微分幾何学入門テストの略解

担当: 中島啓

2000 年 2 月 14 日 (月)

問 1 解答略

問 2 (1) 正しくない. その様な座標系が取れたとすると, 曲率テンソルは 0 となる. 実際, その様な座標系があれば, Euclid 空間の標準的な計量と g は等長である. 従って, 曲率テンソルは, Euclid 空間の標準的な計量の曲率テンソル, すなわち 0 と等しい.

(2) 正しい. まず, 勝手な局所自明化 ψ: π^{−1}(U) × U × R^{r} を取り, 局所的な切断 f_{i} を

x ⟼ ψ^{−1}(x, E_{i})

によって定める. このとき各点 x 毎に {f_{1}(x), …, f_{r}(x)} は, E_{x} の基底を定める. この基底から Gram-Schmidt の直交化法で正規直交基底を定め, {e_{1}(x), …, e_{r}(x)} とする. 元々の f_{i} が, x に対して滑らかに依存していたことと, Gram-Schmidt の直交化法による定め方から, e_{i}(x) は x に滑らかに依存し, (局所的な) 切断 e_{i} を定める. このとき, E の局所自明化を φ: π^{−1}(U) → U × R^{r} を

x ⟼ φ^{−1}(x, E_{i})

となるように定めればよい. すなわち, E_{x} の点 ξ に対して,

ξ = ∑_{i=1}^{r} ξ_{i}e_{i}(x)

として (ξ_{1}, …, ξ_{r}) ∈ R^{r} を定めたときに φ(ξ) = (x, (ξ_{1}, …, ξ_{r})) と定義すればよいわけである. e_{i} が滑らかであることから, φ は滑らかであることが分かる.

問 3 まず

\begin{matrix}XY · h(s, t) = & X \{h(∇_{Y} s, t) + h(s, ∇_{Y} t)\} \\ = & h(∇_{X}∇_{Y} s, t) + h(∇_{Y} s, ∇_{X}t) + h(∇_{X}s, ∇_{Y} t) + h(s, ∇_{X}∇_{Y} t) \end{matrix}

がなりたつ. 同様に,

Y X · h(s, t) = h(∇_{Y} ∇_{X}s, t) + h(∇_{X}s, ∇_{Y} t) + h(∇_{Y} s, ∇_{X}t) + h(s, ∇_{Y} ∇_{X}t)

がなりたつ. また,

[X, Y] · h(s, t) = h(∇_{[X,Y]}s, t) + h(s, ∇_{[X,Y]}, t)

である. ここで, (XY − Y X) · h(s, t) = [X, Y] · h(s, t) に注意すれば, 求める式が従う.

(2) f を M 上の C^{∞} 級関数とすると,

∇_{X}(fs) = X · fs + f∇_{X}s = X · fs + f∇′_{X}s + fα(X, s)

が成り立つ. 最初の二項が S の切断であり, 最後の一項が S^{⊥} の切断である. 従って

∇′_{X}(fs) = X · fs + f∇′_{X}s, α(X, fs) = fα(X, s)

である. これは, ∇′ が接続であること, また α(X, s) が Hom(S, S^{⊥}) に値を持つ 1 次微分形式 α を用いて α(X, s) = α(X)s と書けることを意味している. また, s, t を S の切断とするとき,

X · h(s, t) = h(∇_{X}s, t) + h(s, ∇_{X}t) = h(∇′_{X}s, t) + h(s, ∇′_{X}t)

が成り立つから, ∇′ は h の制限を保つ. (3)

∇_{X}∇_{Y} s = ∇′_{X}∇′_{Y} s + α(X)∇′_{Y} s + ∇_{X}(α(Y)s)

が成り立つ. 第二項は, S に直交するから

h(∇_{X}∇_{Y} s, t) = h(∇′_{X}∇′_{Y} s, t) + h(∇_{X}(α(Y)s), t)

となる. また, α(Y)s は S に直交しているから

h(α(Y)s, t) = 0

である. これを X で微分すると,

0 = h(∇_{X}(α(Y)s), t) + h(α(Y)s, ∇_{X}t) = h(∇_{X}(α(Y)s), t) + h(α(Y)s, α(X)t)

となる. ただし, 二番目の式で α(Y)s が S に直交していることを用いた. よって

h(∇_{X}∇_{Y} s, t) = h(∇′_{X}∇′_{Y} s, t) − h(α(Y)s, α(X)t)

となる. X と Y を入れ替えて,

h(∇_{Y} ∇_{X}s, t) = h(∇′_{Y} ∇′_{X}s, t) − h(α(X)s, α(Y)t)

も成り立つ. この二つの式と (t が S に属していることから従う)

h(∇_{[X,Y]}s, t) = h(∇′_{[X,Y]}s, t)

を合わせれば結論の式

h(R(X, Y)s, t) = h(R′(X, Y)s, t) + h(α(X)s, α(Y)t) − h(α(X)t, α(Y)s)

を得る.