ユニタリ表現の離散的な分岐則小林俊行 (東京大学数理科学研究科)

G を実簡約線型リー群, G′ を G における簡約部分群とする. G の既約ユニタリ表現の同値類の全体 (unitary dual) を Ĝ, 同様に, G′ の既約ユニタリ表現の同値類の全体を Ĝ′ と表す。 G の既約ユニタリ表現 π ∈ Ĝ の部分群 G′ への制限 π|_{G′} は, 一般には G′ の表現としては既約ではなく, G′ の既約ユニタリ表現の直積分として

π|_{G′} ≃ ∫ ⊕ ; Ĝ′ m_{G′}(τ : π|_{G′}) τ dμ(τ)

と分解される。ここで, dμ は Ĝ′ 上の測度, m_{G′}(· : π|_{G′}): Ĝ′ → ℕ ∪ {∞} は重複度を表し, Ĝ′ 上, 測度 dμ に関して殆ど到る所定義された関数である。

この既約分解の具体的な形は, 分岐則 (branching law) と呼ばれる. 分岐則を求めることは表現論の基本目標の一つであるが, 無限次元表現においては, 最高ウェイトを持つような表現やコンパクト部分群への分岐則などの非常に特別な場合を除くと, 多くの場合手をつけることが難しい問題であると考えられてきた.

この報告の観点は, 分岐則を具体的に求めることが「大いに期待できる」と考えられる「特別良いクラス」 (定義 A 参照) を抽出し,

1) 「特別良いクラス」が相当豊かな例を含んでいること,

2) 「特別良いクラス」の特徴付け,

3) 「特別良いクラス」が他の分野にどう関わるか? などについて, 現時点で理解されたことのいくつかを説明したいと思います。

\underline{定義 A}. G の既約ユニタリ表現 π が G′-加群として\underline{離散分解可能}であるとは,

π_{K} ≃ ⨁_{τ} n_{π}(τ)τ, (𝔤′_{ℂ}, K′)-加群としての代数的直和

と分解されるときをいう. ここで, π_{K} は π の underlying (𝔤_{ℂ}, K)-加群, τ は既約な (𝔤′_{ℂ}, K′)-加群で, n_{π}(τ) ∈ ℕ ∪ {∞} である.

G′ がコンパクトのときは π ∈ Ĝ は常に G′-加群として離散分解可能である. また, π が最高ウェイトを持つユニタリ表現の場合には, G′ が非コンパクトであっても G′-加群として離散分解可能である例が知られており, これらの分岐則もいくつかの場合に具体的に求められている (Howe, Martens, Jakobsen, Vergne). これらの特別な場合を除いた一般の設定での最初の non-trivial な例は「半単純対称空間 G/H の一様格子 Γ をその Zariski 閉包 G′ := \overline{Γ} が G/H に proper に作用するように構成し, π ∈ Ĝ を G/H の離散系列表現として, 制限 π|′_{G} を考える」ことによって得られたもので, これは次の図式

discrete 版:  離散群の properly discontinuous な作用
↓↑
continuous 版:  連結リー群の proper な作用
↓↑
representation 版: ユニタリ表現の離散的な分岐則

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が互いに類似の概念を与えているという philosophy を示唆している.

離散的分岐のための判定条件は一般の既約ユニタリ表現 π と一般の簡約部分群 G′ に対して抽象的に述べることもできるが, 次の設定:

(G, G′) を半単純対称対とし, π を Zuckerman-Vogan 導来函手加群 A_{𝔮}(λ) に対して explicit な形で述べることが応用上重要なので, この設定で述べる.

\underline{定理 B}. G′ (G の部分群) と π ∈ Ĝ に関する次の条件は同値:

i) π は G′-加群として離散分解可能。 ii) Cone(π) ∩ Subsp(G′) = {0}.

ここで, Cone(π) は π によって定義される錐で, Subsp(G′) は G′ によって定義される部分空間であって, いずれもある Cartan 代数の双対空間の初等的に計算可能な部分集合である. G′ が非コンパクト, π ∈ Ĝ が最高ウェイトを持たない表現であっても定理 B の判定条件を使うと, 離散的な分岐則を与える例がかなり豊富にあることがわかる:

\underline{例 C}. (G, G′) = (U(2, 2), Sp(1, 1)) ≈ (SO(4, 2), SO(4, 1)) の場合, Ĝ の中で, regular かつ integral な無限小指標をもつ G の既約ユニタリ表現は 18 系列あり, その内 12 系列が, G′ 加群として離散分解可能となる.

定理 B と非可換調和解析との接点を一つ述べよう:

\underline{系 D}. (非コンパクト) 半単純対称空間 G/H の離散系列表現 π は H-加群として決して離散分解可能とはならない。

この系の特別な場合として, 半単純対称空間が, イ) 群多様体の場合は, 例えば, 正則離散系列表現と反正則離散系列表現のテンソル積には必ず連続スペクトラムが存在する (Repka), ロ) リーマン対称空間の場合は, L^{2}(G/K) には離散系列表現が存在しない。一方, π ∈ Ĝ ならば制限 π|_{K} は常に admissible である (Harish-Chandra), といった良く知られた事実を「離散分解可能定理」の判定条件から説明を与えている.

定理 B を具体的な問題に応用することによって, 他の分野との接点も現れつつある. たとえば, イ) 局所部分対称空間のトポロジー (modular symbol の消滅定理) (織田孝幸氏との共同研究) [4],[5], ロ) 新しい離散系列表現の構成 (後述) などは, 定理 B を主要な道具として得られる.

References

[1] T. Kobayashi, Discrete decomposability of the restriction of A_{𝔮}(λ) with respect to reductive subgroups and its applications, Invent. Math. 117 (1994), 181–205.

[2] T. Kobayashi, Discrete decomposability of the restriction of A_{𝔮}(λ) with respect to reductive subgroups II — micro-local analysis and asymptotic K-support, (preprint).

[3] T. Kobayashi, Discrete decomposability of the restriction of A_{𝔮}(λ) with respect to reductive subgroups III — restriction of Harish-Chandra modules and associated varieties, Inventiones Mathematicae (to appear).

[4] 小林俊行述 (石川哲記), 局所対称空間のモジュラー記号の消滅定理, 示野信一編

集 (http://www.merry.xmath.ous.ac.jp/math/Nov5th1996.html) (1996), 1–16.

[5] 織田孝幸, 日本数学会５０周年記念企画特別講演報告集 (1996 秋).