2026年度 離散構造（一部、2Qターム月木78限）

• 対象：
• 日時：2Qターム月木78限（15:25から17:05まで）
• 教室：W8-E308?

• ラマヌジャンと分割数
  • スライド（2026年7月6日配布）
  • nの分割で\forall i,\lambda_{i}-\lambda_{i+1}\geq 2となるのものは、各パートがmodulo 5で1,4となるnの分割と同数存在する
  • nの分割で\forall i,\lambda_{i}-\lambda_{i+2}\geq 2となるのものは、各パートがmodulo 7で1,2,5,6となるnの分割と同数存在する
  • nの分割で\forall i,\lambda_{i}-\lambda_{i+3}\geq 2となるのものは、各パートがmodulo 9で1,2,3,6,7,8となるnの分割と同数存在する
  • nの分割で\forall i,\lambda_{i}-\lambda_{i+1}\geq 3 strict if \lambda_{i}\in 3Zとなるのものは、各パートがmodulo 6で1,5となるnの分割と同数存在する
  • nの分割で\forall i,\lambda_{i}-\lambda_{i+1}\geq 2 strict if \lambda_{i}\in 2Zとなるのものは、各パートがmodulo 8で1,4,7となるnの分割と同数存在する
  • ヤコビ三重積
  • オイラー五角数定理
  • (1-q)^3(1-q^2)^3(1-q^3)^3...=\sum_{r\geq 0}(-1)^r(2r+1)q^{r(r+1)/2}（ガウス）
  • (1-q)^8(1-q^2)^8(1-q^3)^8...にも公式がある（クライン）
  • 3=2^2-1, 8=3^2-1で、指数がn^2-1のときには公式がある（マクドナルド恒等式の特別な場合）。n^2-1は「トレースが0のn次対称行列の全体」の次元（自由度）と等しい。
  • (1-q)^24(1-q^2)^24(1-q^3)^24...のq^nの係数はすべて0でないと予想されている（レーマー）
  • ヤング図形とヤング盤
    • 資料（2026年7月13日配布）
    • 鉤長公式
    • ランダムYoung図形
    • 参考：W.Fulton, Young tableaux（翻訳）
    • skew半標準盤
    • Robinson-Schensted対応
    • Littlewood-Richardson係数
    • 山内語
    • plactic monoid
    • saturation conjecture
    • Schur関数
    • 15ゲーム
    • Wignerの半円則, ランダム対称行列固有値
• ガウスと素数
  • p=x^2+y^2の形に書けることと、p=2 or p\equiv 1 (mod 4)は同値である
  • p=x^2+2y^2の形に書けることと、p=2 or p\equiv 1, 3 (mod 8)は同値である
  • p=x^2+3y^2の形に書けることと、p=3 or p\equiv 1 (mod 3)は同値である
  • p=x^2+5y^2の形に書けることと、p=5 or p\equiv 1, 9 (mod 20)は同値である
  • p=x^2+23y^2の形に書けることと、p=23 or \tau(p)\equiv 2 (mod 23)は同値である（\tauはラマヌジャンのタウ関数）
  • p=x^2+11y^2については、合同式と無限積（ただしラマヌジャンのタウ関数ではないです）の両方で条件が書かれる。実験で推測できますか？
  • p=x^2-2y^2の形に書けることと、p\equiv 1, 7 (mod 8)は同値である
  • 2p=x^2+5y^2の形に書けることと、p=2 or p\equiv 3, 7 (mod 20)は同値である
  • 参考：平方剰余の相互法則については、去年の代数系の講義資料
  • ガウス和とヤコビ和
  • 3次剰余相互法則の特別な場合：pを5以上の素数とすると以下の2つは同値である（証明, 2026年7月30日配布）。
    • z^3=2がmodulo pで解を3つ持つ
    • pは3で割って1余り、p=x^2+27y^2の形をしている
  • q(q^6;q^6)_{\infty}(q^18;q^18)_{\infty}のq^nの係数をa_nとすると、a_p=2とも同値になる