるシンプレクティックホモロジー(定量的なフレアホモロジー)の理論へと深化した。
 私自身は,これらの研究の発展や応用を目指して研究を行っている。いままで行った研究は大きく二つに分けられる。
 一つ目は,上で述べたようなフレア理論の道具立てを,具体的な古典力学の問題に応用する研究([1],[2],[5])である。[2] では,ユークリッド空間内の領域に対して,その単位余接束のシンプレクティック容量を調べた。応用として,領域上のビリヤード力学系の周期軌道の長さに関する,良い評価を与えた。[5]では,同じ状況で,単位余接束のシンプレクティックホモロジーを,ループ空間の相対ホモロジー群を用いて表す公式を証明した。これは,閉多様体の余接束に対する同様な結果(Viterbo, Salamon-Weber, Abbondandolo-Schwarz)の境界付多様体版(の一部)である。応用として,[2] の主結果の別証明と改良を与えた。
 二つ目は,Hofer-Zehnder(HZ) 容量の研究([3], [4])である。HZ 容量は,ハミルトン系の周期解と関わるシンプレクティック容量の中でも特に重要なものであり,例えば有限性が証明できるだけで周期解に関する著しい結論が導ける。[4] では,HZ 容量に関する最も基本的な結果であるエネルギー・容量不等式(Hofer らによる)の変種を証明した。[3] では,シンプレクティックホモロジーの積構造を活用して,HZ 容量の有限性を示す議論を考え,余接束の場合に応用を与えた。現在は,[3] の内容を発展させる方向で研究が進行中である。
  1. Handle attaching in wrapped Floer homology and brake orbits in classical Hamiltonian systems, Osaka Journal of Mathematics, to appear.
  2. Symplectic capacity and short periodic billiard trajecotry, Mathematische Zeitschrift, 272, 1291-1320, 2012.
  3. Hofer-Zehnder capacity of unit disk cotangent bundles and the loop product, Journal of the European Mathematical Society, accepted.
  4. Hofer-Zehnder capacity and a Hamiltonian circle action with noncontractible orbits, submitted.
  5. Symplectic homology of disk cotangent bundles of domains in Euclidean space, submitted.

助教 大浦 拓哉 (数値解析,数値計算技法の開発)
 数値解析の分野での基礎的な数値計算法の開発およびその解析を 中心に行っている。これまでの主な研究内容は,フーリエ型積分変換の 高速高精度計算の研究である。
 無限区間の収束の遅いフーリエ型積分の計算はさまざまな理工学の分野で 必要とされるが,絶対収束しないような収束の遅いフーリエ積分は, 十数年ほど前までは計算機で値を計算することが困難であった。 この計算困難性の問題は,無限区間のフーリエ積分の計算が応用上非常に 重要であるという背景から,日本や海外の多くの研究者を悩ませてきた。 この収束の遅いフーリエ積分の計算法はここ十数年ほどで 飛躍的に進歩し,筆者および森正武氏により, いくつかのフーリエ積分に対して有効な二重指数関数型公式(DE公式)の 提案を行い,この困難を克服した[1],[2],[3],[8],[11]。これらの公式の 提案により,収束の遅いフーリエ積分が通常の有限区間の積分と同程度の 手間で計算可能となった。 なお,本論文のアルゴリズムは,有名な数学ソフトウェアMathematicaでの 数値積分``NIntegrate''で採用されている。
 フーリエ型積分変換計算のもうひとつのアプローチとして, 連続オイラー変換の研究 [4],[5],[7],[10]がある。 連続オイラー変換は,収束の遅い,または緩やかに発散するフーリエ積分を 速く収束するフーリエ積分に変換するための方法として私が考案した ものである。この連続オイラー変換を応用することで, 今まで計算が困難だった収束の遅いまたは緩やかに発散するフーリエ積分に 対する高速高精度の数値計算が可能になった。 さらに,級数加速に関する有名な書である G. H. Hardy 著の ``Divergent Series'', Oxford University Press, (1949) には オイラー変換((E,1) definition)の連続版は存在しないと記されていて (pp.11),この連続オイラー変換の発見はその記述を覆すものであり, 数値解析の分野において,この発見は今後さらに大きな革新を もたらすものであるとの予測がついている。 今後の研究課題は,この連続オイラー変換の研究を発展させ,さまざまな 数値計算に応用することである。
 その他の積分計算法の研究として,変数変換型数値積分公式の 高速高精度化を行った[6],[9],[12]。 論文[6]ではさまざまなタイプのDE公式 (二重指数関数型数値積分公式)の信頼性と計算効率をともに 向上させる方法の提案を行った。この方法を用いることでDE公式の 誤差の信頼性を大きく向上させることができ,さらに計算時間の 短縮も可能となった。また,論文[9]ではDE公式と同じ漸近性能を 持つIMT型公式の提案を行った。変数変換型数値積分公式は, 代表的なものに伊理正夫・森口繁一・高澤嘉光のIMT公式と, 高橋秀俊・森正武のDE公式があるが,IMT公式はその多くの改良版も 含めて,DE公式に漸近性能で劣っていた。 この論文では,DE公式と同じ漸近誤差を達成するIMT型積分公式を 初めて提案した。
 また,フーリエ積分の計算の一環として, 汎用で高速なFFT(高速フーリエ変換)ライブラリの作成を行った。 この方法は,Split-Radix FFTに再帰的なバタフライ演算を させることでメモリーアクセスを高速化したものである。このライブラリは WEBで一般公開し,多くの教育機関や企業で用いられている。 今後はさらに多くの数値計算ライブラリの開発および改良を行う予定である。
  1. The double exponential formula for oscillatory functions over the half infinite interval, J. Comput. Appl. Math., 38 (1991), 353--360. (with M. Mori)
  2. Double exponential formulas for Fourier type integrals with a divergent integrand, Contributions in Numerical Mathematics,ed. R. P. Agarwal, World Scientific Series in Applicable Analysis, 2 (1993), 301--308. (with M. Mori)
  3. A robust double exponential formula for Fourier type integrals, J. Comput. Appl. Math., 112 (1999), 229--241. (with M. Mori)
  4. A Continuous Euler Transformation and its Application to the Fourier Transform of a Slowly Decaying Function, J. Comput. Appl. Math., 130 (2001), 259--270.
