2006年度後期講義「幾何学II」

§5. 微分形式の積分とStokesの定理(復習)

• $1$の分割(二つのversion)
• 多様体の向き
• 積分の定義
• Stokesの定理

11月8日にやったこと

§6. Mayer-Vietoris argument

• good coverの定義
• 多様体 $M$ が有限の good coverを持つとき, $H^*(M;\R)$は有限次元である.
• $n$次元多様体 $M$ は, 向きづけられており, 有限の good coverを持つとする. このとき, $H^k(M;\R)$と$H^{n-k}_c(M;\R)$は, 次のpairing によって互いに双対空間になる. $$H^k(M;\R)\otimes H^{n-k}_c(M;\R)\ni [\alpha]\otimes[\beta] \mapsto \langle[\alpha],[\beta]\rangle = \int_M \alpha\wedge\beta$$
• K\"unneth の公式 多様体 $M$ が有限の good coverを持つとき, $$H^k(M\times F;\R) \cong \bigoplus_{p+q=k} H^p(M;\R)\otimes H^q(F;\R)$$

11月15日にやったこと

• 閉部分多様体$S$のポアンカレ双対 $\eta_S\in H^k(M)$
• コンパクトな部分多様体のポアンカレ双対 $\eta_S\in H^k_c(M)$
• カレントと, そのコホモロジー
• $M$が向きづけられており有限のgood coverを持つとする. このときドラームコホモロジーとカレントのコホモロジーは同型になる.
• $H^*(M)$は微分形式の外積により $[\alpha]\wedge[\beta] = [\alpha\wedge\beta]$として, 環構造を持つ. しかしカレントのコホモロジーからはこの構造は見えない.

§7. Thom同型

• ベクトル束の定義
• 局所自明化, 変換関数
• 切断, 枠
• 例. 多様体$M$の接束$T_M$, メビウスの帯

11月22日にやったこと

• バンドル写像, ベクトル束の同型の定義
• ベクトル束の向きづけの定義
• ベクトル束の直和, テンソル積, 双対束, 外積束の定義
• $C^\infty$写像による誘導束の定義
• ホモトッピックな写像$f_0$, $f_1$による引き戻し $f_0^{-1}E$, $f_1^{-1}E$は同型である.
• $\pi: E\to M$をベクトル束とするとき $$H^k(E;\R)\cong H^k(M;\R)$$ で, 同型写像は $\pi^*$, $s^*$ ($s$は$0$切断) で与えられる.
• $M$が向きづけられた, 有限の good coverをもつ$C^\infty$多様体で, $E$がその上の向きづけられたベクトル束とすると $$H^k_c(E;\R) \cong H^{k-n}_c(M;\R)$$ が, 上の同型のポアンカレ双対として成立する.
• ファイバー方向にコンパクトな台をもつコホモロジー $H^*_{cv}(E)$ の定義
• $E$が向きづけられているとき, $\pi_*: A^k_{cv}(E)\to A^{k-n}(M)$が定義され, $H^k_{cv}(E)\to H^{k-n}(M)$が誘導される.
• (projection formula) $$\pi_*(\pi^*\tau\wedge\omega) = \tau\wedge\pi_*\omega$$ $$\int_E \pi^*\tau\wedge\omega = \int_M \tau\wedge\pi_*\omega$$

11月29日にやったこと

• 定理. $M$が有限なgood coverを持つとする. $E$を向きづけられた階数$n$のベクトル束とするとき, $$H^k_{cv}(E) \cong H^{k-n}(M)$$ が成り立つ. ただし左から右への写像は $\pi_*$ で与えられる.
• $\pi_*: H^n_{cv}(E) \to H^0(M)$の$1$の逆像を$E$のトム類といい $\Phi(E)$で表わす.
• $\Phi(E)$の特徴づけ
• トム類の自然性, Whitney和公式
• $S^k\subset M^n$が閉部分多様体であるとすると, 管状近傍$U$で法束$N = TM/TS$と微分同相なものが存在する.
• このとき, $N$のトム類を$U$上の微分形式で, $U$のはじの方では$0$になっているものであらわす. この微分形式を$U$の外で$0$とおいて$M$全体に拡張し, そのコホモロジー類をとったものは, $S$のポアンカレ双対である.
• 二つの部分多様体 $R$, $S$が横断的に交わっているとは, $x\in R\cap S$で $T_x R + T_x S = T_x M$が成立しているときをいう. このとき$R\cap S$は部分多様体になり, ポアンカレ双対の間に $$\eta_{R\cap S} = \eta_R \wedge \eta_S$$ という関係が成り立つ. (ただし$R\cap S$には向きを適当に入れる.)

