作用素空間論とその応用

小沢登高

1. 序

作用素空間論の標語は「量子化された関数解析」である. 二十世紀初頭の量子力学における最大の発見のひとつは Heisenberg の不確定性原理と行列力学であり, その数学的基礎はしばらく遅れて von Neumann によって与えられた. その主張は, 素粒子のエネルギーやモーメントといった物理量を表すためには, 通常の空間とその上の函数を使う替わりに, Hilbert 空間とその上の作用素を使うべきであるということであった. さらに von Neumann は既存の数学の量子化を提唱し, 積分論の量子化として作用素環論を創始した. 作用素空間論は作用素環論の一分野であるが, その基本的なアイディアは von Neumann に倣って Banach 空間を量子化する, 即ち Banach 空間の係数環 (通常は複素数体 ℂ または実数体 ℝ) を行列環で置き換えることにある. Arveson の先駆的な仕事 [Ar69] があったが, この分野は公式には 80 年代半ばに Ruan が博士論文 [Ru88][Ef86] で作用素空間の公理を与えたことに始まる. それ以来この分野は主に Effros-Ruan と Blecher-Paulsen らによって発展させられてきた. 90 年頃にこの二つのタッグが独立に作用素空間の双対性を発見するに至って, 「量子化された函数解析」が単に標語だけのものではないことが確認された. また同時期には, Banach 空間論の大物であった Pisier が作用素空間論へ参入し, それ以来この分野に活気を与え続けている. 今では作用素空間の知名度も上がり研究者の数も増えたが, その研究を通して分かったことは, 作用素空間が (作用素環論以外でも)Hilbert 空間の絡む函数解析の諸分野に自然に現れるということである. 作用素空間論の研究には, 当たり前のことながら, 作用素空間それ自体の研究と他分野への応用の二つがある. 作用素空間それ自体の研究は主にテンソル積の研究と, Banach 空間で見られる現象の量子化を探すことにある. 単なる Banach 空間論の類似だけではなく, 純粋に作用素空間的な面白い現象も多く発見されている. 中でも非可換 L^{p} 理論の作用素環的取り扱いと, Grothendieck 理論 [Gr53] の量子化が特筆に価する. しかしながら, この論説では作用素空間論の他分野への応用について的を絞って解説したい.

なお作用素空間論には現在 3 冊の本が出ているが, それぞれ異なった特長がある. 最も教科書らしい標準的な本は Effros-Ruan による [ER00] であり, 作用素空間論をみっちり勉強したい人に適している. Paulsen の本 [Pa02] は 1986 年に出た本のアップデイトではあるが, 内容は文字通り倍増しており, 作用素空間論と作用素論の関連について詳しい. Pisier の本 [Pi03a] は作用素空間の様々な側面が楽しく書かれている. また Pisier による概説 [Pi98][Pi03b] も参考にして欲しい.

2. 作用素空間概説

まず, 作用素環について簡単に述べておこう. Hilbert 空間 H 上の有界線型作用素全体のなす Banach 環を 𝔹(H) と書く. Banach 環 𝔹(H) 上には作用素ノルムから定まるノルム位相のほか, 弱収束から定まる弱位相がある. 一般に 𝔹(H) の (閉) 部分環のことを作用素環と呼ぶ. 作用素環の重要な部分類 (subclass) として C^{∗} 環と von Neumann 環の二つがある. 任意の作用素 x ∈ 𝔹(H) に対し, x^{∗} ∈ 𝔹(H) で任意の ξ, η ∈ H に対し (x^{∗}η, ξ) = (η, xξ) を満たすものが一意に存在する. この作用素 x^{∗} を x の随伴作用素 (adjoint operator) と呼ぶ. 𝔹(H) の部分環が ∗-演算とノルム位相で閉じているとき, それを C^{∗} 環と呼ぶ. さらに弱位相で閉じている C^{∗} 環のことを von Neumann 環と呼ぶ. von Neumann 環は C^{∗} 環の部分類であるが, 研究の方法は大いに異なる. 実際, 可換な C^{∗} 環は適当なコンパクト Hausdorff 空間 Ω 上の函数環 C(Ω) に同型であり, 可換な von Neumann 環は適当な測度空間 (Ω, μ) 上の L^{∞} 空間 L^{∞}(X, μ) に弱位相まで込めて同型である. 従って, C^{∗} 環論, von Neumann 環論はそれぞれ非可換トポロジー, 非可換測度論であると言える. C^{∗} 環の公理的な取り扱いは Gelfand-Neumark の定理 [GN43] に始まる. C^{∗} 環の抽象的な特徴付けを与えるこの定理のおかげで, 具体的な Hilbert 空間上の表現を気にせずに, 商 C^{∗} 環だの二重双対 C^{∗} 環だのを考えられるわけである.

