所員 -伊藤 哲也-

名前 伊藤 哲也 (Ito, Tetsuya)
助教
E-Mail tetitoh (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 位相幾何学・幾何学的及び組み合わせ群論
紹 介
 Braid群, 順序群およびその一般化などを中心に, 関係するトポロジー・幾何・代数及びその組み合わせ構造について幅広く研究している。
 順序群とは, 群自身の作用で不変であるような全順序を持つ群であり, 群の一次元力学系と密接に関連した概念である。 近年になり, 三次元多様体の基本群に対して, その順序付け可能性とHeegaard Floer Homologyあるいはtaut葉層構造などとの関連が予想されるなど, 順序群の概念は低次元トポロジーにおいても着目されるようになっている。 私は主にトポロジーの問題意識から, 非自明な順序群及び順序の構成や, 順序構造のトポロジーの問題への応用などについて研究を行っている。
 [1,2]では, Braid群のDehornoy順序と呼ばれる標準的な順序のトポロジーへの応用について考察した。 Dehornoy順序を用いて, Birman-MenascoによるBraid foliationの理論での特異点の数が評価できることを示し, Dehornoy順序とトポロジーとの関連をより直接的に与えた。 特に, Dehornoy順序についての適当な条件下で, braid群のNielsen-Thurston分類とclosed braidの補空間の幾何構造が一対一に対応すること, また, Dehornoy順序を用いて結び目の種数が評価できることなどを示した。
 近年注目されている三次元多様体の基本群の順序構造に関連して, 球面内の絡み目の二重分岐被覆として表示されるような三次元多様体について, その基本群の順序付け可能性について調べた[4]。 一定の条件下で, 二重分岐被覆の基本群の順序付け不可能性が, 絡み目の交点を適当なtangleで置き換え操作に関して保たれることを示し, 二重分岐被覆が順序構を持たないような絡み目の例を多数構成した。
 最近では, 川室圭子氏との共同研究により, 三次元(接触)多様体をそのオープンブック分解を利用して幾何的に調べる手法であるopen book foliationの理論を導入し, 研究を進めている[5,6,7]。 特に, 一般の接触三次元多様体内のclosed braid表示されたtransverse linkについて, self-linking numberの一般公式を得た。 このself-linking number公式での主要項の一つとして, 写像類群の非自明なコサイクルが現れる。 これは接触幾何と写像類群のコホモロジー理論との関連を示唆するものであり, 更なる発展が期待されると共に, 今後の重要な研究課題となっている。
 順序群の代数的側面の研究として, Dehornoy順序の一般化である, Dehornoy-like順序を導入し, その基本的な性質を調べると共に非自明な具体例を構成した[3]。 Dehornoy-like順序は極めて特異な性質を持ち, 順序群の研究において有用な例を与えることが期待されると共に, 組み合わせ論の観点からも豊富な構造を持つ。 また, 孤立順序と呼ばれる特異的な順序の構成やその構造についても現在研究を進めている。

  1. T. Ito, Braid ordering and the geometry of closed braids, Geom. Topol, 15 (2011), 473--498.
  2. T. Ito, Braid ordering and knot genus, J. Knot Theory Ramification, 20 (2011),1311--1323.
  3. T. Ito, Dehornoy-like left orderings and isolated left orderings, J. Algebra, 374 (2013), 42--58.
  4. T. Ito, Non-left-orderable double branched coverings, Algebr. Geom. Topol., 13 (2013) 1937--1965.
  5. T. Ito and K. Kawamuro, Open book foliation, Geom. Topol. to appear
  6. T. Ito and K. Kawamuro, Visualizing overtwisted discs in open books, Publ. Res. Inst. Math. Sci, 50 (2014) 169--180.
  7. T. Ito and K. Kawamuro, Operations on open book foliations, Algebr. Geom. Topol. to appear