(φ, Γ)-module 入門 (レジュメ)

山下 剛 2001 年 11 月 17 日

目次

0 Introduction 1 1 B さんたち 2 2 Galois cohomology と (φ, Γ)-module 4 3 overconvergent な表現 5 4 Bloch-Kato の exponential map と (φ, Γ)-module 6 5 p 進 Hodge 理論と (φ, Γ)-module 8 6 記号表 10

0 Introduction

本稿は,Workshop 「p-進表現と p-進微分方程式」（２００１年１２月３日〜７日, 名古屋大学）における講演「(φ, Γ)-module 入門」のレジュメ（実際の発表は２〜３章まで）である.

ここでは, なぜ (φ, Γ)-module を考えるのか, (φ, Γ)-module を使うとどういう面白い事があるのかを紹介する. 証明は参考文献を参考されたい.

K を混標数 (0, p) の完備離散付値体, 剰余体 k は完全, G_{K} を K の絶対 Galois 群とする. \overline{K} を K の代数閉包, ℂ_{p} をその付値による完備化, F := Frac W (k), K_{n} := K(μ_{p^{n}}), K_{∞} := K(μ_{p^{∞}}), F_{∞} := F (μ_{p^{∞}}), χ を円分指標, H_{K} := Gal(\overline{K}/K_{∞}), Γ_{K} := Gal(K_{∞}/K) = G_{K}/H_{K} とおく. G_{K} の有限次元 ℚ_{p} ベクトル空間 (resp. finite type ℤ_{p}-module) への連続な作用を G_{K} の p 進表現 (resp. ℤ_{p} 進表現) という.

Definition 0.1 A を noether 環で, その自己準同型 σ : A → A と Γ_{K} の作用が与えられていて, σ と Γ_{K} の作用は可換とする. A 上 finite type な加群 M に, σ-semi-linear な自己準同型 φ : M → M と Γ_{K} の semi-linear な作用で, φ と Γ_{K} の作用が可換なものが与えられている時, M を A 上の (φ, Γ_{K})-module という. ここで semi-linear とは、 φ(ax) = σ(a)φ(x), γ(ax) = γ(a)γ(x) (a ∈ A, x ∈ M, γ ∈ Γ_{K}) の事をいう. A 上の (φ, Γ_{K})-module が étale とは φ(M) が A-module として M を生成する時にいう.

[Fo1] において Fontaine さんは, 体 B_{K}, 環 A_{K} を定義して, G_{K} の p 進表現 (resp. ℤ_{p} 進表現) の圏と, B_{K} 上の slope=0( A_{K}-lattice でétale なものがとれる時, slope=0 という) の (φ, Γ_{K})-module(resp. A_{K} 上の étale(φ, Γ_{K})-module) の圏との圏同値を構成した. (B_{K} と A_{K} は [Fo1] においては, E, O_{E} という記号を使っている. B_{K} と A_{K} の定義は後で. )

p 進表現の方は, 難しくってよく分からないものだけれど, (φ, Γ_{K})-module の方は, Γ_{K} はほとんど ℤ_{p} だから, その位相的生成元と φ の作用だけ見ればよいものになって, 分かりやすいものだと考えられる. (より次元の高い局所体上で考えることになるが. )

p 進表現の圏の方には, de Rham 表現や crystalline 表現の部分 (淡中) 圏があったり, あるいは, Galois cohomology を考えたり, Bloch-Kato の exp map([BK]) を考えたりする. それらの p 進表現の方の言葉を (φ, Γ_{K})-module の言葉で書こうというのが基本的な思想である. また, ここで (φ, Γ_{K})-module で使われる体 B と p 進 Hodge で使われる体 B_{dR} を結びつけるものとして, overconvergence な元のなす体 B^{†} が現れ, 自然と overconvergent な表現という概念がでてくる.

１章では, (φ, Γ_{K})-module で使われる B さんたちを定義し, [Fo1] の圏同値を構成する. ２章では, Galois cohomology が (φ, Γ_{K})-module でどう書かれるかを見る. ３章では (φ, Γ_{K})- moduleで使われる体Bとp進Hodgeで使われる体B_{dR} を結びつける体B^{†} とoverconvergent な表現を定義し, [CC1] の主定理を述べる. ４章では Bloch-Kato exponential map を (φ, Γ_{K})- module から見てみる. 第５章では p 進 Hodge と (φ, Γ_{K})-module の関係を見てみる. ６章は記号を整理した.

発表を僕に任せて頂いた organizer の加藤文元先生, 坂内健一さん, 僕を薦めて下さった斎藤毅先生, いつも僕を助けて下さる安田正大さんに特別の感謝の意を述べる.

