微分幾何学入門テスト

担当: 中島啓

2000 年 2 月 14 日 (月)

問 1 関数 z = f(x, y) のグラフの表わす曲面 M = {(x, y, z) ∈ R^{3} | z = f(x, y)} を考える. z 軸の正の方向に向き (法ベクトル) を取ったときに, M の平均曲率とガウス曲率を求めよ.

問 2 次は正しいか？正しければ証明し, 正しくなければ反例を挙げよ.

(1) (M, g) を n 次元リーマン多様体とする (n ≥ 2). 各点 p ∈ M に対し, その近傍 U で定義された座標系 (x_{1}, …, x_{n}) であって

g_{ij} = g(\frac{∂}{∂x_{i}} , \frac{∂}{∂x_{j}}) = δ_{ij}

となるものが存在する. ここで, δ_{ij} はクロネッカーのデルタで, i = j のとき 1, そうでないとき 0 となる定数である.

(2) π: E → M を階数が r の多様体 M 上のベクトル束とし, 各点 x ∈ M のファイバー E_{x} = π^{−1}(x) には, (正定値の) 内積 h_{x}: E_{x} × E_{x} → R が定められていて, 次の意味で h_{x} は x に対して滑らかに依存しているとする.

• E の任意の切断 s, t に対して M 上の関数 x ↦ h_{x}(s(x), t(x)) は, C^{∞} 級である. (以後, この関数を単に h(s, t) で表わす.)

上の性質を満たすような内積の族 {h_{x}}_{x} を E の内積といい, 単に h で表わす. このとき, 各点 p 毎にその近傍 U で定義された局所自明化 φ: π^{−1}(U) → U ×R^{r} であって,

h(e_{i}, e_{j}) = δ_{ij}

となるものが存在する. ここで, e_{i} は, R^{r} の第 i 成分のみが 1 で他の成分は 0 である座標ベクトルを E_{i} としたときに,

x ⟼ φ^{−1}(x, E_{i})

で与えられる E の (U 上で定義された) 切断である.

問 3 π: E → M を多様体 M 上のベクトル束とし, 問 2(2) のように E の内積 h が与えられているものとする.

(1) E の接続 ∇ が h を保つとは, 任意の切断 s, t とベクトル場 X に対して

X · h(s, t) = h(∇_{X}s, t) + h(s, ∇_{X}t)

が成り立つときを言う. ∇ の曲率 R が歪対称であることを示せ. すなわち,

h(R(X, Y)s, t) + h(s, R(X, Y)t) = 0

が任意の切断 s, t と任意のベクトル場 X, Y に対して成り立つ.

(2) S を E の部分ベクトル束とする. すなわち, S は M 上のベクトル束であって (射影を π_{S}: S → M で表わす), C^{∞} 級写像 i: S → E であって, 次を満たすものが存在する.

1. π ∘ i = π_{S} となる,

2. 各点 x ∈ M 毎に, ファイバーの間に誘導される写像 i: S_{x} → E_{x} は, 単射な線形写像である.

以後, i は省略して, S は E の部分多様体であると見なす. このとき, E_{x} における S_{x} の内積 h_{x} に関する直交補空間を S_{x}^{⊥} とし, x を動かして集めたものを S^{⊥} = ⋃_{x∈M} S_{x}^{⊥} で表わす. S^{⊥} は, M 上のベクトル束となり, E の部分ベクトル束になる. (これは証明しなくて構わない.)

(1) のような h を保つ接続 ∇ に対して, s を S の切断とするときに s の共変微分を

∇_{X}s = ∇′_{X}s + α(X, s), ∇′_{X}s は S の切断で, α(X, s) は S^{⊥} の切断

と二つの成分に分解する. このとき, 次を証明せよ.

• ∇′ は S の接続であり, 計量 h を S に制限して出来る計量を保つ.

• α(X, s) は, Hom(S, S^{⊥}) に値を持つ 1 次微分形式 α を用いて α(X, s) = α(X)s と書ける. ただし右辺は, Hom(S, S^{⊥}) の切断 α(X) を (局所的に) 行列値関数, S の切断 s を (局所的に) ベクトル値関数と思ったときに, 行列とベクトルの掛け算である.

(3) 上の状況で, ∇′ の曲率を R′ で表わし, s, t を S の切断とすると,

h(R(X, Y)s, t) = h(R′(X, Y)s, t) + h(α(X)s, α(Y)t) − h(α(X)t, α(Y)s)

が成り立つことを証明せよ.