スキームのホモトピー論東大, 7.2007

THOMAS GEISSER*

1. 古典的トポロジー

先ず単体的集合というものを定義する。 Δ を単体の圏とする。対象：各 n ∈ ℕ に対して、集合\underline{n} = \{0, 1, …, n\} 像: 順序を保つ写像。特に、 d^{i} : \underline{n} → \underline{n + 1}, i に写らない。 s^{i} : \underline{n} → \underline{n − 1}, i に二回写る。が存在する。任意の写像はある s^{i} と d^{i} の合成で表される。

\underline{0} ⟶ \underline{1} ⟶ \underline{2} …

Δ^{op} を Δ の双対圏とする。つまり、

Hom_{Δ^{op}}(\underline{n}, \underline{m}) = Hom_{Δ}(\underline{m}, \underline{n}).

C を圏とすると、 C における単体的対象とは反変関手 X_{·} : Δ → C, つまり関手

X_{·} : Δ^{op} → C のことである.

X_{·}(\underline{n}) を X_{n} とも書く。

X_{0} ⟶ X_{1} ⟶ X_{2} …

同様に、余単体的対象は共変関手 X^{·} : Δ → C のことである。

例：対象 C ∈ C に対して、定数単体的対象 C_{·} : Δ^{op} → C, C_{·}(\underline{n}) = C, C_{·}(f) = id.

例： Δ^{n} n-単体は単体的集合:

Δ^{op} → Sets
\underline{m} ↦ Hom_{Δ}(\underline{m}, \underline{n})

米田の補題によると、任意の単体的集合にたいして

X_{n} = Hom_{Δ^{op}Sets}(Δ^{n}, X_{·}).

Δ^{·} : Δ → Δ^{op}Sets
\underline{n} ↦ Δ^{n}

は余単体的単体的集合になる。

Top を位相空間の圏とする。

Δ_{top}^{n} = {(t_{0}, …, t_{n})| ∑_{i} t_{i} = 1, t_{i} ≥ 0}

を位相的単体とする。 ϕ : \underline{n} → \underline{m} は ϕ_{top} : Δ_{top}^{n} → Δ_{top}^{m} を定めるから、余単体的位相空間

Δ_{top} : Δ → T op を得る.

任意の位相空間 X に対して、単体的集合 S_{·}(X) を次のように定義する

\underline{n} ↦ Hom_{T op}(Δ_{top}^{n}, X) =: S_{n}(X).

注意： S_{·}(X) を用いて特異ホモロジーが定義される。

関手 S : T op → Δ^{op}Sets は左随伴関手 | − | を持つ：

Hom_{Δ^{op}Sets}(Y_{·}, S_{·}(X)) = Hom_{T op}(|Y_{·}|, X)
Y_{·} ↦ |Y_{·}| = ∐ Y_{n} × Δ_{top}^{n}/ ∼

同値関係は、 ϕ : \underline{n} → \underline{m} に対して、 (y, ϕ_{top}(t)) ∼ (ϕ^{∗}y, t) ただし、 ϕ_{top} : Δ_{top}^{n} → Δ_{top}^{m} は上で定義した写像で、 ϕ^{∗} : Y_{m} → Y_{n} である. 例： |Δ^{n}| = Δ_{top}^{n}

定義 1.1.

∂Δ^{n} : Δ^{op} → Sets
\underline{m} ↦ \{ϕ ∈ Δ^{n}(\underline{m}) = Hom_{Δ}(\underline{m}, \underline{n})|ϕが\underline{n − 1}を経由\underline{m} → \underline{n − 1} → \underline{n}\}

例:

|∂Δ^{n}| = ∂Δ_{top}^{n} = {(t_{0}, …, t_{n})| ∑_{i} t_{i} = 1, t_{i} ∈ {0, 1}}

X ∈ T op に対して、 π_{0}(X) は X の連結成分を表して、 x ∈ X に対して π_{n}(X, x) は X の x を基点とするホモトピー群を表す。

定義 1.2. a) f : X → Y ∈ T op が weak equivalence であるとは、 π_{0}(f) が同型, 任意の x ∈ X, n > 0 に対して π_{n}(X, x) ≅ π_{n}(Y, f(x)) が同型になること。 b)f : X_{·} → Y_{·} ∈ Δ^{op}Set が weak equivalence であるとは、 |f| : |X_{·}| → |Y_{·}| が weak equivalence となること。注意: f : X → Y がホモトピー同値 (つまり、 g : Y → X が存在して、 f ∘ g ∼ id, g ∘ f ∼ id) ⇒ f が weak equivalence. X, Y は CW-複体の時、 ⇐ も成り立つ。

H = T op[W^{−1}] 形式的に weak equivalence を可逆にしたもの.