  5. A Generalization of the Continuous Euler Transformation and its Application to Numerical Quadrature, J. Comput. Appl. Math., 157 (2003), 251-259.
  6. 二重指数関数型数値積分公式の収束判定法の改良, 日本応用数理学会論文誌, 13 (2003), 225-230.
  7. 連続Euler変換による二次元振動積分の計算法, 応用数学合同研究集会報告集, 龍谷大学(2005), 149-152.
  8. A Double Exponential Formula for the Fourier Transforms, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 41 (2005), 971-977.
  9. An IMT-type quadrature formula with the same asymptotic performance as the DE formula, J. Comput. Appl. Math., 213 (2008), 232-239.
  10. 連続オイラー変換による超関数の直接計算, 雑誌「数学」、岩波書店、2009年61巻3号.
  11. 二重指数関数型変換を用いた様々な積分変換の計算法、 日本応用数理学会論文誌、Vol.19, No.1, (2009), 73-79.
  12. High-speed high-accuracy computation of an infinite integral with unbounded and oscillated integrand. RIMS Preprint 1741.

助教 勝股 審也 (理論計算機科学の研究)
 計算機科学の一分野にプログラミング言語の意味論がある。これはプログラミ ング言語が供える機構を数学的および論理学的にモデリングして言語の性質を 調べ,得られた知見を実際の言語の設計や改良に還元する研究分野である。こ の分野においてラムダ計算の部分モデルの構成とプログラム変換に関して研究 を行なっている。
 言語のあるモデルの部分モデルを構成するのは言語の性質を調べる上で有用な テクニックである。[1]ではラムダ計算の部分モデルの構築法である論理関係 をMoggiの計算的メタ言語に拡張する手法(意味論的TT-lifting)を提案した。意 味論的TT-lifting の特徴はパラメータを変える事で様々な論理関係を導く事が できる点にある。この柔軟さを応用して[2]では直和型のあるラムダ計算の定義 可能性の特徴付けを(意味論的TT-liftingの特殊化である) TT-closure により与 えた。別の応用として[3]では,副作用を持つプログラムを二つのモナド的意味論 により解釈した時,それらの間にある関係が成立することを示すための十分条件を 与えた。この結果は幅広いクラスの意味論に対して適用でき,副作用を持つプ ログラミング言語の意味論の比較や,安全性の検証に有用であると考えてい る。近年は、プログラム実行時の副作用を型理論的に見積もる 体系である効果システムの健全性の証明にTT-lifting を応用する研究を行っている。
 一方,[4]では京都大学理学部数学科の西村進氏と共同でプログラム変換の一 手法である融合変換の研究を行った。古典的な融合変換は累積変数と呼ばれる 余分なパラメータを持つ関数をうまく扱えないという問題があり,この解決は 融合変換の一つのテーマである。先行研究の多くはこの問題に構文的にアプロー チしているのに対し,[4]において我々は代数的な枠組みを構築して取り組み, 限定的ではあるが先行研究と同等の結果を簡潔に得られる事を示した。
 累積変数付きの関数の融合変換を再帰的定義を用いて行う方法,例えば Vöigtlander氏のlazy compositionや西村氏の高階削除という手法は属性文法 のdescriptional compositionという手法を背景としていることが知られてい る。[4]の研究後,これらの融合変換と属性文法の両者をシステマティックに分 析,導出する枠組として,トレース付きモノイダル圏における属性文法の定式 化を[5]で提案した。この定式化を押し進め,[6]では構文上の属性文法をトレー スを保つある種の関手として,またそれらのdescriptional compositionを関手 の合成として定式化できる事を示した。
  1. A Semantic Formulation of TT-lifting and Logical Predicates for Computational Metalanguage. In Proc. CSL 2005, LNCS, 3634 (2005), 87-102.
  2. A Characterisation of Lambda Definability with Sums via TT-Closure Operators. In Proc. CSL 2008, LNCS, 5213, pp. 277-291.
  3. Relating Computational Effects by TT-Lifting. To appear in Proc. ICALP 2011, LNCS.
  4. (Joint work with Susumu Nishimura) Algebraic Fusion of Functions with an Accumulating Parameter and Its Improvement. J. Functional Programming, 18, issue 5-6, pp. 781-819.