12月6日にやったこと

§8. The generalized Mayer-Vietoris principle

• 二重複体
• 多様体 $M$ の開被覆 $\{ U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ を取ったとき, $U_{\alpha_0\cdots\alpha_p} = U_{\alpha_0}\cap\cdots\cap U_{\alpha_p}$とおき, $$K^{p,q} = \prod_{\alpha_0 < \cdots < \alpha_p} A^q(U_{\alpha_0\cdots\alpha_p})$$ と定義し, $d: K^{p,q}\to K^{p,q+1}$ は, 外微分作用素とし, $\delta: K^{p,q}\to K^{p+1,q}$ は $$(\delta\omega)_{\alpha_0\cdots\alpha_{p+1}} = \sum_{i=0}^{p+1} (-1)^i \omega_{\alpha_0\cdots\widehat{\alpha_{i}}\cdots\alpha_{p+1}}$$ によって定義する. これは二重複体になる.
• 二重複体の左横に一列足したものを考えたとき, 横に完全ならば, 二重複体の total cohomology は, 足したもののコホモロジーに等しい. 上の例のときは, $(A^{q}(M),d)$ を足したものは, その性質を持つ. したがって total cohomology はドラーム・コホモロジー$H^*(M;\R)$ と同型である.
• $\{ U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ が good cover のときは, 上の二重複体の下に $${\mathcal C}^p({\mathcal U};\R) := \{ \text{locally constant function on } U_{\alpha_0\cdots\alpha_p} \}$$ を付け加えたものも, 縦横入れ替えて同じ性質をもつ. よって total cohomology は上の $({\mathcal C}^*({\mathcal U};\R),\delta)$からできるコホモロジー(チェック・コホモロジーという)と同型である. 二つ合わせて, ドラーム・コホモロジーとチェック・コホモロジーは同型である.
• $S^1$, $S^2$のチェック・コホモロジーの計算

• $R$: 単項イデアル整域とするとき, $R$-加群 $A$ の自由分解 $$ 0 \to F_1 \to F_0 \to A \to 0$$ とその性質
• $\operatorname{Tor}(A,B)$, $\operatorname{Ext}(A,B)$の定義

12月13日にやったこと

§9. 特異ホモロジー

• $\Delta_q = \{ x\in \R^{q+1} \mid x_i\ge 0, \sum x_i = 1\}$ とおく. $X$ を位相空間とし, 連続写像 $\sigma: \Delta_q\to X$ を特異$q$-単体という. 特異$q$単体の全体を基底とする自由${\mathbb Z}$-加群を$S_q(X)$とし, その元を特異$q$-チェインという.
• 境界作用素 $\partial : S_q(X)\to S_{q-1}(X)$ が定義され, $\partial\circ\partial = 0$ を満たす.
• $\mathbf Z$-加群 $G$ に対して, $S_\bullet(X)\otimes G$からできるホモロジー群を, $G$-係数特異ホモロジー群といい, $H_*(X;G)$ で表わす.
• 例. $H_0(X;{\mathbb Z}) = {\mathbb Z}^{\oplus \text{path connected components}}$
• 例. $H_q(\text{point},{\mathbb Z}) = \begin{cases} \mathbf Z & (q=0) \\ 0 & (q\neq 0) \end{cases}$
• 簡約ホモロジー
• 特異コホモロジー群を $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(S_q(X), G)$ からできるコホモロジー群として定義し, $H^q(X; G)$ で表わす.
• 普遍係数定理
• 相対コホモロジー
• $i_0$, $i_1: X\to X\times [0,1]$ を $i_0(x) = (x,0)$, $i_1(x) = (x,1)$ で定義する. このとき $i_{0*}$, $i_{1*}: H_q(X;{\mathbb Z})\to H_q(X\times [0,1];{\mathbb Z})$ は等しい.
• これをプリズム作用素によって証明する.