1 B さんたち

まず, (φ, Γ)-module に使われる環や体 A, B を定義し, [Fo1] の圏同値を構成する. 記号は Introduction のものを使う.

ℂ_{p} の列 x = (x^{(0)}, ⋯, x^{(n)}, ⋯) で (x^{(n+1)})^{p} = x^{(n)} を満たすもの全体を Ẽ と書き, ここに次のように積と和を定める.

(x + y)^{(n)} := lim_{m→∞}(x^{(n+m)} + y^{(n+m)})^{p^{m}}

(xy)^{(n)} := x^{(n)}y^{(n)}

Ẽ は, 標数 p の付値 v_{E} := v_{p}(x^{(0)}) に関して完備な代数閉体になる. Ẽ^{+} をその付値環とする. Ẽ の元 ε = (1, ε^{(1)}, ⋯, ε^{(n)}, ⋯) (ε^{(1)} ≠ 1) をとってくる. v_{E}(ε − 1) = \frac{p}{p−1} である. Ẽ の部分体 k((ε − 1)) を E_{F} と書く. これは ε の取り方によらない. E_{F} の Ẽ における分離閉包を E, その付値環を E^{+} と書く. ここで, 実は Gal(E/E_{F}) は H_{F} と同一視できる. (ノルム体の理論 cf. [Wi])

E_{K} := (E)^{H_{K}}, Ẽ_{K} := (Ẽ)^{H_{K}}, E_{K}^{+} := (E^{+})^{H_{K}}, Ẽ_{K}^{+} := (Ẽ^{+})^{H_{K}}

とおく.

Ã := W (Ẽ), B̃ := Ã[\frac{1}{p}] とする. 環同型 W (Ẽ) → Ẽ^{ℕ} が同相になるように W (Ẽ) に位相を入れ, B̃ = ∪_{n≥0} \frac{1}{p^{n}} Ã には帰納極限位相を入れる. これらは, Ẽ の絶対 Frobenius から induce される自己準同型 φ(これも Frobenius という) を持つ. [·] を Ẽ から Ã への Teichmüller lift とする. π := [ε] − 1 とおく. A_{F} を O_{F} [π, \frac{1}{π}] の B̃ における位相閉包とする. (すなわち, O_{F} [[π]][\frac{1}{π}] の p 進完備化)A_{F} の剰余体は E_{F} になる. B_{F} := A_{F} [\frac{1}{p}] とおく. φ(π) = (1 + π)^{p} − 1, g(π) = (1 + π)^{χ(g)} − 1 (g ∈ G_{F}) より B_{F}, A_{F} は φ, G_{F} で安定. B を B_{F} の B̃ における最大不分岐拡大体の p 進完備化とし, A := B ∩ Ã とおく.

A_{K} := A^{H_{K}}, B_{K} := B^{H_{K}}, Ã_{K} := (Ã)^{H_{K}}, B̃_{K} := (B̃)^{H_{K}}

とおく. B_{K}, A_{K} も φ, G_{K} で安定. A_{K} の剰余体は E_{K} になる. [L : K] < ∞ で Galois なら,

Gal(B̃_{L}/B̃_{K}) = Gal(B_{L}/B_{K}) = Gal(E_{L}/E_{K}) = Gal(L_{∞}/K_{∞}) = H_{K}/H_{L}

となる.

Theorem 1.1 (Fontaine [Fo1]) V を p 進表現 (resp. ℤ_{p} 進表現) として, D(V) := (A⊗_{ℤ_{p}} V)^{H_{K}} とおく. これは自然に B_{K}(resp. A_{K}) 上の (φ, Γ_{K})-module の構造が入る. ここで, D は次の圏同値を与える.

(G_{K} の p 進表現の圏)≃(B_{K} 上 slope= 0 の (φ, Γ_{K})-module の圏)

(G_{K} の ℤ_{p} 進表現の圏)≃(A_{K} 上 étale な (φ, Γ_{K})-module の圏)

ここで, D の quasi-inverse は V(·) := (A ⊗_{A_{K}} · )^{φ=1} で与えられる.

remark V が p 進表現の時, 上は, dim_{ℚ_{p}}V = dim_{B_{K}}D(V)

B ⊗_{B_{K}} D(V) ≅ B ⊗_{ℚ_{p}} V

すなわち, B ⊗_{ℚ_{p}} V の基底として, H_{K} 不変なものがとれる事を意味している. 上の H_{K} 不変部分をとると, D(V) = (B ⊗_{ℚ_{p}} V)^{H_{K}} が, φ = 1 部分をとると, V = (B ⊗_{B_{K}} D(V))^{φ=1} が出る.

