京都大学数理解析研究所

紹 介

　ミクロ量子とマクロ古典をつなぐ「量子古典対応」の深い物理的含意を数学的方法論の形で具現化した「ミクロ・マクロ双対性」[3] とそれを圏論的随伴として組込んだ理論枠＝「４項図式 (quadrality scheme)」[5] を整備し，それを用いて量子場のミクロ動力学とそれが産み出す多様なマクロ現象・構造との相互関係を研究している。相対論的量子場の局所熱的状態の 数学的定式化[1] および代数的量子場の「セクター」概念を拡張したセクター構造を方程式論的に制御する \textquotedblleft selection criterion\textquotedblright\ に基づいて，記述対象の物理的状況に適した量子状態の族を選び出せば，その物理的解釈が圏論的随伴により定まる[2]。 この方法の具体的運用を通じて枠組自体を拡充・整備し，量子場理論をミクロ自然の普遍的言語として確立することが中心的な課題である。
　セクター理論は群双対性と（環の）ガロア理論により，群不変量である観測量に関するマクロデータだけからミクロ量子場とそれに働く内部対称性の群の再構成を実現する。 論文[2]は，セクター概念を因子表現に一般化して破れのない対称性に適用を限る制約を除去し，対称性の破れた一般状況へ理論を拡張して，温度概念をスケール不変性の破れに伴う秩序変数に同定した。この枠組を「逆問題」の文脈に置くと帰納と演繹が双方向的に制御され，Tsallis entropy，$\alpha$-divergence 等の非加法的統計量も統一的に扱える [5]。 この一般化「セクター」の概念は，ミクロ量子系とマクロ古典系とを分ける「境界」として機能すると共に，両者を「ミクロ・マクロ複合系」に統合し，圏論的随伴関係に置く。そこでは，マクロ秩序変数は外部から持ち込まれることなくミクロ量子系内部から表現の中心として生成・創発し，そのスペクトルがミクロ量子系の多様な構造・配置を記述・分類・解釈する分類空間として働く。古典的マクロレベルの幾何構造の持つ数学的普遍性はこの随伴関係で基礎づけられ，ミクロ系と種々の古典的マクロレベルとをつなぐ普遍的相互関係が「ミクロ・マクロ双対性」 [3] として明確に定式化される。
　セクター間構造としてのミクロ・マクロ相互関係に対して，ミクロ量子系固有の特性解明に不可欠なセクター内部の解析は，測定量から定まる極大可換部分環とそれに伴う Kac-竹崎作用素で可能となる [3]：後者によりセクターの内部探索に必要な相互作用が決まり，接合積に関する竹崎双対定理により測定データの構造からミクロ量子系を記述する代数が決定される。この相互作用はミクロ量子系に接する測定系のミクロ端の量子状態変化を引起こすと共に，その微視的状態変化から測定器示針の振れへの増幅を Lévy 過程として 記述する [4]。 この扱いを上記対称性の破れの議論と統合し，「相分離」過程を数学基礎論の「強制法」を用いて定式化すれば，時空間の物理的創発が説明可能となる[8]。 この新しい物理的視角から一般相対論的時空，等価原理， 重力の本質を見直す\cite{IO10} と，重力の吸込み口及び重力波の不在が結論され [8]，更に４つの相互作用の新しい意味での統合とその歴史的生成過程の理論的記述も視野に入ってくる（\textquotedblleft How to Unify Interactions?\textquotedblright\ ，RIMS 研究集会「独立性と従属性の数理」2011.12，Nagoya Winter Workshop 2012.2 での招待講演等）。また，量子場の測定は従来，散乱過程しか理論的扱いがなかったが，量子場の局所状態の相空間的性質に基づく演算子展開を群双対性と結びつけると，くりこみ処方の非摂動的再定式化[6] も可能で，そこから量子場の測定過程を一般的・具体的に論ずる新たな展望が開ける[7]。例えば massless 光子の局在化条件の解明 [9] や無限自由度量子系に大偏差原理を組込み統計的推論・量子系制御に向けた統一的枠組[10] の整備等，新たな課題が山積する。

1. Thermodynamic properties of non-equilibrium states in quantum field theory, Ann. Phys. (N.Y.) 297, 219 - 242 (2002) (with D. Buchholz and H. Roos).
2. A unified scheme for generalized sectors based on selection criteria ---Order parameters of symmetries and of thermal situations and physical meanings of classifying categorical adjunctions---, Open Systems and Information Dynamics 10, 235-279 (2003); Temperature as order parameter of broken scale invariance, Publ. RIMS (Kyoto Univ.) 40, 731-756 (2004).
3. Micro-macro duality in quantum physics, 143-161, Proc. Intern. Conf. "Stochastic Analysis: Classical and Quantum", World Sci., 2005.
4. How to observe and recover quantum fields from observational data? --Takesaki duality as a Micro-macro duality-- (with M. Takeori), Open Systems and Information Dynamics 14, 307 - 318 (2007); Micro-Macro duality and emergence of macroscopic levels, Quantum Probability and White Noise Analysis, 21, 217 - 228 (2008); A unified scheme of measurement and amplification processes based on Micro-Macro Duality -- Stern-Gerlach experiment as a typical example --, Open Systems and Information Dynamics 16, 55--74 (2009) (with R. Harada).
5. Meaning of Non-Extensive Entropies in Micro-Macro Duality, J. Phys.: Conf. Ser. 201 012017 (2010).
6. Perspectives from Micro-Macro Duality -- Towards non-perturbative renormalization scheme --, Quantum Probability and WNA 24, 160 - 172 (2009).
7. Roles of asymptotic conditions and S-matrix as Micro-Macro Duality in QFT, Quantum Probability and WNA 26, 277 - 290 (2010).
8. Micro-Macro duality and space-time emergence, Proc. Intern. Conf. "Advances in Quantum Theory", 197 -- 206 (2011); New interpretation of equivalence principle in General Relativity from the viewpoint of Micro-Macro duality (arXiv:gen-ph/1112.5525), Foundations of Probability and Physics 6, Sweden, 2011.6 (invited talk).
9. Who has seen a photon? (arXiv:physics.gen-ph/1101.5782v1 (2011)) (with H. Saigo).
10. Large deviation strategy for inverse problem, arXiv:quant-ph/1101.3690 (2011) (with K. Okamura).