H_{s} = Δ^{op}Sets[W^{−1}] 形式的に weak equivalence を可逆にしたもの.

圏 C[W^{−1}] の普遍的性質は、関手 F : C → C[W^{−1}] で、任意の w ∈ W に対して、 F (w) が同型になること。さらに、関手 G : C → D が存在して、各 w ∈ W に対して F (w) が同型になる時、唯一つ G′ : C[W^{−1}] → D が存在して、自明な図式を可換にする。定義によって、 | − | は weak equivalence を保つから、 H_{s} → H を導く。

定理 1.3. 任意の位相空間 X に対して、自然な写像 |S(X)| → X は weak equivalence. 任意の単体的集合に対して、自然な写像 Y → S(|Y |) は weak equivalence. 特に、 | − | : H_{s} → H と S : H → H_{s} は圏の同値を引き起こす。

2. Quillen の公理

一般に、ある写像を可逆化するのを公理的に記述したのは Quillen だ

\begin{matrix}X & ⟶^{f} & E \\ ^{i}↓ & & ^{p}↓ \\ Y & ⟶^{g} & B \end{matrix}

i が p に対して left lifting property を持つ (LLP) ということは、 h : Y → E が存在して、図式が可換となること。 p が i に対して right lifting propery を持つ (RLP) ということは、 h : Y → E が存在して、図式が可換となること。

定義 2.1. モデル圏とは (C, W, C, F) で、圏 C, 次の性質を満たす射のクラス W, C, F であること。 (W は weak equivalence, C は cofibration, F は fibration という; (W∩C は trival cofibration, F∩C は trivial fibration という)

1. MC1 小さい極限と余極限が存在する (小さいいうのとは、添え字が集合であること）

2. MC2 f, g, f ∘ g の内で二つが W に含まれていると、残りの一つも W に含まれている.

3. MC3 f が g の retract の時、 g が W,C,F に含まれていると、 f もそうである 4. MC4 任意の fibration は任意の trivial cofibration に対して RLP を

持って、

任意の cofibration は任意の trivial fibration に対して RLP を持つ 5. MC5 各 f : X → Y は

p ∘ i : X ⟶ T ⟶ Y
q ∘ j : X ⟶ S ⟶ Y

と factor する。但し、 i は trivial cofibration, p は fibration, j は cofibration, q は trivial fibration. その分解は関手的

注意： W, C が F を決定する (RLP)。 W, F が C を決定する (LLP)。 C, F が W を決定する：W ∩C が F に対して LLP を持つ、 W ∩F が C に対して RLP を持つ、 W は MC5 によって、 trivial cofibration と trivial fibration の合成。

定理 2.2. (C, W, C, F) がモデル圏の時、 C → C[W^{−1}] が存在する。

X → ∗ が fibration の時、 X は fibrant という。 ∅ → Y が cofibration の時、 Y を cofibrant という。

MC5 によって、

X ⟶ T ⟶ ∗

が存在して、 X → T は trivial cofibration, T は fibrant となる。同様に、 MC5 によって、

∅ ⟶ S ⟶ Y

が存在して、 S は cofibrant, S → Y は trivial fibration となる.

定理 2.3. (T op, W, C, F) はモデル圏である。ここで、 W は上で定義した weak equivalence F は Serre fibration: I^{n−1} → I^{n} に対して RLP を持つ写像。 C は W ∩ F に対して LLP を持つ写像。

定理 2.4. (Δ^{op}Sets, W_{s}, C, F) はモデル圏である。ここで、 W は上で定義した単体的 weak equivalence C は単射。 F はC∩W に対してRLPを持つ写像。 (実際、 F はいわゆるKanfibrations と同じ）

もう一つの公理：圏 C の余単体的対象 Δ^{·} : Δ → C を固定する。 Δ^{·} と任意の単体的集合 K_{·} に対して、上のように実現を定義できる：

|K| := ∏_{n} K_{n} × Δ^{n}/ ∼∈ C.

