微分幾何学入門小テスト

担当: 中島啓

1999 年 12 月 13 日 (月)

問 1 (x, y) 平面内の半径 1 の円の内部 D = {(x, y) ∈ R^{2} | x^{2} + y^{2} < 1} に Riemann 計量 g を

g = \frac{dx^{2} + dy^{2}}{(1 − x^{2} − y^{2})^{2}}

によって定義する. 注意するまでもないが dx^{2} + dy^{2} は R^{2} の標準的な内積である. このとき g のガウス曲率 K を求めよ.

問 2 (M, g) をリーマン多様体とし, その Levi-Civita 接続を ∇ で表わす. S ⊂ M を M の部分多様体とする. 点 p ∈ S における S の接空間を T_{p}S, M の接空間を T_{p}M と表わす. T_{p}S を T_{p}M の部分空間と見なすことによって, g を T_{p}S に制限し S 上のリーマン計量を定義する. これを g′ とかく. X, Y は M 上のベクトル場で, S の各点 p においてはその値 X(p), Y (p) が T_{p}S に属しているものとする. このとき ∇_{X}Y を S に制限したものを S の接空間に属している成分と, 接空間と直交している成分の二つに分け,

(∇_{X}Y)|_{S} = ∇′_{X}Y + α(X, Y)

と表わす. ∇′_{X}Y が S の接空間の成分で α(X, Y) が直交している成分である.

(1) α(X, Y) = α(Y, X) を証明せよ.

(2) ∇′ は, (S, g′) の Levi-Civita 接続であることを証明せよ. ただし, 次の事実は証明なしに用いてよろしい. p のある M における近傍 U が存在して, S 上のベクトル場 X′, Y′ に対して M 上のベクトル場 X, Y で

X|_{U∩S} = X′|_{U∩S}, Y |_{U∩S} = Y′|_{U∩S}

となるものが存在する.

(3) (M, g) の曲率テンソルを R, (S, g′) の曲率テンソルを R′ とする. X, Y, Z, W を M 上のベクトル場で, S の各点 p においてはその値 X(p), Y (p), Z(p), W (p) が T_{p}S に属しているものとする.

g(R(X, Y)Z, W)|_{S} = g′(R′(X, Y)Z, W) − g(α(Y, Z), α(X, W)) + g(α(X, Z), α(Y, W))

を証明せよ. ヒント: M = R^{3} で S が曲面のときが, 授業で説明した場合なので, そこで説明したことを復習して一般化すればよい.