■　公開講座一覧　■

多様体とは、局所的にユークリッド空間であるような図形です。 トポロジー（位相幾何学）では、 連続的な写像で一対一の対応がつく２つの図形を「位相同型」であるといい、 同等なものとみなします。 1次元、2次元の多様体の位相同型については、よくわかっていますが、 ３次元多様体についてはまだ完全にはわかっていません。 この講義では、３次元多様体の位相同型類たちのなす集合の構造を理解するための、 様々なアプローチについて、解説する予定です。

様々な色に染められた糸を交差させて組み上げる「くみひも」は、 ここ京都でも栄えた伝統工芸です。 くみひも職人は単純な工程を巧みに組み合わせて複雑な柄を組んでゆきますが、 数学者はこうした工程を「演算」や「作用」といった言葉を用いて解釈し、 くみひもの集合を「群」（演算を持った集合）として研究してきました。 講義では、この「くみひも群」について紹介し、 さらに、この素朴で一見単純な対象が、 位相幾何や統計力学等、数理科学の様々な分野の問題と絡み合い、 深い結果に結び付いている様子をお話したいと思っています。

グラフやネットワークなどの離散システムに現れる劣モジュラ構造について論じます。 劣モジュラ構造は、 劣モジュラ関数と呼ばれるある種の集合関数とそれに付随して定義される多面体によって表現され、 効率よく解くことができる多くの組合せ最適化に顔をのぞかせます。 本講義では、 いくつかの具体例を通して劣モジュラ構造の本質とその面白さを伝え、 「劣モジュラ関数の理論」と、 近年、室田一雄によって展開されてきた「離散凸解析」への入門のお話をします。

ひもを結ぶと結び目ができます。 結び方をかえると、できる結び目もさまざまです。 では、どれくらい多様な結び目があるのでしょうか？ 変形して互いにうつりあう結び目を同じ結び目とみなして、 数学的対象として結び目を研究する分野を結び目理論といいます。
　与えられた結び目が同じであることを示すのは比較的簡単で、 すなわち、実際にそれらを変形してみせることによって同じ結び目は同じであるとわかります。 ちがう結び目が確かにちがうということを示すのは比較的難しく、 これを示すときに不変量というものがつかわれます。
　この講義では、結び目のいろいろな不変量がどのように構成されるのかを解説します。 幾何的な量をいかに離散化して代数的にとりだしてくるのかという工夫に不変量のおもしろさがあるとおもいます。

円周率の計算は、アルキメデスの時代から現代にいたるまで、 さまざまな人たちによって行われてきています。 その計算公式と計算法には、その時代の高度な数学が用いられてきました。 この講義では、円周率の計算法を中心とするさまざまな数学的話題について解説する予定です。

２次方程式 ax²+2bx+c=0の判別式D=4(b²-ac)はよく知られている。 判別式は高次の方程式にも一般化され、 それが消えること(D=0)で重解の存在が特徴付けられる。 19世紀にBooleは方程式の係数の多項式の中で特殊１次変換でもって不変なものの全体を調べ、 ２次方程式や３次方程式では実質的に判別式しかないことを示した。しかし、 ４次以上の方程式ではこれは成立しない。 多くの数学者の努力により方程式の不変式はよく解明され、 一般の不変式研究の雛形となった。また、 その研究過程からいくつかの重要な数学的概念も誕生している。 より幾何的な例や具体的な計算を交えながら不変式論を説明してゆきたい。

地球や惑星の大きなスケールの流体運動は、回転や重力の影響を受 けるため日常身の回りの流れとは違った性質を持ち、しかもこれら 奇妙な性質は天気の移り変わりや海流の道筋と直接に関わります。 ここでは、これらの性質を紹介し、流体方程式との関わりについて 説明したいと思います。現象への数理的アプローチと考え方、架空 の惑星についての考察などを解説する予定です。

連立方程式を解くとは、 $f_1(x_1,\dots,x_n)=0, \cdots, f_r(x_1,\dots,x_n)=0$ をみたす「数の組」 $x=(x_1,\dots,x_n)$ を 求めることですが、ここでは $x_1,\dots,x_r$ が 同じサイズの正方行列であるとし、関係式 $f_1(x_1,\dots,x_n)=0, \cdots, f_r(x_1,\dots,x_n)=0$ をみたす「行列の組」を求めることを考えましょう。 このような問題は表現論という分野で 考えられてきました。原理的にはどんな 関係式を考えてもいいのですが、実際に 研究されているのは数学や物理で自然に 現れる関係式、つまり応用の見込めそうな 筋のいい関係式だけです。
この講義では、線形代数で出てきた 行列の標準形を表現論の見方で 捉えなおすことから始めて、現代の 表現論の一端をお見せするところまで ご案内したいと思います。

