2.4 離散 Hartley 変換

　Hartley 変換は，Fourier 変換と非常に似た変換であり，Fourier 変換の 代用としていろいろな問題に応用されています．ここでは，離散 Hartley 変換が Cooley-Tukey 型 FFT と同じ考え方で計算できることを 示します．

2.4.1 離散 Hartley 変換の定義

　Hartley 変換とは，Fourier 変換のカーネル exp(i*x) = cos(x)+i*sin(x) の代わりに cas(x) = cos(x)+sin(x) を用いた変換です [参考文献]． したがって，離散 Hartley 変換は次のように定義されます．

    　  　  N-1　　        　       　         　                  
    Ａ  ＝  Σ   ａ   cas(2πjk/N)  ，  cas(x) ＝ cos(x) + sin(x)  
    　k 　  j=0　　j       　       　         　                  

この逆変換は

    　  　  1  N-1　　        　       
    ａ  ＝ --- Σ   Ａ   cas(2πjk/N)  
    　k 　  N  j=0　　j       　       

となります．Hartley 変換の Fourier 変換に対する最大の利点は，変換が 実数の演算だけで行えるということです．また，スケーリングを無視すれば Hartley 変換の逆変換は自分自身になるという都合のよい性質もあります． この離散 Hartley 変換は物理的に意味のある変換かどうかは別にして， 離散 Fourier 変換と密接な関係があります．例えば，ａ_j の離散 Fourier 変換 Ｆ_k と，離散 Hartley 変換 Ａ_k には

    　  　   1  　　  　 　    　 　  i  　　  　 　    　  
    Ｆ  ＝  --- （Ａ  ＋ Ａ    ） − --- （Ａ  − Ａ    ）  
    　k 　   2  　　k 　 　N-k 　 　  2  　　k 　 　N-k 　  

が成り立ち，離散 Hartley 変換と離散 Fourier 変換は，簡単な手続きで 互いに変換できることになります．また，畳み込みに関しても離散 Hartley 変換は離散 Fourier 変換と同様の性質があります．ａ と ｈ の 畳み込み

    　  　  N-1　　   　       
    ｙ  ＝  Σ   ａ   ｈ       
    　k 　  j=0　　j  　k-j    

は，離散 Hartley 変換を行うことで積と和に変換され

    　  　  1 　 　  　  　 　    　  　 　  　    　 　    　    　  
    Ｙ  ＝ ---（ Ａ  Ｈ  ＋ Ａ    Ｈ  ＋ Ａ  Ｈ    − Ａ    Ｈ    ）  
    　k 　  2 　 　k 　k 　 　N-k 　k 　 　k 　N-k 　 　N-k 　N-k 　  

となります．

　さらに，この離散 Hartley 変換は，DCT/DST 同様の拡張がなされます． これらの四つのタイプは離散 W 変換[参考文献] に相当し，次のようになります．

    　  　 　   1/2  N-1　　        　      　                 
    Ａ  ＝ (1/N)     Σ   ａ   cas(2πjk/N) ， 0 <= k <= N-1   
    　k 　           j=0　　j       　      　                 

    　  　 　   1/2  N-1　　        　            　                 
    Ａ  ＝ (1/N)     Σ   ａ   cas(2π(j+1/2)k/N) ， 0 <= k <= N-1   
    　k 　           j=0　　j       　            　                 

    　  　      1/2  N-1　　        　            　                 
    Ａ  ＝ (1/N)     Σ   ａ   cas(2πj(k+1/2)/N) ， 0 <= k <= N-1   
    　k 　           j=0　　j       　            　                 

    　  　      1/2  N-1　　       　                  　                 
    Ａ  ＝ (1/N)     Σ   ａ   cas(π(j+1/2)(k+1/2)/N) ， 0 <= k <= N-1   
    　k 　           j=0　　j      　                  　                 

ここで，cas(x) は

        cas(x) ＝ cos(x) + sin(x)  

               ＝ sqrt(2) sin(π/4 + x)  

です．この変換の逆変換は，タイプ I とタイプ IV が自分自身で， タイプ II とタイプ III が互い同士逆変換になります．これらの変換すべてに FFT が適用できるのですが，ここでは簡単のためタイプ I の変換についてのみ 考えます．

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