所員 -横田 巧-

名前 横田 巧 (Yokota, Takumi)
助教
E-Mail takumiy (emailアドレスには@kurims.kyoto-u.ac.jp をつけてください)
研究内容 微分幾何学の研究
紹 介
 私は微分幾何学,その中でも主にリッチ流(Ricci flow)と Alexandrov 空間の幾何学について研究しています。 リッチ流とは 1982 年の論文で R. Hamilton が導入したある発展型偏微分方 程式を解くことによりリーマン多様体を変形する手法のことで, 2002〜03 年に G. Perelman が 発表した3次元ポアンカレ予想の証明に使われたことでも注目を集めました。 私は特にリッチ流 の幾何学的側面に興味を持って研究しています([1--4])。
 論文 [2--4] では特にリッチ流の古代解を扱っています。古代解とは, 過去に無限時間存在するリッチ流方程式の解のことで,リッチ平坦計量や 縮小リッチソリトン等を含み,リッチ流の特異点のモデルとなる重要な概念です。 最近は非コンパクト多様体上の完備で曲率が有界とは限らないリッチ流の 下での最大値原理について考えました。最大値原理によりコンパクト多様体上 のリッチ流が様々な非負曲率条件を保つことが分かります。一方,一般に 非コンパクト多様体上では最大値原理が成り立たないことがあり得ます。 プレプリント [4] では,非コンパクト多様体上で最大値原理的議論を用いて, 曲率がピンチされた完備な古代解とリッチソリトンに関する剛性定 理を証明しました。
 また私は Alexandrov 空間などの距離空間の幾何学にも興味を持って 研究しています([5--9])。曲率が下に有界な Alexandrov 空間とは, その曲率がある定数以上であることを意味する不等式を満たす距離空間のことです。 例えば,断面曲率が下に一様に有界なリーマン多様体の列の極限空間が そのような空間の例となり,先の Perelman の証明にも現れます。論文 [7, 8] の主定理は曲率が1以上の Alexandrov 空間に関する比較定理です。 論文 [7] では,正曲率閉リーマン多様体の filling radius と呼ばれる 不変量に対して証明されていた比較定理を有限次元 Alexandrov 空間に対する 比較定理に拡張し,論文 [8] では,その無限次元版を証明しました。証明は 多様体の場合を参考にしましたが,Alexandrov 空間に拡張することで, より簡単な証明が得られました。
 最近,縁あって,CAT(1)-空間についても研究しました。CAT(κ)-空間とは, Alexandrov 空間とは逆に,その曲率がある実数κ以下であることを意味する 不等式を満たす距離空間のことで,三人の幾何学者の頭文字を並べてそのように 呼ばれています。プレプリント [9] の主定理の一つは「半径が π/2 未満の完備な CAT(1)-空間上の任意の確率測度は一意に定まる重心を持つ」 というもので,これは CAT(0)-空間に対してよく知られた事実の CAT(1)-空間 への拡張です。また,この重心を用いて,半径の小さい完備な CAT(1)-空間が バナッハ空間の Banach―Saks 性に似た性質を持つ事も証明しました。
  1. Curvature integrals under the Ricci flow on surfaces, Geom. Dedicata, 133 (2008), 169--179.
  2. Perelman's reduced volume and a gap theorem for the Ricci flow, Comm. Anal. Geom., 17, No.2 (2009), 227--263. addendum, Comm. Anal. Geom., 20, No.5 (2012), 949--955.
  3. On the asymptotic reduced volume of the Ricci flow, Ann. Global Anal. Geom., 37, No.3 (2010), 263--274.
  4. Complete ancient solutions to the Ricci flow with pinched curvature, Preprint 2014, submitted.
  5. A rigidity theorem in Alexandrov spaces with lower curvature bound, Math. Annalen, 353, No. 2 (2012), 305--331.
  6. (joint with A. Takatsu) Cone structure of $L^2$-Wasserstein spaces, J. Topol. Anal., 4, 2 (2012), 237--253.
  7. On the filling radius of positively curved Alexandrov spaces, Math. Z., 273, 1-2 (2013), 161--171.
  8. On the spread of positively curved Alexandrov spaces, Math. Z., 2013, Published Online. submitted.
  9. Convex functions and barycenters on CAT(1)-spaces of small radii, Preprint 2013, submitted.