京都大学数理解析研究所

紹 介

　Borel 総和法に基礎をおく完全 WKB 解析は，１次元 Schrödinger 方程式 の固有値やスペクトル函数を論じた Voros や Silverstone の先駆的な仕事 以来，次第にその適用範囲を広げてきた。我々の周辺でも，２階 Fuchs 型 方程式のモノドロミー群の具体的計算，Painlevé 方程式のインスタントン 型形式解に対する単純変わり点における構造定理，積分表示式に対する従来の 最急降下法を完全 WKB 解析を用いて一般化した「完全最急降下法」の創出等， 着実に成果は上がってきた。しかし，WKB 解やインスタントン型形式解の （Ecalle の意味での）再生函数としての構造の解析や，仮想的変わり点が 存在し Stokes 曲線の構造が複雑な高階方程式の場合への完全 WKB 解析の 拡張等については，未だ十分な理解が得られたとは言えない状況である。 最近は完全 WKB 解析に関するこうした基本的な課題について，多方面からの 研究を行っている。
　まず線型方程式に対する WKB 解の Borel 変換の構造解析については，複数の 変わり点が存在することに由来する「動かない特異点」が主たる課題である。 こうした「動かない特異点」の構造も，Weber 方程式や Whittaker 方程式 への変換論を利用することにより厳密に解析できることが最近明らかになった ([5],[6],[7],[10])。さらに，非線型方程式である II 型 Painlevé 方程式の インスタントン型形式解に対しても，こうした「動かない特異点」が存在し それに付随してある種の Stokes 現象が起こることが大学院生の岩木耕平君に より最近示された。Costin，Schäfke，小池，等により進められている WKB 解の Borel 総和可能性に対する漸近解析的研究をより一層発展させ，標準形 への変換論とうまく組み合わせることで，WKB 解やインスタントン型形式解の 再生函数としての大域構造の解析に大きな進展が得られるのではないかと期待 される。
　他方，高階方程式の仮想的変わり点については，変形パラメータを導入し， さらにその変形パラメータも変数と見なして偏微分方程式系を考えることに より，その構造がより自然に理解できるらしいことが次第に明らかに なりつつある ([2])。このアプローチはまた，高階 Painlevé方程式が 多変数の非線型可積分系の制限として得られるという小池や坂井の結果とも 妙に符合する。Birkhoff 標準形を利用したインスタントン型形式解の構成 ([4]) と第１種変わり点における構造定理 ([3],[8]) により基本的な枠組が 出来上がった高階 Painlevé 方程式に対する完全 WKB 解析を，こうした 視点から捉え直すことは非常に興味深いテーマである。２階の Painlevé 方程式に対する２重変わり点や単純極における構造定理 ([9]) の高階 方程式への一般化や，高階方程式特有の第２種変わり点における構造定理 の確立と共に，こうした問題に対して今後特に関心をもって取り組んで 行きたい。

1. 特異摂動の代数解析学, 岩波書店, 2008 （1998年刊行の講座版の単行本化, 河合隆裕との共著）.
2. Virtual turning points and bifurcation of Stokes curves for higher order ordinary differential equations, J. Phys.A: Math.Gen., 38(2005), 3317-3336 (with T. Aoki, T. Kawai, S. Sasaki and A. Shudo).
3. WKB analysis of higher order Painlevé equations with a large parameter, Adv. Math., 203(2006), 636-672 (with T. Kawai).
4. Instanton-type formal solutions for the first Painlevé hierarchy, Algebraic Analysis of Differential Equations, Springer-Verlag, 2008, pp.307-319.
5. Sato's conjecture for the Weber equation and transformation theory for Schrödinger equations with a merging pair of turning points, RIMS Kôkyôroku Bessatsu, B10(2008), 205-224.
6. The Bender-Wu analysis and the Voros theory. II, Advanced Studies in Pure Mathematics, Vol.54, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2009, pp.19-94 (with T. Aoki and T. Kawai).
7. On the WKB theoretic structure of a Schrödinger operator with a merging pair of a simple pole and a simple turning point, Kyoto Journal of Mathematics, 50 (2010), 101-164 (with S. Kamimoto, T. Kawai and T. Koike).
8. WKB analysis of higher order Painlevé equations with a large parameter. II, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 47 (2011), 153-219 (with T. Kawai).
9. On the turning point problem for instanton-type solutions of Painlevé equations, preprint (RIMS-1693), 2010, to appear in Asymptotics in Dynamics, Geometry and PDEs; Generalized Borel Summation, Vol.2, Edizioni della Normale, 2011, pp.255-274.
10. Exact WKB analysis of a Schrödinger equation with a merging triplet of two simple poles and one simple turning point, preprint (RIMS-1735), 2011 (with S. Kamimoto and T. Kawai).