所員 -竹井 義次-

名前 竹井 義次 (Takei, Yoshitsugu)
准教授
E-Mail takei (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 微分方程式の研究
紹 介
 Borel 総和法に基礎をおく完全 WKB 解析は,特に2階の線型常微分方程式の 解の大域解析に威力を発揮する。一方,仮想的変わり点が存在し Stokes 幾何 の構造が2階の場合ほど単純ではない高階方程式や,形式解の Borel 変換の 構造が複雑な非線型方程式については,いまだ解明すべき多くの課題が残っている。 こうした課題の解決に向けて,WKB 解及びインスタントン型形式解の Borel 変換の構造解析に加えて,最近は特に完全 WKB 解析のホロノミック系への拡張 について諸々の視点からの研究を行っている。
 研究の方向は,大きく二つにわかれる。一つは,微分方程式のホロノミック系 への完全 WKB 解析の拡張である。線型微分方程式のホロノミック系は, 変わり点の交差現象が起こる点(変わり点集合のカスプ状の特異点)の近傍では 最も退化した2変数超幾何方程式系(Pearcey 系)に変換されることが廣瀬 により示された。この結果の非線型版を得ることが当面の課題である。我々は, こうした非線型の変わり点の交差現象が起こる点での標準形が,4階の I 型 Painlevé 方程式の拡張である2変数退化 Garnier 系により与えられると 予想している ([6])。第1種変わり点における構造定理 ([1],[3]) の証明を 参考にしてこの予想を証明することが第一の目標である。廣瀬の結果やその 非線型版である上記の予想は,高階常微分方程式の仮想的変わり点の問題とも 密接に関連する ([8])。廣瀬の結果の非線型版が得られれば,非線型微分 方程式のホロノミック系への完全 WKB 解析の拡張に加えて,高階 Painlevé 方程式に対する完全 WKB 解析にも新たな展開がもたらされると期待される。
 もう一つは,Bäcklund 変換といった微分方程式に含まれるパラメータに 関する離散構造を,元の微分方程式と連立させて一つの可積分系として捉える ことにより解析しようとする方向である。これに関連して,最近の Joshi との共同研究では,II 型の Painlevé 方程式とそれに付随する変形 I 型 離散 Painlevé 方程式を連立させることにより,変形 I 型離散 Painlevé 方程式の transseries 解に関する Stokes 現象を記述する接続公式を明示的に 書き下すことに成功した ([9])。この方向の研究は,WKB 解の Borel 変換が 持つ「動かない特異点」やその記述の鍵となる Voros 係数の解析とも深く 関わっていると考えられ,Weber 方程式等の標準形への変換論 ([2],[5]) に 基づく従来の方法に加えてこの方向の研究が進展すれば,「動かない特異点」 の解析に大きなブレークスルーが起きることも十分に期待できる。非線型の Painlev\'e 方程式や線型の超幾何方程式を、この新たなアプローチを用いて 解析することが現在の大きな関心事である。
  1. WKB analysis of higher order Painlevé equations with a large parameter, Adv. Math., 203(2006), 636-672 (with T. Kawai).
  2. The Bender-Wu analysis and the Voros theory. II, Advanced Studies in Pure Mathematics, Vol.54, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2009, pp.19-94 (with T. Aoki and T. Kawai).
  3. WKB analysis of higher order Painlevé equations with a large parameter. II, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 47 (2011), 153-219 (with T. Kawai).
  4. Exact WKB analysis of second-order non-homogeneous linear ordinary differential equations, {\em RIMS Kôkyûroku Bessatsu}, B40 (2013), 293-312 (with T. Koike).
  5. Exact WKB analysis of a Schrödinger equation with a merging triplet of two simple poles and one simple turning point. I & II, Adv. Math., 260 (2014), 458-564 & 565-613 (with S. Kamimoto and T. Kawai).
  6. On the fourth order PI equation and coalescing phenomena of nonlinear turning points, RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B52 (2014), 301-316.
  7. On the multisummability of WKB solutions of certain singularly perturbed linear ordinary differential equations, Opuscula Math., 35 (2015), 775-802.
  8. Virtual Turning Points, SpringerBriefs in Mathematical Physics, Vol.4, Springer-Verlag, 2015 (with N. Honda and T. Kawai).
  9. On Stokes phenomena for the alternate discrete PI equation, preprint (RIMS-1849), 2016 (with N. Joshi).
  10. Stokes geometry of higher order linear ordinary differential equations and middle convolution, preprint (RIMS-1850), 2016 (with T. Moteki).