CONFORMAL GEOMETRY, 極小ユニタリ表現, DUAL PAIR

小林俊行 (東京大学数理科学研究科) Bent Ørsted (Odense 大学)

\underline{1.} Bargman, Gelfand らに始まる実半単純リー群の既約ユニタリ表現の研究は, 約半世紀経った現在において, まだ完全な分類は完成していない. しかし, ７０年代後半から８０年代に Zuckerman, Vogan, Wallach などによりユニタリ性を保つ函手という強力な代数的手法が開発された結果, 現在のユニタリ表現の分類理論において, 無限次元表現の中でも「小さな」ユニタリ表現が, 特に神秘的でかつ重要な役割を担っているように思われる.

C 型の split リー群である Mp(n, ℝ) では, Segal-Shale-Weil 表現 (oscillator 表現) が「極小」のユニタリ表現である. ８０年代後半に Kostant, Kazhdan は D 型の split リー群である SO(4, 4) に「極小」ユニタリ表現の構成に成功した. その後, SO(p, q) (p + q ∈ 2ℕ) の「極小」ユニタリ表現の構成が, 退化主系列の組成列の研究や Mp(n, ℝ) における dual pair の Howe 対応などの手法を用いて試みられている.

\underline{2.} この報告では,

i) conformal geometry を用いた「極小」ユニタリ表現の幾何的構成 ii) reductive dual pair O(p, q) ⊃ O(p′, q′) × O(p′′, q′′) に関する分岐則

を述べる. (ii) を求める際, (i) の幾何的な構成法が本質的に用いられる.

\underline{3.} (M, g_{M}) を符号 (p, n − p) の n-次元擬リーマン多様体とし, Δ_{M} をラプラス-ベルトラミ作用素 (p ≠ 0, n のときΔ_{M} は楕円型ではない), K_{M} をスカラー曲率とし, 山辺作用素を

Δ̃_{M} := Δ_{M} − \frac{n − 2}{4(n − 1)}K_{M}.

と定義する. G = Conf(M, g_{M}) を (M, g_{M}) の conformal diffeomorphisms からなる群とする. G × M 上の正値関数 Ω であって h^{∗}g_{M} = Ω(h, ·)^{2}g_{M} (h ∈ G) となるものが存在する. f ∈ Ker Δ̃_{M} ⊂ C^{∞}(M), h ∈ G に対しφ(h^{−1})f ∈ C^{∞}(M) を

(φ(h^{−1})f)(x) := Ω(h, x)^{\frac{n−2}{2}} f(h · x) x ∈ M

とおくと,

命題 A. (φ, Ker Δ̃_{M}) は G の表現となる.

\underline{4.} 球面の直積 M = S^{p−1} × S^{q−1} に符号 (p − 1, q − 1) の標準的な擬リーマン計量を (第一成分が正定値, 第二成分が負定値になるように) いれて, 上記の命題を適用すると Kostant, Binegar-Zierau, Huang-Zhu らの得た極小ユニタリ表現の幾何的構成を与えることができる. すなわち,

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定理 B. p, q ∈ 2ℕ, p, q ≥ 2 のとき (φ, Ker Δ̃_{M}) は O(p, q) の極小既約ユニタリ表現の maximal globalization となる.

\underline{5.} f_{1}, f_{2} ∈ \sqrt{−1}𝔬(p, q)^{∗} を

⟨f_{1}, X⟩ := −\sqrt{−1}X_{12}, ⟨f_{2}, X⟩ := −\sqrt{−1}X_{p+1,p+2}, (X = (X_{ij})_{1≤i,j≤p+q} ∈ 𝔤_{0})

によって定め, 楕円型軌道 Ad^{∗}(G)λf_{i} (i = 1, 2) (λ > 0, λ ∈ ℤ + \frac{p+q}{2} ) の幾何的量子化として得られる O(p, q) の既約ユニタリ表現 (Borel-Weil-Bott 定理の非コンパクト複素多様体への拡張で, 幾何的 version は Schmid-Wong によって, 代数的 version は Zuckerman-Vogan による構成が知られている) をπ_{+,λ}^{p,q} (i = 1 のとき), π_{−,λ}^{p,q} (i = 2 のとき) と書く. さて, 次の可算集合を定義しておこう.

B(p, q) := \{ \begin{matrix}\{λ ∈ ℤ + \frac{p+q}{2} : λ > 1\} & (p > 1, q ≠ 0), \\ \{λ ∈ ℤ + \frac{p+q}{2} : λ > 1, λ ≥ \frac{p}{2} − 1\} & (p > 1, q = 0), \\ ∅ & (p = 1) or (p = 0). \end{matrix}

\underline{6.} 極小ユニタリ表現 φ を conformal geometry を用いて幾何的に構成したことによって, 部分群への分岐則を具体的に調べることができる. 以下, p + q ∈ 2ℕ を仮定する.

p′ + p′′ = p, q′ + q′′ = q のとき G = O(p, q) の部分群 G′ を G′ := G′_{1} × G′_{2} = O(p′, q′) × O(p′′, q′′) と定義する. G′_{1} と G′_{2} は互いに可換な G の部分群である.

定理 C. G の既約ユニタリ表現 ϖ を G′ に制限して G′ の既約ユニタリ表現に分解すると,

\begin{matrix}∑ & ⊕ \\ λ∈B(p′,q′)∩B(q′′,p′′) \end{matrix}π_{+,λ}^{p′,q′} ⊠ π_{−,λ}^{p′′,q′′} ⊕ \begin{matrix}∑ & ⊕ \\ λ∈B(q′,p′)∩B(p′′,q′′) \end{matrix}π_{−,λ}^{p′,q′} ⊠ π_{+,λ}^{p′′,q′′}

が離散スペクトラムとして現れる.

定理 D. 1) p′, q′, p′′, q′′ の少なくとも一つが 0 のとき, 制限 φ|′_{G} の既約分解は離散的である (連続スペクトラムが現れない).

2) q′′ ≥ 2, q′ + q′′ = q のとき

ϖ^{p,q}|_{O(p,q′)×O(q′′)} ≃ ∞ ; \begin{matrix}∑ & ⊕ \\ l=0 \end{matrix}π_{+,l+ \frac{q′′}{2} −1}^{p,q′} ⊠ π_{−,l+ \frac{q′′}{2} −1}^{0,q′′}.

特に, 定理 D における既約分解の公式は, C 型の群の Weil 表現に対する Howe 対応と同様に, D 型の群 O(p, q) の互いに可換な部分群 G′_{1} と G′_{2} の既約ユニタリ表現の部分集合の間に一対一の対応を与えている.

References

T. Kobayashi and B. Ørsted, Conformal geometry and branching laws for unitary representations attached to minimal nilpotent orbits, C. R. A. S. Paris (to appear).