所員 -柳田 伸太郎-

名前 柳田 伸太郎 (Yanagida, Shintaro)
助教
E-Mail yanagida (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 代数幾何学と量子代数の研究
紹 介
 代数曲面上のGieseker 安定層のモジュライ空間を調べる重要な手法の一つに,導来圏上で定義されるFourier 向井変換があります。私の研究はAbel 曲面上の安定層のモジュライ空間をFourier 向井変換を使って調べることから始まりました。
 文献[1] において私達は1980 年の向井茂氏の予想を肯定的に解決しました。この予想は,非常に一般なAbel 曲面上の一般の安定層がある条件の下で,半等質層と呼ばれる特殊な連接層による分解を持つことを主張します。その応用として,安定層のモジュライ空間の双有理幾何に統制がつくことも分かりました。例えばモジュライ空間の双有理同値達がある算術群がなすことが分かりました。
 文献[2-4] ではAbel 曲面ないしK3 曲面上のBridgeland 安定性を調べています。文献[2] では,Abel 曲面及びK3 曲面について導来圏のBridgeland 安定性の構成と,lar ge volume limit と呼ばれる条件下におけるBridgeland 安定性とGieseker 安定性の一致,更にFourier 向井変換との関連について調べました。また安定性の空間におけるw all-chamber 構造と,安定な対象の数え上げに関する壁越えの解析も行いました。文献[3] ではBridgeland 安定性に関して安定な対象のモジュライ空間の射影性について論じました。文献[4] ではアーベル曲面上でのBridgeland 安定性とFourier 向井変換との関連を調べました。これは文献[1] の結果に現れた算術群の記述に関係していて,安定性の空間の壁のうち特殊なタイプのものの壁越えを行うことと算術群でパラメトライズされる双有理同値とが対応することが分かりました。
 量子代数については文献[5] が研究のスタートに当たります。Macdonald 対称函数は2 パラメータを持つ重要な対称函数ですが,可換な差分作用素族の同時固有函数でもあります。対称函数の空間をHeisenberg 代数のFock 空間と同一視すれば,差分作用素族を自由場表示するとどうなるかという問題を考える事ができます。文献[5] で私達はFeigin-Odesskii 代数と呼ばれる有理函数のなす可換代数でもって差分作用素族の自由場表示に成功しました。またこの代数がDing-Iohara-Miki 代数と呼ばれる量子群の一種とも関係することが分かりました。
 モジュライの代数幾何学と量子代数の表現論の交差点にある話題として,物理学者によって提唱されたAGT 予想があります。数学的に言うとこの予想は,射影曲面上の枠付き連接層のモジュライ空間の同変コホモロジー群に頂点作用素代数の重要な例であるW代数が作用し,その作用で同変コホモロジー群がW代数の完備普遍Verma 加群と同型になることを主張します。
 文献[6-8] はこの予想に関する研究です。AGT 予想において表現論サイドに現れる対象はWhittaker ベクトルと呼ばれるW代数の完備Verma 加群の特別な元です。文献[6] ではVirasoro 代数の場合にこれを自由場表示とCalogero-Sutherland ハミルトニアンを用いて調べ,Jack 対称函数を用いてWhittakerベクトルを明示化しました。文献[7] ではVirasoro 代数の場合の物質場なしのAGT 予想の,Zamolodchikov 型の漸化式による証明を完成させました。文献[8] ではAGT 予想のK 理論類似をDing-Iohara-Miki 代数の立場から扱いました。特に物質場つきK 理論的Nekrasov 分配関数の実現に必要な頂点作用素に関して予想を提出しました。
 最近はBridgeland が導入した2 周期的複体のHall 代数について研究を進めています(文献[9],[10])。この研究は上述のDing-Iohara-Miki 量子代数に動機づけされています。この量子代数の実現は私達の仕事の他に,楕円曲線上の連接層のなすAbel 圏に付随したRingel-Hall 代数のDrinfeld ダブルを用いる構成が知られています。Ding-Io hara-Miki 代数はHopf 代数で,特にその余積構造の研究がこれから重要になると思われるのですが,それを調べる上ではRingel-Hall 代数を用いたアプローチが簡明だと思われます。
  1. Semi-homogeneous sheaves, Fourier-Mukai transforms and moduli of stable sheaves on abelian surfaces, to appear in Journal fur die reine und angewandte Mathematik; arXiv:0906.4603 (with K. Yoshioka).
  2. Fourier-Mukai transforms and the wall-crossing behavior for Bridgeland’s stability conditions, arXiv:1106.5217 (with H. Minamide and K. Yoshioka).
  3. Some moduli spaces of Bridgeland’s stability conditions, arXiv:1111.6187 (with H. Minamide and K. Yoshioka).
  4. Bridgeland’s stabilities on abelian surfaces, arXiv:1203.0884 (with K. Yoshioka).
  5. A commutative algebra on degenerate CP1 and Macdonald polynomials, J. Math. Phys. 50 (2009), no. 9, 095215, 42 pp; arXiv:0904.2291 (B. Feigin, K. Hashizume, A. Hoshino and J. Shiraishi).
  6. Whittaker vectors of the Virasoro algebra in terms of Jack symmetric polynomial, J. Algebra 333 (2011), 273-294; arxiv:1003.1049.
  7. Notes on Ding-Iohara algebra and AGT conjecture, RIMS kokyuroku 1765 (2011), 12-32; arXiv:1106.4088 (with H. Awata, B. Feigin, A. Hoshino, M. Kanai and J. Shiraishi).
  8. Norm of logarithmic primary of Virasoro algebra, Lett. Math. Phys. 98 (2011), no. 2, 133-156 ; arxiv:1010.0528.
  9. A note on Bridgeland’s Hall algebra of two-periodic complexes, arXiv:1207.0905.
  10. Bialgebra structure on Bridgeland’s Hall algebra of two-periodic complexes, arXiv:1304.6970.