所員 -横田 巧-

名前 横田 巧 (Yokota, Takumi)
助教
E-Mail takumiy (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 微分幾何学の研究
紹 介
 私は微分幾何学,その中でも主にリッチ流(Ricci flow)と Alexandrov 空間の幾何学について研究しています。 リッチ流とは 1982 年の論文で R. Hamilton が導入したある発展型偏微分方 程式を解くことによりリーマン多様体を変形する手法のことで, 2002〜03 年に G. Perelman が 発表した3次元ポアンカレ予想の証明に使われたことでも注目を集めました。 私は特にリッチ流 の幾何学的側面に興味を持って研究しています。
 論文 [1--4] ではコンパクトとは限らない多様体上のリッチ流,特に古代解を 扱っています。古 代解とは,過去に無限時間存在するリッチ流方程式の解のことで,リッチ平坦計 量や縮小リッチ ソリトン等を含み,リッチ流の特異点のモデルとなる重要な概念です。コンパク ト多様体上のリッ チ流は最大値原理により様々な非負曲率条件を保つことが知られていますが,一 般に非コンパク ト多様体上では最大値原理が成り立たないことがあり得ます。論文 [4] では, 非コンパクト多 様体上で最大値原理的議論を用いて,曲率がピンチされた完備な古代解とリッチ ソリトンに関す る剛性定理を証明しました。
 論文 [5--10] では Alexandrov 空間などの距離空間を扱っています。曲率が下 に有界な Alexan drov 空間とは,その曲率がある定数以上であることを意味する不等式を満たす 距離空間のこと です。例えば,断面曲率が下に一様に有界なリーマン多様体の列の極限空間がそ のような空間の 例となり,先の G. Perelman の証明にも現れます。
 最近は,縁あって CAT(1)-空間について研究しました。CAT(κ)-空間と は,Alexandrov 空間と は逆に,その曲率がある実数 κ 以下であることを意味する不等式を満たす距離空 間のことで,三 人の幾何学者の頭文字を並べてそのように呼ばれています。プレプリント [9, 10] では,2以上 の実数pに対して,半径が π/2 未満の完備な CAT(1)-空間上の任意の確率測度の p重心の一意存 在を証明しました。これは CAT(0)-空間に対してよく知られた事実の CAT(1)-空 間への拡張です。 また,このp重心を用いて,半径の小さい完備な CAT(1)-空間がバナッハ空間の Banach--Saks 性に似た性質を持つ事も証明しました。
  1. Curvature integrals under the Ricci flow on surfaces, Geom. Dedicata, 133 (2008), 169--179.
  2. Perelman's reduced volume and a gap theorem for the Ricci flow, Comm. Anal. Geom., 17, No.2 (2009), 227--263. addendum, Comm. Anal. Geom., 20, No.5 (2012), 949--955.
  3. On the asymptotic reduced volume of the Ricci flow, Ann. Global Anal. Geom., 37, No.3 (2010), 263--274.
  4. Complete ancient solutions to the Ricci flow with pinched curvature, Comm. Anal. Geom., Accepted.
  5. A rigidity theorem in Alexandrov spaces with lower curvature bound, Math. Annalen, 353, No. 2 (2012), 305--331.
  6. (joint with A. Takatsu) Cone structure of $L^2$-Wasserstein spaces, J. Topol. Anal., 4, 2 (2012), 237--253.
  7. On the filling radius of positively curved Alexandrov spaces, Math. Z., 273, 1-2 (2013), 161--171.
  8. On the spread of positively curved Alexandrov spaces, Math. Z. 277(1-2), 2014, 293--304.
  9. Convex functions and barycenters on CAT(1)-spaces of small radii, J. Math. Soc. Japan, Accepted.
  10. Convex functions and p-barycenter on CAT(1)-spaces of small radii, Preprint, 2016.