V の ℚ_{p} 上の基底を固定し, D(V) の B_{K} 上の基底を固定したときの上の同型を行列で書いたものを period matrix という. period matrix の成分が B より小さい体 (で B_{dR} と結びつくもの) に入る事を考える事が重要になってくる. (３章「overconvergent な表現」参照)

2 Galois cohomology と (φ, Γ)-module

ここでは, Galois cohomology が, (φ, Γ)-module でどう書けるかを見てみる. この section 中は, [K : ℚ_{p}] < ∞, Γ_{K} ≅ ℤ_{p} とする. (すなわち、 p ≠ 2 の場合は 1 の原始 p 乗根を含む時で, p = 2 の場合は分岐する 2 次拡大を 3 つ含む時.)

Definition 2.1 A_{K} 上のétale (φ, Γ_{K})-module M に対して, γ ∈ Γ_{K} 位相的生成元を固定して, complex C_{φ,γ}^{•}(M) を次で定義する.

0 → M →^{a} M ⊕ M →^{b} M → 0

a(x) = ((φ − 1)x, (γ − 1)x), b(y, z) = (γ − 1)y − (φ − 1)z ここで M ⊕ M は degree=1 のところに置いてある.

Γ_{K} の位相的生成元γ と他の(位相的生成元とは限らない)元γ′ に対して, \frac{γ′−1}{γ−1} ∈ Frac ℤ_{p}[[Γ_{K}]] は実際は ℤ_{p}[[Γ_{K}]] の元であり, G_{K} は D(V) に Γ_{K} を通って作用するので, σ ∈ G_{K}, y ∈ D(V) にたいして, \frac{σ−1}{γ−1}y と書くことは意味を持つ.

ここで, 次の定理は V から定まる (φ, Γ_{K})-module から, V を経由しないで直接 V の Galois cohomology をつくることができる事を言っている.

Theorem 2.1 (Herr [H1]) ℤ_{p} 進表現 V に対して, M = D(V) と置く. このとき,

H^{i}(C_{φ,γ}^{•}(M)) ≅ H^{i}(K, V)

上の同型写像は i = 1 の時, 次のようにかける. (x, y) ∈ Z^{1}(C_{φ,γ}^{•}) に対して, b ∈ A ⊗_{ℤ_{p}} V を (φ−1)b = x を満たすようにとる. log χ(Γ_{K}) = p^{r(K)}ℤ_{p} として, σ ↦ \frac{log χ(γ)}{p^{r(K)}}(\frac{σ−1}{γ−1}y −(σ −1)b) は G_{K} の V に値をとる 1-cocycle になる. この cocycle を対応させる写像 ι_{γ} が上の i = 1 の同型写像になる. ここで, この同型写像は次の意味で γ のとり方に依存しない同型写像になる. γ′ を他の位相的生成元として, C_{φ,γ}^{•}(M) から C_{φ,γ′}^{•}(M) への自然な同型写像 (すなわち, degree=0 では\frac{γ−1}{γ′−1}, degree=1 では\frac{γ−1}{γ′−1} ⊕id, degree=2 では id) を ι_{γ,γ′} とすると, ι_{γ} = ι_{γ′} ∘ι_{γ,γ′} remark H^{1} は, φ, γ から作った complex で同型を考えたが, φ の左逆元 (すなわち, ψ ∘ φ = id) である ψ := \frac{1}{p}φ^{−1}Tr_{B/φ(B)} と γ から作った complex で同型を考えることもできる. このとき, ψ で考えた complex の方が「γ − 1 が D(V)^{ψ=0} 上可逆である」とか「D(V)^{ψ=1} が compact である」等の良い性質をもっていて, 岩澤 cohomology, B^{†}, B_{dR} と結びつく. ([CC2] や４章「Bloch-Kato の exponetial map と (φ, Γ)-module」参照)

これを使って, 次の古典的な結果が局所類体論を使わないで証明できる. (Herr [H1][H2])

Theorem 2.2 V を p-torsion 表現 (すなわち, V が p 冪で消える ℤ_{p} 進表現)(resp. ℤ_{p} 進表現) とする.

