全学共通科目講義(1回生〜4回生対象)
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現代の数学と数理解析 |
―― 基礎概念とその諸科学への広がり |
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第9回 | |
日時: | 2007年6月15日(金) 16:30−18:00 |
場所: | 数理解析研究所 420号室 |
講師: | 川北 真之 助教 |
題目: | 代数幾何学入門 |
要約: |
代数幾何学で研究される幾何学的対象は代数多様体と呼ばれ,それは連立多項式の共通零点集合として定義される図形である.
楕円,放物線,双曲線に分類される実平面上の2次曲線は代数多様体の初等的な例である. ここでは2次曲線を実数上で考えているが,他にも整数上,複素数上等,様々な範囲で代数多様体を考察できる. 著名な例として,Fermatの定理は,n が3以上のとき xn + yn = 1 の有理数解 (x, y) は自明な解 (xy = 0 となる解) に限る,と定式化される. これらの例は全て代数曲線であるが,代数幾何学ではさらに高次元代数多様体を扱う. 講義では代数多様体の定義から出発し,抽象化された概念であるスキーム論,代数多様体上の基本的な変換操作であるブローアップ等,代数幾何学の基礎を多くの具体例を挙げながら解説する. 代数多様体が常にコンパクト化できること (或いは,生成点を持つこと) は特有の性質で,その意味と効力を解説する. 最後に代数幾何学における分類理論の最新の様子を紹介する. |
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