定義 2.5. (C, W, C, F) が Δ^{·} に対して次の条件を満たす時、 (C, W, C, F) は単体的モデル圏という。各 cofibration i : X → Y ∈ C と各 fibration j : K → L ∈ Δ^{op}Set に対して、自然な写像

X × |K| ⟶^{id×|j|} X × |L|
i×id↓  ↓
Y × |K| ⟶ coprod ⟶^{cofibration} Y × |L|

は cofibration. さらに、 i あるいは j が weak equivalence な時、その写像も weak equvalence になること。

Δ^{·} : Δ → C を固定したことによって、特に Δ^{1} と境界写像

d^{0}, d^{1} : ∗ = Δ^{0} → Δ^{1}

が固定されている。 f, g : X → Y の単体的 homotopy 同値,f ∼ g というのは、射

H : X × Δ^{1} → Y

が存在して、 H ∘ d^{0} = g, H ∘ d^{1} = f が成り立つこと。

定理 2.6. (ホモトピー代数の定理） (C, W, C, F) を単体的モデル圏として、 C → H をそのホモトピー圏とする。その時、任意の cofibrant な X と fibrant な Y に対して、

Hom_{H}(X, Y) ≅ Hom_{C}(X, Y)/ ∼ .

注意：それは、次の事実の類似: I が injective な複体の時、

Hom_{導来圏}(C, I) = Hom_{複体の圏}(C, I)/ ∼ .

但し、 ∼ はチェーンホモトピー。

一般に, MC5 によると、 trivial fibrationX_{c} → X で cofibrant な X_{c} と trivial cofibrationY → Y_{f} で fibrant な Y_{f} をとれる。その時、

Hom_{H}(X, Y) = Hom_{H}(X_{c}, Y) = Hom_{H}(X_{c}, Y_{f}) ≅ Hom_{C}(X_{c}, Y_{f})/ ∼ .

3. 単体的層

k を完全体として、 Sm/k を k 上の非特異代数多様体のなす圏とする。 Sm/k は例えば商と余極限を持っていないから、圏の拡張しましょう！ P reshv = P reshv(Sm/k) は Sm/k 上の前層、つまり反変関手 Sm/k → Sets、 Shv = Shv(Sm/k) は Sm/k 上の Nisnevich 層を表す。米田埋め込み

Sm/k → Shv,
X ↦ h_{X}

ここで、 h_{X}(T) = Hom_{Sm/k}(T, X). h_{X} は Nisnevich 層で、

Hom_{Shv}(h_{X}, h_{Y}) = Hom_{Sm/k}(X, Y)

なので、圏の埋め込みである。もっと一般に、 Hom_{Shv}(h_{X}, F) = F (X).

単体的層の圏、 Δ^{op}Shv を関手 Δ^{op} → Shv 全体からなる圏と定義する。

Set ⟶ Δ^{op}Set
↓  ↓
Sm/k ⟶ Shv ⟶ Δ^{op}Shv

層 F が定数単体的層 F_{·} を誘導する (\underline{n} ↦ F) 集合 E が定数層 Ẽ を誘導して、単体的層 Ẽ_{·} を誘導する。

例：対象 Δ^{n}, δΔ^{n} ∈ Δ^{op}Shv, (単体的)n-球面 S^{n} := Δ^{n}/δΔ^{n} が存在する。

∅ は始対象, ∗ は終対象

点つき版：圏 Δ^{op}Shv_{•}, 対象は単体的層の写像: ∗ → X_{·}、射は可換な図式

wedge 積：余極限

∗ ⟶ Y_{·}
↓  ↓
X_{·} ⟶ X_{·} ∨ Y_{·}

smash 積 X_{·} ∧ Y_{·} := X_{·} × Y_{·}/X_{·} ∨ Y_{·}. 注意： TeX では wedge=/vee, smash=/wedge ! 演習： n ≥ 2 に対して、 S^{n} と S^{1} ∧ ⋯ ∧ S^{1} は同型ではない.

