Yoichiro Takahashi (高橋 陽一郎)

Research Institute for Mathematical Sciences
Kyoto University
Sakyo-ku, Kyoto, 606-8502 JAPAN photo

確率解析、力学系理論

とくに統計力学に関連する諸問題に興味をもち、エントロピーや大偏差原理を 共通のキーワードとして、これまで確率過程やカオス力学系などを研究してき た。

近年は、乱雑行列の理論、とくにGUE(ガウス・ユニタリ・アンサンブル)の 場合を確率論として一般的な枠組みで理解することを目指して、フェルミ点過 程、ボゾン点過程など、ラプラス変換が積分作用素のフレドホルム行列式(一 般には、その$\alpha$乗)で与えられる確率点場のクラスを導入し、その性質 を研究している。その大部分は白井朋之との共同研究であるが、現在では、 Johansson, Soshinikov, Lyonsその他の人々の研究成果も著しく、協力かつ競 合関係にある。

まず、その存在を仮定すれば、中心極限定理、大偏差原理(フェルミ点過程の 場合は、セゲの第1定理の一般化を与える)などの極限定理を容易に示すこと ができ、また、フェルミ過程($\alpha=-1$)など$\alpha$が負の場合はシフト としてのベルヌーイ性なども示した。さらに、パルム測度も$\alpha$の正負に 応じてそれぞれ特徴付けできる。

しかし、その存在問題は、底空間が1点という最も特殊な場合にこれらの確率 場が一般二項分布であることからも推測できるように、非自明な問題であり、 行列式とパーマネントのある一般化($\alpha$行列式と仮称)が正値対称行列 に関しては正値をとることと同値であり、それは$\alpha$が負整数の逆数また は0以上2以下の実数の場合のみ真であるものと予想している。現在までに、 この予想は負整数の逆数もしくは正整数の逆数の2倍の場合は正しいことを示 した。その手法は確率場の構成であり、いわゆる$q$行列式の場合と異なり、 代数的な証明はまだない。

さらに、昨年ようやく、これらの確率点場は、統計物理におけるフェルミ統 計やボーズ統計およびその一般化を実現する確率場であることを明確にするこ とができた。とくに、フェルミ点過程は通常のギブス場である。また、 $\alpha=2$の場合(スーパーボゾンと仮称)も特別であり、ガウス過程の2乗 を強度にもつポアソン点過程であり、小谷が研究しているソリトンとガウス場 の関係とも関連がつくはずであるが、今後の課題である。

なお、応用面においては、カオス的遍歴など、複雑系の研究その他に現れる力 学系の諸問題にも興味があり、片岡直人らと、関数力学系(1次元写像に値を とる力学系)などの研究も行っている。

  1. Large deviation and metrical entropy, Proceeding of International Conference on Dynamical Systems and Chaos, 1 Mathematics, Engineering and Economics (eds N. Aoki et al.), 249-251, World Scientific, 1995.
  2. Classification of chaos and a large deviation theory, Nonlinear and Convex Analysis in Economic Theory (eds T. Maruyama et al.), Lecture Notes in Econom. and Math. Systems, 419 (1995), 271-274.
  3. Li-York's scramble set has Lebesgue measure 0, Nonlinear Anal., 26 (1996), 1611-1612. (with Y. Baba and I. Kubo)
  4. Lagrangean for pinned diffusion process, Ito's Stochastic Calculus and Probability Theory (eds. N. Ikeda et al), 117-128, Springer 1996. (with K. Hara)
  5. Function Dynamics, JJIAM (2001) (with N. Kataoka, K. Kaneko and T. Namiki)
  6. Fermion process and Fredholm determinant, in H.G.W.Begehr et al(eds), Proc. of Second ISAAC Congress, 1, 1999, Kluwer Academic Publshers, Dortrecht, 2000, pp.15-23 (with T. Shirai)
  7. Random point fields associated with certain Fredholm determinants I: fermion, Poisson and boson point processes, to appear in J. Funct. Anal. (with T. Shirai)
  8. Random point fields associated with certain Fredholm determinants II: fermion shifts and their ergodic properties, to appear in Ann. Prob. (with T. Shirai)
  9. 微分と積分2,岩波書店,1995.
  10. 力学と微分方程式,岩波書店, 1996.
  11. 実関数とFourier解析1,2,岩波書店, 1996, 1997.
  12. 漸近挙動入門、日本評論社 2002.


Last modified: January 26, 2007