  5. Attribute Grammars and Categorical Semantics. In Proc. ICALP 2008, Part II, LNCS 5126, pp. 271-282.
  6. Categorical Descriptional Composition. In Proc. APLAS 2010, LNCS 6461, pp.222-238.

助教  川ノ上 帆(代数幾何学の研究)
 代数幾何学, 特に正標数の代数多様体の特異点解消について研究している。
 特異点解消は代数幾何学の重要な問題の一つである。 標数0の体上で定義された代数多様体はいつでも 特異点解消を持つ,というのが1964年の廣中平祐先生 による大定理であるが,正標数の場合は特異点解消の存在は 高々3次元までしか知られていない。 私は任意標数の完全体上で定義された代数多様体の特異点解消を 目指して Idealistic Filtration Program (IFP) を提唱し, Purdue大学の松木謙二氏と共同で研究を進めている。 IFPはBierstone氏-Milman氏,Villamayor氏らによって簡易化された 標数0の場合の特異点解消の構成的証明を正標数の場合にも 通用するように翻訳することをその骨子とする。
 雛型となる標数0の場合の構成的証明は,代数多様体の各閉点に 不変量を導入し,その最大軌跡を爆発するという方針で与えられる。 この不変量の定義の際に鍵となる概念が,最大接触超曲面と呼ばれる 非特異な超曲面であるが,正標数の場合は最大接触超曲面が 常に存在するとは限らない。IFPにおいては,idealistic filtration という概念を導入してその構造を解析することで, 先頭生成系と呼ばれる最大接触超曲面の代替物を導入する。 先頭生成系は正標数においては必ずしも非特異な超曲面を 与えるとは限らず,このことに由来する様々な困難が現れる。 その内不変量の最大軌跡の非特異性, 基本単位となる不変量の 上半連続性などの比較的基本的な性質が保証されることを示し, 基本的な概念の導入やその性質と共にIFPの基礎付けを与えたのが [1],[2]である。
 上記論文では基本単位となる不変量について議論しているが, 実際の特異点解消で登場する不変量はこれらを複雑に組み合わせた ものであり,IFPの設定下で機能させる為には様々の変更,調整が 必要である。2008年度にこのような不変量の候補を提示したものの, その後の研究でこの不変量が爆発後に増加する例が見付かり, 現在はこの病理現象を克服する方向で研究を進めている。
 一つの可能性は本来想定していた対数微分飽和を特殊な微分に よるより小さな飽和で置き換える方法である。この場合 不変量の非増加性は保証されるが, 最終状態の一つである 単項型状態における非特異性が保証されず, 更なる解析が 必要となる。全空間三次元での埋め込み特異点解消については, Benito氏-Villamayor氏による単項型の解析を簡易化してIFPの 枠組み下での再証明を与えた。この結果は技術的懸案の 一つであった同伴改変の代数化と共に松木氏との共著にまとめ, 現在論文を投稿中である。当面の目標はこの手法を未解決の 全空間四次元の場合に拡張することである。
 もう一つの可能性は技術的理由から一旦退けていた根基的飽和を 組み込んだより大きな飽和を用いる方法である。この場合については 単項型状態での非特異性が任意次元で成立することを証明した。未だ 肝心の不変量の非増加性を得るには至っていないが, IFPの哲学上は 根基的飽和を含める方が自然なのでこの方針でも進展を得たいと考えている。
  1. H. Kawanoue, Toward resolution of singularities over a field of positive characteristic. Part I. Foundation of the program: the language of the idealistic filtration. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 43(3):819--909, 2007.
  2. H. Kawanoue and K. Matsuki, Toward resolution of singularities over a field of positive characteristic Part II. Basic invariants associated to the idealistic filtration and their properties. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 46(2), 2010, 359-422.

助教 高澤 兼二郎 (離散最適化の研究)
 私の研究対象はマッチング問題の一般化である。 マッチング問題は効率的に解ける離散最適化問題の代表例であり, 1960 年代における J. Edmonds によるマッチングの組合せ的アルゴリズムや 多面体的表現は,その後の離散最適化の研究の礎を成してきた。 一方,マッチング問題の妥当な一般化は NP 困難な問題や入り組んだアルゴリズムしか知られていない問題であることが多い。 私はこれまでの研究において, マッチング問題の様々な一般化に対して, 多項式時間で解ける問題クラスにおける組合せ的アルゴリズムの構築を行ってきた。 また, 対象とする 問題 が離散凸性を持つ必要十分条件を示すことにより, 扱った問題クラスの妥当性 を与えてきた。
 論文[1,2,3,4,8] で扱った独立偶因子とは,2001 年に W.H. Cunningham と J.F. Geelen によって提唱された, マッチングとマトロイド交叉の共通の一般化である。 独立偶因子問題は一般には NP 困難であるが, 奇閉路対称と呼ばれるグラフクラスにおいては多項式時間可解である。 特に,重みおよびマトロイド制約のない最も基本的なケースである偶因子問題に対し, 奇閉路対称グラフにおける組合せ的なアルゴリズムが G. Pap (2007) によって設計された。 この Pap のアルゴリズムを重みおよびマトロイド制約のついた問題に拡張し, [1] において重みつき偶因子の組合せ的アルゴリズム, [2] において独立偶因子の組合せ的アルゴリズムを設計した。 それらをさらに統合し,[8] において重みつき独立偶因子の組合せ的アルゴリズムを与えた。 以上のアルゴリズムから,マッチングとマトロイド交叉に対する最大最小定理, 分割定理,多面体的表現の共通の拡張を得た。
