山辺作用素の解空間における共形不変な内積について

小林俊行 (Toshiyuki KOBAYASHI) 数理解析研究所 (RIMS)

次の設定

(M, ds) :  擬リーマン多様体
Δ̃_{M} := Δ_{M} − \frac{n − 2}{4(n − 1)}K_{M}  山辺作用素
G :  (M, ds^{2}) の共形変換群

を考える。ここで， G が共形変換群であるというのは， G × M 上の正値関数 Ω が存在して、

g^{∗}ds_{g·x}^{2} = Ω(g, x)^{2}ds_{x}^{2}

が成り立つことを意味する。

g が等長変換を与える ⇔ Ω(g, ·) ≡ 1

となることに注意しよう。

さて， g ∈ G, f ∈ C^{∞}(M) に対して，

(ϖ(g)f)(x) := Ω(g^{−1}, x)^{\frac{n−2}{2}} f(g^{−1} · x)

とおくと， ϖ(g_{1})ϖ(g_{2}) = ϖ(g_{1}g_{2}) が成り立ち，従って， G の表現 (ϖ, C^{∞}(M)) が定義される。さらに，

Δ̃_{M}f = 0 ⇔ Δ̃_{M}(ϖ(g)f) = 0 (∀g ∈ G)

が成り立つので，次の命題が得られる。命題. 山辺作用素の解空間には，共形変換群 G の表現が定義できる。

そこで、次の問題を提起する。

∗ 研究集会「種種の幾何構造の発展」２００２年３月６日−８日, 日本工大

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問題 ([2] 参照). 山辺作用素の解空間に共形変換で不変な内積は存在するか？もし存在するならば，それを具体的に求めよ。

本日のお話では，

M := ℝ^{p+q}
ds^{2} := dx_{1}^{2} + ⋯ + dx_{p}^{2} − dy_{1}^{2} − ⋯ − dy_{q}^{2}
Δ̃_{M} := \frac{∂^{2}}{∂x_{1}^{2}} + ⋯ + \frac{∂^{2}}{∂x_{p}^{2}} − \frac{∂^{2}}{∂y_{1}^{2}} − ⋯ − \frac{∂^{2}}{∂y_{q}^{2}}
G 有理型共形変換群 (≃ O(p + 1, q + 1))

の場合に、上の問題を論じる。

M の次元 p + q が偶数のときは，上の問題は（適当な定式化のもとで）肯定的に解け，特に，共形変換で不変な内積が M の適当な超曲面上での積分で記述できることがわかる。

References

[1] T. Kobayashi, Conformal geometry and minimal unipotent representations, 研究集会「Lie 群と幾何学」予稿集， 1998 年 12 月 21 日-24 日, 横浜市立大学 (1998), 5 pages, http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/ toshi/texdvi/kaneyuki98.DVI.

[2] T. Kobayashi and B. Ørsted, Analysis on the minimal representation of O(p, q) I. Realization via conformal geometry, II. Branching laws, III. Ultrahyperbolic equations on ℝ^{p−1,q−1}, preprint (2001, November).

[3] T. Kobayashi, Conformal geometry and analysis on minimal representations, Lecture Notes at the 22-th Winter School on Geometry and Physics, Czech Republic, Srni, January 12 - 19, 2002, in preparation.

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