1. H^{i}(K, V) = 0 for ∀i ≥ 3

2. ∏_{i∈ℤ} card(H^{i}(K, V))^{(−1)^{i}} = p^{−[K:ℚ_{p}]lengthV} (resp. ∑_{i∈ℤ}(−1)^{i}rank_{ℤ_{p}}H^{i}(K, V) = −[K : ℚ_{p}]rank_{ℤ_{p}}V)

3. V が ℤ_{p} 進表現なら, p-torsion free とする. V^{∗}(1) を Hom(V, μ_{p^{∞}})(resp. Hom(V, ℤ_{p}(1))) として, H^{i}(K, V) × H^{2−i}(K, V^{∗}(1)) → H^{2}(K, μ_{p^{∞}}) ≅ ℚ_{p}/ℤ_{p} (resp. H^{i}(K, V) × H^{2−i}(K, V^{∗}(1)) → H^{2}(K, ℤ_{p}(1)) ≅ ℤ_{p}) は perfect pairing.

3 overconvergent な表現

ここでは (φ, Γ_{K})-module で使われる体 B と p 進 Hodge で使われる体 B_{dR} を結びつけるために overconvergent な元のなす体 B̃^{†} と, overconvergent な表現を定義する.

B̃ = Frac W (Ẽ) であったが, B_{dR} は環 W (Ẽ^{+}) を使って定義する. ここで, Frac W (Ẽ) の元 x = ∑_{i≫−∞} p^{i}[x_{i}] において, x_{i} ∈ Ẽ の付値が i が大きくなる時に, そんなに急激に −∞ に向かわなければ, B_{dR} と結びつく.

Definition 3.1

B̃^{†} := {x = ∑_{i≫−∞} p^{i}[x_{i}] ∈ B̃ | ∃r > 0, ∃N s.t. ∀k ≥ 0 v_{E}(x_{k}) ≥ −rk − N}

Ã^{†} := B̃^{†} ∩ Ã A^{†} := A ∩ Ã^{†}, B^{†} := B ∩ B̃^{†}, A_{K}^{†} := (A^{†})^{H_{K}}, B_{K}^{†} := (B^{†})^{H_{K}} B̃^{†} の元を overconvergent な元という. 自明ではないが, B̃^{†} は体になる. (cf.[CC1])

次の命題は体 B̃^{†} が (φ, Γ_{K})-module で使われる体 B̃ と p 進 Hodge で使われる体 B_{dR} を結びつける事を示している.

Proposition 3.1 x = ∑_{i≫−∞} p^{i}[x_{i}] ∈ B̃ に対して, 次は同値.

1. x ∈ B̃^{†}

2. ∃n ∈ ℕ s.t. 列 φ^{−n}(x) = ∑_{i≫−∞} p^{i}[x_{i}^{p^{−n}}] が B_{dR} で収束.

Definition 3.2 B̃^{†} の元 x で、 φ^{−n}(x) が B_{dR} で収束もの全体を B̃^{†,n}([CC1] の記号では B̃_{((p−1)p^{n−1})^{−}}^{†}, [Be] の記号では B̃^{†,r_{n}}) と置き, B^{†,n} := B ∩ B̃^{†,n}, D^{†,n}(V) := (B^{†,n} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{H_{K}} と置く.(B̃^{†,n} は B̃^{†,n} = {x = ∑_{i≫−∞} p^{i}[x_{i}] ∈ B̃ | v_{E}(x_{k}) + p^{n}k → +∞ (k → +∞)} とも書ける． )

Definition 3.3 p 進表現 V に対して,

D^{†}(V) := (B^{†} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{H_{K}}, D^{†,n}(V) := (B^{†,n} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{H_{K}}

とおく. dim_{B_{K}^{†}}D^{†}(K) ≤ dim_{ℚ_{p}}V であるが, ここで等号が成立するとき, V を overconvergent な表現という. これは, D(V) が B_{K}^{†} 上定義された D^{†}(V) からやってくる (すなわち, D(V) = B_{K} ⊗_{B_{K}^{†}} D^{†}(V) が成り立つ) 事を意味している. あるいは, 十分大きい n に対して D^{†,n}(V) が D(V) の B_{K} 上の基底を含むと言ってもよい.

次の定理は任意の p 進表現に対して, そこから作られる (φ, Γ_{K})-module が p 進 Hodge と結びつく事を言っている.

Theorem 3.2 (Cherbonnier; Colmez [CC1]) G_{K} の任意の p 進表現は overconvergent である.

remark 定義から, G_{K} の p 進表現が overconvergent であるか否かは H_{K} の作用だけに依存しているが, H_{K} の任意の p 進表現が overconvergent であるとは限らない (反例は存在する).

4 Bloch-Kato の exponential map と (φ, Γ)-module

ここでは, 岩澤 cohomology を通じて, Bloch-Kato の exponetial map が (φ, Γ)-module でどう書けるかを見てみる. この section では, [K : ℚ_{p}] < ∞ とする.

