望月新一を指導教員に志望する学生・受験生諸君へ


最後に、本サイトの「過去と現在の研究」の解説に登場する「IUTeich」(宇宙際タイヒミューラー理論)ですが、
様々な既存の理論の上に成り立っているそれなりに高級な理論なので、修士課程の段階で直接IUTeichの
勉強を始めるのはちょっと難しいと思いますが、関連したテーマで、IUTeichの「心」を汲んでいるものについて
勉強することは可能です。IUTeichの「心」は、簡単に言うと、次のようなものです:

 「数論幾何において本質的なのは、環やスキームのような‘具体的’な対象たちではなく、むしろそれら
 の具体的なスキーム論的な対象たちを統制している、様々な(‘組み合わせ論的アルゴリズム’に近い)
 抽象的なパターンである。」

このような現象の典型的な例として次のようなものが挙げられます:

(1) log schemeの幾何:詳しくは、私の論文 Extending Families of Curves over Log Regular Schemes
文献リストに出ている加藤和也先生の二つの論文を参照して下さい。簡単にまとめると、

 「多項式環等、Noether環の構造のある側面の本質は、モノイドという組み合わせ論的な対象に集約される」

という内容の理論です。

(2) 遠アーベル幾何:これについては、沢山の論文を書いていますが、入門的な解説では、次の二つが挙げ
られます:

「代数曲線の基本群に関するGrothendieck予想」

「代数曲線に関するGrothendieck予想 --- p進幾何の視点から」

簡単にまとめると、「数論的な体」の上で定義された双曲的曲線の構造は、その有限次エタール被覆の自己
同型群の群論的構造だけで決まるという理論です。

(3) 圏の幾何:これについては、私の論文

Categorical representation of locally noetherian log schemes

Categories of log schemes with archimedean structures

Conformal and Quasiconformal Categorical Representation of Hyperbolic Riemann Surfaces

それから、講演のレクチャーノート

「A Brief Survey of the Geometry of Categories (岡山大学 2005年5月)」

を参照して下さい。簡単にまとめると、スキーム(または、log schemeやarchimedeanな構造付きのlog
scheme)や双曲的リーマン面の構造は、そのような対象たちが定義する圏(=‘category')の圏論的構造
だけで決まるという話です。

因みに、IUTeich関係の話では、p進Teichmuller理論に登場する「標準的なFrobenius持ち上げの微分を
とる」という操作の「抽象的パターン的類似物」が主役です。p進Teichmuller理論の解説としては、

An Introduction to p-adic Teichmuller Theory

「An Introduction to p-adic Teichmuller Theory」 (和文)

が挙げられます。









同じ研究所の玉川安騎男教授も、別の観点から「双曲的代数曲線の数論」の研究に携わっております。
玉川さんの研究との比較については、ここをご参照下さい。

以上のまとめからも推測されるように、修士課程への入学を希望する学生に対しては次のような予備知識を
要求しております:

 (1) 代数位相幾何の基礎的な知識(=基本群や特異コホモロジー)
 (2) リーマン面の基礎的な知識(=line bundleやRiemann-Rochの定理)
 (3) 可換環論やスキーム論の基礎的な知識(「松村」、「Hartshorne」を参照)

ただし、特に(3)については完全な理解を要求するのではなく、内容に対して一定の「親しみ」さえあれば、
入学してからセミナーなどで復習することは可能です。




若林 泰央
 (わかばやし やすひろ)

略歴:
2009年03月 京都大学 理学部 数学科 卒業
2009年04月 京都大学大学院 理学研究科 修士課程 数学・数理解析専攻 入学
2011年03月 京都大学大学院 理学研究科 修士課程 数学・数理解析専攻 修了
  修士論文:    
  On the cuspidalization problem for hyperbolic curves over finite fields PDF
2011年04月 京都大学大学院 理学研究科 博士課程 数学・数理解析専攻 進学
2014年03月 京都大学大学院 理学研究科 博士課程 数学・数理解析専攻 修了
  学位論文:    
  An explicit formula for the generic number of dormant indigenous bundles PDF
2014年04月 京都大学数理解析研究所 研究員
2014年04月 大阪市立大学数学研究所 研究所員(兼任)





望月研究室の大学院生





星 裕一郎 (ほし ゆういちろう)

