Séminaires et Congrès - 14 - pages 65-82

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Théories asymptotiques et équations de Painlevé - Angers, juin 2004
Éric Delabaere - Michèle Loday-Richaud (Éd.)
Séminaires et Congrès 14 (2006), xxvi+363 pages

Painlevé property of the Hénon-Heiles Hamiltonians
Robert Conte - Micheline Musette - Caroline Verhoeven
Séminaires et Congrès 14 (2006), 65-82
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Résumé :
Propriété de Painlevé des hamiltoniens de Hénon-Heiles
Les hamiltoniens, indépendants du temps, de la forme

H = (P12+P22)/2+V(Q1,Q2)

satisfont au test de Painlevé pour seulement sept potentiels V ; ceux-ci sont connus sous le nom de hamiltoniens de Hénon-Heiles et ils dépendent d'un nombre fini de constantes libres. La propriété de Painlevé restait à établir pour des valeurs génériques des constantes libres. Nous traitons chacun des cas en suspens en construisant une transformation birationnelle vers une équation différentielle ordinaire d'ordre quatre qui figure dans la liste exhaustive (Cosgrove, 2000) de telles équations polynomiales possédant la propriété de Painlevé. Les propriétés communes à ces hamiltoniens sont:
(i)
la solution générale est méromorphe et peut être exprimée en termes de fonctions hyperelliptiques de genre deux,
(ii)
le hamiltonien est complet au sens où l'addition de tout terme indépendant du temps ferait perdre la propriété de Painlevé.

Mots clefs : Hamiltonien d'Hénon-Heiles, propriété de Painlevé, fonctions hyperelliptiques, séparation de variables, coordonnées de Darboux

Abstract:
Time independent Hamiltonians of the physical type

H = (P12+P22)/2+V(Q1,Q2)

pass the Painlevé test for only seven potentials V, known as the Hénon-Heiles Hamiltonians, each depending on a finite number of free constants. Proving the Painlevé property was not yet achieved for generic values of the free constants. We integrate each missing case by building a birational transformation to some fourth order first degree ordinary differential equation in the classification (Cosgrove, 2000) of such polynomial equations which possess the Painlevé property. The properties common to each Hamiltonian are:
(i)
the general solution is meromorphic and expressed with hyperelliptic functions of genus two,
(ii)
the Hamiltonian is complete (the addition of any time independent term would ruin the Painlevé property).

Key words: Hénon-Heiles Hamiltonian, Painlevé property, hyperelliptic functions, separation of variables, Darboux coordinates

Class. math. : Primary 34M60; Secondary 34E20, 34M55, 34M35

ISBN : 0
ISSN : 1285-2783