2002年度後期講義「幾何学特論 II」

目次

10月1日(火)開講

授業内容

• Hong-Kang, Introduction to quantum groups and crystal bases, GSM 42, AMS
• Jantzen, Lectures on quantum groups, GSM 6, AMS
• Joseph, Quanum groups and their primitive ideals, Springer
• Kassel, Quantum groups, GTM 155, Springer
• Lusztig, Introduction to quantum groups, Progress in Math. 110, Birkhauser

10月1日にやったこと

• 有木, A⁽¹⁾_r-1型量子群の表現論と組み合わせ論, 上智大学講究録
• 神保, 量子群とヤン・バクスター方程式, シュプリンガー現代数学シリーズ
• 谷崎, リー代数と量子群, 共立出版, 現代数学の潮流

• (n+1)次元表現の構成
• Verma表現の構成
• (n+1)次元表現の既約性, 既約表現の分類

10月8日にやったこと

• ホップ代数の説明
• カシミール元
• U_q(sl₂)の有限次元表現の完全可約性

• 有限次元単純リー環の生成元と関係式による表示
• ルート

10月15日にやったこと

• ワイル群
• U_q(g)の定義
• U_q^-(g)は f_iたちで生成される部分代数
• ウェイト加群
• 最高ウェイト加群
• Verma加群 M(λ)
• M(λ)はただ一つの既約な商 L(λ)を持つ
• λがdominant integral ウェイトのとき, L(λ)は有限次元になる.

10月22日にやったこと

• V : 有限次元 U_q(sl₂)ウェイト加群, v∈ V_mのとき
  T(v) = exp_q^-1(q^-1et^-1) exp_q^-1(-f) exp_q^-1(qet)q^m(m+1)/2v
  で, 作用素 T を定義する.
• V = L(n) のとき, v₀を最高ウェイトベクトルとし, v_iを f⁽ⁱ⁾v₀で定義すると
  T(v_i) = (-1)^n-iq^(n-i)(i+1)v_n-i が成り立つ.
• T(tv) = t^-1T(v), T(ev) = (-ft)T(v), T(fv) = (-t^-1f)T(v) が成り立つ.

• U_qi(sl₂)→U_q(g)を通じて上のTを考え, T_iで表す.
• T_i(q^h_jv) = q^s_ih_j T_i(v), T(e_iv) = (-f_it_i)T(v), T(f_iv) = (-t_i^-1f_i)T(v) は sl₂の場合から従う.
• T_i(f_j v) = Σ_r+s=-aij (-q_i)^r f_i^(r) f_j f_i^(s)T_i(v) が成り立つ.
• T_i(e_j v) = Σ_r+s=-aij (-q_i)^-s e_i^(r) e_j e_i^(s)T_i(v) が成り立つ.
• 上の式により, T_i を U_q(g) の自己同型とみなすことができる.

10月29日にやったこと

• T_iは組み紐群の関係式をみたす.
• 組み紐群の幾何学的な意味
• ワイル群とルート系に関する様々な事実の紹介

• q^h_i, e_i⁽ⁿ⁾, f_i⁽ⁿ⁾で生成されるU_q(g)の Q[q,q^-1]部分代数をU_Qであらわす.
• V = L(λ) とし, V_Q = U_Q v_λとおく.
• V_Q＊ Q(q)(*はテンソル積) = V
• 各ウェイト μにたいして V_μ,Q = V_μ∩V_Qとおくと, V_Q = Σ V_μ,Q (直和)
• V_μ,Qは有限階数自由 Q[q,q^-1] 加群で, その階数はV_μの Q(q)ベクトル空間としての次元に等しい.
• V のウェイト空間の次元は, 有限次元リー代数 g の対応する表現のウェイト空間の次元に等しい.
• V = U_q^-(g)/ f_i^<λ,h_i>+1

11月5日にやったこと

• ワイル群の最長元 w₀の最短表示 s_i1s_i2...s_iνを取り固定する. (hであらわす)
• L(c,h) = f_i1^(c₁)T_i1(f_i2^(c₂)) ...T_i1T_i2...T_iν-1(f_iν^(c_ν))とおく.
• c = (c₁,...,c_ν)を動かすとき, L(c,h) は U_q^-の基底を定める. これを PBW 基底という.
• 定理 g は ADE 型であるとする.
  • { L(c,h) } と { L(c',h')} の基底の変換行列の各成分は Z[q]に入る.
  • L_Z(∞) = L(c,h) 達で生成されるU_q^-の Z[q]-部分加群とすると, h の取り方に依存しない.
  • B(∞) = { L(c,h) mod q L_Z(∞) } = L_Z(∞)/q L_Z(∞) はh の取り方に依存しない. (結晶基底)