 また,偶因子に関する研究のほとんどすべては奇閉路対称グラフにおいて行われてきたが, 論文[3] では 奇閉路対称性の仮定の妥当性を検証した。 具体的には, 偶因子の次数列全体がジャンプシステムという離散凸構造を成すこととグラフの奇閉路対称性が 必要十分の関係にあることを証明した。 さらにその拡張として, 重みつき偶因子がジャンプシステム上の M 凸関数とよばれる離散凸関数を導出することと重みつきグラフの奇閉路対称性が 必要十分の関係にあることを示した。 以上の結果を含む 偶因子に関する研究の最近の進展を[5] にまとめた。
 論文[4,7,9] は,2-因子とハミルトン閉路のギャップを埋める研究である。 論文[4,9] で扱った$C_k$-free 2-因子とは,辺数が k 以下の閉路を含まない 2-因子である。 [4] では,2 部グラフにおける重みつき $C_4$-free 2-因子の 組合せ的アルゴリズムを与えた。 本アルゴリズムは, 辺数 4 の閉路においては辺重みが頂点に誘導されるグラフに対して適用可能である。 また, この辺重みの性質が, 2 部グラフにおいて重みつき $C_4$-free 2-マッチングがジャンプシステム上の M 凸関数を 導出する必要十分条件であることを示した[9]。 論文[9] ではさらに,$C_4$-free 2-マッチングの次数列全体が 一般グラフにおいてもジャンプシステムを成すという Cunningham の予想 (2002) を証明した。 論文[7] では, 2辺連結 3正則グラフにおける辺数3 の辺カットすべてと交わる 2-因子のうち最小重みのものを 求めるアルゴリズムと, 辺数 3 または 4 の辺カットすべてと交わる 2-因子を求めるアルゴリズムを設計した。
 論文[6,10] においては, 有向森の根集合が一般化マトロイドを成すという知見に基づき, マッチング森双有向森の解析を行った。 マッチング森とは, 1982年に R. Giles によって提唱された マッチングと有向森の共通の一般化である。 [6] では, マッチング森の端点集合がデルタマトロイドを成すことを証明した。 また, Giles の重みつきマッチング森アルゴリズムの単純化および高速化を行った。 [10] では, 最短双有向森問題が付値マトロイド交叉問題の枠組に入ることを 証明した。
 このように,これまでの研究では 多項式時間可解性が知られていた問題, あるいは問題クラスに対し, 新たな組合せ的アルゴリズムの設計および 離散凸性を持つことの証明をしてきた。 今後は, 計算複雑度が未解決の問題に対し離散凸性を持つ条件を見出し, その条件においてアルゴリズムを設計するという方向の研究も行いたい。 例えば, $C_k$-free 2-因子問題については 一般グラフにおける重みなしの $C_4$-free 2-マッチング問題と 重みつき $C_3$-free 2-マッチング問題の計算複雑度が未解決であるが, [9] の結果から前者の問題は 多項式時間可解であることが期待できる。
  1. A weighted even factor algorithm, Math. Program., 115 (2008), 223-237.
  2. The independent even factor problem, SIAM J. Discrete Math., 22 (2008), 1411-1427. (with S. Iwata)
  3. Even factors, jump systems, and discrete convexity, J. Combin. Theory, B99 (2009), 139-161. (with Y. Kobayashi)
  4. A weighted K_{t,t}-free t-factor algorithm for bipartite graphs, Math. Oper. Res., 34 (2009), 351-362.
  5. Even factors: algorithms and structure, In: S. Iwata (ed.), Combinatorial Optimization and Discrete Algorithms, RIMS Kôkyôroku Bessatsu, B23 (2010), 233--252.
  6. Optimal matching forests and valuated delta-matroids, Proc. 15th IPCO Conference, Lecture Notes Comput. Sci., 6655 (2011), 404--416.
  7. Covering cuts in bridgeless cubic graphs, RIMS Preprint, RIMS-1731 (2011). (with S. Boyd and S. Iwata)
  8. A weighted independent even factor algorithm, Math. Program., 132 (2012), 261--276.
  9. A proof to Cunningham's conjecture on restricted subgraphs and jump systems, J. Combin. Theory, {\bf B}. (with Y. Kobayashi and J. Szabó)
  10. Shortest bibranchings and valuated matroid intersection, Japan J. Indust. Appl. Math., published online.

助教 谷川 眞一 (離散数学・離散アルゴリズムの研究)
 離散幾何学の一分野である剛性理論の研究を行なっている。 ユークリッド空間内に埋め込まれたグラフの各辺を棒材, 各頂点をジョイントと捉えることでグラフの剛性を定義することが出来る。 点配置の一般性を仮定した場合の剛性は一般剛性と呼ばれており,一般剛性はグラフの性質である。 この一般剛性の組合せ的特徴付けを与えることが研究課題である。 1次元の場合,一般剛性とグラフの連結性の等価性は自明であり, 2次元一般剛性に対してはMaxwellの条件が必要十分であることがLamanによって証明されている。 しかしながら3次元以上ではMaxwellの条件は十分でなく, 特に3次元一般剛性の組合せ的特徴付けは重要な未解決問題である。 この問題の解決に向け,逐次的構築法[3],Dilworth打切り[2], グラフの木分割[4]等を用いた様々な試みを提案している。
TayとWhiteleyは,分子グラフと呼ばれる特殊なグラフクラスに対し Maxwellの条件が3次元一般剛性の必要十分条件であると予想した。 論文[3]では,この予想を肯定的に解決した。 対象となるグラフクラスのポリマトロイド構造を基に逐次的グラフ構成法を提案し, その構成法に従ってrigidなグラフの実現が可能であることを証明した。 この主張から導かれる高速かつ頑健な分子構造の自由度計算アルゴリズムは, 幾つかのタンパク質の挙動解析ソフトウェアに組み込まれており, 本結果はこれらの応用研究に対する理論的妥当性を与えている。
