所員 -葉廣 和夫-

名前 葉廣 和夫 (Habiro, Kazuo)
准教授
E-Mail habiro (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 位相幾何学の研究
紹 介
 3次元トポロジーにおける代数的および圏論的な構造に興味を持ち研究している。Jones多項式やWitten-Reshetikhin-Turaev不変量などの量子不変量は,タングルの圏やコボルディズムの圏などから,ベクトル空間の圏や加群の圏など代数的に定義される圏への関手として構成される。このような関手を定義するには,量子群と呼ばれるHopf代数が用いられる。
 [1]では,3次元多様体と絡み目のクラスパーに沿った手術により生成される同値関係について研究した。クラスパーはHopf代数的な性質を満たすが,これは,円周を境界に持つ曲面を対象とし,コボルディズムを射とする圏におけるbraided Hopf代数構造(Crane-Yetter,Kerlerによる)と対応している。[2]においては,タングルの圏の部分圏でbraided Hopf代数の「作用」を許容するようなものと,その量子不変量への応用について考察した。また,[5]において,曲面を対象としラグランジアン同境を射とする圏$LCob$において定義される関手として,Le-Murakami-Ohtsuki型の不変量を構成した。
 [4]において,すべての1の巾根における整係数ホモロジー3球面の$sl_2$ Witten-Reshetikhin-Turaev不変量を統一するような不変量を構成した。[10]において、この結果を一般の有限次元複素単純Lie代数に付随する量子不変量に一般化した。
 3次元多様体の量子不変量の研究において重要な役割を果たすKirbyの定理は,3次元球面内の2個の枠付き絡み目が同相な3次元多様体をDehn手術により与えるための必要十分条件を与える。この定理の一つの精密化として,[3]において整係数ホモロジー球面を考えるときには,絡み行列が対角行列である場合のみを考えれば十分であるということ(Hosteによる予想)を証明した。[7]では,3次元多様体の中のnull-homologousな枠付き絡み目に対するKirby calculusについて考察した。
 最近は量子群の圏化についても研究を行っている。[6]において,量子群$U_q(sl_2)$の圏化においてリボン元に対応する複体を構成した。[8], [9]では,量子群の圏化のトレース(0次Hochschildホモロジー群)について考察した。圏化された量子群のいろいろな代数的構造を明らかにすることと、それをトポロジーへ応用することを目標として研究を進めている。
  1. Claspers and finite type invariants of links, Geom. Topol., 4 (2000), 1-83.
  2. Bottom tangles and universal invariants, Alg. Geom. Topol., 6 (2006), 1113-1214.
  3. Refined Kirby calculus for integral homology spheres, Geom. Topol., 10 (2006), 1185-1217.
  4. A unified Witten-Reshetikhin-Turaev invariants for integral homology spheres, Invent. Math., 171 (2008), 1-81.
  5. A functorial LMO invariant for Lagrangian cobordisms, Geom. Topol., 12 (2008), 1091-1170. (with D. Cheptea and G. Massuyeau)
  6. A categorification of the ribbon elements in quantum sl(2). Preprint. (with A. Beliakova)
  7. Kirby calculus for null-homologous framed links in 3-manifolds. J. Topol., to appear. (with T. Widmer)
  8. Trace decategorification of categorified quantum sl(2). Math. Ann.} (published online). (with A. Beliakova, A. D. Lauda and M. \v{Z}ivkovi\'{c})
  9. Current algebras and categorified quantum groups. Preprint. (with A. Beliakova, A. D. Lauda and B. Webster)
  10. Unified quantum invariants for integral homology spheres associated with simple Lie algebras, to appear in Geom. Topol. (with T. Q. T. Le)