さて, 作用素空間論の扱う対象は作用素空間, 即ち 𝔹(H) の (閉) 部分空間とその間の射である完全有界写像 (completely bounded map) である. 任意の Banach 空間は 𝔹(H) の部分空間に等距離同型であるから, 作用素空間 X ⊂ 𝔹(H) で重要な情報は X の B(H) 内における位置であり, それを見分けるのが完全有界写像である. 完全有界写像の概念は, 本質的には Arveson[Ar69] によって導入され, 作用素空間の公理的な取り扱いが始まる以前から既に知られていた. C^{∗} 環の間の単なる有界写像に関する意味ある定理はほとんど存在しない. (例外として, 非可換 Grothendieck の定理がある.) しかし, C^{∗} 環の間の完全有界写像に対しては非常に便利な定理 (2.3) が存在する. それを説明する前に完全有界写像を定義する必要がある. 線型空間 X に対して, 𝕄_{n}(X) を X の元を成分に持つ n 次正方行列全体のなす線型空間とする. 線型空間の間の写像 φ: X → Y に対し, その n 重写像を

φ^{(n)} : 𝕄_{n}(X) ∋ [x_{ij}]_{i,j} ↦ [φ(x_{ij})]_{i,j} ∈ 𝕄_{n}(Y)

と書く. (線型空間の間の写像にはすべて線型性を仮定している.) 𝕄_{n}(𝔹(H)) 上には, 𝔹(H^{⊕n}) との同一視によって, 自然なノルム ∥ · ∥_{n} が定まる. 即ち, x = [x_{ij}]_{i,j} ∈ 𝕄_{n}(𝔹(H)) に対して,

∥x∥_{n} = sup{| ∑_{i,j=1}^{n}(x_{ij}η_{j}, ξ_{i})| : ξ_{i}, η_{j} ∈ H, ∑_{i=1}^{n} ∥ξ_{i}∥^{2} ≤ 1, ∑_{j=1}^{n} ∥η_{j}∥^{2} ≤ 1}

従って, X ⊂ 𝔹(H) が作用素空間のときも, 𝕄_{n}(X) ⊂ 𝕄_{n}(𝔹(H)) 上にノルム ∥ · ∥_{n} が定まる.

定義 2.1. 作用素空間の間の線型写像 φ: X → Y に対し, φ の cb ノルムを次で定める.

∥φ∥_{cb} = sup_{n∈ℕ} ∥φ^{(n)} : 𝕄_{n}(X) → 𝕄_{n}(Y)∥

∥φ∥_{cb} < ∞ のとき, φ は完全有界であるという. ∥φ∥_{cb} ≤ 1 のとき, φ は完全縮小的 (completely contractive) であるという. 全ての n ∈ ℕ に対して, φ^{(n)} が等距離的のとき, φ は完全等距離的 (completely isometric) であるという.

例 2.2. A, B を C^{∗} 環とし, π: A → B を ∗-準同型とする. このとき π^{(n)} は, C^{∗} 環 𝕄_{n}(A) と 𝕄_{n}(B) の間の ∗-準同型なので, 常に縮小的. 従って, π は完全縮小的.

T_{n}: 𝕄_{n} → 𝕄_{n} を転置作用素とすると, 行列単位 {e_{ij} : 1 ≤ i, j ≤ n} に対し, ∥[e_{ji}]_{i,j}∥_{𝕄_{n}(𝕄_{n})} = 1, ∥[e_{ij}]_{i,j}∥_{𝕄_{n}(𝕄_{n})} = \sqrt{n} であるから, ∥T ∥_{cb} ≥ \sqrt{n}. (実際には等号が成り立つ.) 特に, 𝔹(ℓ_{2}) 上の転置作用素は等距離的であるが, 完全有界ではない.

完全有界写像の有用性を説明するのが次の基本定理 [Pa02] である. この定理は, Stinespring の拡張定理 [St55] に始まり, Arveson[Ar69] の貢献を経て, 80 年代初頭に Wittstock+Paulsen+Haagerup の三人によって独立に得られた. 完全有界という解析的な条件から ∗-準同型という代数的な結果を得られるところがポイントである.

定理 2.3. 写像 φ: X → 𝔹(K) を作用素空間 X ⊂ 𝔹(H) から 𝔹(K) への完全有界写像とする. このとき, Hilbert 空間 K̂, ∗-準同型 π: 𝔹(H) → 𝔹(K̂), 作用素 V, W: K → K̂ で次を満たすものが存在する. ∥V ∥ ∥W ∥ ≤ ∥φ∥_{cb} かつ

∀x ∈ X φ(x) = V^{∗}π(x)W

特に, φ̃( ·) = V^{∗}π( ·)W は φ の 𝔹(H) 上への拡張で, ∥φ̃∥_{cb} = ∥φ∥_{cb}.

特にこの定理より, 𝔹(H) 及び全行列環 𝕄_{n} ≅ 𝔹(ℓ_{2}^{n}) が作用素空間と完全有界写像の圏の中で入射的 (単射的とも言う) な対象であることが分かる. 即ち, この定理は Hahn-Banach の拡張定理を含んでいる. (この部分は Arveson+Wittstock によって既に得られていた.) 𝔹(H) 及び 𝕄_{n} は作用素空間論における「係数環」とみなされるものであるから, それらの入射性は重要である.

