所員 -竹井 義次-

名前 竹井 義次 (Takei, Yoshitsugu)
准教授
E-Mail takei (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 微分方程式の研究
紹 介
 Borel 総和法に基礎をおく完全 WKB 解析は,特に2階の線型常微分方程式の 解の大域解析に威力を発揮する ([1])。一方,仮想的変わり点が存在し Stokes 曲線の構造が2階の場合ほど単純ではない高階方程式や,形式解の Borel 変換の 構造が複雑な非線型方程式については,いまだ解明すべき多くの課題が残っている。 この現状を踏まえ,最近は特に完全 WKB 解析の完全積分可能系への拡張や, WKB 解及びインスタントン型形式解の Borel 変換の構造解析について重点的に 研究を行っている。
 まず完全 WKB 解析の完全積分可能系への拡張については,変わり点の交差現象が 起こる点(変わり点集合のカスプ状の特異点)における線型方程式系の標準形が, 最も退化した2変数超幾何方程式系(Pearcey 系)により与えられるという廣瀬 の結果の非線型版を得ることが当面の課題である。こうした変わり点の交差現象は, 高階常微分方程式の仮想的変わり点の問題とも密接に関連しており ([2]),廣瀬の 結果の非線型版が得られれば,高階 Painlevé 方程式に対する完全 WKB 解析にも 新たな展開がもたらされると期待される。我々は,非線型の変わり点の交差現象が 起こる点での標準形が,4階の I 型 Painlevé 方程式の拡張である2変数退化 Garnier 系により与えられると予想している ([9])。この予想は又,勾配カタス トロフが起こる点での KdV 方程式の漸近解の挙動が4階の I 型 Painlevé 方程式の解により記述されるという Dubrovin の結果とも関係すると考えられる。 第1種変わり点における構造定理 ([3],[6]) の証明を参考にしてこの予想を 証明することが第一の目標である。
 他方,WKB 解の Borel 変換の構造解析については,複数の変わり点が存在する ことに由来する「動かない特異点」と,その記述の鍵となる Voros 係数の解析 が主たる課題である。こうした「動かない特異点」や Voros 係数の解析には, Weber 方程式等の標準形への変換論 ([4],[5],[8]) が有効であると同時に, Weber 方程式の Voros 係数を具体的に決定する際の議論が示すように,Bäcklund 変換といった微分方程式のもつ離散構造も密接に関係している。微分方程式の 離散構造との関連では,ごく最近,Joshi との共同研究を進める中で,離散 Painlevé 方程式の漸近解の構造に関する新たな研究の方向性が見えてきた。 すなわち,離散 Painlevé 方程式を通常の Painlevé 方程式と連立させて 一つの可積分系として捉えることにより,完全 WKB 解析の離散 Painlevé 方程式への応用が可能となり,その漸近解に対する Stokes 現象等を明示的に 解析できつつある。この新しいアプローチは,「動かない特異点」や Voros 係数の解析のみならず,上記の完全 WKB 解析の完全積分可能系への拡張とも 深く関連しており,離散 Painlevé 方程式の完全 WKB 解析というテーマに ついても今後積極的に取り組んで行きたい。
  1. 特異摂動の代数解析学, 岩波書店, 2008 (1998年刊行の講座版の単行本化, 河合隆裕との共著).
  2. Virtual turning points and bifurcation of Stokes curves for higher order ordinary differential equations, J. Phys.A: Math.Gen., 38(2005), 3317-3336 (with T. Aoki, T. Kawai, S. Sasaki and A. Shudo).
  3. WKB analysis of higher order Painlevé equations with a large parameter, Adv. Math., 203(2006), 636-672 (with T. Kawai).
  4. The Bender-Wu analysis and the Voros theory. II, Advanced Studies in Pure Mathematics, Vol.54, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2009, pp.19-94 (with T. Aoki and T. Kawai).
  5. On the WKB theoretic structure of a Schrödinger operator with a merging pair of a simple pole and a simple turning point, Kyoto Journal of Mathematics, 50 (2010), 101-164 (with S. Kamimoto, T. Kawai and T. Koike).
  6. WKB analysis of higher order Painlevé equations with a large parameter. II, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 47 (2011), 153-219 (with T. Kawai).
  7. Exact WKB analysis of second-order non-homogeneous linear ordinary differential equations, {\em RIMS Kôkyûroku Bessatsu}, B40 (2013), 293-312 (with T. Koike).
  8. Exact WKB analysis of a Schrödinger equation with a merging triplet of two simple poles and one simple turning point. I & II, Adv. Math., 260 (2014), 458-564 & 565-613 (with S. Kamimoto and T. Kawai).
  9. On the fourth order PI equation and coalescing phenomena of nonlinear turning points, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B52 (2014), 301-316.
  10. On the multisummability of WKB solutions of certain singularly perturbed linear ordinary differential equations, Opuscula Math., 35 (2015), 775-802.