Definition 4.1 G_{K} の ℤ_{p} 進表現 T に対して, H_{Iw}^{m}(K, T) := \underleftarrow{lim} H^{m}(K_{n}, T)(corestriction での射影極限) とおく. また, G_{K} の p 進表現 V に対して, V の G_{K} で安定な lattice をとって, H_{Iw}^{m}(K, V) := ℚ_{p} ⊗_{ℤ_{p}} H_{Iw}^{m}(K, T) と定義する. (lattice のとり方には依存しない. )

Theorem 4.1

D(V)^{ψ=1} →^{≅} H_{Iw}^{1}(K, V)

写像は次の通り. γ_{1} を Γ_{K_{1}} の位相的生成元， γ_{n} := γ_{1}^{[K_{n}:K_{1}]} とする. y ∈ D(V)^{ψ=1} をとる. (φ−1)y ∈ D(V)^{ψ=0} であり, γ_{n} −1 は D(V)^{ψ=0} 上可逆だから (cf.[CC2]), x_{n} ∈ D(V)^{ψ=0} が存在して (γ_{n} − 1)x_{n} = (φ − 1)y を満たす. (すなわち, (x_{n}, y) ∈ Z_{φ,γ_{n}}^{1}(K_{n}, V)) ２章で定義した ι_{γ} を K を K_{n}, γ を γ_{n} に置き換えて定義したものを ι_{γ_{n}} と書いて, ι_{γ_{n}}(x_{n}, y) ∈ H^{1}(K_{n}, V) が定まる. y に対してこの (ι_{γ_{n}}(x_{n}, y))_{n≥1} を対応させるのが上の写像. この逆写像を Exp_{V^{∗}(1)}^{∗} で表す. (記号の由来は後で分かる. )

Proposition 4.2 n ≫ 0 では, D(V)^{ψ=1} ⊂ D^{†,n}(V) (cf.[CC2])

Proposition 4.3 ∀k ∈ ℤ に対して,

H^{m}(K, ℤ_{p}[[Γ_{K}]] ⊗_{ℤ_{p}} V) →^{≅} H_{Iw}^{m}(K, V (k)) μ ↦ (∫_{Γ_{Kn}} χ(x)^{k}μ(k))_{n≥1}

ここで, x ∈ V に対して, V (k) での像を x(k) と書いている.

Definition 4.2 x ∈ K_{∞}, n ∈ ℕ に対して, \frac{1}{p^{m}} Tr_{K_{m}/K_{n}}x ∈ K_{n} は m が十分大きいと x ∈ K_{m} となる m に依らない. これを T_{n} で表す. B_{dR} の素元 t := log[ε] を固定して, T_{n}(t) = t として, K_{∞}((t)) → K_{n}((t)) に拡張したものも T_{n} で表す. ここで, 実は, K_{∞}((t)) は B_{dR}^{H_{K}} で dense なので (cf.[C]), B_{dR}^{H_{K}} → K_{n}((t)) に連続に拡張したものも T_{n} で表す.

Definition 4.3 G_{K} の p 進表現 V に対して,

0 ⟶ ℚ_{p} ⟶ B_{crys}^{φ=1} ⟶ B_{dR}/B_{dR}^{+} ⟶ 0

(最後の全射は[BK], 他は[Fo2]参照)にV とテンソルして, 境界準同型をとると, (B_{dR}/B_{dR}^{+}⊗_{ℚ_{p}} V)^{G_{K}} → H^{1}(K, V)がでる. これとD_{dR}(V) → (B_{dR}/B_{dR}^{+}⊗_{ℚ_{p}}V)^{G_{K}} との合成をBloch-Katoの exponential map といい, exp_{V} で表す. V が de Rham で, k ≫ 0 の時, exp_{V (k)} は D_{dR}(V (k)) から H^{1}(K, V (k)) への同型写像になる. また, B_{dR} の素元 t := log[ε] を固定して, D_{dR}(ℚ_{p}(1)) = t^{−1}K ≅ K を固定する.