既に述べたように, 作用素空間 X ⊂ 𝔹(H) の行列空間 𝕄_{n}(X) 上には自然なノルム ∥ · ∥_{n} が定まる. また, 𝕄_{n}(X) は自然に 𝕄_{n}-両側加群である. 作用素空間 X とその上の行列ノルムの列 ∥ · ∥_{n} が次の二つの性質を満たすことは容易に分かる.

(R1) 任意の n ∈ ℕ, a, b ∈ 𝕄_{n}, x ∈ 𝕄_{n}(X) に対して,

∥a · x · b∥_{n} ≤ ∥a∥_{𝕄_{n}}∥x∥_{n}∥b∥_{𝕄_{n}}.

(R2) 任意の m, n ∈ ℕ, x ∈ 𝕄_{m}(X), y ∈ 𝕄_{n}(X) に対して,

∥ [ \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & y \end{matrix} ] ∥_{m+n} ≤ max\{∥x∥_{m}, ∥y∥_{n}\}.

この逆を与えるのが Ruan の定理 [Ru88] である.

定理 2.4. 線型空間 X とその上の完備行列ノルム ∥ · ∥_{n} の組が公理 (R1) と (R2) を満たすなら, X は具体的な作用素空間 Y ⊂ 𝔹(H) に完全等距離同型である.

例 2.5. (i) 任意の C^{∗} 環は, Gelfand-Naimark の定理により適当な B(H) の ∗-部分環に同型なので, 作用素空間である. C^{∗} 環の間の ∗-同型写像は自動的に完全等距離的となるので, 与えられた C^{∗} 環に対してその C^{∗} 環構造と矛盾しない作用素空間構造は一意である.

(ii) 一般に, Banach 空間 X に作用素空間構造を入れる方法は無数に存在するが, 中でも最小, 最大の二つの標準的なものが存在する. (衒学的には Banach 空間の圏から作用素空間の圏への函手が存在する.) ここでは最小作用素空間について述べる.

まず, 任意の Banach 空間 X は適当な函数空間 X ⊂ C(K) と等距離同型である. (例えば, K として, X の双対空間 X^{∗} の閉単位球に ∗-弱位相をいれた位相空間をとれる. Banach-Alaoglu の定理により K はコンパクト Hausdorff 空間.) 函数環 C(K) は可換 C^{∗} 環として自然に作用素空間なので, X ⊂ C(K) により X も作用素空間と考えることができる. この作用素空間を X の最小作用素空間と呼び, MIN(X) と書く. MIN(X) は X の函数空間としての表現 X ⊂ C(K) によらない. 実際,

∥[x_{ij}]_{i,j}∥_{𝕄_{n}(X)} = sup{ ∥[f(x_{ij})]_{i,j}∥_{𝕄_{n}} : f ∈ X^{∗}, ∥f∥ ≤ 1}

= sup{ ∥ ∑_{i,j=1}^{n} α_{i}x_{ij}β_{j}∥_{X} : α, β ∈ ℓ_{2}^{n}, ∥α∥_{2}∥β∥_{2} ≤ 1}

この等式から, 任意の作用素空間 Y と写像 T: Y → MIN(X) に対し, ∥T ∥_{cb} = ∥T ∥ であることが分かる.

上の例 2.5(ii) により, 函数空間である Banach 空間の理論に対比して, 作用素空間論を非可換 Banach 空間論と呼ぶこともある.

作用素環論における Gelfand-Naimark の定理と同様, Ruan の定理 (2.4) は作用素空間が各種の操作で閉じていることを保証するのに使われる. 例えば, 作用素空間とその部分空間の組 Y ⊂ X が与えられたとき, 商 Banach 空間 X/Y 上の行列空間 𝕄_{n}(X/Y) を商 Banach 空間 𝕄_{n}(X)/𝕄_{n}(Y) と同一視することによって, X/Y 上に自然な完備行列ノルムを定めることができる. この行列ノルムは, Ruan の公理を満たし, 商作用素空間 X/Y の定義を与える. 当然のことながら, 作用素空間の間の完全縮小的写像 φ: X → Z から引き起こされる写像 φ̃: X/ ker φ → Z は完全縮小的写像である. 実際, Banach 空間論におけるほとんどの重要な操作 (直和, 商, 双対, 各種テンソル積, 写像空間, 補間空間など) は作用素空間論における自然な類似を持つ. 特に, 作用素空間 X ⊂ 𝔹(H) と Y ⊂ 𝔹(K) に対して写像空間とテンソル積の間に期待される双対関係

𝔹(H ⊗ K) ⊃ X ⊗ Y ↪ CB(X^{∗}, Y)

は完全等距離的に成り立つ.

3. いくつかの応用

函数解析において出会う問題の多くはその自然な「量子化された」類似を持つ. 即ち係数を複素数体 ℂ から行列環 𝕄_{n} に置き換えることができる. この移行において見られる基本的な現象は, 「量子化された」問題はしばしば単純あるいは窮屈な答えを持つということである. 典型的には, ある対象のある性質にきれいな同値条件が存在しない場合でも, その量子化版には存在するということがある. 既に見た定理 2.3 がその一例であるが, この章では他に作用素論における相似問題, 再生核 Hilbert 空間に対する Pick 補間問題, Fourier 環の従順性について概説する.

3.1. 相似問題. 作用素空間論の目覚しい応用の一例として Pisier[Pi97] による作用素論における相似問題の否定的解決がある. Hilbert 空間 H 上の作用素 T が縮小的 (⇔ ∥T ∥ ≤ 1) のとき, 任意の多項式 p に対して, von Neumann の不等式

∥p(T)∥_{𝔹(H)} ≤ ∥p∥_{∞} := sup{|p(z)| : z ∈ 𝔻}

が成り立つ. ここで 𝔻 = {z ∈ ℂ : |z| < 1} は複素平面内の単位開円盤. より一般に作用素 T が縮小的作用素に相似 (similar), つまり H 上の可逆作用素 S が存在して ∥S^{−1}T S∥ ≤ 1 となるなら, それは多項式的有界である. 作用素が多項式的有界とは, 正定数 C が存在して次の不等式

∀p ∥p(T)∥_{𝔹(H)} ≤ C∥p∥_{∞}

を満たすときを言う. 実際, C = ∥S^{−1}∥ ∥S∥ と取れる. 縮小的作用素に相似なら多項式的有界であるが, その逆もまた正しいか, というのが作用素論における相似問題である. これは 1970 年に Halmos[Ha70] が宣伝した作用素論十大問題のうちのひとつであった. 最終的には, Pisier によって反例が構成されたが, そのきっかけとなったのが以下に述べる Paulsen の定理 [Pa84] である. A(𝔻) を 𝔻 内正則 𝔻̄ 上連続な函数からなる環 (disc algebra) とする. A(𝔻) は可換 C^{∗} 環 C(∂𝔻) の部分環であり, 多項式環の閉包に一致する. 作用素 T が多項式有界であることは, 準同型写像

π_{T} : A(𝔻) ∋ f → f(T) ∈ 𝔹(H)

が有界であることと言い換えられる. 多項式的有界作用素の特徴付けは知られていないが, 「完全」多項式的有界作用素については次の定理が存在する.

定理 3.1. Hilbert 空間 H 上の作用素 T に対し, 以下は同値.

(1) 作用素 T は縮小的作用素に相似.

(2) 作用素 T は完全多項式的有界, つまり π_{T} が完全有界.

(3) Hilbert 空間 K ⊃ H, ∗-準同型 σ: C(∂𝔻) → 𝔹(K) と H 上の可逆作用素 S で

∀f ∈ A(𝔻) π_{T} (f) = S^{−1}P_{H}σ(f)_{|H}S

となるものが存在する.

証明の中で (3) ⇒ (1) は trivial であり, (1) ⇒ (2) は Sz.-Nagy の拡大定理から従う. 最も非自明な (2) ⇒ (3) の証明には定理 2.3 を使う. この定理により相似問題は, 多項式的有界作用素は自動的に完全多項式的有界になるか, ということに言い換えられる.

相似問題の反例候補として Peller 及び Foiaş-Williams は 80 年代初めに次の形をした作用素を考察した.

T_{Γ} = [ \begin{matrix}S^{∗} & Γ \\ 0 & S \end{matrix} ] ∈ 𝕄_{2}(𝔹(ℓ_{2}))

ここで, S: ℓ_{2} → ℓ_{2} は片側シフト, Γ = [a(i−j)]_{i,j} は Hankel 作用素である. T_{Γ} が反例の候補とされた理由は, Hankel 作用素の関係式 ΓS = S^{∗}Γ を使うことによって, T_{Γ} が多項式的有界となる十分条件を与えることができたからである. しかし, Bourgain[Bo86] によって, この条件を満たす T_{Γ} は完全多項式的有界であり, 従って縮小的作用素に相似であることが示されたので, この路線は望み薄であるとされた. さらには 1995 年になり Aleksandrov-Peller[AP96] によって, T_{Γ} が多項式的有界ならそれは縮小的作用素に相似であることが示され, 反例探しの希望は潰えたかに見えた. それにもかかわらず, Pisier[Pi97] は Γ を単なる Hankel 作用素でなく適当な作用素値 Hankel 作用素 Γ = [a(i − j)]_{i,j}, a(i) ∈ 𝔹(H) とすることによって反例 T_{Γ} ∈ 𝕄_{2}(𝔹(ℓ_{2} ⊗ H)) が構成できることを発見した. この反例が完全多項式的有界でないことの証明は, 正準反交換関係 (CAR) を満たす作用素のなす作用素空間が Hilbert 空間に等距離同型であるが完全有界同型でないという単純な事実に基づいている.

定理 3.2. 多項式的有界作用素であって縮小的作用素に相似でないものが存在する.

関連問題である作用素環における相似問題: C^{∗} 環 A から 𝔹(H) への連続準同型 π は ∗-準同型に相似か, は未解決である. この問題も有界な π は自動的に完全有界になるかという問題と同値である.

この章に書かれていることについてもっと詳しく知りたければ, 参考文献として [Pa02] [Pi01] [Pi03a] が挙げられる.

3.2. Pick 補間問題. Pick は 1916 年に次の定理を得た.

定理 3.3. 与えられた λ_{1}, …, λ_{n} ∈ 𝔻 と w_{1}, …, w_{n} ∈ 𝔻 に対し, 正則函数 φ: 𝔻 → 𝔻 で φ(λ_{i}) = w_{i}, i = 1, …, n となるものが存在する必要十分条件は, n 次正方行列

[\frac{1 − w_{i}w̄_{j}}{1 − λ_{i}λ̄_{j}} ]_{i,j}

が半正定値であることである.

𝔻 上の正則函数に最大値ノルムを入れた空間 H^{∞}(𝔻) が Hardy 空間 H^{2}(𝔻) の乗数環であることに注意すると, 上述の定理は再生核 Hilbert 空間 H^{2}(𝔻) の定理として捉えることができる. この見方は Sz.-Nagy-Koranyi, Sarason そして Agler による. 再生核 Hilbert 空間とは, ある集合 Ω 上の函数からなる Hilbert 空間 H で, Ω の各点 λ に対して汎函数 H ∋ f ↦ f(λ) ∈ ℂ が有界となるもののことである. H が再生核 Hilbert 空間のとき, Riesz の定理より, 各 λ ∈ Ω ごとに k_{λ} ∈ H で, 任意の f ∈ H に対して f(λ) = ⟨f, k_{λ}⟩ を満たすものが存在する. このとき, Ω × Ω 上の核 k(λ, μ) = ⟨k_{μ}, k_{λ}⟩ は半正定値である. 再生核 Hilbert 空間の名前は Ω × Ω 上の半正定値な核 k から Hilbert 空間 H(あるいは f ∈ H の値 f(λ)) を再生できるという事実から来ている. 再生核 Hilbert 空間の典型例は複素領域 Ω 上の正則函数のなす Hilbert 空間である. 例えば, Ω = 𝔻 上の正則函数のなす再生核 Hilbert 空間として, Hardy 空間 H^{2}(𝔻) や Bergman 空間 L_{a}^{2}(𝔻) などが特に有名である. Hardy 空間 H^{2}(𝔻) のノルムと再生核 (Szegö 核) はそれぞれ次で与えられる.

∥f∥_{H^{2}(𝔻)}^{2} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |f(e^{iθ})|^{2} dθ, k(λ, μ) = \frac{1}{1 − λμ̄}.

(積分が意味を持つことは非自明な事実である.) H が Ω 上の再生核 Hilbert 空間のとき, Ω 上の函数 φ が H の乗数元であるとは任意の f ∈ H に対し φf ∈ H となるときを言う. このとき, 閉グラフ定理により M_{φ}: H ∋ f → φf ∈ H は有界となる. 従って, 乗数元全体のなす空間 M(H) は 𝔹(H) の可換部分環と見なせる. 任意の f ∈ H に対して ⟨f, M_{φ}^{∗}k_{λ}⟩ = φ(λ)f(λ) であるから, M_{φ}^{∗}k_{λ} = φ̄(λ)k_{λ} である. 特に, ∥φ∥_{M(H)} ≥ ∥φ∥_{∞}. H が Hardy 空間 H^{2}(𝔻) なら等距離的に M(H^{2}(𝔻)) = H^{∞}(𝔻) となる. Pick の定理の必要条件の部分は一般の再生核に対しても成り立つ.

定理 3.4. k を Ω×Ω 上の再生核とする. 与えられた λ_{1}, …, λ_{n} ∈ Ω と w_{1}, …, w_{n} ∈ ℂ に対し, 乗数元 φ で ∥φ∥_{M(H)} ≤ 1, φ(λ_{i}) = w_{i}, i = 1, …, n となるものが存在するなら, n 次正方行列 [ (1 − w_{i}w̄_{j})k(λ_{i}, λ_{j}) ]_{i,j} は半正定値である.

