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Abstract:

ヴィラソロ代数のユミタリー表現は，代数のcenter $c$ の値 ($0\leq c<1$ or $1 \leq c$)によってその様子が大きく異なる ことが知られている．すなわち，$0\leq c<1$では既約ユニタリー 表現は，有理数に値をとるコンフォーマル次元によって定められ かつ有限個しかない．これに反し，$1 \leq c$では既約ユニタリー 表現は無数に現れ，かつ有理性も一般には見られない．

弦理論のコンパクト化で現れる共形場理論には， $c=1,2,3, \cdots$ の様に整数値に値を取るヴィラソロ代数が現れる．このような共形場 理論は，変形のモジュライを伴っているのが特徴で，generic には 有理性を持たないが，有理性を持つ点がモジュライ空間上稠密に現れる． 例えば，$c=1$の場合，モジュライは``半径" $R$となり，$R^2=p/q$ (有理数)となる所で有理性が現れることが知られている．

ここでは，$c=2$($T^2$上の弦理論コンパクト化)の場合を考察し， この場合に最近 B.Lian, 小木曽啓示氏，S.-T. Yau との共同研究に よって得られた、有理共形場理論の完全分類の結果を紹介する． 扱うモジュライ空間は，Narain moduli space と呼ばれるもので， それを扱う際に，古典的なガウス・ディリクレによる2元2次形式の 理論が現れる．