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葉廣 和夫

名前 葉廣 和夫 (Habiro, Kazuo)

准教授

E-Mail habiro (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)


研究内容 位相幾何学の研究

紹 介

 3次元トポロジーにおける代数的および圏論的な構造に興味を持ち研究している。Jones多項式やWitten-Reshetikhin-Turaev不変量などの量子不変量は,タングルの圏やコボルディズムの圏などから,ベクトル空間の圏など代数的に定義される圏への関手として構成される。このような関手を定義する一つの重要な方法は,量子群と呼ばれるHopf代数を用いることである。
[1]では,3次元多様体と絡み目のクラスパーに沿った手術により生成される同値関係について研究した。 クラスパーが満たすHopf代数的な性質は,一つ穴空き曲面を対象とし,コボルディズムを射とする圏$Cob$におけるbraided Hopf代数構造(Crane-Yetter,Kerlerによる)と対応している。 [2]においては,タングルの圏の部分圏でbraided Hopf代数の「作用」を許容するようなものと,その量子不変量への応用について考察し、さらに、$Cob$の部分圏として、ハンドルボディ内の底タングルのなす圏Bを導入した。 [5]において,曲面を対象としラグランジアン同境を射とする圏$LCob$($Cob$の部分圏でBを含む)において定義される関手として,Le-Murakami-Ohtsuki型の不変量(LMO関手)を構成し、[6]において、[1]で導入した曲面のホモロジーシリンダーの研究へ応用した。 さらに[11]では、Bにおいて定義されるLMO関手の精密化を構成した。 また、[2]で導入した圏構造(と下記[3]の結果)を応用して、[4], [10]において,一般の有限次元複素単純Lie代数gに対し、すべての1の巾根における整係数ホモロジー3球面のg Witten-Reshetikhin-Turaev不変量を統一するような不変量を構成した。
3次元多様体の量子不変量の研究において重要な役割を果たすKirbyの定理は,3次元球面内の枠付き絡み目が同相な3次元多様体をDehn手術により与えるための必要十分条件を与える。 この定理の一つの精密化として,[3]において, 整係数ホモロジー球面に対しては,絡み行列が対角行列である場合のみを考えれば十分であるということ(Hosteによる予想)を証明した。 [7]では,3次元多様体の中のnull-homologousな枠付き絡み目に対するKirby calculusについて考察した。
量子群の圏化についても研究を行っている。 [8], [9]では,量子群の圏化のトレース(0次Hochschild-Mitchellホモロジー群)について考察した。 量子群の圏化の代数的構造を明らかにし、それを量子不変量の圏化(Khovanovホモロジーなど)へ応用することを目標として研究を進めている。

  1. Claspers and finite type invariants of links, Geom. Topol., 4 (2000), 1-83.
  2. Bottom tangles and universal invariants, Alg. Geom. Topol., 6 (2006), 1113-1214.
  3. Refined Kirby calculus for integral homology spheres, Geom. Topol., 10 (2006), 1185-1217.
  4. A unified Witten-Reshetikhin-Turaev invariants for integral homology spheres, Invent. Math., 171 (2008), 1-81.
  5. A functorial LMO invariant for Lagrangian cobordisms, Geom. Topol., 12 (2008), 1091-1170. (with D. Cheptea and G. Massuyeau)
  6. Symplectic Jacobi diagrams and the Lie algebra of homology cylinders. J. Topol. 2 (2009), 527--569. (with G. Massuyeau)
  7. Kirby calculus for null-homologous framed links in 3-manifolds. J. Topol., 10 (2017), 585--631. (with T. Widmer)
  8. Trace decategorification of categorified quantum sl(2). Math. Ann. 367 (2017), 397--440. (with A. Beliakova, A. D. Lauda and M. \v{Z}ivkovi\'{c})
  9. Current algebras and categorified quantum groups. J. London Math. Soc. 95 (2017), 248--276. (with A. Beliakova, A. D. Lauda and B. Webster)
  10. Unified quantum invariants for integral homology spheres associated with simple Lie algebras, Geom. Topol. 20 (2016), 2687--2835. (with T. Q. T. Le)
  11. The Kontsevich integral for bottom tangles in handlebodies. Preprint. (with G. Massuyeau)

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Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS)