所員 -竹井 義次-

名前 竹井 義次 (Takei, Yoshitsugu)
准教授
E-Mail takei (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
U R L
研究内容 微分方程式の研究
紹 介
 Borel 総和法に基礎をおく完全 WKB 解析は,Voros や Silverstone の先駆的な 仕事とその後の Pham や Delabaere の研究以来,次第にその適用範囲を拡げて きた。我々の周辺でも,2階 Fuchs 型方程式のモノドロミー群の具体的計算, Painlevé 方程式の単純変わり点における構造定理,WKB 解を含んだ積分表示式 に対する「完全最急降下法」の創出等,着実に成果は上がってきた。しかし, 2階線型常微分方程式の WKB 解の Borel 総和可能性まではほぼ確立されたもの の,仮想的変わり点が存在し Stokes 曲線の構造が複雑な高階方程式の場合への 完全 WKB 解析の拡張や,WKB 解及びインスタントン型形式解の(Ecalle の意味 での)再生函数としての構造については,まだ十分な理解が得られたとは言えない。 この現状を踏まえて,最近は特に完全 WKB 解析の完全積分可能系への拡張や, WKB 解の Borel 変換の構造解析について重点的に研究を行っている。
 まず完全 WKB 解析の完全積分可能系への拡張については,変わり点の交差現象が 起こる点(変わり点集合のカスプ状の特異点)における線型方程式系の標準形が, 最も退化した2変数超幾何方程式系(Pearcey 系)により与えられるという廣瀬 の結果の非線型版を得ることが当面の課題である。例えば Berk 達により新しい Stokes 曲線の存在が初めて指摘されたいわゆる BNR 方程式が Pearcey 系の制限 であるという事実が示唆するように,こうした変わり点の交差現象は高階常微分 方程式の完全 WKB 解析においても重要である ([2])。従って,廣瀬の結果の 非線型版が得られれば,高階 Painlevé 方程式に対する完全 WKB 解析にも新たな 展開がもたらされると期待される。我々は,非線型の変わり点の交差現象が起こる 点での標準形が,4階の I 型 Painlevé 方程式の拡張である2変数退化 Garnier 系により与えられると予想している。この予想は又,勾配カタストロフ が起こる点での KdV 方程式の漸近解の挙動が4階の I 型 Painlevé 方程式の 解により記述されるという Dubrovin の結果とも関連すると考えられる。第1種 変わり点における構造定理 ([3],[8]) の証明を参考にしてこの予想を証明する ことが第一の目標である。
 他方,WKB 解の Borel 変換の構造解析については,複数の変わり点が存在する ことに由来する「動かない特異点」と,その記述の鍵となる Voros 係数の解析 が主たる課題である。こうした「動かない特異点」や Voros 係数の解析にも, Weber 方程式や Whittaker 方程式をはじめとする標準形への変換論 ([5],[6], [7],[10]) が有効であると考えられ,これに関連して,非線型の Painlevé 方程式に対しても線型の場合と同様な変換論が成立することが岩木により最近 示された。Costin,SchĠfke,小池,等により進められているWKB 解の Borel 総和可能性に対する漸近解析的研究をより一層発展させ,これらの標準形への 変換論とうまく組み合わせることで,WKB 解やインスタントン型形式解の再生 函数としての大域構造を明らかにして行きたい。
  1. 特異摂動の代数解析学, 岩波書店, 2008 (1998年刊行の講座版の単行本化, 河合隆裕との共著).
  2. Virtual turning points and bifurcation of Stokes curves for higher order ordinary differential equations, J. Phys.A: Math.Gen., 38(2005), 3317-3336 (with T. Aoki, T. Kawai, S. Sasaki and A. Shudo).
  3. WKB analysis of higher order Painlevé equations with a large parameter, Adv. Math., 203(2006), 636-672 (with T. Kawai).
  4. Instanton-type formal solutions for the first Painlevé hierarchy, Algebraic Analysis of Differential Equations, Springer-Verlag, 2008, pp.307-319.
  5. Sato's conjecture for the Weber equation and transformation theory for Schrödinger equations with a merging pair of turning points, RIMS Kôkyôroku Bessatsu, B10(2008), 205-224.
  6. The Bender-Wu analysis and the Voros theory. II, Advanced Studies in Pure Mathematics, Vol.54, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2009, pp.19-94 (with T. Aoki and T. Kawai).
  7. On the WKB theoretic structure of a Schrödinger operator with a merging pair of a simple pole and a simple turning point, Kyoto Journal of Mathematics, 50 (2010), 101-164 (with S. Kamimoto, T. Kawai and T. Koike).
  8. WKB analysis of higher order Painlevé equations with a large parameter. II, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 47 (2011), 153-219 (with T. Kawai).
  9. Exact WKB analysis of second-order non-homogeneous linear ordinary differential equations, {\em RIMS Kôkyûroku Bessatsu}, B40 (2013), 293-312 (with T. Koike).
  10. Exact WKB analysis of a Schrödinger equation with a merging triplet of two simple poles and one simple turning point. I & II, Adv. Math., online version (doi: 10.1016/j.aim.2014.02.026 & 10.1016/j.aim.2014.02.028), 2014 (with S. Kamimoto and T. Kawai).