所員 -福島 竜輝-

名前 福島 竜輝 (Fukushima, Ryoki)
講師
E-Mail ryoki (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 確立論
紹 介
 主にランダム媒質中の確率過程の研究を行っている。この分野の研究は空間的に一様でない媒質における物理現象を理解するという動機から始まったが,二重のランダムネスが生み出す多様な現象の定式化や解析の過程で数学的にも新しい概念や手法が生まれてきた。典型的なモデルを挙げると,各点での遷移確率がランダムなランダムウォーク(ランダム媒質中のランダムウォーク),強磁性と反磁性がランダムに混ざったスピン系(スピングラス),ランダムポテンシャルを伴うSchrödinger 作用素(Anderson 模型)ながあるが,私自身はこれまではAnderson 模型に関わる研究を中心に行ってきた。
 Anderson 模型は不純物を含む結晶中での電子の運動を記述するモデルとしてP.W.Anderson によって提唱されたモデルであり,そこではとくに低いエネルギーを持つ電子が結晶の中の小さな領域に局在することが議論されている。Anderson の議論は数学的に厳密な証明ではなかったが,その後の多くの数学者の努力によりとくに合金型と呼ばれる,ポテンシャルの配置は規則的であるが高さ(形状)がランダムなモデルに対しては理解が進んできている。一方でポテンシャルの配置がランダムなモデルについては研究が遅れており,合金型に近いと見なせるPoisson 配置の場合を除いてほとんど結果が無かった。そこで[1,2,3] では格子点をランダムに揺動したモデルを考察し,作用素の無限体積極限におけるスペクトル分布の挙動を決定した。これはいわゆるAnderson 局在を示すための重要なステップになるが,局在の証明にはまだ困難があり将来の課題である。なお同じ時期にBaker, Loss, Stolz も類似のモデルを研究したが,彼らは有界な揺動を扱ったのに対して我々の研究では非有界な揺動を考察しており,結果も手法も大きく異なっている。
 また最近はAnderson 模型に対応する拡散過程の局在について,精密な定量的評価を目指して研究している。この方面ではGärtner, König, Molchanov やSznitman による先行研究があり,合金型のポテンシャルで短距離の影響力を持つ場合には拡散過程が通常の時間の平方根のスケールより小さい領域に局在することは知られていた。一方で長距離の影響力を持つ場合は異なるスケールで局在が起こることが予想されていたが,これを[4,5] において実際に確かめた。現在は,ポテンシャルが確率場として長距離相関を持つ状況への拡張や,ポテンシャルに小さな因子を掛けたときの局在の安定性などを調べている。
  1. Brownian survival and Lifshitz tail in perturbed lattice disorder Journal of Functional Analysis, vol. 256, issue 9, 2867-2893 (2009)
  2. Classical and quantum behavior of the integrated density of states for a randomly perturbed lattice (joint work with Naomasa Ueki), Annales Henri Poincar\'e, vol. 11, no. 6, 1053-1083 (2010)
  3. Moment asymptotics for the parabolic Anderson problem with a perturbed lattice potential (joint work with Naomasa Ueki), Journal of Functional Analysis, vol. 260, issue 3, 724-744 (2011)
  4. Second order asymptotics for Brownian motion in a heavy tailed Poissonian potential Markov Processes and Related Fields, vol. 17, issue 3, 447-482 (2011)
  5. Annealed Brownian motion in a heavy tailed Poissonian potential, to appear in Annals of Probability.