論文[2]では, 一般剛性特徴付け問題に対するTayのアプローチの発展を試みた。 グラフの各頂点をジョイントではなく剛体として捉えることで得られる剛体構造モデル に対しては,その高次元一般剛性が組合せ的に特徴付け可能であることが知られていた。 論文[2]では,Dilworth打切りと呼ばれるマトロイド構成手法を改良することで, 剛体モデルにおける各剛体の空間を縮退させる方法を提案し, Maxwell型条件で特徴付けられるモデルの限界を示した。
2次元一般剛性やTayの定理から,一般剛性とグラフの木分割には密接な関わりがあることが知られている。 論文[4]では,頂点上にマトロイド制約を付加した一般化木分割問題を考察し, Nash-Williamsの木分割定理が自然な形で拡張可能であることを示した。 この木分割定理の一般化を利用することで, 幾つかの高次元構造モデルにおける一般剛性の組合せ的特徴付けを得た。 この特徴付けで利用されている劣モジュラ関数を 一般剛性の幾何学的縮退効果を取り込んだものへと発展させていく事が今後の課題である。
また一般剛性理論のモデルの拡張[6]やrigidグラフの グラフ理論的性質の解明[5]も行なっている。 一般剛性は点配置の一般性を仮定しているが,結晶構造や化学物質等, 多くの現実的モデルにおいてこの仮定は成立しない。 その問題点を克服するため,対称性制約下における一般剛性という概念が近年注目されている。 論文[6]では,有限剛体構造モデルを周期的対称性を有する無限構造モデルへと拡張し, 対称性制約下での一般剛性が商グラフの組合せ構造で簡潔に特徴付け可能であることを証明した。 この方面の拡張は,群ラベル付きグラフ上のマトロイドとの関連など,解明すべき課題が多く残されている。 論文[5]では,剛性サーキットのハミルトンパス分割性に関するGraverらの予想に対し, 平面グラフのメディアルグラフを利用した反例の構成法を提案した。
組合せ剛性定理に基づく高速な剛性判定アルゴリズムの開発も重要な 研究課題である[7,1]。 Lamanの条件判定アルゴリズムの高速化は長年進展のない話題であったが, 論文[7]では次数制限付きグラフに対しては定数時間で近似的に検査可能であることを証明した。 また論文[1]では、平面上の無交差な剛グラフの列挙問題を動機に,無交差グラフ列挙アルゴリズム設計の枠組みを提案した。
  1. Fast enumeration algorithms for non-crossing geometric graphs. Discrete Comput.Geom., 42 (2009), 443--468. (with N. Katoh)
  2. Generic rigidity matroids with Dilworth truncations. (2010), arXiv:1010.5699v2
  3. A proof of the molecular conjecture. Discrete Comput. Geom., 45 (2011), 647--700. (with N. Katoh)
  4. Rooted-tree decompositions with matroid constraints and the infinitesimal rigidity of frameworks with boundaries. (2011), arXiv:1109.0787v1. (with N. Katoh)
  5. Sparsity and connectivity of medial graphs: concerning two edge-disjoint Hamiltonian paths in planar rigidity circuits. To appear in Discrete Math. (2012). (with S. Kijima)
  6. Periodic body-and-bar frameworks. To appear in Proc. Symposium on Computational Geometry 2012 (SoCG 2012). (with C. Borcea and I. Streinu)
  7. Constant time algorithms for sparsity matroids. To appear in Proc. ICALP 2012. pages 498-509. (with H. Ito and Y. Yoshida)

助教 永田 雅嗣 (位相幾何・多様体論の研究)
 古典的な surgery 理論は,群の自由作用の分類について飛躍的な成果をおさ めた。surgery 完全系列と呼ばれる道具を用いて,幾何学的対象を,特性類の 計算から求まる対象である「法写像類群」と二次形式の線型代数から求まる対 象である「L-群」とに帰着させる方法であった。
 変換群の作用が自由作用でない,より一般の場合を考えようとすれば,問題設 定は複雑になる。「同変 surgery 完全系列」の構成は,各部において様相の 異なる作用を扱うために開発された道具であった。群の位数が奇数の場合には, PL局所線形な多様体について G-transversality が stable には成立するた め,自由作用の場合と類似の形の surgery 完全系列が成立し,これを用いて G-多様体の分類が特性類の計算に帰着できる。
 Surgery における同変構造群の幾何学的性質を知るためには,その構造群に対 しても Mackey 構造のような代数的構造を構成できることが望ましい。特別な 場合については,同変 surgery 完全系列と可換な Mackey 構造を同変構造群 に与えることができたが,一般の状況でも「同変向き付け」を利用した一般化 が可能と思われる。
 具体的な分類問題に結び付ける立場からは,「同変 (equivariant)」な分類に 関する情報よりも,「等変 (isovariant)」な分類に関する情報の方が,はる かによく知られている。それは,後者の方がより直接に代数的構造に結び付け ることができるからで,さまざまの特性類を用いた結果が多くの人たちによっ て得られている。これを本来の幾何的立場,すなわち同変構造と結び付けるた めには,G-多様体における「同変」な情報と「等変」な情報とを橋渡しする手 掛かりが必要となる。群の作用が比較的単純な場合,とくに半自由な作用につ いてはいくつかの結果が得られているが,より一般的な群作用についてはもっ と深い構造が存在していると考えられ,その解明を目指して研究している。
 位相多様体の局所理論から発展した controlled topology の理論や,一般化 された階層的手術(stratified surgery)の方法は,ともにこうした代数構造 の記述のために有効な道具と思われる。古典的な幾何的手法に,こうした新し い代数化や,カテゴリー論的な手法と結果を適用することによって,多様体の 幾何構造の解明のための結果を出してゆきたい。