D_{dR}(V (−k)) ⊗ D_{dR}(V^{∗}(1 + k)) = D_{dR}(V ⊗ V^{∗}(1)) = D_{dR}(ℚ_{p}(1)) ≅ K →^{Tr_{K/ℚp}} ℚ_{p}
H^{1}(K, V (−k)) × H^{1}(K, V^{∗}(1 + k)) → H^{2}(K, ℚ_{p}(1)) = ℚ_{p}

によって, exp_{V^{∗}(1+k)} : D_{dR}(V^{∗}(1+k)) → H^{1}(K, V^{∗}(1+k))のdualをとったH^{1}(K, V (−k)) → D_{dR}(V (−k)) を exp_{V^{∗}(1+k)}^{∗} で表す.

remark 例えば, A を K 上の good reduction を持つアーベル多様体, V := V_{p}(A) を A の Tate module, D を A の Dieudonné module とする. V は crystalline 表現になり, 上の Bloch-Kato exponential map は下の写像の合成になる.

D ⊗_{W (k)} K ⟶^{=} H_{dR}^{1}(A/K)^{∗} ⟶ H^{0}(A, Ω_{A/K})^{∗} ⟶^{=}
Lie(A) ⟶^{exp} A(K) ⊗ ℚ_{p} ⟶^{Kummer} H^{1}(K, V)

これから, Bloch-Kato exponential map は “接空間的なもの” （あるいは “微分形式的なもの”）と “有理点的なもの” を結ぶものだと考えられる.

Definition 4.4 V を G_{K} の de Rham 表現とする.

1. n ≫ 0 として, 合成

H_{Iw}^{1}(K, V)  ⟶_{≅}^{Exp_{V^{∗}(1)}^{∗}}  D(V)^{ψ=1}  ⟶^{⊂}
D^{†,n}(V)  ⟶^{φ^{−n}} (B_{dR} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{H_{K}}  ⟶^{=}
B_{dR}^{H_{K}} ⊗_{K} D_{dR}(V) ⟶^{T_{m}} K_{m}((t)) ⊗_{K} D_{dR}(V)

を Exp_{V^{∗}(1),K_{m}}^{∗} とおく.

2. 合成

H^{1}(K_{m}, V (−k)) ⟶^{exp_{V^{∗}(1+k)}^{∗}} K_{m} ⊗_{K} D_{dR}(V (−k)) ⟶^{=}
K_{m} ⊗_{K} t^{k}D_{dR}(V) ⟶^{⊂} K_{m}((t)) ⊗_{K} D_{dR}(V)

も exp_{V^{∗}(1+k)}^{∗} と書くことにする.

上の Exp_{V^{∗}(1),K_{m}}^{∗} の定義で, 体 B^{†} が D(V) と D_{dR}(V) を結びつけている事に注意したい. (２, ３番目の矢印)

次の定理は, Bloch-Kato の exponential map(の dual)exp_{V^{∗}(1+k)}^{∗} が, (φ, Γ)-module の方の写像 Exp_{V^{∗}(1),K_{m}}^{∗} で t^{k} の項を見ると取り出せることを言っている.

Theorem 4.4 (Cherbonnier; Colmez [CC2]) V を G_{K} の de Rham 表現とする. μ ∈ H_{Iw}^{1}(K, V) として,

Exp_{V^{∗}(1),K_{m}}^{∗}(μ) = ∑_{k∈ℤ}exp_{V^{∗}(1+k)}^{∗}(∫_{Γ_{Km}} χ(x)^{−k}μ)

ここで, Prop 4.3 の同型で H_{Iw}^{m}(K, V) の元を H^{m}(K, ℤ_{p}[[Γ_{K}]] ⊗_{ℤ_{p}} V) の元とみなしている.

5 p 進 Hodge 理論と (φ, Γ)-module

ここでは, p 進 Hodge 理論で使われる関手 D_{st} や D_{crys} を (φ, Γ)-module でどう書けるか, potentially semi-stable 表現である事が (φ, Γ_{K})-mudule でどう p 進微分方程式の言葉に翻訳されるかを見てみる. この章はあまり詳しく書かないので [Be] を参照されたい.

“Definition” 5.1 B_{rig,K}^{†}, B_{log,K}^{†}

これらは [Be] で導入された. しかし, そこでは B_{rig,K}^{†,r} は定義されたが, B_{rig,K}^{†} は定義されていない. おそらく B_{rig,K}^{†} := ⋃_{r} B_{rig,K}^{†,r} だと思われる. B_{rig,K}^{†,r} の詳しい定義は [Be] 参照. ここではこれらは non-canonical に

B_{rig,K}^{†,r} = {∑_{k∈ℤ}a_{k}π_{K}^{k} | a_{k} ∈ F, ∀ρ ∈ [p^{−1/[K_{∞}:F_{∞}]r}, 1) lim_{k→±∞} |a_{k}|ρ^{k} = 0}

(π_{K} は mod p すると E_{K} の素元になるもの.) と書ける事のみ言い添えておく. B_{log,K}^{†} := B_{rig,K}^{†}[log(π)] と置く.

