所員 -永田 雅嗣-

名前 永田 雅嗣 (Nagata, Masatsugu)
助教
E-Mail nagata (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 位相幾何・多様体論の研究
紹 介
 古典的な surgery 理論は,群の自由作用の分類について飛躍的な成果をおさ めた。surgery 完全系列と呼ばれる道具を用いて,幾何学的対象を,特性類の 計算から求まる対象である「法写像類群」と二次形式の線型代数から求まる対 象である「L-群」とに帰着させる方法であった。
 群作用が自由作用でない,より一般の場合を考えれば問題設定は複雑になる。 「同変 surgery 完全系列」の構成は,各部において様相の異なる作用を扱う ために開発された道具であった。群の位数が奇数の場合には,PL局所線形な 多様体について G-transversality が stable に成立するため自由作用の場合 と類似の形の surgery 完全系列が成立し,これを用いて G-多様体の分類が特 性類の計算に帰着できるが、偶数位数の群については新たな困難が伴う。
 同変構造群の幾何学的性質を知るためには surgery 構造群に対しても Mackey 構造のような代数的構造の構成が望ましい。特別な場合には同変 surgery 完 全系列と可換な Mackey 構造を同変構造群に与えることができたが,一般の状 況でも「同変向き付け」を利用した一般化が可能と思われる。
 具体的な分類問題に結び付ける立場からは,「同変 (equivariant)」な分類に 関する情報よりも「等変 (isovariant)」な分類に関する情報の方がはるかに よく知られている。後者の方がより直接に代数的構造に結び付けることができ るからで,さまざまの特性類を用いた結果が多くの人たちによって得られてい る。これを本来の幾何的立場すなわち同変構造と結び付けるためには,G-多様 体における「同変」な情報と「等変」な情報とを橋渡しする手掛かりが必要と なる。群の作用が比較的単純な場合,とくに半自由な作用についてはいくつか の結果が得られているが,より一般的な群作用についての状況は極めて複雑で ありより深い構造が存在していると考えられるので,その解明,特に偶数位数 の群の作用の解明を目指して研究している。
 位相多様体の局所理論から発展した controlled topology の理論や,一般化 された階層的手術(stratified surgery)の方法は,ともにこうした代数構造 の記述のために有効な道具と思われる。古典的な幾何的手法にこれらの新しい 代数化やカテゴリー論的な手法と結果を適用することによって,多様体の幾何 構造の解明のための結果を出してゆきたい。
  1. The Fixed-Point Homomorphism in Equivariant Surgery, 数理解析研究所講究録 1517, 2006年 10月, 44-55.
  2. On the G-Isovariance under the Gap Hypothesis, 数理解析研究所講究録 1569, 2007年 9月, 162-169.
  3. G-Isovariance and the Diagram Obstruction, 数理解析研究所講究録 1612, 2008 年 9 月, 181-188.
  4. Diagram Obstruction in a Gap Hypothesis Situation, 数理解析研究所講究録 1670, 2009 年 12 月, 156-171.
  5. Functoriality of isovariant structure sets and the gap hypothesis, 数理解析研究所講究録 1732, 2011 年 3 月, 126-140.