  1. Transfer between Structure Sets in Equivariant Surgery Exact Sequences, 数理解析研究所講究録 1343, 2003年 10月, 46-53.
  2. A Transfer Construction in the Equivariant Surgery Exact Sequence, 数理解析研究所講究録 1393, 2004年 10月, 122-131.
  3. Transfer in the Equivariant Surgery Exact Sequence, 数理解析研究所講究 録 1449, 2005年 9月, 45-55.
  4. The Fixed-Point Homomorphism in Equivariant Surgery, 数理解析研究所講究録 1517, 2006年 10月, 44-55.
  5. On the G-Isovariance under the Gap Hypothesis, 数理解析研究所講究録 1569, 2007年 9月, 162-169.
  6. G-Isovariance and the Diagram Obstruction, 数理解析研究所講究録 1612, 2008 年 9 月, 181-188.
  7. Diagram Obstruction in a Gap Hypothesis Situation, 数理解析研究所講究録 1670, 2009 年 12 月, 156-171.
  8. Functoriality of isovariant structure sets and the gap hypothesis, 数理解析研究所講究録 1732, 2011 年 3 月, 126-140.

助教 Helmke, Stefan (Algebraic Geometry)
 My work on Fujita's conjecture made some considerable progress recently. The process of constructing a valuation with very peculiar properties, as described in my last report, had some technical difficulties but I was finally able to overcome most of them. The conjecture was previously only solved in a few cases when the variety is smooth and of very low dimension[1,2,5]. In those cases, the valuation is always induced from blowing-up a point. But in general we need a much wider class of valuations, which can actually be optimized for this problem. The result of this process should be not only a proof of the Fujita Conjecture in all dimensions, but even the more precise conjecture formulated in[8]. The method also applies to the problem of effectively separating several points on a projective variety and leads to some unexpected results. If point separation fails, one can find a whole tree of subvarieties of low degree instead of just a flag as conjectured in[8]. This is in so far interesting, as in some known examples one can find such trees, but previous methods could only produce a single flag with much weaker properties. Unfortunately, this all took a long time, but it is now in the process of final clean-up and will be finished soon.
 My other research project, a continuation of a joint project with P.Slodowy, did still not make much progress, since I was concentrating on my work on the Fujita Conjecture. I am planning to continue this work only after completing this project. In the 1960's, E.Brieskorn discovered some remarkable similarities between simple singularities and simple algebraic groups. At the International Congress of Mathematicians in 1970 he gave a completely natural explanation of those similarities, based on some ideas of A. Grothendieck. Many mathematicians at that time were impressed by the beauty of this connection and therefore, it was only natural to ask for a generalization to a larger class of singularities. In 1981, P. Slodowy suggested a similar connection between simple elliptic singularities and affine Kac-Moody groups. But it turned out that there is no `subregular orbit' in affine Kac-Moody groups, which is required in order to generalize Brieskorn's connection. It was therefore necessary to find a completion of affine Kac-Moody groups which contains subregular orbits. Already in the finite dimensional case, the existence of a subregular orbit is a difficult problem and only solved by a partial classification of conjugacy classes, which was not known at all for those infinite dimensional groups. However, there is one completion, the so-called holomorphic loop group, for which a classification of their conjugacy classes is possible via the classification of principal bundles over elliptic curves[3,4]. Using our classification, we proved the existence of subregular orbits and were then able to generalize Brieskorn's connection to simple elliptic singularities and holomorphic loop groups [6,7]. Since there are much more holomorphic loop groups than simple elliptic singularities, we also had to deal with the other cases, which leads to some interesting geometry of non-isolated singularities. In particular, in a holomorphic loop group associated to the special linear group of rank 5, one would expect to find the cone over an elliptic curve of degree 5. Since this is not a complete intersection, it cannot be directly realized as in Brieskorn's construction. However, using geometric invariant theory on a slice which is slightly bigger than the transversal slice to a subregular orbit, I was able to construct this singularity together with its semi-universal deformation. Interestingly, the construction also works in some other cases, including the special linear group of rank 3, where we find a cone over an elliptic curve of degree 6 and its semi-universal deformation!
  1. S. Helmke, On Fujita's conjecture, Duke Math. J. 88 (1997), 201--216.
  2. S. Helmke, On global generation of adjoint linear systems, Math. Ann. 313 (1999), 635--652.
  3. S. Helmke and P. Slodowy, Loop groups, principal bundles over elliptic curves and elliptic singularities, Annual Meeting of the Math. Soc. of Japan, Hiroshima, Sept. 1999, Abstracts, Section Infinite-dimensional Analysis, 67--77.
  4. S. Helmke and P. Slodowy, On unstable principal bundles over elliptic curves, Publ. RIMS 37 (2001), 349--395.
  5. S. Helmke, The base point free theorem and the Fujita conjecture, Vanishing theorems and effective results in algebraic geometry, ICTP Lecture Notes 6, Trieste, 2001, 215--248.
  6. S. Helmke and P. Slodowy, Loop groups, elliptic singularities and principal bundles over elliptic curves, Geometry and Topology of Caustics -- Caustics '02, Banach Center Publ. 62, Warszawa, 2004, 87--99.
  7. S. Helmke and P. Slodowy, Singular elements of affine Kac-Moody groups, European Congress of Mathematics. Proceedings of the 4th Congress (4ecm) held in Stockholm, June 29 -- July 2, 2004, Ed. A. Laptev, Stockholm, 2005, 155--172.