Definition 5.2 D_{rig}^{†}(V) := B_{rig,K}^{†} ⊗_{B_{K}^{†}} D^{†}(V), D_{log}^{†}(V) := B_{log,K}^{†} ⊗_{B_{K}^{†}} D^{†}(V) と置く.

remark B_{rig}^{†} := B_{rig,F}^{†} ⊗_{B_{F}^{†}} B^{†}, B_{log}^{†} := B_{rig}^{†}[log(π)] と置いて, D_{rig}^{†}(V) = (B_{rig}^{†} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{H_{K}}, D_{log}^{†}(V) = (B_{log}^{†} ⊗_{ℚ_{p}} V)^{H_{K}} も言える.(cf.[Be])

次の定理は, V から定まる (φ, Γ_{K})-module から, V を経由しないで直接 D_{st}(V) や D_{crys}(V) をつくることができる事を言っている.

Theorem 5.1 (Berger [Be]) V を G_{K} の p 進表現とする.

1. D_{st}(V) ≅ (D_{log}^{†}(V)[1/t])^{Γ_{K}}, D_{crys}(V) ≅ (D_{rig}^{†}(V)[1/t])^{Γ_{K}}

2. さらに, V が semi-stable 表現の時は,

D^{†}(V) ⊗_{B_{K}^{†}} B_{log,K}^{†}[1/t] ≅ D_{st}(V) ⊗_{F} B_{log,K}^{†}[1/t]

3. さらに, V が crystalline 表現の時は,

D^{†}(V) ⊗_{B_{K}^{†}} B_{rig,K}^{†}[1/t] ≅ D_{crys}(V) ⊗_{F} B_{rig,K}^{†}[1/t]

次に, B_{rig,K}^{†} 上の moduleD_{rig}^{†}(V) には Γ_{K} の作用から定まる connection∇_{V} が入り, crystal を定める.(∇_{V} と crystal の定義は [Be] 参照) connection が unipotent であるという概念も定義される.([Be] 参照)

次の定理は p 進表現の命題を p 進微分方程式の言葉に言い換える.

Theorem 5.2 (Berger [Be]) V を p 進表現とする. この時, 次は同値.

1. ∃n ∈ ℕ s.t. G_{K_{n}} へ表現を制限すると semi-stable 表現 (resp. crystalline 表現).

2. ∇_{V} は D_{rig}^{†}(V)[1/t] 上の unipotent(resp. trivial) connection.

Theorem 5.3 (Berger [Be]) V を de Rham 表現, Hodge-Tate weight が負とする. この時, 次の性質を満たす D_{rig}^{†}(V) の部分 B_{rig,K}^{†}-加群 N_{dR}(V) が一意的に存在する.

1. N_{dR}(V) は階数 dim_{ℚ_{p}} V の自由 B_{rig,K}^{†}-加群.

2. ∇_{V} (N_{dR}(V)) ⊂ tN_{dR}(V).

さらに, この N_{dR}(V) は φ, Γ_{K} で安定.

上の２つの定理と [A] の結果をあわせると, 次の Fontaine さんの予想が解決する.

Theorem 5.4 V を p 進表現とする. この時, 次は同値.

1. V は de Rham 表現.

2. V は potentially semi-stable 表現.

remark 上の p 進表現の結果は, l 進表現における Grothendieck の monodromy 定理「“剰余体にちょっとした条件をつけて”(あるいはétale cohomology から来る l 進表現なら剰余体に制限なしで) 任意の l(≠ p) 進表現は quasi-unipotent.」の類似である.

6 記号表

Ẽ^{+} := \underleftarrow{lim}(O_{ℂ_{p}}/pO_{ℂ_{p}} ←^{x^{p}←x} O_{ℂ_{p}}/pO_{ℂ_{p}} ←^{x^{p}←x} ⋯), Ẽ := Frac Ẽ^{+}

