所員 -横田 巧-

名前 横田 巧 (Yokota, Takumi)
助教
E-Mail takumiy (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 微分幾何学の研究
紹 介
 私は微分幾何学,その中でも主にリッチ流(Ricci flow)と Alexandrov 空間の幾何学について研究しています。 リッチ流とは,1982 年にR. Hamilton が導入したある発展型 偏微分方程式を解くことでリーマン多様体を変形する手法のことで, 2002〜03 年にG. Perelman が発表した3 次元ポアンカレ予想の 証明に使われたことでも注目を集めました。 私は特にリッチ流の幾何学的側面に興味を持って研究しています([1-3])。
 論文[2, 3] ではリッチ流の古代解について調べました。古代解とは, 過去に無限時間存在するリッチ流方程式の解のことで, リッチ平坦計量や縮小リッチソリトン等を含み, リッチ流の特異点のモデルとなる重要な概念です。 論文[2] の主定理は古代解と勾配型縮小リッチソリトンに対するギャップ定理で, これはリッチ平坦計量に対する既存の定理の拡張にもなっています。
 また私はAlexandrov 空間などの距離空間の幾何学も研究しています([4-8])。 曲率が下に有界なAlexandrov 空間とは, その曲率がある定数以上であることを意味する不等式を満たす距離空間のことで, 例えば,断面曲率が下に一様に有界なリーマン多様体の列の極限空間が そのような空間の例となり,先のPerelman の証明にも現れます。 論文[6, 7] の主定理は曲率が1以上のAlexandrov 空間に対する比較定理です。 論文[6] では,正曲率閉リーマン多様体のfilling radius と呼ばれる不変量に 対して 証明されていた比較定理を有限次元Alexandrov 空間に対する比較定理に拡張し, 投稿中の論文 [7]では,その無限次元版を証明しました。 証明の議論は多様体に対する証明を参考にしましたが, Alexandrov 空間に拡張することで,より簡単な証明が得られました。
 無限次元Alexandrov 空間の例として, 非負曲率Alexandrov 空間上のWasserstein 空間があります。共同研究[5] では, ヒルベルト空間上のWasserstein 空間の距離構造を少し明らかにしました。
 最近は,縁あって,CAT(1)-空間についての研究を行いました。 CAT(κ)-空間とは,Alexandrov 空間とは逆に, その曲率がある実数κ以下であることを意味する不等式を満たす距離空間のことで, 3人の幾何学者の頭文字を並べてそのように呼ばれています。 プレプリント[8] の主定理の一つは「半径がπ/2 未満の完備CAT(1)-空間上の 任意の確率測度は一意に定まる重心を持つ」というもので, これはCAT(0)-空間に対してよく知られた事実をCAT(1)-空間に拡張しています。
  1. Curvature integrals under the Ricci flow on surfaces, Geom. Dedicata, 133 (2008), 169--179.
  2. Perelman's reduced volume and a gap theorem for the Ricci flow, Comm. Anal. Geom., 17, No.2 (2009), 227--263. addendum, Comm. Anal. Geom., 20, No.5 (2012), 949--955.
  3. On the asymptotic reduced volume of the Ricci flow, Ann. Global Anal. Geom., 37, No.3 (2010), 263--274.
  4. A rigidity theorem in Alexandrov spaces with lower curvature bound, Math. Annalen, 353, No. 2 (2012), 305--331.
  5. (joint with A. Takatsu) Cone structure of $L^2$-Wasserstein spaces, J. Topol. Anal., 4, 2 (2012), 237--253.
  6. On the filling radius of positively curved Alexandrov spaces, Math. Z., 273, 1-2 (2013), 161--171.
  7. On the spread of positively curved Alexandrov spaces, submitted.
  8. Convex functions and barycenters on CAT(1)-spaces of small radii, submitted.