京都大学数理解析研究所

紹 介

　3次元トポロジーを代数的な観点から理解することが研究の主要な目標である。 Crane-YetterとKerlerは，境界が円周でパラメトライズされた曲面のコボルディズムのなす圏Cの中における braided Hopf代数の構造を発見した。 筆者[1]とGoussarovは，クラスパーに沿った手術の概念を導入し， ３次元多様体と絡み目の手術同値関係の理論を導入したが， クラスパーは圏Cにおけるbraided Hopf代数構造と同様の性質を満たしている。 圏Cの構造を明らかにすることは，３次元トポロジーを代数的に理解することに役立つと期待される。 [5]においては，タングルの圏の部分圏でbraided Hopf代数の「作用」を許容するようなものと， その量子不変量への応用について考察した。 また，[9]において，圏Cのラグランジアン同境を射とする部分圏Lにおいて定義される関手として， Le-Murakami-Ohtsuki型の不変量を構成した。 [10]において，この関手を曲面のホモロジーシリンダーのなす半群へ応用した。
　[2,8]において，すべての１の巾根における整係数ホモロジー３球面の$sl_2$ Witten-Reshetikhin-Turaev不変量を統一するような不変量の存在を証明した。 この不変量は[3]で考察した多項式環の完備化に値をとる。 この完備化の元は、１の巾根で定義された解析関数と思うことができる。
　３次元多様体の量子不変量の研究において重要な役割を果たすKirbyの定理は， ３次元球面内の２個の枠付き絡み目が同相な３次元多様体をDehn手術により与えるための 必要十分条件を与える。 [6]において，これの一つの精密化として， 整係数ホモロジー球面を考えるときには， 絡み行列が対角行列である場合のみを考えれば十分であるということ（Hosteによる予想）を証明した。

1. Claspers and finite type invariants of links, Geom. Topol., 4 (2000), 1-83.
2. On the quantum $sl_2$ invariants of knots and integral homology spheres, Geom. Topol. Monogr., 4 (2002), 55-68.
3. Cyclotomic completions of polynomial rings, Publ. RIMS Kyoto Univ., 40 (2004), 1127-1146.
4. An integral form of the quantized enveloping algebra of $sl_2$ and its completions, J. Pure Appl. Alg., 211 (2007), 265-292.
5. Bottom tangles and universal invariants, Alg. Geom. Topol., 6 (2006), 1113-1214.
6. Refined Kirby calculus for integral homology spheres, Geom. Topol., 10 (2006), 1185-1217.
7. Brunnian links, claspers and Goussarov-Vassiliev finite type invariants, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 142 (2007), 459-468.
8. A unified Witten-Reshetikhin-Turaev invariants for integral homology spheres, Invent. Math., 171 (2008), 1-81.
9. A functorial LMO invariant for Lagrangian cobordisms, Geom. Topol., 12 (2008), 1091-1170. (with D. Cheptea and G. Massuyeau)
10. Symplectic Jacobi diagrams and the Lie algebra of homology cylinders, J.Topology, 2 (2009), 527-569. (with G. Massuyeau)