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福島 竜輝

名前 福島 竜輝 (Fukushima, Ryoki)

准教授

E-Mail ryoki (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)


研究内容 確率論

紹 介

 主にランダム媒質中の確率過程の研究を行っている。この分野の研究は空間的に一様でない媒質における物理現象を理解するという動機から始まったが,二重のランダムネスが生み出す多様な現象の定式化や解析の過程で数学的にも新しい概念や手法が生まれてきた。典型的なモデルを挙げると,各点での遷移確率がランダムなランダムウォーク(ランダム媒質中のランダムウォーク),強磁性と反磁性がランダムに混ざったスピン系(スピングラス),ランダムポテンシャルを伴うSchrödinger作用素(Anderson模型)などがある。
私自身が最も古くから研究しているのはAnderson模型に関連する拡散過程である。Anderson模型は不純物を含む結晶中での電子の運動を記述するモデルとしてP.W. Andersonによって提唱されたモデルであり,そこではとくに低いエネルギーを持つ電子が結晶の中の小さな領域に局在することが議論されている。対応する拡散過程はランダムに配置された不純物から反発力や吸引力を受ける拡散粒子,あるいは高分子鎖の模型と考えられ,やはりある種の局在が期待される。まず[1, 2]においてはランダムポテンシャルが拡散粒子と長距離相互作用するというあまり研究されてこなかった状況において,相互作用が短距離の場合と異なるスケールで局在が起こることを示した。また[7, 10]においては短距離相互作用の場合の結果の精密化や,それを応用して外力があっても依然として粒子が局在することがあることを示した。後者は個人的にはかなり長く考えてきた問題であり,またこの分野については近年急速に進展したこともあって,やや飽和してきた印象を持っている。
もう一つ系統的に行っているのはランダム媒質における統計物理モデルの自由エネルギーの研究である。多くの場合その存在は劣加法エルゴード定理によって保証されるが,この方法は非構成的であるがゆえに自由エネルギーの性質の理解を難しくする。現時点ではランダム媒質中の(決まった方向に伸びる)高分子鎖の模型に対して[3, 8]で零温度極限における連続性を示すことに成功している。但しこの方面の研究では結果自体よりも,とりあえず手法を蓄積して他の模型への適用可能性を考える方が重要と考えている。
これらの他にも,最近は主に共同研究によってAnderson模型の均質化[4],ランダムな加法汎関数の大偏差原理[6],ランダム媒質中のランダムウォーク[5, 9]など多様な問題に取り組むようになった。これらの結果は全て異なる文脈で現れたものであるが,いずれも技術的にはいわゆる「測度の集中現象」の理論を適宜修正して媒質の揺らぎを制御することが鍵になっており,いずれは元の理論へのフィードバックにも繋がればと思っている。

  1. Second order asymptotics for Brownian motion in a heavy tailed Poissonian potential Markov Processes and Related Fields, vol. 17, issue 3, 447-482 (2011)
  2. Annealed Brownian motion in a heavy tailed Poissonian potential, Annals of Probability, vol. 41, no. 5, 3462-3493 (2013)
  3. Limiting results for the free energy of directed polymers in random environment with unbounded jumps (joint work with Francis Comets, Shuta Nakajima and Nobuo Yoshida), Journal of Statistical Physics, vol. 161, issue 3, 577-597 (2015)
  4. Eigenvalue fluctuations for lattice Anderson Hamiltonians (joint work with Marek Biskup and Wolfgang K\"{o}nig), SIAM Journal on Mathematical Analysis, vol. 48, no. 4, 2674–2700 (2016)
  5. Slowdown estimates for one-dimensional random walks in random environment with holding times (joint work with Amir Dembo and Naoki Kubota), Electronic Communications in Probability, vol. 23, Paper no. 89, 12 pp. (2018)
  6. Quenched tail estimate for the random walk in random scenery and in random layered conductance (joint work with Jean-Dominique Deuschel), Stochastic Processes and their Applications, vol. 129, no. 1, 102–128 (2019)
  7. Geometry of the random walk range conditioned on survival among Bernoulli obstacles (joint work with Jian Ding, Rongfeng Sun and Changji Xu), Preprint, arXiv:1806.08319
  8. Zero temperature limit for the Brownian directed polymer among Poissonian disasters (joint work with Stefan Junk), Preprint, arXiv:1810.09600
  9. New high-dimensional examples of ballistic random walks in random environment (joint work with Alejandro F. Ram\'{i}rez), Preprint, arXiv:1902.08920
  10. Biased random walk conditioned on survival among Bernoulli obstacles: subcritical phase (joint work with Jian Ding, Rongfeng Sun and Changji Xu), Preprint, arXiv:1904.07433

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Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)