実際, 上の条件を満たす φ が存在するなら, 任意の α_{1}, …, α_{n} ∈ ℂ に対して

∑_{i,j}(1 − w_{i}w̄_{j})k(λ_{i}, λ_{j})ᾱ_{i}α_{j} = ⟨(1 − M_{φ}M_{φ}^{∗}) ∑_{j} α_{j}k_{λ_{j}}, ∑_{i} α_{i}k_{λ_{i}}⟩ ≥ 0

となる. しかし, Pick の定理の十分条件の部分は一般の再生核に対して成り立つとは限らない. 例えば, Bergman 空間 L_{a}^{2}(𝔻) については成り立たない. そこで, どのような再生核に対して Pick の定理 (つまりは定理 3.4 の逆) が成り立つかを考えるのが Pick 補間問題である. 再生核 Hilbert 空間 H に対して Pick の定理が成り立つとき, H は Pick の性質を持つという. この問題はよく研究されてきたが, Pick の性質を特徴付けるきれいな結果は得られていない. (そして今ではそもそも存在しないと考えられている.) 近年になって以下の洞察により「完全」 Pick の性質という概念が導入された. 定理 3.4 は, 複素数 w_{i} ∈ ℂ を n 次正方行列 W_{i} ∈ 𝕄_{n} に置き換えても, 文章に適当な修正を施せば成り立つ. (具体的には, φ ∈ M(H) を Φ ∈ 𝕄_{n}(M(H)) に, w̄_{i} を W_{i}^{∗} に換えればよい.) 再生核 Hilbert 空間 H(あるいは再生核 k) は, 行列版 Pick の定理が任意の n 次正方行列に対して成り立つとき, 完全 Pick の性質を持つという. 完全 Pick の性質は Pick の性質より強く, Pick の性質を持つ多くの自然な再生核 Hilbert 空間が完全 Pick の性質を持つ. 完全 Pick の性質については McCullough[Mc92] と Quiggin[Qu93](及び [AM00]) によるきれいな特徴付けが知られている.

定理 3.5. Ω 上の既約な再生核 k が完全 Pick の性質を持つ必要十分条件は, 半正定値な核 F: Ω × Ω → 𝔻 と Ω 上で非零な函数 δ が存在して

k(λ, μ) = \frac{δ(λ)δ̄(μ)}{1 − F (λ, μ)}

となることである.

Pick 補間問題の類似問題である Nevanlinna 補間問題や Carathéodory 補間問題については何も書かなかった. これらの問題についてもっと詳しく知りたければ, 参考文献として [AM02] が挙げられる. また, McCullough-Paulsen[MP02] による, [Hm79] を使った, 完全 Pick の性質の C^{∗} 環論的取り組みも興味深い.

3.3. 非可換調和解析. ここで言う非可換調和解析とは局所コンパクト群 G 上の各種函数環の研究を意味している. 局所コンパクト群 G 上には (左)Haar 測度が存在し, L^{∞}(G), 及び L^{1}(G) はそれぞれ, 通常の各点ごとの積, 及び合成積のもと Banach 環となる. また, G の L^{2}(G) 上の左正則表現から, 群 von Neumann 環 vN(G) を得る. L^{∞}(G) 上に平行移動不変な零でない汎函数が存在するとき, G を従順 (amenable) と言う. 従順の概念は群と解析の両方を扱う分野において非常に重要である [Pt88]. 従順群の類は全ての可換群及びコンパクト群を含み, 商, 拡大, 部分群, 増大和などの作用で閉じている. 従順でない群の代表例は階数 2 以上の自由群である. 60 年代後半の羽毛田-富山や境によって, 離散群 G が従順であることと, その群 von Neumann 環 vN(G) が入射的であることの同値性が示されている. Johnson[Jo72] は Banach 環に従順性の概念を導入し (これは適当なコホモロジー消滅で特徴付けられる), 局所コンパクト群 G が従順であることと, その Banach 環 L^{1}(G) が従順であることの同値性を示した. Banach 環の従順性に関しては [Rn02] が詳しい. G を局所コンパクト可換群としその双対群を Ĝ とすると, Fourier 変換により L^{1}(G) から C_{0}(Ĝ) への準同型が存在する. この準同型の値域は Ĝ の Fourier 環と呼ばれ, A(Ĝ) と書かれる. Plancherel の定理によれば, A(Ĝ) は Ĝ 上の L^{2} 函数の合成積として表される函数のなす集合に一致する. そこで, 一般の局所コンパクト群 G に対してもその Fourier 環 A(G) を A(G) = L^{2}(G) ∗ L^{2}(G) として定める [Ey64]. A(G) には上記の定義から自然なノルムが定まり, Banach 環となる. また, 可換な G に対する同型 A(G) = L^{1}(Ĝ) の類似として, 一般に等距離同型 A(G)^{∗} = vN(G) が成り立つ. (G が可換のとき vN(G) = L^{∞}(Ĝ) である.) Fourier 環 A(G) の従順性を群 G の言葉で特徴付けることは以前から問題とされてきたが, Johnson[Jo94] により, G がコンパクトであっても一般には A(G) が従順とならないことが示された. Ruan[Ru95] はこの問題を作用素空間の枠組みで扱い, A(G) が作用素空間構造付きの Banach 環として従順であることと, G が従順であることの同値性を示した. Fourier 環 A(G) の作用素空間構造は上記の等距離同型 A(G)^{∗} = vN(G) により導入される. もとの問題も最近, Forrest-Runde[FR0x] により解決された. 即ち, Banach 環 A(G) が従順であることと, G が可換群の有限群による拡大であることは同値である. Forrest-Runde の定理は純粋に Banach 環に関するものではあるが, 問題を作用素空間の言葉に翻訳してそれを解くことによって証明されている. 既存の問題の作用素空間における類似を研究することによって, もとの問題に対する理解が深まるということの好例であろう.