4. 単体的ホモトピー圏

Δ^{op}Shv にモデル圏の構造を与えたい。

定義 4.1. f : X_{·} → Y_{·} ∈ Δ^{op}Shv が単体的 weak equivalence とは、任意の S ∈ Sm/k と s ∈ S に対して、 s における茎の写像 f_{s} : (X_{·})_{s} → (Y_{·})_{s} が単体的集合の weak equivalence となること。 W_{s} を単体的 weak equivalence とする。 C を単射とする。 F_{s} を C ∩ W_{s} に対して RLP を持つ写像とする。 Δ^{·} : Δ → Δ^{op}Shv を定数余単体的単体的層 (cosimplicial simplical sheaf) とする：

\underline{n} → Δ^{n} ∈ Δ^{op}Sets ⊆ Δ^{op}Shv

定理 4.2. (Jardine) (Δ^{op}Shv, W_{s}, C, F_{s}) は単体的モデル圏。

付随するホモトピー圏を Δ^{op} → H_{s}(k) と書く。

点つき版: weak equivalence, cofibration は、点を忘れたら weak equivalence, cofibration になる射と定義して、 fibration は trivial cofibration に対して RRL を持つ射とする。ホモトピー圏 Δ^{op}Shv_{•} → H_{s}(k)_{•} を得る。

忘却関手 Δ^{op}Shv_{•} → Δ^{op}Shv が左随伴関手

Δ^{op}Shv → Δ^{op}Shv_{•}
X ↦ X_{+}

(基点を付けること）を持つ。

任意の単体的層 Y_{·} に対して、関手

Δ^{op}Shv_{•} → Δ^{op}Shv_{•}
X_{·} ↦ X_{·} ∧ Y_{·}

は weak equivalence を保つので、関手

H_{s}(k)_{•} → H_{s}(k)_{•}
X_{·} ↦ X_{·} ∧ Y_{·}

が誘導される。この関手は右随伴関手 R Hom_{•}(Y_{·}, −) を持つ。

例： X ↦ X ∧ S^{1} を Σ(X) とも書く、 suspension と言う。その右随伴関手 R Hom_{•}(S^{1}, −) を loop space 関手と言って、 Ω(X) と書く。

5. 𝔸^{1}-ホモトピー圏

トポロジーでは、 𝔸^{1} ∼ ∗ であることをまねして、単体的層の圏上にもっと一般のホモトピーを定義したい！

定義 5.1. Z ∈ Δ^{op}Shv が 𝔸^{1}-ローカルということは、任意の X ∈ Δ^{op}Shv に対して、射影 X × 𝔸^{1} → X が同型

Hom_{H_{s}(k)}(X, Z) ≅ Hom_{H_{s}(k)}(X × 𝔸^{1}, Z)

を導くこと。定義 5.2. f : X → Y ∈ Δ^{op}Shv が 𝔸^{1}-weak equivalence というのは、任意の 𝔸^{1}-ローカル Z に対して、 f が誘導する写像

Hom_{H_{s}(k)}(Y, Z) ≅ Hom_{H_{s}(k)}(X, Z)

は同型となること。

例：定義によって、 X × 𝔸^{1} → X は 𝔸^{1}-weak equivalence.

例： f : X → Y は単体的 weak equivalence の時、 f も 𝔸^{1}-weak equivalence になる。

モデル圏の構造： W_{𝔸^{1}} を A^{1}-weak equivalence 全体とする。 C を単射全体とする。 F を W_{𝔸^{1}} ∩ C に対して、 RLP を持つ写像全体とする。

単体的-weak equivalence⊆ 𝔸^{1}-weak equivalence
cofibration = cofibration
単体的-fibration⊇ 𝔸^{1}-fibration

定理 5.3. (Morel-Voevodsky) (Δ^{op}Shv, W_{𝔸^{1}}, C, F) はモデル圏である。

付随するホモトピー圏を H_{𝔸^{1}}(k) と書く、関手

Δ^{op}Shv → H_{s}(k) → H_{𝔸^{1}}(k)

を得る。

例： X を単体的-fibrant とする。 X が 𝔸^{1}-fibrant ということは X が 𝔸^{1}- ローカルということと同値.

