２次元射影的アノソフ微分同相写像の不変量

浅岡正幸（京都大学大学院理学研究科）

もっともシンプルな不変集合である不動点や周期軌道の存在に関する問題は、力学系の位相的性質に関する理論において大きな位置を占めている。非退化な勾配流の不動点と多様体のホモロジー、 Hamiltonian diffeomorphism の不動点と Floer ホモロジー、接触構造に付随する Reeb flow の周期軌道と接触ホモロジーなど、不動点や周期軌道の存在が力学系の適当なクラスの中での連続変形で保たれるときには、これらの現象は多様体の幾何学と密接に関わっている場合が多い。

私は現在、３次元多様体上の射影的アノソフ流とそれに関連した双接触構造という幾何構造の間の関係について力学系理論の立場から研究をしているが、今回は、３次元射影的アノソフ流の離散系における対応物である２次元射影的アノソフ微分同相写像について、上で挙げたような理論たちと似たようなホモロジー理論と周期点の関係が見つかったという話をしたい。具体的には、射影的アノソフ力学系やその起源であるアノソフ力学系の定義や具体例からはじめて、

1. C^{2} 級非退化射影的アノソフ微分同相写像 f に付随する C_{a}(E_{f}^{+}) という空間のコンパクト化のホモトピー型が射影的アノソフ微分同相写像の連続変形で不変な量となること、

2. f が C_{a}(E_{f}^{+}) 上に誘導する写像の周期点に関する情報から C_{a}(E_{f}^{+}) の胞体分割が得られること、

3. C_{a}(E_{f}^{+}) のホモロジーを用いた f の周期軌道の存在定理、

4. 射影的アノソフ微分同相写像のいくつかの具体例に対する不変量の計算

といった結果について話をする予定である。また、時間があれば２次元射影的アノソフ微分同相写像の分類などのその他の結果についても触れたい。