Date: 2002. 6. 12.

	タイトル
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代数多様体と高さ

	講演者
	NAME

川口 周

	所属
	INSTITUTION

京大・理

$X$ を代数体 $K$ 上定義された射影代数多様体， $L$ を $X$ 上の直線束とするとき， 高さ関数 $h_{(X,L)}: X(\overline{K}) \to {\mathbb{R}}$ が， $X(\overline{K})$ 上の有界関数を法として定まる．

この高さ関数は，Arakelov 幾何を用いることによっても定められる． すなわち，$(X, L)$ の整数環 $O_K$ 上のモデル $({\mathcal{X}}, \overline{{\mathcal{L}}})$ （ ${\mathcal{X}} \otimes_{O_K}K = X$, $\overline{{\mathcal{L}}}=({\mathcal{L}}, \Vert \cdot \Vert)$ は ${\mathcal{L}} \otimes_{O_K}K = L$ で $\Vert \cdot \Vert$ が ${\mathcal{L}}_{{\mathbb{C}}}$ のエルミート計量となるもの）を固定する． このとき， 記号 $O(1)$ で $X(\overline{K})$ 上の有界関数を法にしていることを表せば， モデル $({\mathcal{X}}, \overline{{\mathcal{L}}})$ に関する 高さ関数 $h_{({\mathcal{X}}, \overline{{\mathcal{L}}})} : X(\overline{K}) \to {\mathbb{R}}$ で $h_{({\mathcal{X}}, \overline{{\mathcal{L}}})} = h_{(X,L)} + O(1)$ となるものが算術的交叉理論を用いて定義される． さらに， $X_{\overline{K}}$ の部分多様体 $Y \subset X_{\overline{K}}$ の高さ $h_{({\mathcal{X}}, \overline{{\mathcal{L}}})}(Y)$ も自然に定義される．（おそらく，Bost, Gillet, Soule によって最初に 定義された）．

本談話会では主に，高さ関数の性質から導かれる $X(\overline{K})$ の いくつかの性質や，曲線 $X$ のモデル $({\mathcal{X}}, \overline{\omega_{{\mathcal{X}}/O_K}})$ に関する高さについて，様々な人々による結果を紹介したい．