簡約型等質多様体上の不変測度^{∗}

小林俊行 (東京大学数理科学研究科)

\underline{1.} G を線型簡約リー群, K をその極大コンパクト部分群, θ を K に対応する G の Cartan involution とする. 例えば, G = GL(n, ℝ) のときは K = O(n), θg = ^{t}g^{−1} と選ぶことができる. G の閉部分群 H の連結成分が高々有限個であり, さらに θH = H を満たすとき, 等質多様体 G/H を\underline{簡約型等質多様体}という. 簡約型等質多様体は

リーマン対称空間 (例 GL(n, ℝ)/O(n))
半単純リー群  (例 SL(n, ℝ)/{e} ≃ SL(n, ℝ) × SL(n, ℝ)/ diag(SL(n, ℝ)))
擬ケーラー等質空間(例 Sp(n, ℝ)/𝕋^{k} × U(p, n − p − k))
半単純対称空間 (例 SL(n, ℝ)/SO(p, n − p))
半単純軌道空間 (例 GL(n, ℝ)/GL(n_{1}, ℝ) × ⋯ × GL(n_{k}, ℝ) (∑ n_{j} = n))

等の重要なクラスを典型例として含む.

\underline{2.} 簡約型等質多様体 G/H には, スカラー倍を除いて一意的に G-不変な測度 dμ ≡ dμ_{G/H} が存在する. (非コンパクトな) 等質多様体 G/H 上の大域解析を行うためには, 不変測度 dμ_{G/H} が無限遠でどのような挙動をしているかを調べることが基本的な問題である.

簡約型等質多様体の特別なクラスである半単純対称空間については, ユークリッド空間の極座標表示に対応する, (一般化された) Cartan 分解

G = KAH, A ≃ ℝ^{l}

が存在する. 対称空間 G/H 上の大域解析においては, この Cartan 分解 G = KAH を用いてコンパクト群 K と平坦な部分空間 A ≃ ℝ^{l} に分離して扱い, G/H 上の関数の A ≃ ℝ^{l} 方向の漸近挙動を調べるというのが, 伝統的で強力な手法であった. この際, Cartan 分解 G = KAH に関する不変測度の公式 (Harish-Chandra, Flensted-Jensen) が重要な役割を果たす.

しかし, Cartan 分解あるいはその類似物が存在するような簡約型等質多様体は対称空間など, かなり特殊な場合に限る. 従って, 一般の (非コンパクト) 簡約型等質多様体上の大域解析を展開するためには, Cartan 分解を用いずに, 不変測度を表す新しい積分公式を求めることが望まれる.

\underline{3.} この講演の目標は,

∗ 幾何学と Lie 群のシンポジウム (山口大学) の講演予稿 (’97 12/3 - 5)

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1) Cartan 分解を用いずに, 一般の簡約型等質多様体の不変測度にかんする積分公式を与え,

2) さらに, 部分多様体として次元の低い等質多様体が埋め込まれているときに両者の不変測度に関する比較定理を与えること

である.

\underline{4.} 主な結果を述べよう. 𝔤 = 𝔨 + 𝔭 = 𝔥 + 𝔥^{⊥} を G のリー代数 𝔤 の Killing form に関する直交分解とする.

定理 A. G/H を簡約型等質多様体とすると

∫_{G/H} f(x)dμ(x) = ∫_{K} ∫_{𝔥^{⊥}∩𝔭} f(ke^{X} · H) δ(X) dkdX for any f ∈ C_{c}(G/H).

ここでδ: 𝔥^{⊥} ∩ 𝔭 → ℝ (ある行列式で表される) 非負値関数で, 特に G/H のみで決まる定数 ν_{G/H} > 0, C > 0 が存在して次の評価式をみたす.

δ(X) ≤ C exp(ν_{G/H}∥X∥) ∀X ∈ 𝔥^{⊥} ∩ 𝔭.

次に, ξ ∈ ℝ に対して G/H 上の次の関数族を導入する:

C(G/H; ξ) := {f ∈ C(G/H) : sup_{k∈K} sup_{X∈𝔭∩𝔥^{⊥}} f(k exp X) exp(ξ∥X∥) < ∞}.

系 B. 1 ≤ p ≤ ∞ とすると, C(G/H; ξ) ⊂ L^{p}(G/H) (p ξ > ν_{G/H}).

\underline{5.} 簡約リー群の埋め込み G′ ↪ G が簡約型等質多様体の埋め込みι: G′/H′ ↪ G/H を誘導しているとする. b ≡ b(G′/H′; G/H) := sin ψ(𝔥′^{⊥} ∩ 𝔭′, 𝔥 ∩ 𝔭) とおく. G/H 上の関数の無限遠での減少度が, 部分等質多様体への制限でどのような減少度に反映されるかを述べたのが次の定理である. 証明は, 擬リーマン多様体 G/H の評価をリーマン多様体である K\G の評価に置き換え, 非正曲率多様体の性質を用いて行う.

定理 C. ι^{∗}C(G/H; ξ) ⊂ C(G′/H′; b ξ) (∀ξ ≥ 0).

系 D. 1 ≤ p ≤ ∞ とするとき,

ι^{∗}C(G/H; ξ) ⊂ L^{p}(G′/H′) (b p ξ > ν_{G′/H′}).

これらの結果は, 既約 L^{p} 表現を非対称な非コンパクト等質多様体上に構成する際に重要な役割を果たす ([2,3] 参照).

References

[1] T. Kobayashi, Invariant measures on homogeneous manifolds of reductive type, J. reine und angew. Math. (to appear).

[2] T. Kobayashi, Discrete series representations for the orbit spaces arising from two involutions of real reductive Lie groups, J. Funct. Anal. (to appear).

[3] T. Kobayashi, L^{p}-analysis on homogeneous manifolds of reductive type and representation theory, Proc. Acad. Japan 73 (1997), 62–66.

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