2010年度前期講義「微分幾何学II」

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目次

開講のお知らせ 4月13日 4月20日

お知らせ


授業の概要・目的

二次元複素平面上の点のHilbert概型について、特にそのコホモロジー群の構造 を中心に解説する。96年ごろにハイゼンベルグ代数の表現の構造が定義された が、それ以降、頂点作用素の理論を動機付けとして得られた様々な結果が得ら れた。これらをできる限り、self-containedに解説する。

授業計画と内容

以下のような順番で、一項目あたり、1〜2回の授業をする予定である。
  1. 複素平面上の点のHilbert概型の定義、行列による表示式
  2. 滑らかさの証明、トーラス固定点、接空間の計算
  3. ベッチ数を求める
  4. 合成積によるハイゼンベルグ代数の表現の構成
  5. 直線の対称積と頂点作用素(の半分)の関係
  6. ビラソロ代数の表現の構成
  7. 同変(コ)ホモロジーの定義の復習
  8. コホモロジー環の決定
  9. 頂点作用素の幾何学的な構成

履修要件

幾何学I,幾何学IIは履修していること。代数幾何に関する知識はあまり仮定し ないが、ある程度知っておいたほうが望ましい。

成績評価の方法・基準

授業の際に演習問題を出題するので、それを解いてレポートとして提出すること。それにより評価する。

教 科 書

 特になし  

参考書等

 99年頃までに知られていた事柄については、  `Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces’, Univ. Lecture Series, 18, American Mathematical Society’  にまとめられている。

その他・授業外学習の指示・オフィスアワー等

 講義時間以外に、質問をしたい場合は、nakajima@kurims.kyoto-u.ac.jp 宛 にメールを送り、コンタクトの時間の希望を述べること。 

4月13日にやったこと

§. Introduction

§1. 行列表示

$N$次元複素ユークリッド空間上の$n$個の点のHilbert概型は、 という条件を満たす行列とベクトルの全体を という $GL_n(\C)$ の自然な作用で割った商空間と同じ。 行列による記述を使って, $N=2$のときにヒルベルト概型が複素多様体になるこ と、を証明する。(途中で終わった。)

4月20日にやったこと

複素多様体になることの証明の完了. 途中で $X^{[n]}$ が $(B_1,B_2,i,j)$ であって $\tilde\mu(B_1,B_2,i,j) = [B_1,B_2]+ij = 0$と $i$ は $B_1$, $B_2$に関してcyclic vector である、という条件を満たすものの全体を $GL_n(\C)$の作用で割ってできる商空間であることを示した。
接空間は、次の複体の中間のコホモロジーで与えられる: $$\begin{array}{ccccc} {\mathfrak{gl}}(V) & \underrightarrow{\iota} & {\mathfrak{gl}}(V)\times{\mathfrak{gl}}(V)\times V\times V^* & \underrightarrow{d\tilde\mu} & {\mathfrak{gl}}(V)\end{array}$$ ただし、$V$は$n$次元のベクトル空間、$\iota$は$GL(V)$ 作用の微分、$d\tilde\mu$は $\tilde\mu$の微分である。具体的には、 $$\iota(\xi) = ([\xi,B_1], [\xi,B_2], \xi i, - j\xi)$$ $$d\tilde\mu(\delta B_1,\delta B_2,\delta i, \delta j) = [B_1,\delta B_2]+[\delta B_1,B_2]+i\cdot \delta j+\delta i\cdot j$$ で与えられる。
このページの数式は, mathjaxを用いて書かれています
nakajima@math.kyoto-u.ac.jp