  8. S. Helmke, Multiplier ideals and basepoint freeness, Oberwolfach reports 1, 2004, 1137--1139.

助教 星野 直彦 (プログラミング意味論の研究)
 プログラミング言語の意味論,特に相互作用の幾何学(Geometry of Interaction,GoI)と 実現可能性解釈の研究を行っている。GoIはGirardにより始めら れた線型論理の意味論の一つで線型論理のカット除去に関する研究がその端緒で ある。Curry-Howard同型を通してGoIを多 相型線型ラムダ計算の意味論と見なすことができ,さらにプログラミング言語の 重要な機構である不動点演算子のGoI解釈について研究がなされている。GoI意味 論の特色は,プログラミ ング言語の解釈がその言語の実装を与えていること,1990年代後半から今に至る まで種々のプログ ラミング言語の完全抽象性問題を解決したゲーム意味論とよく似た構造を持って いること, Abramsky, Haghverdi, Scottらによって整備された圏論的枠組を持つことが挙げ られる。 与えれらたプログラミング言語に対する完全抽象性を満たすモデルを与えること はプログラム意味論の 研究において1980年代から取り組まれてきた問題であり,その動機はプログラミ ング言語の 計算可能性を特徴づけるという哲学的問題意識とプログラミング言語の検証への 応用の2つ挙げられる。 実際ゲーム意味論を用いたプログラミング言語の観測的同値を検証する研究があ る。ゲーム意味論は完全 抽象性問題に対し多くの結果をもたらした強力な意味論である一方で,ゲーム意 味論の定義は初等的であ り,また,与えられた言語に対して完全抽象性を満たすゲーム意味論があるか, どのようにそれを定義すべきかと いう問題は与えられた言語ごとに取り組まれている。こういった状況に対し, GoIの圏論 的枠組みを通してゲーム意味論を捉えなおすことで新たな「ゲーム意味論」を構 成することを目指している。
 しかしながらGoI意味論の研究においては不動転演算子の解釈をどのように与え るべきかという問題すら十分 に議論されていなかった。[4]において星野は標準的なGoI解釈は不動転演算子の 解釈の取り方によらず多相型 線型ラムダ計算の妥当(adequate)な意味論とはならないことを観察し,実現可 能性解釈を用いた圏論的モデ ルの構成から多相型線型ラムダ計算の為の妥当なGoI意味論を与えた。また[2]に おいてGoI意味論の圏論的枠組みの中で 基本となるunique decomposition categoryのある部分クラスが加算双直積を持 つ圏に埋め込める事を証明した。 この結果は与えられたunique decomposition categoryがどのような計算の世界 の意味論を与えているかを調べ るための足掛かりになると考えている。現在はよく知られているGoI意味論がそ れぞれどのような計算可能性の世界と 関連しているかを調べる手法を研究している。
  1. Naohiko Hoshino. Step Indexed Realizability Semantics for a Call-by-Value Language Based on Basic Combinatorial Objects. To appear in Proceedings of LICS 2012.
  2. Naohiko Hoshino. A Representation Theorem for Unique Decomposition Categories. To appear in Proceedings of MFPS 2012.
  3. Ichiro Hasuo and Naohiko Hoshino. Semantics of Higher-Order Quantum Computation via Geometry of Interaction. In Proceedings of LICS 2011, page 237-246, IEEE Computer Society.
  4. Naohiko Hoshino. A Modified GoI Interpretation for a Linear Functional Programming Language and its Adequacy. In Proceedings of FoSSaCS 2011, volume 6604 of LNCS, pages 320-334, Springer.
  5. Naohiko Hoshino. Linear Realizability. In Proceedings of CSL 2007, volume 4646 of LNCS, pages 420-434, Springer.

助教 柳田 伸太郎(代数幾何学と量子代数の研究)
 代数曲面上のGieseker 安定層のモジュライ空間を調べる重要な手法の一つに,導来圏上で定義されるFourier 向井変換があります。私の研究はAbel 曲面上の安定層のモジュライ空間をFourier 向井変換を使って調べることから始まりました。
 文献[1] において私達は1980 年の向井茂氏の予想を肯定的に解決しました。この予想は,非常に一般なAbel 曲面上の一般の安定層がある条件の下で,半等質層と呼ばれる特殊な連接層による分解を持つことを主張します。その応用として,安定層のモジュライ空間の双有理幾何に統制がつくことも分かりました。例えばモジュライ空間の双有理同値達がある算術群がなすことが分かりました。
 文献[2-4] ではAbel 曲面ないしK3 曲面上のBridgeland 安定性を調べています。文献[2] では,Abel 曲面及びK3 曲面について導来圏のBridgeland 安定性の構成と,lar ge volume limit と呼ばれる条件下におけるBridgeland 安定性とGieseker 安定性の一致,更にFourier 向井変換との関連について調べました。また安定性の空間におけるw all-chamber 構造と,安定な対象の数え上げに関する壁越えの解析も行いました。文献[3] ではBridgeland 安定性に関して安定な対象のモジュライ空間の射影性について論じました。文献[4] ではアーベル曲面上でのBridgeland 安定性とFourier 向井変換との関連を調べました。これは文献[1] の結果に現れた算術群の記述に関係していて,安定性の空間の壁のうち特殊なタイプのものの壁越えを行うことと算術群でパラメトライズされる双有理同値とが対応することが分かりました。
 量子代数については文献[5] が研究のスタートに当たります。Macdonald 対称函数は2 パラメータを持つ重要な対称函数ですが,可換な差分作用素族の同時固有函数でもあります。対称函数の空間をHeisenberg 代数のFock 空間と同一視すれば,差分作用素族を自由場表示するとどうなるかという問題を考える事ができます。文献[5] で私達はFeigin-Odesskii 代数と呼ばれる有理函数のなす可換代数でもって差分作用素族の自由場表示に成功しました。またこの代数がDing-Iohara-Miki 代数と呼ばれる量子群の一種とも関係することが分かりました。
 モジュライの代数幾何学と量子代数の表現論の交差点にある話題として,物理学者によって提唱されたAGT 予想があります。数学的に言うとこの予想は,射影曲面上の枠付き連接層のモジュライ空間の同変コホモロジー群に頂点作用素代数の重要な例であるW代数が作用し,その作用で同変コホモロジー群がW代数の完備普遍Verma 加群と同型になることを主張します。
 文献[6-8] はこの予想に関する研究です。AGT 予想において表現論サイドに現れる対象はWhittaker ベクトルと呼ばれるW代数の完備Verma 加群の特別な元です。文献[6] ではVirasoro 代数の場合にこれを自由場表示とCalogero-Sutherland ハミルトニアンを用いて調べ,Jack 対称函数を用いてWhittakerベクトルを明示化しました。文献[7] ではVirasoro 代数の場合の物質場なしのAGT 予想の,Zamolodchikov 型の漸化式による証明を完成させました。文献[8] ではAGT 予想のK 理論類似をDing-Iohara-Miki 代数の立場から扱いました。特に物質場つきK 理論的Nekrasov 分配関数の実現に必要な頂点作用素に関して予想を提出しました。
 最近はBridgeland が導入した2 周期的複体のHall 代数について研究を進めています(文献[9],[10])。この研究は上述のDing-Iohara-Miki 量子代数に動機づけされています。この量子代数の実現は私達の仕事の他に,楕円曲線上の連接層のなすAbel 圏に付随したRingel-Hall 代数のDrinfeld ダブルを用いる構成が知られています。Ding-Io hara-Miki 代数はHopf 代数で,特にその余積構造の研究がこれから重要になると思われるのですが,それを調べる上ではRingel-Hall 代数を用いたアプローチが簡明だと思われます。
  1. Semi-homogeneous sheaves, Fourier-Mukai transforms and moduli of stable sheaves on abelian surfaces, to appear in Journal fur die reine und angewandte Mathematik; arXiv:0906.4603 (with K. Yoshioka).
