所員 -柳田 伸太郎-

名前 柳田 伸太郎 (Yanagida, Shintaro)
助教
E-Mail yanagida (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 代数幾何学と量子代数の研究
紹 介
 代数曲面上のGieseker安定層のモジュライ空間を調べる重要な手法の一つに, 導来圏上で定義されるFourier向井変換があります。 私の研究はAbel曲面上の安定層のモジュライ空間をFourier向井変換を 使って調べることから始まりました。
 論文[1]において私達は1980年の向井茂氏の予想を肯定的に解決しました。 この予想は, 非常に一般なAbel曲面上の一般の安定層が, ある条件の下で, 半等質層と呼ばれる特殊な連接層による分解を持つことを主張します。 その応用として,安定層のモジュライ空間の双有理幾何に 統制がつくことも分かりました。 例えばモジュライ空間の双有理同値達がある算術群がなすことが分かりました。
 論文[2,3]ではAbel曲面ないしK3曲面上のBridgeland安定性を調べています。 [2]では, Abel曲面及びK3曲面について導来圏のBridgeland安定性の構成, 安定性空間の壁と部屋の構造などについて調べました。 [3]では アーベル曲面上でのBridgeland安定性とFourier向井変換との関連を調べました。 これは[1]の結果に現れた算術群の記述に関係していることも分かりました。
 量子代数については文献[4]が研究のスタートに当たります。 Macdonald対称函数は2パラメータを持つ重要な対称函数ですが, 可換な差分作用素族の同時固有函数でもあります。 文献[4]ではFeigin-Odesskii代数と呼ばれる有理函数のなす 可換代数でもって差分作用素族の自由場表示に成功しました。 またこの代数が Ding-Iohara-Miki代数と呼ばれる量子群の一種とも 関係することが分かりました。
 モジュライの代数幾何学と量子代数の表現論の交差点にある話題として, 物理学者によって提唱されたAGT予想があります。 この予想は, 射影曲面上の枠付き連接層のモジュライ空間の同変コホモロジー群に 頂点作用素代数の重要な例であるW代数が作用し, その作用で同変コホモロジー群がW代数の完備普遍Verma加群と同型になることを 主張します。
 論文[5,6,7,9]はこの予想に関する研究です。 [6]ではVirasoro代数の場合の物質場なしのAGT予想の, Zamolodchikov型の漸化式による証明を完成させました。 [7]ではAGT予想のK理論類似を Ding-Iohara-Miki代数の立場から扱いました。 特に物質場つきK理論的Nekrasov分配関数の実現に必要な頂点作用素に関して 予想を提出しました。 AGT予想において表現論サイドに現れる対象はWhittakerベクトルと呼ばれる W代数の完備Verma加群の特別な元ですが、 [5]ではVirasoro代数の場合にJack対称函数を用いて明示化しました。 最近のプレプリント[9]はこの変形版で, Macdonald対称函数を用いた変形W代数のWhittakerベクトルの明示公式を証明しました。
 最近はBridgelandが導入した2周期的複体のHall代数についても研究を進めています (プレプリント[8])。 この研究は上述のDing-Iohara-Miki量子代数に動機づけされています。 この量子代数の実現は私達の仕事の他に, 楕円曲線上の連接層のなすAbel圏に付随したRingel-Hall代数の Drinfeldダブルを用いる構成が知られています。 Ding-Iohara-Miki代数はHopf代数で, 特にその余積構造の研究がこれから重要になると思われます。
  1. (with K. Yoshioka) Semi-homogeneous sheaves, Fourier-Mukai transforms and moduli of stable sheaves on abelian surfaces, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 684 (2013), 31--86; arXiv:0906.4603.
  2. (with H. Minamide and K. Yoshioka) Fourier-Mukai transforms and the wall-crossing behavior for Bridgeland's stability conditions, arXiv:1106.5217.
  3. (with K. Yoshioka) Bridgeland's stabilities on abelian surfaces, Math. Z. 276 (2014), Issue 1-2, pp 571--610; arXiv:1203.0884.
  4. (with B. Feigin, K. Hashizume, A. Hoshino and J. Shiraishi) A commutative algebra on degenerate $CP^{1}$ and Macdonald polynomials, J. Math. Phys. {\bf 50} (2009), no. 9, 095215, 42 pp; arXiv:0904.2291.
  5. Whittaker vectors of the Virasoro algebra in terms of Jack symmetric polynomial, J. Algebra 333 (2011), 273--294; arxiv:1003.1049.
  6. Norm of logarithmic primary of Virasoro algebra}, Lett. Math. Phys. 98 (2011), no. 2, 133--156; arxiv:1010.0528.
  7. (with H. Awata, B. Feigin, A. Hoshino, M. Kanai and J. Shiraishi) Notes on Ding-Iohara algebra and AGT conjecture, RIMS Kokyuroku 1765 (2011), 12--32; arXiv:1106.4088.
  8. A note on Bridgeland's Hall algebra of two-periodic complexes}, arXiv:1207.0905.
  9. Whittaker vector of deformed Virasoro algebra and Macdonald symmetric functions}, arXiv:1402.2946.