複素数から複素数への関数で微分可能なものを正則関数と呼びます。 この定義は普通の実微分可能関数、つまり高校数学に登場する実数から実数への 微分可能な関数、の素直な拡張です。 しかし、正則関数の世界では実微分可能関数の世界とはかなり趣のちがう、独特で 見事な現象に出会うことができます。 この講座の目標は、正則関数の世界にある「幾何」をいくつかの有名な定理を通して 感じとって頂くことです。実微分可能関数との性質の違いが際だち、そこが面白い、 という題材を選ぶ予定です。

自分自身について述べることの難しさと面白さは、 日常誰でも経験することだと思います。
　この講座では、数理論理学と計算機科学の密接な関係を示す好例として、 自己言及から生じる様々なパラドックスなどの数理論理学における問題、 また自分自身を呼び出すような再帰的なプログラムやデータ構造に関する問題などについて、 統一的な視点から考察します。

円周率 \pi = 3,141592 ... （以下無限に続く） は円周の長さとして、積分
\frac{\pi}{2} = \int^{1}_{0}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}
で与えられます。\pi の様に超越的な数が 右辺の様に、高々根号の入る積分で表示されるのは 非常に面白いと思います。 積分を不定積分にすると
\sin ^{-1}(t) = \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}
三角函数の逆函数 (2\pi はその周期)となります。 ガウスは更に、不定積分
\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{4}}}
を考察して、 複素変数の２重の周期函数（楕円函数の特別な場合）を得ました。 この講義では積分の周期、又その高次元化等について 考えてみたいと思います。

ユークリッド空間内の有限個のベクトルで張られた凸体を錐と呼びます。錐の集まりである扇が今回のお話の主人公です。 扇から自然にトーリック多様体という代数多様体が構成できます。 トーリック多様体の視点を導入することにより代数幾何の理論を扇の研究に用いることが出来ます。
　一方、森理論は高次元代数幾何学の中心であり、 現在も活発に研究されている大変難しい分野です。 一般の代数多様体の世界ではまだまだ完成には程遠い状態です。 しかしトーリック多様体の世界では森理論は扇の分割という非常に素朴な話になります。
　講義では多面体や扇の分割という素朴なお話を題材にし、 皆さんを広大なトーリック幾何学の世界の入口まで案内したいです。

皆さんの中には、高校の物理でオームの法則・キルヒホッフの法則といった、 電気回路についての法則を経験則として学んだ人も多いと思います。この講座では、 これらの法則が離散調和解析と呼ばれる数学を用いてどのように表現されるかを学び、 電気回路に対応するランダムウォーク（マルコフ連鎖）について考察します。 グラフの上に電気回路を構成してそのポテンシャル論的な性質を学ぶとともに、 電気回路の性質が、対応するランダムウォークの性質にどのように反映するかを調べ、 これらを用いた応用にも触れる予定です。

わが国の大学の数学教室では流体力学を講義することは少ないが、 ヨーロッパの大学では数学教室で流体力学を教えることも多い. イギリスなどでは応用数学のかなりの部分を流体力学周辺で 占めていることもある. 歴史的に見ても、 B. Riemann, H. Poincare, H. Weyl, A. N. Kolmogorov など、その人の主要な業績からは外れるけれども 重要な流体力学の論文を書いてきた数学者は多い。
　本講義の目的は、流体力学が数学の問題の宝庫であることを、具体例を通じて 感じとっていただくことである。簡単な微分方程式は使うけれども、 内容の大部分はグラフや流れの画像等を使って理解できるようにする予定である。

物質や空間の基本構成要素が「点(素粒子)」ではなく １次元の空間的な広がりを持った「弦」であると考えることから, 超弦理論は始まりました. 現在では, 一般相対性理論と量子論の究極的統一理論, つまり万物の理論の最有力候補として, 理論物理学の表舞台で活躍しています.
　数学と理論物理学は互いに刺激を与えながら発展してきましたが, 超弦理論はこれまで以上に数学の世界に非常に大きな影響を与え続けています. それは, 群論・表現論・保型形式・数論・代数幾何・シンプレクティック幾何・・・ と広範囲にわたりますが, それも「弦」の持つ１次元の空間的自由度が理由です.
　この講座では, 超弦理論の数学的側面について, 入門的解説および最新の成果の紹介をします. とくに, 「空間とは何か」という幾何学の基本的問題に対する 超弦理論からのアプローチについて触れたいと思います.