11月19日にやったこと

• 自由代数 U_q^-〜を考え, テンソル積 U_q^-〜 * U_q^-〜に積の構造を (x₁*x₂)(y₁*y₂) = q^{-(wt x₂, wt y₁)} x₁y₁*x₂y₂で入れる.
• r : U_q^-〜 → U_q^-〜 * U_q^-〜という代数の準同型を r(f_i) = f_i * 1 + 1 * f_iとなるように定める.
• U_q^-〜にbilinear form ( , )で次をみたすものがただ一つ存在する.
  • (f_i, f_j) = 1/1-q_i²
  • (x, yy') = (r(x), y * y')
  • (xx', y) = (x * x', r(y))
• r は,U_q^-→ U_q^- * U_q^-に落ちる.
• ( , ) はU_q^-に落ちる.
• r(x) = f_i * _ir(x) + ... = r_i(x) * f_i + ... によって _ir(x)とr_i(x)を定義する.
• e_i x - x e_i = (r_i(x) t_i-t_i^-1 _ir(x))(q_i-q_i^-1)^-1
• U_q^- = Σ_n f_iⁿU_q^-[i] = Σ_n ^*U_q^-[i] f_iⁿ (Σは直和), U_q^-[i] = { x∈ U_q^-│T_i^-1(x)∈ U_q^-}, ^*U_q^-[i] = { x∈ U_q^-│T_i(x)∈ U_q^-}
• U_q^-[i] = Ker _ir(x), ^*U_q^-[i] = Ker r_i(x)
• U_q^- = U_q^-[i] + f_iU_q^- (直交分解)

11月26日にやったこと

• 定理. x,y∈U_q^-[i]のとき, (x,y) = (T_i^-1(x), T_i^-1(y)) が成り立つ.
• 系. (L(c,h), L(c',h)) = Π_s(f_is^(c_s),f_is^(c'_s)) 特に, c≠c'ならば (L(c,h), L(c',h)) = 0

• bar involution ― の定義: f_i^― = f_i, q^― = q^-1
• 定理. bar involution ― をPBW基底 L(c,h)について行列表示すると, 辞書式順序に関して上三角で, 対角成分は 1 である.
• q^h_i, e_i⁽ⁿ⁾, f_i⁽ⁿ⁾で生成されるU_q(g)の Z[q,q^-1]部分代数をU_Zであらわす.
• f_i⁽ⁿ⁾で生成されるU_q^-の Z[q,q^-1]部分代数をU_Z^-であらわす.
• 定理. PBW基底 L(c,h) はU_Z^-の基底である. (ADE型のときには証明を与えた. それ以外のときの証明はレポート問題)
• 定理. 次の性質をもつ基底 b(c,h) がただ一つ存在する.
  • b(c,h) はbar involution ― で不変
  • L(c,h) = b(c,h) + Σ _c＜d b_c,d L(d,h)
  b(c,h)を標準基底という.

12月3日にやったこと

• 先週の「定理. bar involution ― をPBW基底 L(c,h)について行列表示すると, 辞書式順序に関して上三角で, 対角成分は 1 である.」の証明
• (b(c,h), b(c',h) = δ_cc' + qZ[[q]]∩Q(q)
• x が, (x,x) = 1 + qZ[[q]]∩Q(q), x^― = xをみたすと, x = ± b(c,h)である.
• したがって { ± b(c,h) | c ∈ Z_≧0^υ } は, h にはよらない. この集合は * で不変. ただし * は U_q^-のanti-involutionでf_iをf_iにうつすもの.
• L_Z(∞) = L(c,h) 達で生成されるU_q^-の Z[q]-部分加群とすると, h の取り方に依存しない.

12月10日にやったこと

• ε_i(b)の定義
• 柏原作用素 e^〜_i, f^〜_iの定義

• 有限グラフで辺に向きを入れたものを quiver と呼ぶ.
• quiverの表現
• reflection functor Φ_i^±の定義

1月14日にやったこと

• Gabirel の定理 : indecomposable なDynkin quiver の表現と正ルートが一対一に対応する.

• 定義と結合律