12月20日にやったこと

• $f_0, f_1 : X\to Y$ がホモトピックであると, $f_{0*}, f_{1*}: H_*(X;{\mathbb Z})\to H_*(Y;{\mathbb Z})$ は等しい.
• 特異ホモロジーに関する一般化されたMayer-Vietoris完全列
  • $\{ U_\alpha \}$ : $X$ の開被覆に対し $$\delta:\bigoplus_{\alpha_0<\cdots<\alpha_p} S_q(U_{\alpha_0\cdots\alpha_p})\to \bigoplus_{\alpha_0 < \cdots < \alpha_{p-1}} S_q(U_{\alpha_0\cdots\alpha_{p-1}})$$ をドラーム複体のときと同様に(正確にはそれの`転置'になるように) 定義する.
  • $S_q^{{\mathfrak U}}(X) = \{ c = \sum a_\sigma \sigma \mid \sigma(\Delta_q)\subset U_\alpha \text{for some } \alpha \}$ を考える.
  • $S_q^{{\mathfrak U}}(X)\subset S_q(X)$であるが, ホモロジー群に誘導される写像により, $S_q^{{\mathfrak U}}(X)$からできるホモロジー群 $H_q^{{\mathfrak U}}(X;{\mathbb Z})$は, もともとの$H_q(X;{\mathbb Z})$と同型である.
  • 二重複体を, ドラーム複体のときと同様に定義すると, total ホモロジーは $H_q^{{\mathfrak U}}(X;{\mathbb Z})$, したがって$H_q(X;{\mathbb Z})$と同型である.
  • 各 $U_{\alpha_0\cdots\alpha_p}$が可縮であるとき, $\mathfrak U$はgood coverであるという. このとき, 二重複体を考えると, $H^q(X;{\mathbb Z})$はチェックコホモロジーと同型である.
  • さらに $X$ が$C^\infty$級多様体のときには, $\mathfrak U$が多様体の意味のgood coverであると仮定すると, $\R$-係数特異コホモロジー群 $H^q(X;\R)$は, ドラーム・コホモロジー群と同型になる.
• 特異ホモロジー群に関するMayer-Vietoris完全列と, $S^1$, $S^n$, クラインの壷のホモロジー群

1月10日にやったこと

§10. CW複体とそのホモロジー

• $X$, $f: S^{n-1}\to X$ に対し, $n$-セル $e^n$ を$f$によって貼り合わせた空間を$Y = X\cup_f e^n$とするとき次の完全列がある: $$0\to H_n(X)\to H_n(Y) \to {\mathbb Z} \to H_{n-1}(X)\to H_{n-1}(Y)\to 0$$
• これに動機付けされて(有限)CW複体を定義する.
• 有限個の点$X^{(0)}$から出発して, 帰納的に作る. $(n-1)$切片$X^{(n)}$に, 有限個の$n$-セルを貼り合わせていって, $X^{(n)}$を作る. 十分大きな$n$でこれを終える. できたものが有限CW複体である.
• 実射影空間, 複素射影空間は, CW複体の構造を持つ.
• 相対ホモロジーについて
  • $H_q(e^n,\partial e^n) = {\mathbb Z}$ ($q=n$), $=0$ (その他)
  • 切除定理

1月17日にやったこと

• 相対ホモロジー群を使って, $X$, $f: S^{n-1}\to X$ に対し, $n$-セル $e^n$ を$f$によって貼り合わせた空間を$Y = X\cup_f e^n$とするとき $$0\to H_n(X)\to H_n(Y) \to H_n(Y,X) \to H_{n-1}(X)\to H_{n-1}(Y)\to 0$$ と $$H_n(X,Y) = {\mathbb Z}$$ であることを示した.
• $C_n = H_n(X^{(n)},X^{(n-1)})$ とし, $\partial: C_n\to C_{n-1}$を 空間対$X^{(n)}$, $X^{(n-1)}$, $X^{(n-2)}$ に付随した短完全列 $$0\to \frac{S_*(X^{(n-1)})}{S_*(X^{(n-2)})}\to \frac{S_*(X^{(n)})}{S_*(X^{(n-2)})}\to \frac{S_*(X^{(n)})}{S_*(X^{(n-1)})}$$ から誘導される長完全列の連結準同型として定義する.
• $\partial\partial=0$が成り立ち, 複体を作るが, この複体のホモロジーは $H_n(X)$に等しい.
• 結合定数 $[e_\lambda,e_\mu]$の, $S^{n-1}$から$S^{n-1}$への写像の写像度としての計算の仕方
• トーラスのときの計算
• 実射影空間のときの計算

試験問題

試験問題解答