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Date: 2002. 4. 24.

	タイトル
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４次元スピン$V$多様体上のディラック作用素の指数の評価と

低次元トポロジーへの応用

	講演者
	NAME

上　正明　

	所属
	INSTITUTION

京大・総合人間

$\mathbf Z$上の２次形式の中でどのようなものが４次元スピン閉多様体の交叉形式に なりうるかについてはSeiberg-Witten理論に基づく古田氏の”１０／８"定理を 始め深い結果がある。この定理は４次元スピン閉$V$多様体$Z$に対しても成り立つ ことが知られており、$Z$上のディラック作用素$D(Z)$の指数 $\operatorname{ind}D(Z)$に関する 不等式として与えられる。

一方３次元多様体とその上のスピン構造の対$(M,c)$に対して

$$(M,c) =\partial (Y, c)$$

となる４次元スピン多様体$Y$（とその上のスピン構造$c$）が存在するが、 これに対して

どのような２次形式が $Y$の交叉形式になりうるか$$$$

という問題が考えられる．もし $(M,c)$を境界とするスピン$V$多様体$X$が与えられるならば $Z=(-X)\cup Y$に上記の定理を適用して $Y$の符号数 $\operatorname{sign}Y$を評価することが考えられる（なるべく ベッチ数の小さい$X$をとる方が評価は良くなる。これが$V$多様体を考慮に入れる 理由でもある）。ただしそのためには $\operatorname{ind}D(Z)$と $\operatorname{sign}Z$（および $\operatorname{sign}Y$） の差を決定しなければならない。 $Z$の特異点が 孤立特異点のみからなる場合にはこの差は$V$指数定理により

$$\operatorname{ind}D(Z) =-(\operatorname{sign}Z +\sum \delta (x))/8$$

の形で与えられる。ただし右辺の和は$Z$の特異点$x$からのある寄与 $\delta (x)$ （$x$の近傍上の局所的データで決まる量）の和である。 各$x$の近傍は３次元球面型多様体$S$上の錐$cS$であり、 $\delta (x)$は$S$とその上のスピン構造$c$を与えると一意的に定まる（そこで これを $\delta (S,c)$と書く）。この $\delta (S,c)$ を完全に決定し、上記の問題への応用を 与えるのが今回の話のテーマである。

３次元多様体$M$が球面型多様体$S$そのものである場合は上記の$X$として $cS$をとれる。これにより ３次元球面型多様体とそのスピン構造の対$(S,c)$を境界とする４次元スピン多様体 $Y$に対し

$$\operatorname{sign}Y\equiv \delta (S,c) \pmod {16}$$

となる。$Y$に$K3$曲面（またはその向きを逆にしたもの）を連結和で加えると $\operatorname{sign}Y$は 任意の16の倍数だけずらせるので一般にはこれ以上のことは言い得ない。しかし $Y$の交叉形式を定値なものに限ると１０／８定理の$V$多様体版によって 結果は強まる．

1. $\delta (S,c) \ne 0$ならば$(S,c)$の連結和は $\mathbf Q$ acyclicスピン多様体の境界にならない. 特に$S$が $\mathbf Z_2$ホモロジー３球面のときは ホモロジーコボルディズム群 $\Theta^3_{\mathbf Z_2}$の中で無限位数．
2. $\vert\delta (S,c)\vert \le 18$かつ$(S,c)$が定値スピン多様体$Y$の境界ならば
   $$\operatorname{sign}(Y) =\delta (S,c)$$

多くの$(S,c)$の例がこれらの条件をみたす．ただし，

1. $(S,c)=\partial (Y,c)$なるスピン定値４次元多様体$Y$は存在するか？
2. 上記の$Y$の交叉形式は一意か？

という問題が残る．いずれについてもある場合は正しく，ある場合は正しくないことが 具体例により示せるが、より一般的に答えるにはまだ手段が不足していると思われる。

これ以外の応用についても時間に余裕があればふれたい．