4. 作用素環論への応用

そもそも作用素空間論の出自は作用素環論にあるのだから, 作用素環論に対する貢献があるのは当然である. 作用素空間論を発展させた当初の動機は, 作用素環上の良い (Hochschild) コホモロジー理論を得るためであったが, これについては割愛するので [Ef86][SS95][SS0x] を参照して欲しい.

作用素空間の研究で作用素環への応用が最も多いのはテンソル積に関してである. なぜなら, テンソル積の研究においては有限次元部分空間の挙動を調べることが大切であるが, 作用素環の部分空間は作用素空間ではあるが作用素環ではないからである. また, 作用素環においては意味をなさない写像とテンソル積の間の関係 X^{∗} ⊗ Y ⊂ CB(X, Y) も作用素空間として成り立つ. Grothendieck[Gr53] は Banach 空間のテンソル積上に入る自然なノルムを十四種類挙げ (現在までにはさらに多くの「自然な」ノルムが研究されている), 用途に合わせて使い分けることを提唱した. 作用素環を扱う上で必要なテンソル積は高々数種類であるが, そのどれも研究上重要な位置を占めている.

実際, C^{∗} 環の中で最も扱いやすい類である核型 C^{∗} 環はテンソル積を使って特徴付けられる. 核型 C^{∗} 環の K 理論による分類問題は 1970 年代に Elliott によって提唱され, 現在に至るまで活発な研究が続いている [Rø02]. 中でも最も重要な結果は Kirchberg[Ki94] による完全 (exact)C^{∗} 環の特徴付けと, 核型純粋無限 C^{∗} 環の分類であろう. 完全性の概念は作用素空間と密接に関わっており, C^{∗} 環よりもむしろ作用素空間の枠組みの中でよりはっきりする. 完全性は群に対しても定義され, 完全群の類は全ての従順群, 語双曲群, 線型群を含み, 商以外の大抵の操作に閉じている. この類は Baum-Connes 予想の一部 (及び Novikov 予想) が確認された最も大きな類である (Higson や Kasparov による). 筆者も離散群の完全性を群の言葉で特徴付けることによって, これに貢献した.

最後に, 筆者による von Neumann 環論に対する作用素空間的手法の応用を少し詳しく述べたい. von Neumann は離散群 Γ(およびその測度空間への作用) から von Neumann 環 vN(Γ) が構成できることを発見し, その分類問題を提起した. この問題は, 70 年代の Connes の活躍 [Co76] よって従順な群に対しては解決されたが, 一般の非従順な群に対しては到底不可能であると考えられている. それで 80 年代に入ると Voiculescu により, 非従順な群の中でも比較的扱いやすい自由群 von Neumann 環 vN(𝔽_{r}) を研究することが重要であると提唱され, 自由確率論が創始された. (自由確率論については日合氏による論説 [Hi99] を参照.) いくつもある自由確率論の応用 [Vo02] のひとつとして, 葛 [Ge96] は vN(𝔽_{r}) が素であること, 即ち二つの無限次元 von Neumann 環のテンソル積に分解しないことを示した. この系として, 自由群 C^{∗} 環 C_{λ}^{∗}(𝔽_{r}) が (C^{∗} 環として) 素であることが示される. C^{∗} 環のテンソル積の専門家である筆者に納得のいく証明を探したところ, 次のようなものが見つかった.

von Neumann 環は中心が自明 ℂ1 であるとき, 因子環と呼ばれる. (因子環とは限らない)von Neumann 環 M は非自明な中心列を持つとき性質 (Γ) を持つという. つまり, ユニタリ作用素の列 (u_{n}) ⊂ M で, 弱作用素位相で u_{n} → 0, 強作用素位相で ∀x ∈ M [u_{n}, x] → 0 となるものがあるときをいう. 無原子的で従順な von Neumann 環は性質 (Γ) を持つ. また, 性質 (Γ) を持つ von Neumann 環と任意の von Neumann 環とのテンソル積は再び性質 (Γ) を持つ. この性質は Murray-von Neumann[MN43] が自由群因子環 vN(𝔽_{r}) と無限対称群因子環 vN(S_{∞}) を見分けるのに使ったものである. 実際, 前者は性質 (Γ) を持たず, 後者は持つ. von Neumann が生きている間に知られていた群因子環の同型類はこの二つだけであった. なお, 自由群因子環 vN(𝔽_{r}) の同型類が生成元の数 r ≥ 2 に依存するかどうかは, この分野における最大の未解決問題である [Hi99][Vo02]. Connes[Co76] の洞察によれば, M ⊂ 𝔹(H) が性質 (Γ) を持つなら, C^{∗}(M, M′) ∩ 𝕂(H) = {0} である. 実際, (u_{n}) ⊂ M を非自明な中心列とすると, 任意の x ∈ 𝕂(H) に対し弱作用素位相で u_{n}^{∗}xu_{n} → 0 である一方, 任意の x ∈ C^{∗}(M, M′) に対しては u_{n}^{∗}xu_{n} → x であることが容易に分かる. さて, Akemann-Ostrand の定理 [AO75] によれば, 以下の ∗-準同型 π の核は 𝕂(ℓ_{2}(𝔽_{r})) である.

