簡約型等質多様体上の離散系列表現

小林俊行 (東京大学数理科学研究科)

\underline{1.} G を実線型簡約リー群, H を G における簡約部分群とする. 簡約型等質多様体 G/H には G-不変な測度 dμ がスカラー倍を除いて一意的に存在する. この測度に関して G/H上２乗可積分な関数全体の作る Hilbert 空間を L^{2}(G/H) と書く. 左移動 f(x) ↦ f(g^{−1}x) (g ∈ G, x ∈ G/H) によって L^{2}(G/H) 上に G のユニタリ表現が定義できる. L^{2}(G/H) の閉部分空間に実現される G の既約ユニタリ表現を G の \underline{離散系列表現}という.

\underline{2.} この報告では, 「いつ G/H に離散系列表現が存在するか」という問題を考える.

簡約型等質多様体の特別な場合として

i) 半単純リー群の群多様体やリーマン対称空間については Harish-Chandra が, ii) (より一般に) 半単純対称空間に対しては Flensted-Jensen, 大島-松木が, それぞれ「いつ G/H に離散系列表現が存在するか」についての解答をランク条件 rank G/H = rank K/(H ∩ K) で与えた. これらの離散系列表現は, 緩増加表現の構成や局所対称空間の modular symbol の非消滅定理 (Tong-Wang) などに基本的な役割を果たしている.

しかし, 対称空間よりもっと一般の状況では, どのような簡約型等質多様体に離散系列表現が存在するかについては SL(2n + 1, ℝ)/Sp(n, ℝ) (非存在) といった球等質多様体の例 (T.Kobayashi, Invent.Math.’94) や不定値 Stiefel 多様体 (Schlichtkrull, Kobayashi, J-S.Li) などを除いて, 具体例さえ殆ど知られていない.

\underline{3.} 半単純対称空間の離散系列表現の従来の構成法は「双対」と呼ばれるリーマン対称空間とその境界のある閉軌道を用いるものであったが, 非対称空間では「双対」に対応する良い等質多様体は存在せず, 離散系列の構成には全く新たな方法が必要となる。この報告でのアイディアは,

i) ユニタリ表現の離散的な分岐則の判定条件と, ii) 既知の等質多様体 (例えば, 群多様体や半単純対称空間) の調和解析を組み合わせるというものである. すなわち, 研究したい空間 G/H を大きな (良く知られている) 空間 G̃/H̃ に

G/H ↪ G̃/H̃

として埋め込み, G̃ の表現を部分群 G に制限したもの (の商) として関数空間の引き戻しをとらえようということを考える。このとき, G̃ の表現の制限が離散的な分岐則をもつならば, G/H と G̃/H̃ での関数の減少度について良い評価式が得られるのがポイントとなる。

\underline{4.} 主定理を大雑把に述べよう:

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定理 A. G を実簡約線型リー群, K を G の極大コンパクト部分群, σ および τ を G の位数２の自己同型写像で K を保つもの, 𝔱 を Lie(K) の Cartan subalgebra とする. σ から定まる Weyl 群の各元 w に 𝔱 の錐 Cone(w) を付随させる.

∃w Cone(w) ∩ 𝔱^{−τ} = {0} かつ rank G/G^{σ} = rank K/K^{σ}

ならば, 等質多様体 G^{τ} /G^{τ} ∩ xG^{σ}x^{−1} (x ∈ K) には離散系列表現 (もっと一般に既約 L^{p}-表現) が存在する.

定理 A において, σ と τ の可換性は要求しない. また, τ = 1 のときは, Flensted-Jensen による離散系列表現の存在定理に対応する. 錐 Cone(w) はルートで定義され, 交差条件 Cone(w) ∩ 𝔱^{−τ} = {0} は既約ユニタリ表現の離散分岐則の判定条件 (前報告) に対応している. 定理 A のポイントは x ∈ K を取り替えることにより, さまざまな非対称空間 G^{τ} /G^{τ} ∩ xG^{σ}x^{−1} が現れることで, この等質空間の記述には最近の松木敏彦氏の結果が基本的な役割を果たす. また, 特別な場合には, 上記の等質多様体の離散系列表現の分類が表現論の結果 (離散分岐則の決定) に帰着される.

\underline{5.} 定理 A をもっと簡単な場合に説明しよう. 以下では, エルミート型単純リー群 G の involution σ が Hermite 対称空間に反正則な微分同相として作用すると仮定する. x ∈ K に対して,

L_{x} := {g ∈ G : xσ(g)x^{−1} = g}

とおく.

定理 B. 任意の x ∈ K に対して, 簡約型等質多様体 G/L_{x} には, 離散系列表現であって, しかも群 G 自身の正則離散系列表現にもなっているような G の既約ユニタリ表現が無限個存在する.

x = e という非常に特別な場合の定理 B によって, Ólafsson - Ørsted (1988) による結果の別証明が得られる.

系 C. G の involution σ が Hermite 対称空間に反正則な微分同相として作用すると仮定する. このとき, 対称空間 G/G^{σ} には最高ウェイトベクトルをもつ離散系列表現 (正則離散系列表現) が存在する.

x を取り替えることにより, 種々の等質多様体 G/L_{x} が現れる. 例えば, 次の例は, G = Sp(2n, ℝ), G^{σ} = Sp(n, ℂ) のときに x を取り替えて得られるものである.

例 D. 等質多様体

G/H = Sp(2n, ℝ)/Sp(n_{0}, ℂ) × GL(n_{1}, ℂ) × ⋯ × GL(n_{k}, ℂ) (∑ n_{j} = n)

には, 離散系列表現であって G の正則離散系列表現でもあるものが無限個存在する.

なお, G/H が半単純対称空間となる場合 (すなわち n_{1} = n_{2} = ⋯ = n_{k} = 0 の場合) にはこの例の正則離散系列表現の存在は Ólafsson - Ørsted の結果または離散系列表現の分類から従う.

References

T. Kobayashi, Discrete series representations for the orbit spaces arising from two involutions of real reductive Lie groups, J. Funct. Anal. (to appear).