「対称性」というのは、実生活にもなじみの深い概念です。「球面という図形に どんな対称性があるか」と問われれば、誰でも点対称、回転対称、面対称などのアイ デアを思い起こすでしょう。
　では、点対称や面対称が必ず周期２の対称性であるのは、なぜでしょうか。 「周期３の点対称」のようなものがありえないことの理由をつきつめて考えていくと、 図形のグローバルな性質をつかさどる、美しい数学が見えてきます。 図形の定性的な性質と、定量的な群論とを結ぶ、 変換群論と呼ばれる幾何理論を紹介したいと思います。

代数曲線の有理点が符号、暗号（主に符号） の問題にどのように使われるかについて、入門的な話をしたいと思います。
　体、とくに有限体とは何か（？）といったあたりから話をはじめ、 代数曲線とその有理点、楕円曲線の場合、等についての基礎的な話をし、 それらが符号、暗号に関する如何なる問題にどう応用されるかについて、 その一端を紹介したいと思います。

「数えられるもの＝離散量」と「数えられないもの＝連続量」 という素朴な感覚にたがわず、数学では離散量と連続量は異なった扱いを受けます。
　しかし、離散と連続の間には、 連続は離散の極限であるという直感を越えて微妙で意義深い関係があるらしいことが各分野の様々な結果によって強く示唆されていて、 非常に興味深いものがあります。
　本講座では、そうした離散と連続の関係の一端を紹介するべく、 離散量を対象としアルゴリズムの構築と計算量の解析を柱とする計算機科学と、 連続量を対象とし関数空間の解析を柱とする関数解析学とが合流する分野 　−　微分方程式の数値解析　−　を中心に講演を行います。

多項式の有理数解の研究は、歴史が長いだけに、 樣々なアプロ−チを産み出しているが、二十世紀の後半に開発され、 現在では数々の輝かしい成果を挙げているアプロ−チとして、 現代数論幾何がある。本講義の目標は、 その現代数論幾何の世界を紹介することにある。 現代数論幾何の基本は、標語的にいえば、 多項式の解の近似にあるといってもよい。つまり、 有理数というものは、整数論の対象としては構造が複雑すぎるため、 数論的にはより単純な構造をした実数や複素数のような数で 近似することによって多項式の有理数解を調べるのである。 このような近似解のなす集合は、有理数解のなす集合と違い、 「滑らかな物質」で出来た幾何的な対象をなしていて、 その対象の幾何的性質が、有理数解の性質に大きく影響することが知られている。

平面上に与えられた有限個の点の集合に対して、 これを含む最小の凸多角形を求める問題を（２次元）凸包問題とよびます。 計算幾何学とは、このような幾何的な問題を解くアルゴリズム（解法）を　 研究する計算機科学の一分野です。
　本講座では、凸包問題のほかに勢力圏のモデルとして利用される ボロノイ図など、計算幾何学において基礎的な問題と それらに対するアルゴリズムを紹介します。また、 アルゴリズムの効率性の評価についてもふれます。

「多様体」は現代数学を理解する上で鍵となる概念です。
　数学のなかでも最も古い伝統をもつ幾何学は、三次元空間という入れ物には いっている図形という素朴な直感から出発したわけですが、 百五十年ほど前のこと、リ−マンは、必ずしも入れ物を必要とせず、 いくらでも高い次元をもてる、多様体の概念に到達しました。 この概念は解析学を複雑な図形のなかで自由に展開することを可能とし、 その結果として宇宙全体の幾何構造といったものまで考察することまで できるようになったのです。
　この講義では、多様体の豊かな世界への入門として、 積分を通じて解析（微分形式）と幾何（コホモロジ−）とがかかわりあう、 その様子に焦点をしぼって解説したいと思います。