𝔹(ℓ_{2}(𝔽_{r}))  𝔹(ℓ_{2}(𝔽_{r}) ⊗ ℓ_{2}(𝔽_{r}))
∪  ∪
C^{∗}(λ(𝔽_{r}), ρ(𝔽_{r})) ⟶^{π} C_{λ}^{∗}(𝔽_{r}) ⊗ C_{ρ}^{∗}(𝔽_{r})
∪  ∪
∑_{i=1}^{n} α_{i}λ(s_{i})ρ(t_{i}) ⟼ ∑_{i=1}^{n} α_{i}λ(s_{i}) ⊗ ρ(t_{i})

ここで, λ 及び ρ はそれぞれ ℓ_{2}(𝔽_{r}) 上の左および右正則表現である. 実際, 等距離作用素 V を次で定義すれば, Ad V がモヂュロ 𝕂(ℓ_{2}(𝔽_{r})) で π の左逆元となる.

V : ℓ_{2}(𝔽_{r}) → ℓ_{2}(𝔽_{r}) ⊗ ℓ_{2}(𝔽_{r}),
V (δ_{t}) = (l + 1)^{−1/2} ∑_{i=0}^{l} δ_{t_{1}···t_{i}} ⊗ δ_{t_{i+1}···t_{l}},

ここで, t = t_{1} ⋯ t_{l} ∈ 𝔽_{r} は生成元とその逆元による既約語表現とし, 空語は単位元に対応するものとする. 今, 与えられた部分 C^{∗} 環 A ⊂ C_{λ}^{∗}(𝔽_{r}) に対し,

J = C^{∗}(A, ρ(𝔽_{r})) ∩ ker π = C^{∗}(A, ρ(𝔽_{r})) ∩ 𝕂(ℓ_{2}(𝔽_{r}))

を考える. 当然のことながら, J ≠ {0} であるか, J = {0} であるかのどちらかである. もし J ≠ {0} なら, 上記の Connes の洞察により, A の弱閉包である von Neumann 環 A′′ は性質 (Γ) を持たない. 逆にもし J = {0} なら, ∗-準同型 π の C^{∗} 環 C^{∗}(A, ρ(𝔽_{r})) への制限は同型 C^{∗}(A, ρ(𝔽_{r})) ≅ A ⊗ C_{ρ}^{∗}(𝔽_{r}) を引き起こすことになる. ここで, A の完全性を利用すると, その弱閉包 A′′ が従順であることを示すことができる. 結局, A′′ ⊂ vN(𝔽_{r}) が性質 (Γ) を持つなら従順であることが分かった. この現象は実は A′′ という特別な形をした部分 von Neumann 環に限らず, 一般に成り立つ [Oz0x].

定理 4.1. Γ を語双曲群とし, vN(Γ) をその群 von Neumann 環とする. このとき, もし部分 von Neumann 環 N ⊂ vN(Γ) が性質 (Γ) を持つなら, それは従順である.

素でない非従順な von Neumann 環 M_{1} ¯⊗M_{2} は性質 (Γ) を持つ非従順な部分環 N を持つので (例えば, A_{1} ⊂ M_{1} を極大可換環とするとき N = A_{1} ¯⊗M_{2}), 葛 [Ge96] の結果がこの定理から直ちに従う. さらに, この定理を改良して, エルゴード理論の軌道同型に関する同様の結果を得ることができた. またその後, Popa 氏と共同 [OP0x] で語双曲群因子環のテンソル積の分類問題に関する決定的な結果を得た. この手法の延長として, 弱い形ながら離散群論における Kurosh の定理の von Neumann 環版を示すこともできる [Oz0y].

これらの結果は, 作用素空間的手法 (それに語双曲群論) が von Neumann 環論に役立った初めてのケースであり, Popa による剛性を持つ因子環の研究 [Po0x][Po0y] と合わせて, 群 von Neumann 環の分類研究における新たな時代の幕を開くものと期待される.

最後に, 学生時代の筆者を指導してくれた河東泰之氏, 泉正己氏, Gilles Pisier 氏の三人に謝辞をささげたい. それぞれから von Neumann 環論, 作用素 K 理論, 作用素空間論を学んだことが, 現在の研究に繋がった.

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