所員 -伊藤 哲也-

名前 伊藤 哲也 (Ito, Tetsuya)
助教
E-Mail tetitoh (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 位相幾何学・幾何学的及び組み合わせ群論
紹 介
 組みひも群,順序群およびその一般化などを中心に, 関係するトポロジー・幾何・代数及びその組み合わせ構造について幅広く研究している。
 順序群とは,群自身の作用で不変であるような全順序を持つ群であり, 群の一次元力学系と密接に関連した概念である。 近年では三次元多様体の基本群に対して,順序付け可能性,Heegaard Floer Homology,taut葉層構造との関連が予想されるなど,順序群の概念は低次元トポロジーにおいても着目されるようになっている。 私は主にトポロジーの問題意識から, 非自明な順序群及び順序の構成や,順序構造のトポロジーの問題への応用などについて研究を行っている。
 [1,8]では, Dehornoy順序と呼ばれる組みひも群の標準的な順序をトポロジーへ応用することについて考察した。 Dehornoy順序を用いて, Birman-MenascoによるBraid foliationの理論での特異点の数が評価できることを示し,特に組みひものDehornoy順序が十分に大きい,あるいは小さいときにはその組みひもから得られる結び目の補空間 及び幾何構造が組みひものNielsen-Thurston分類と一対一に対応することを示した。また,応用としてBigelowによる予想「非忠実な量子表現から得られる量子不変量は自明な結び目を区別できない」を肯定的に解決した。
 近年では川室圭子氏との共同研究により,三次元(接触)多様体をそのオープンブック分解を利用して幾何的に調べる手法であるopen book foliationの理論を導入した。Open book foliationの手法による研究を進め,閉組みひも表示された横断的結び目のself-linking numberの公式や,位相幾何的な手法による接触構造のtight性の議論などの結果を得た[2--5]。
 また,最近では組みひも群の線形表現の構造について調べ,組みひも群のホモロジー表現や量子表現が組みひも群のdual Garside構造と密接に関連していることを明らかにした[6,7]。これは,これらの表現が忠実であることよりも強く,線形表現が組みひもの組み合わせ構造を強く反映し,より深い情報を持つことを示している。

  1. T. Ito, Braid ordering and the geometry of closed braids, Geom. Topol, 15 (2011), 473--498.
  2. T. Ito and K. Kawamuro, Open book foliation, Geom. Topol. 18 (2014) 1581--1634.
  3. T. Ito and K. Kawamuro, Visualizing overtwisted discs in open books, Publ. Res. Inst. Math. Sci, 50 (2014) 169--180.
  4. T. Ito and K. Kawamuro, Operations on open book foliations, Algebr. Geom. Topol. 14 (2014) 2983--3020.
  5. T. Ito and K. Kawamuro, Overtwisted discs in planar open books, Internat. J. Math. 26, 1550027 (2015) 29pages.
  6. T. Ito, Reading the dual Garside length of braids from homological and quantum representations, Comm. Math. Phys. 335 (2015) 345--367.
  7. T. Ito and B. Wiest, Lawrence-Krammer-Bigelow representations and dual Garside length of braids, Geom. Topol. to appear
  8. A kernel of braid group representation yields a knot with trivial knot polynomials, Math. Z. to appear.