例： ℙ^{∞} := colimℙ^{n} とおくと、

Hom_{H_{𝔸^{1}}(k)}(X, ℙ^{∞}) = Pic X.

例: 一般に、 Gr = Gr_{∞,∞} を無限 Grassmannian とすると、

Hom_{H_{𝔸^{1}}(k)}(X, ℤ × Gr) = K_{0}(X).

単体的モデル圏の構造が二つ存在する：

1) 標準余単体的単体的層

\underline{n} ↦ Δ^{n} ∈ Δ^{op}Sets ⊆ Δ^{op}Shv.

2) 代数的標準余単体的単体的層

\underline{n} ↦ Δ_{alg}^{n} = Spec k[t_{0}, …, t_{n}]/(∑ t_{i} − 1) ∈ Sm/k ⊆ Shv ⊆ Δ^{op}Shv.

ホモトピー代数の定理によって、任意の単体的層 X （常に cofibrant) と 𝔸^{1}-fibrant な Y に対して、

Hom_{H_{𝔸^{1}}(k)}(X, Y) = Hom_{Δ^{op}Shv}(X, Y)/ ∼ .

但し、同値関係は 1) でも 2) でも使える. 点つき版: 上と同じように、 weak equivalence, cofibration は、点を忘れたら weak equivalence, cofibration になる射と定義して、 fibration は trivial cofibration に対して RRL を持つ射とする。ホモトピー圏 Δ^{op}Shv_{•} → H_{𝔸^{1}}(k)_{•} を得る。

任意の単体的層 Y_{•} に対して、関手

Δ^{op}Shv_{•} → Δ^{op}Shv_{•}
X_{·} ↦ X_{·} ∧ Y_{·}

は 𝔸^{1}-equivalence を保つので、関手

H_{𝔸^{1}}(k)_{•} → H_{𝔸^{1}}(k)_{•}
X_{·} ↦ X_{·} ∧ Y_{·}

が誘導される。この関手は右随伴関手 R Hom_{•}(Y_{·}, −) を持つ。

例： X ↦ X ∧ S^{1} を Σ(X) とも書く、 suspension と言う。その右随伴関手 R Hom_{•}(S^{1}, −) を loop space 関手と言って、 Ω(X) と書く。

6. 古典的なトポロジーとの比較

Δ^{op}Set ⊆ Δ^{op}Shv は weak equivalence を保つから、 weak equivalence を 𝔸^{1}-weak equivalence へ写す. 特に、関手

H_{s} → H_{s}(k) → H_{𝔸^{1}}(k)

が導かれる. 複数埋め込み ρ : k → ℂ に対して, 関手

Δ^{op}Shv → T op
X_{·} ↦ |X_{·}(ℂ)|

が関手 H_{𝔸^{1}}(k) → H を誘導する。合成

H_{s} → H_{𝔸^{1}}(k) → H

は上の定理の圏の同値。

埋め込み ρ : k → ℝ に対して、もう一つの実現関手

Δ^{op}Shv → T op
X_{·} ↦ |X_{·}(ℝ)|

がもう一つの関手 H_{𝔸^{1}}(k) → H を誘導する。

例： X_{·} = 𝔾_{m} の時、

|X_{·}(ℝ)| = ℝ^{×} ∼ S^{0}, |X_{·}(C)| = C^{×} ∼ S^{1}.

References

[1] J.F.Jardine, Simpicial presheaves, J.Pure Appl.Algebra 47 (1987), 35-87.

[2] F.Morel, An introduction to 𝔸^{1}-homotopy theory. Contemporary developments in algebraic K-theory, 357–441, ICTP Lect. Notes, XV, Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste, 2004.

[3] F.Morel, V.Voevodsky, 𝔸^{1}-homotopy theory of schemes, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. No. 90 (1999), 45–143 (2001).

[4] D.Quillen, Homotopical Algebra, LNM 43.

[5] J.Riou, Theorie homotopique des schemas, Master thesis, http://www.math.jussieu.fr/∼riou/dea/.

[6] V.Voevosdsky, The 𝔸^{1}-homotopy theory. Proc. Int. Cong. Math, Vol I (Berlin 1998), Doc.Math 1998, 579-601.

[7] C.Weibel, An introduction to Homological Algebra §8, Cambridge studies in advanced mathematics 28.