E_{F} := k((ε)), E := (E_{F})^{sep}, E^{+} := E ∩ Ẽ^{+} E_{K} := (E)^{H_{K}}, Ẽ_{K} := (Ẽ)^{H_{K}}, E_{K}^{+} := (E^{+})^{H_{K}}, Ẽ_{K}^{+} := (Ẽ^{+})^{H_{K}} Ã := W (Ẽ), B̃ := Ã[\frac{1}{p}], Ã^{+} := W (Ẽ^{+}), B̃^{+} := Ã^{+}[\frac{1}{p}] π := [ε] − 1, π̄ := ε − 1 A_{F} := (O_{F} [[π]][\frac{1}{π}])^{∧}, B_{F} := A_{F} [\frac{1}{p}] B := (B_{F}^{nr})^{∧}, A := B ∩ Ã A_{K} := A^{H_{K}}, B_{K} := B^{H_{K}}, Ã_{K} := (Ã)^{H_{K}}, B̃_{K} := (B̃)^{H_{K}} Ã_{r}^{†} := \{x = ∑_{i≥0} p^{i}[x_{i}] ∈ Ã | ∀k ≥ 0 inf_{i≤k} v_{E}(x_{i}) + \frac{pr}{p−1} ≥ 0\} Ã_{r^{−}}^{†} := \{x = ∑_{i≥0} p^{i}[x_{i}] ∈ Ã_{r}^{†} | inf_{i≤k} v_{E}(x_{i}) + \frac{pr}{p−1} → +∞ (k → +∞)\} B̃_{r^{(−)}}^{†} := Ã_{r^{(−)}}^{†}[\frac{1}{p}] B̃^{†} := ∪B̃_{r}^{†}, Ã^{†} := B̃^{†} ∩ Ã A^{†} := A ∩ Ã^{†}, B^{†} := B ∩ B̃^{†}, A_{r^{(−)}}^{†} := A ∩ Ã_{r^{(−)}}^{†}, B_{r^{(−)}}^{†} := B ∩ B̃_{r^{(−)}}^{†} A_{K}^{†} := (A^{†})^{H_{K}}, B_{K}^{†} := (B^{†})^{H_{K}}, A_{r^{(−)},K}^{†} := (A_{r^{(−)}}^{†})^{H_{K}}, B_{r^{(−)},K}^{†} := (B_{r^{(−)}}^{†})^{H_{K}} Ã^{†,r} := Ã_{r^{−}}^{†} = Ã_{[r;+∞]}, B̃^{†,r} := B̃_{r^{−}}^{†} = B̃_{[r;+∞]}, A^{†,r} := A_{r^{−}}^{†}, B^{†,r} := B_{r^{−}}^{†}, A_{K}^{†,r} := A_{r^{−},K}^{†}, B_{K}^{†,r} := B_{r^{−},K}^{†} Ã_{[r;s]} := Ã^{+}\{\frac{p}{[π̄]^{r}} , \frac{[π̄]^{s}}{p} \}, B̃_{[r;s]} := Ã_{[r;s]}[\frac{1}{p}] B̃_{rig}^{†,r} := B̃_{[r;∞)}, B̃_{rig}^{†} := B̃_{rig}^{†,r} B̃_{log}^{†,r} := B̃_{rig}^{†,r}[log([π̄])], B̃_{log}^{†} := B̃_{rig}^{†}[log([π̄])] B_{rig,K}^{†,r} := B_{K}^{†,r} の “ある位相” での完備化, B_{rig,K}^{†} := ⋃_{r} B_{rig,K}^{†,r}, B_{log,K}^{†} := B_{rig,K}^{†}[log(π)] B_{rig}^{†} := B_{rig,F}^{†} ⊗_{B_{F}^{†}} B^{†}, B_{log}^{†} := B_{rig}^{†}[log(π)]

B_{dR}^{+} := \underleftarrow{lim} B̃^{+}/(ker θ)^{i} ω := \frac{π}{φ^{−1}(π)} B_{crys}^{+} := \{∑_{n≥0} a_{n} \frac{ω^{n}}{n!} | B̃^{+} ∋ a_{n} → 0\} B_{max}^{+} := \{∑_{n≥0} a_{n} \frac{ω^{n}}{p^{n}} | B̃^{+} ∋ a_{n} → 0\} = B̃_{[0;(p−1)/p]} B̃_{rig}^{+} := ∩_{n=0}^{∞}φ^{n}(B_{max}^{+}) = ∩_{n=0}^{∞}φ^{n}(B_{crys}^{+}) = B̃_{[0;+∞)}

雰囲気: A なんとかは離散付値環で p が素元, B なんとかはその商体, E なんとかは剰余体. （ただし, 「†, r」や「†, rig」がつくと A なんとかは離散付値環にならないし, B なんとかは体ではなくなる.）（「†」なしの時は A なんとか, B なんとかはさらに p 進完備になる.）「」がつくものは, 「」がつかないものよりだいぶ大きい. 「†」がつくものは, 「†」がつかないものの overconvergent な元. 「†, rig」がつくものは, 「†」よりちょっとだけ大きい. 「K」がつくものは, 「K」がつかないものの H_{K}-fixed part.

参考文献

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