所員 -今井 直毅-

名前 今井 直毅 (Imai, Naoki)
助教
E-Mail naoki (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 数論幾何
紹 介
 局所的な手法による Galois 表現の研究を行っている。 p 進体の絶対 Galois 群の標数 p の有限体上の表現のうちで重要なものとして, 平坦な表現というものがある。 これは,p進体の整数環上の有限平坦群スキームの一般ファイバーに現れる表現 であるという意味であり,与えられた平坦な Galois 表現を一般ファイバーに持 つような有限平坦群スキームを有限平坦モデルという。 [1]では, 有限平坦モデルのモジュライ空間のある locus が連結であることを示し, 応用として,ある種の変形環と Hecke 環がほとんど同型であるという定理を示した。 [1]では, p が奇素数であるという条件が必要であったが, その条件は,[4]において外されている。 [2]では,2次元 Galois 表現に対して,有限平坦モデルのモジュライ空間の 次元が,p進体の絶対分岐指数を用いて上から抑えられることを示した。 この結果は,p進体の分岐が小さいときに有限平坦モデルが一意的であるという Raynaud の定理の次元に関する一般化を与えている。 [3]では,特殊な有限平坦モデルのモジュライ空間の有理点を数え上げるこ とにより,階数 2 の定数群スキームの有限平坦モデルの数を計算する公式を与 えた。
 p進 Galois 表現の広いクラスとして,潜在的に安定な Galois 表現というもの がある。 潜在的に安定な Galois 表現は,Colmez-Fontaine の定理により,Galois 作用 付きの許容フィルター付き$(\phi,N)$加群と対応している。 [5]では,許容性の条件を調べることにより,階数2の潜在的に安定な Galois 表現に対応する Galois 作用付きフィルター付き$(\phi,N)$加群をすべ て決定した。
 [6] においては, レベル 2 のモジュラー曲線の安定モデルの計算を用いて, そのコホモロジーへの 惰性群の作用およびある Hecke 作用の計算を行った。 Hecke 作用の計算のため,レベル 3 のモジュラー曲線のモデルから レベル 2 のモジュラー曲線のモデルへの安定写像の構成が 行われている。 また系として, レベル 2 の Lubin-Tate 空間のコホモロジーの計算も行った。 [7] においては, リジッド曲線の準安定被覆の理論の基礎付けを行った。 具体的には,準安定被覆から準安定形式モデルを構成し, モデルを用いて,リジッド曲線のエタールコホモロジーの 記述を与えた。 さらに,代数的とは限らない有限平坦写像に関して, 上記のモデルの構成や,コホモロジーの記述が 関手的であることを示した。
 [8] においては, PEL型志村多様体のコンパクト台コホモロジーと 隣接輪体コホモロジーの比較を行った。 より具体的には,両者が,cuspidal 部分に関しては 一致することを示した。
 [9] においては, レベル 3 の Lubin-Tate 空間の安定形式モデルの決定が, 任意の剰余標数で行われている。 導手 3 というのは,primitive な Galois 表現が 現れる最初の導手であり,剰余標数が 2 の場合に,primitive な表現は Lubin-Tate 空間の還元 に現れる j 普遍量 0 の超楕円曲線の コホモロジーから来ていることが分かった。 論文 [10] では,[9] で得られた,安定モデルの情報を用いて, Lubin-Tate 空間のコホモロジーに 局所 Langlands 対応が現れることを純局所的に証明した。 実現された対応が実際に Langlands 対応と一致することは, イプシロン因子を計算することによって証明されている。
  1. On the connected components of moduli spaces of finite flat models, Amer. J. of Math. 132 (2010), no. 5, 1189-1204.
  2. Ramification and moduli spaces of finite flat models, Ann. Inst. Fourier 61 (2011), no. 5, 1943-1975.
  3. Finite flat models of constant group schemes of rank two, Proc. Amer. Math. Soc. 138 (2010), no. 11, 3827-3833.
  4. On the connected components of moduli spaces of Kisin modules, J. Algebra 349 (2012), no.1, 1-7.
  5. Filtered modules corresponding to potentially semi-stable representations, J. of Number Theory 131 (2011), no. 2, 239-259.
  6. Action of Hecke operators on cohomology of modular curves of level two (with Takahiro Tsushima), to appear in Math. Z.
  7. Cohomology of rigid curve with semi-stable covering (with Takahiro Tsushima), preprint, arXiv:1109.2824.
  8. Compactly supported cohomology and nearby cycle cohomology of open Shimura varieties of PEL type (with Yoichi Mieda), preprint, arXiv:1109.4697.
  9. Representation of conductor three in cohomology of Lubin-Tate space of height two (with Takahiro Tsushima), preprint, arXiv:1111.1893.
  10. Geometric realization of the local Langlands correspondence for representations of conductor three (with Takahiro Tsushima), preprint, arXiv:1205.0734.