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Date: 2002. 4. 24.
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4次元スピン 多様体上のディラック作用素の指数の評価と |
低次元トポロジーへの応用 |
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上の2次形式の中でどのようなものが4次元スピン閉多様体の交叉形式に
なりうるかについてはSeiberg-Witten理論に基づく古田氏の”10/8"定理を
始め深い結果がある。この定理は4次元スピン閉
多様体
に対しても成り立つ
ことが知られており、
上のディラック作用素
の指数
に関する
不等式として与えられる。
一方3次元多様体とその上のスピン構造の対
に対して
となる4次元スピン多様体
(とその上のスピン構造
)が存在するが、
これに対して
どのような2次形式が

の交叉形式になりうるか
という問題が考えられる.もし
を境界とするスピン
多様体
が与えられるならば
に上記の定理を適用して
の符号数
を評価することが考えられる(なるべく
ベッチ数の小さい
をとる方が評価は良くなる。これが
多様体を考慮に入れる
理由でもある)。ただしそのためには
と
(および
)
の差を決定しなければならない。
の特異点が
孤立特異点のみからなる場合にはこの差は
指数定理により
の形で与えられる。ただし右辺の和は
の特異点
からのある寄与
(
の近傍上の局所的データで決まる量)の和である。
各
の近傍は3次元球面型多様体
上の錐
であり、
は
とその上のスピン構造
を与えると一意的に定まる(そこで
これを
と書く)。この
を完全に決定し、上記の問題への応用を
与えるのが今回の話のテーマである。
3次元多様体
が球面型多様体
そのものである場合は上記の
として
をとれる。これにより
3次元球面型多様体とそのスピン構造の対
を境界とする4次元スピン多様体
に対し
となる。
に
曲面(またはその向きを逆にしたもの)を連結和で加えると
は
任意の16の倍数だけずらせるので一般にはこれ以上のことは言い得ない。しかし
の交叉形式を定値なものに限ると10/8定理の
多様体版によって
結果は強まる.
-
ならば
の連結和は
acyclicスピン多様体の境界にならない.
特に
が
ホモロジー3球面のときは
ホモロジーコボルディズム群
の中で無限位数.
-
かつ
が定値スピン多様体
の境界ならば
多くの
の例がこれらの条件をみたす.ただし,
-
なるスピン定値4次元多様体
は存在するか?
- 上記の
の交叉形式は一意か?
という問題が残る.いずれについてもある場合は正しく,ある場合は正しくないことが
具体例により示せるが、より一般的に答えるにはまだ手段が不足していると思われる。
これ以外の応用についても時間に余裕があればふれたい.