所員 -永田 雅嗣-

名前 永田 雅嗣 (Nagata, Masatsugu)
助教
E-Mail nagata (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 位相幾何・多様体論の研究
紹 介
 古典的な surgery 理論は,群の自由作用の分類について飛躍的な成果をおさ めた。surgery 完全系列と呼ばれる道具を用いて,幾何学的対象を,特性類の 計算から求まる対象である「法写像類群」と二次形式の線型代数から求まる対 象である「L-群」とに帰着させる方法であった。
 変換群の作用が自由作用でない,より一般の場合を考えようとすれば,問題設 定は複雑になる。「同変 surgery 完全系列」の構成は,各部において様相の 異なる作用を扱うために開発された道具であった。群の位数が奇数の場合には, PL局所線形な多様体について G-transversality が stable には成立するた め,自由作用の場合と類似の形の surgery 完全系列が成立し,これを用いて G-多様体の分類が特性類の計算に帰着できる。
 Surgery における同変構造群の幾何学的性質を知るためには,その構造群に対 しても Mackey 構造のような代数的構造を構成できることが望ましい。特別な 場合については,同変 surgery 完全系列と可換な Mackey 構造を同変構造群 に与えることができたが,一般の状況でも「同変向き付け」を利用した一般化 が可能と思われる。
 具体的な分類問題に結び付ける立場からは,「同変 (equivariant)」な分類に 関する情報よりも,「等変 (isovariant)」な分類に関する情報の方が,はる かによく知られている。それは,後者の方がより直接に代数的構造に結び付け ることができるからで,さまざまの特性類を用いた結果が多くの人たちによっ て得られている。これを本来の幾何的立場,すなわち同変構造と結び付けるた めには,G-多様体における「同変」な情報と「等変」な情報とを橋渡しする手 掛かりが必要となる。群の作用が比較的単純な場合,とくに半自由な作用につ いてはいくつかの結果が得られているが,より一般的な群作用についてはもっ と深い構造が存在していると考えられ,その解明を目指して研究している。
 位相多様体の局所理論から発展した controlled topology の理論や,一般化 された階層的手術(stratified surgery)の方法は,ともにこうした代数構造 の記述のために有効な道具と思われる。古典的な幾何的手法に,こうした新し い代数化や,カテゴリー論的な手法と結果を適用することによって,多様体の 幾何構造の解明のための結果を出してゆきたい。
  1. Transfer in the Equivariant Surgery Exact Sequence, 数理解析研究所講究 録 1449, 2005年 9月, 45-55.
  2. The Fixed-Point Homomorphism in Equivariant Surgery, 数理解析研究所講究録 1517, 2006年 10月, 44-55.
  3. On the G-Isovariance under the Gap Hypothesis, 数理解析研究所講究録 1569, 2007年 9月, 162-169.
  4. G-Isovariance and the Diagram Obstruction, 数理解析研究所講究録 1612, 2008 年 9 月, 181-188.
  5. Diagram Obstruction in a Gap Hypothesis Situation, 数理解析研究所講究録 1670, 2009 年 12 月, 156-171.
  6. Functoriality of isovariant structure sets and the gap hypothesis, 数理解析研究所講究録 1732, 2011 年 3 月, 126-140.