略歴:
2004年03月 東京工業大学 理学部 数学科 卒業
2004年04月 京都大学大学院 理学研究科 修士課程 数学・数理解析専攻 入学
2006年03月 京都大学大学院 理学研究科 修士課程 数学・数理解析専攻 修了
  修士論文:    
  Fundamental groups of log configuration spaces and the cuspidalization problem
  PDF
2006年04月 京都大学大学院 理学研究科 博士課程 数学・数理解析専攻 進学
2007年04月 京都大学 数理解析研究所 基礎数理研究部門 助教
2009年07月 京都大学 数理解析研究所 博士学位 (論文博士) 取得
  学位論文:    
  Absolute anabelian cuspidalizations of configuration spaces of proper hyperbolic
  curves over finite fields PDF
2011年12月 京都大学 数理解析研究所 無限解析研究部門 講師
2011年12月 2011年度井上研究奨励賞受賞



なお、仮に修士課程に入学し、私の学生になった場合の、少なくとも最初の一年間の「カリキュラム」
大体次のとおりになります:


 (a) 「松村」、「Hartshorne」の復習
 (b) 複素多様体や微分多様体の理論の復習
 (c) エタール・トポス、エタール・コホモロジー、エタール基本群
 (d) 曲線やアーベル多様体のstable reduction
 (e) log scheme の幾何
 (f) エタール基本群のweightの理論


また、これらの基本的なテーマの勉強が済んだら、


 (i) crystalやcrystalline site, crystalline cohomology
 (ii) Fontaine氏が定義した様々な「p進周期環」
 (iii) p-divisible groupsとfiltered Frobenius moduleの関係
 (iv) Faltingsのp進Hodge理論
 (v) p進遠アーベル幾何
 (vi) p進Teichmuller理論


のようなp進的なテーマに進むことなどが考えられます。((v), (vi)については、本サイトの「論文」
「過去と現在の研究」、または「出張・講演」をご参照下さい。)

私の研究の主なテーマは、「双曲的代数曲線の数論」です。「双曲的代数曲線」
とは、大雑把に言うと、多項式で定義される幾何学的な対象の中で、上半平面
で一意化されるリーマン面
に対応するものです。ただし、複素数体の上でしか
意味を成さないリーマン面の理論と違って、代数的な対応物を扱うことによっ
て、数体やp進局所体といった「数論的な体」の上で定義されたものの様々な
興味深い性質を考察することが可能になります。また、双曲的なリーマン面と
同様に、双曲的代数曲線の研究では、基本群およびその基本群へのガロア群の
作用
が重要な役割を果たします。私の研究に関するもっと詳しい説明について
は本サイトの「論文」「過去と現在の研究」、または「出張・講演」
ご参照下さい。



南出 新
 (みなみで あらた)

略歴:
2011年03月 京都大学 理学部 数学科 卒業
2011年04月 京都大学大学院 理学研究科 修士課程 数学・数理解析専攻 入学
2013年03月 京都大学大学院 理学研究科 修士課程 数学・数理解析専攻 修了
2013年04月〜10月 
            京都大学数理解析研究所 研究生
2014年04月 京都大学大学院 理学研究科 博士課程 数学・数理解析専攻 入学




陽 U
 (やん ゆー)

略歴:
2009年07月 中国四川省 四川大学 数学科 修士課程 基礎数学専攻 卒業
2009年10月 京都大学数理解析研究所 研究生として入学
2011年04月 京都大学大学院 理学研究科 修士課程 数学・数理解析専攻 入学
2013年03月 京都大学大学院 理学研究科 修士課程 数学・数理解析専攻 修了
2013年04月 京都大学数理解析研究所 研究生
2014年04月 京都大学大学院 理学研究科 博士課程 数学・数理解析専攻 入学




星氏の学生
) 東山 和巳 (ひがしやま かずみ)

略歴:
2014年03月 東京工業大学 理学部 数学科 卒業
2014年04月 京都大学大学院 理学研究科 修士課程 数学・数理解析専攻 入学




和田 悠暉
 (わだ ゆうき)

略歴:
2014年03月 京都大学 理学部 数学科 卒業
2014年04月 京都大学大学院 理学研究科 修士課程 数学・数理解析専攻 入学




河口 祐輝
 (かわぐち ゆうき)

略歴:
2012年03月 東京大学 理学部 数学科 卒業
2012年04月 東京大学大学院 数理科学研究科 数理科学専攻 修士課程 入学
2014年03月 東京大学大学院 数理科学研究科 数理科学専攻 修士課程 修了
  修士論文:    
  Fibered products of Hopf algebras and Seifert-van Kampen theorem for
  semi-graphs of tannakian categories PDF
2014年04月 京都大学大学院 理学研究科 博士課程 数学・数理解析専攻 入学