  2. Fourier-Mukai transforms and the wall-crossing behavior for Bridgeland’s stability conditions, arXiv:1106.5217 (with H. Minamide and K. Yoshioka).
  3. Some moduli spaces of Bridgeland’s stability conditions, arXiv:1111.6187 (with H. Minamide and K. Yoshioka).
  4. Bridgeland’s stabilities on abelian surfaces, arXiv:1203.0884 (with K. Yoshioka).
  5. A commutative algebra on degenerate CP1 and Macdonald polynomials, J. Math. Phys. 50 (2009), no. 9, 095215, 42 pp; arXiv:0904.2291 (B. Feigin, K. Hashizume, A. Hoshino and J. Shiraishi).
  6. Whittaker vectors of the Virasoro algebra in terms of Jack symmetric polynomial, J. Algebra 333 (2011), 273-294; arxiv:1003.1049.
  7. Notes on Ding-Iohara algebra and AGT conjecture, RIMS kokyuroku 1765 (2011), 12-32; arXiv:1106.4088 (with H. Awata, B. Feigin, A. Hoshino, M. Kanai and J. Shiraishi).
  8. Norm of logarithmic primary of Virasoro algebra, Lett. Math. Phys. 98 (2011), no. 2, 133-156 ; arxiv:1010.0528.
  9. A note on Bridgeland’s Hall algebra of two-periodic complexes, arXiv:1207.0905.
  10. Bialgebra structure on Bridgeland’s Hall algebra of two-periodic complexes, arXiv:1304.6970.

助教 横田 巧 (微分幾何学の研究)
 私は微分幾何学,その中でも主にリッチ流(Ricci flow)とアレクサンドロフ空間の幾何学につ いて研究しています。リッチ流とは多様体上で定義されるある発展型偏微分方程式を満たすリー マン計量の族のことで,1982年に R. Hamilton によって導入され,2002〜03年に G. Perelman が発表した3次元ポアンカレ予想の証明に使われたことでも注目を集めました。私は特にリッチ 流という偏微分方程式の解の幾何学的側面に興味を持って研究しています([1--3, 7])。
 論文 [2, 3] では一般次元リッチ流の古代解とその簡約体積について調べました。古代解とは過 去に無限時間存在するリッチ流のことで,リッチ平坦計量や縮小リッチソリトン等を含み,リッ チ流の特異点のモデルとなる重要な概念です。簡約体積は Perelman がL幾何と呼ばれるリッチ 流の時空に対する比較幾何学的考察により発見した量です。私はこの簡約体積を用いて古代解に 対するギャップ定理を証明しました([2])。リッチ平坦計量を自明な古代解とみなすと,この 定理はリッチ平坦多様体に対する定理のリッチ流への自然な拡張であると解釈出来ます。またこ の定理の系として,勾配型縮小リッチソリトンに対するギャップ定理も得られます([2, 7])。 プレプリント [7] では,以前 [2] で仮定していた曲率条件を外し,改良されたリッチソリトン に対するギャップ定理が得られました。
 また私は Alexandrov 空間や Wasserstein 空間などの距離空間の幾何学についても研究してい ます([4--6])。曲率が下に有界な Alexandrov 空間とはその“断面曲率の下限”が不等式によ り定義された距離空間のことです。例えば,断面曲率が下に有界なリーマン多様体の列の極限空 間がそのような例となり,Alexandrov 空間の理論は先の Perelman の議論でも鍵となります。 最近の論文 [5] において,私は断面曲率が正定数以上のリーマン多様体の filling radius と 呼ばれる不変量に対する比較定理を(有限次元)Alexandrov 空間の spread という不変量に対 する比較定理に拡張しました。証明の議論は多様体の場合を参考にしましたが、Alexandrov 空 間に拡張することで、より簡単な証明が得られました。今はその無限次元版の証明を考えていま す。無限次元 Alexandrov 空間の重要な例としては非負曲率 Alexandrov 空間上の Wasserstein 空間があります。共同研究 [6] ではユークリッド空間上の Wasserstein 空間の距離構造を少 し明らかにしました。
  1. Curvature integrals under the Ricci flow on surfaces, Geom. Dedicata, 133 (2008), 169--179.
  2. Perelman's reduced volume and a gap theorem for the Ricci flow, Comm. Anal. Geom., 17, No.2 (2009), 227--263.
  3. On the asymptotic reduced volume of the Ricci flow, Ann. Global Anal. Geom., 37, No.3 (2010), 263--274.
  4. A rigidity theorem in Alexandrov spaces with lower curvature bound, Math. Annalen, 353, No. 2 (2012), 305--331.
  5. On the filling radius of positively curved Alexandrov spaces, Math. Z., to appear.
  6. (joint with A. Takatsu) Cone structure of L^2-Wasserstein spaces, J. Topol. Anal., to appear.
  7. Addendum to `Perelman's reduced volume and a gap theorem for the Ricci flow', submitted.