基礎数学からの展開B 「ウルトラフィルター上の算術」
2011年度後期・２回生向け

担当教員: 小沢 登高 <私の名前（ローマ字）@kurims.kyoto-u.ac.jp>
曜限・教室: 月５ (16:30--18:00) @ 理学部６号館３０１
Website: http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~narutaka/lec/11sc.html

講義概要

数学では複雑な問題を解くにあたって、極限操作により問題を純化してから解くということがしばしば行われる。この講義では、自然数と足し算についてそのような問題を扱う。自然数の「極限」であるウルトラフィルターを考え、それらの算術問題を解くことにより、自然数に関するいくつかの驚くべき性質を明らかにする。例えば、有名なvan der Waerdenの定理「自然数全体の集合を有限個に分割すると、どれかひとつは任意の長さの等差数列を含む」などを紹介する。扱う内容のほとんどに完全な証明をつける予定である。予備知識として、位相空間論、特に（距離付け可能とは限らない）コンパクトハウスドルフ位相空間についての基礎的な知識を仮定する。
本格的な参考書として「Neil Hindman and Dona Strauss; Algebra in the Stone-Čech Compactification. De Gruyter Expositions in Mathematics 27, 1998, xiii + 485 pp」を挙げておくが、マニア以外にはお金の無駄であるから買うことは勧めない。 ただで手に入るテキストとして、Leuşteanの講義録「Ergodic Ramsey Theory--SNSB Lecture」を挙げる。

成績評価は宿題及びレポートによって行う。 宿題は次回の講義開始時に提出すること。 遅れての提出は認めない。 特に、講義中に宿題をすることは厳禁とする。


講義内容
10月03日 講義内容紹介。van der Waerdenの定理のstatement。無限版と有限版の同値性。
10月17日 位相空間論入門、filterと収束。ultrafilter、ultralimit。
10月24日 Stone-Čechコンパクト化、ultrafilterとの関係。
10月31日 ultrafilter同士の足し算。コンパクト半位相半群。
11月07日 コンパクト半位相半群のベキ等元。Hindmanの定理。
11月14日 極小ベキ等元。van der Waerdenの定理。
11月21日 Ramseyの定理。

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